POLITECHNIKA GDA‹SKA

POLITECHNIKA GDA‹SKA Gda«sk, lipiec 1990 r.

Tematy I cz¦±ci egzaminu z matematyki

dla kandydatów ubiegaj¡cych si¦ o przyj¦cie na I rok studiów dziennych.

Kandydat wybieraª 3 dowolne zadania. Rozwi¡zania wybranych zada« oceniane byªy w skali 010 punktów. Egzamin trwaª 120 minut.

1. Zbada¢ przebieg zmienno±ci funkcji

y = x²+ x + 1 x² − x + 1,

sporz¡dzi¢ jej wykres i na tej podstawie ustali¢ ile pierwiastków posiada rów- nanie

x²+ x + 1 x²− x + 1 = m w zale»no±ci od parametru m.

2. Dla jakich warto±ci parametru t, przy dowolnej warto±ci parametru k, równa- nie

x²+ x√

k²+ 4 − k log¹

2(t + 1) = 0 posiada dwa ró»ne pierwiastki?

3. Rozwi¡za¢ nierówno±¢

n→∞lim (^qn²+ (2 + sin 2x)n + 4 − n) < 1 + 1

2cos 2x.

4. Dwie kule o promieniach R i x (R > x) s¡ styczne zewn¦trznie. Przy jakim x obj¦to±¢ sto»ka opisanego na tych kulach b¦dzie najmniejsza?

5. W urnie U1 znajduj¡ si¦ dwie kule czarne i pewna ilo±¢ kul biaªych. W urnie U₂ znajduje si¦ 5 kul biaªych i 3 czarne. Z pierwszej urny losujemy dwie kule i przekªadamy je do urny drugiej. Nast¦pnie z urny drugiej losujemy jedn¡ kul¦.

Poda¢ minimaln¡ ilo±¢ biaªych kul znajduj¡cych si¦ w urnie U1, je±li wiadomo,

»e prawdopodobie«stwo wylosowania kuli biaªej z urny U2 jest wi¦ksze od 0, 6.

POLITECHNIKA GDA‹SKA Gda«sk, lipiec 1990 r.

Tematy II cz¦±ci egzaminu z matematyki

dla kandydatów ubiegaj¡cych si¦ o przyj¦cie na I rok studiów dziennych.

Wszystkie zadania byªy oceniane w skali 02 punkty. Egzamin trwaª 120 minut.

1. Naszkicowa¢ wykres funkcji y = x|x + 1|.

2. Obliczy¢ cos²105^◦− sin²105^◦. 3. Rozwi¡za¢ nierówno±¢ ||x| − 1| < 2.

4. Obliczy¢ granic¦ lim_n→∞^1 − 1 2¹ + 1

2² − 1

2³ + . . . + (−1)ⁿ 1 2ⁿ

.

5. Wektor ~a = [3, 7] przedstawi¢ jako kombinacj¦ liniow¡ wektorów ~e1 = [2, 3]

i ~e2 = [−1, 1].

6. Obliczy¢ granice lim

x→0x sin1

x i lim

x→+∞x sin1 x. 7. Dana jest funkcja f(x) = log¹

3(x + 1). Rozwi¡za¢ nierówno±¢ f(f(x)) > 0.

8. Rozwi¡za¢ równanie 2^2x+ 4^x = 5^x.

9. Poda¢ równanie jednej z prostych, na której le»y ±rodek okr¦gu opisanego na trójk¡cie o wierzchoªkach A(1, 3), B(2, 7) i C(3, 10).

10. Dla jakich warto±ci parametru k funkcja f(x) = x³− x²+ kx b¦dzie rosn¡ca w caªym zbiorze liczb rzeczywistych?

11. Dane s¡ zbiory

A = {(x, y): (x − 1)²+ y² ¬ 1} oraz B = {(x, y): y ­ x}.

Naszkicowa¢ zbiór A ∩ B i obliczy¢ jego pole.

12. W oparciu o denicj¦ pochodnej obliczy¢ f⁰(1) dla funkcji f(x) =√

x²+ 3. 13. Zdarzenia losowe A i B s¡ rozª¡czne i P (A) = ¹₃, a P (B) = ¹₂. Obliczy¢

P (A ∪ B) oraz P (A − B).

14. Napisa¢ równanie sycznej do krzywej y = x³+x²+x+1równolegªej do prostej y = ²₃x.

15. Sformuªowa¢ twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.