Prawdopodobieństwo całkowite
Jeżeli zdarzenia B1,B2,...,Bn są parami rozłączne
oraz mają prawdopodobieństwa dodatnie, które sumują się do jedynki,
to dla dowolnego zdarzenia A zachodzi wzór:
W urnie mamy 10 kul białych i 7 kul czarnych.
Wyciągamy jedną losową kulę i wyrzucamy ją, nie sprawdzając koloru.
Jaka jest szansa wyciągnięcia za drugim razem kuli białej? Rozwiązanie:
Wprowadźmy oznaczenia:
A - za drugim razem wyciągnęliśmy kulę białą, B - za pierwszym razem wyciągnęliśmy kulę białą, C - za pierwszym razem wyciągnęliśmy kulę czarną. Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A.
Stosujemy wzór na prawdopodobieństwo całkowite:
P(A) = P(A|B)⋅P(B) + P(A|C)⋅P(C) =
(9/16)⋅(10/17) + (10/16)⋅(7/17) = (90+70) / (16⋅17) =
Przykład 2.
Na loterii mamy
40% losów wygrywających, 50% losów przegrywających
oraz 10% losów "Graj dalej!" - pozwalających na wyciągnięcie następnego losu.
Jakie jest prawdopodobieństwo wygranej?
Rozwiązanie:
Wprowadźmy oznaczenia:
W - wygrano na loterii,
A - wyciągnięto los wygrywający, B - wyciągnięto los przegrywający, C - wyciągnięto los "Graj dalej!".
Stosujemy wzór na prawdopodobieństwo całkowite: P(W) = P(W | A)⋅P(A) + P(W | B)⋅P(B) + P(W | C)⋅P(C) = 1⋅(4/10) + 0⋅(5/10) + P(W)⋅(1/10) Zatem mamy: P(W) = 1⋅(4/10) + 0⋅(5/10) + P(W)⋅(1/10) P(W) = (4/10) + P(W)⋅(1/10) P(W) - P(W)⋅(1/10) = (4/10) P(W)⋅(9/10) = (4/10) P(W) = (4/9)
Przykład 3.
Z urny zawierającej 3 kule czarne i 2 kule białe losujemy kulę, po czym zwracamy ją do urny
i dorzucamy jeszcze dwie kule tego samego koloru, co wylosowana. Następnie ponownie losujemy kulę z urny.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że za drugim razem wylosujemy kulę czarną? Rozwiązanie:
Wprowadźmy oznaczenia:
A - za drugim razem wyciągnęliśmy kulę czarną, B - za pierwszym razem wyciągnęliśmy kulę białą, C - za pierwszym razem wyciągnęliśmy kulę czarną.
Zastosujemy wzór na prawdopodobieństwo całkowite:
P(A) = P(A|B)⋅P(B) + P(A|C)⋅P(C)
Jeśli za pierwszym razem wyciągnęliśmy kulę białą (zdarzenie B), to dorzuciliśmy do urny 2 kule białe,
zatem mieliśmy łącznie 7 kul: 3 czarne i 4 białe. Czyli: P(A|B) = 3 / 7
Jeśli za pierwszym razem wyciągnęliśmy kulę czarną (zdarzenie C), to dorzuciliśmy do urny 2 kule czarne,
zatem mieliśmy łącznie 7 kul: 5 czarnych i 2 białe. Czyli: P(A|C) = 5 / 7
Zatem:
P(A)=P(A|B)⋅P(B)+P(A|C)⋅P(C) =
