Index of /rozprawy2/11627

Pełen tekst

(1)Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Wydział Matematyki Stosowanej. ROZPRAWA DOKTORSKA. Rozwiazania ˛ równan´ całkowych Volterry–Stieltjesa ˙ w klasie funkcji zbieznych w nieskonczono´ ´ sci. Agnieszka Dubiel. Prof. dr hab. Józef Bana´s Dr Tomasz Zajac ˛. Kraków 2019.

(2) ˙ c serdeczne podziekowania Pragne˛ złozy´ ˛ dla promotora prof. dr hab. Józefa Banasia oraz promotora pomocniczego dr Tomasza Zajaca ˛ za pomoc otrzymana˛ przy realizacji niniejszej pracy doktorskiej.

(3) tekst. Spis tre´sci Wst˛ep. 4. 1. Oznaczenia i wiadomo´sci wst˛epne. 8. 2. Równanie całkowe Volterry–Stieltjesa w przestrzeni C [0, T ]. . 18. 3. Równanie całkowe Volterry–Stieltjesa w przestrzeni BC (R+ ). 30. 4. Kwadratowe równanie całkowe Volterry–Stieltjesa w przestrzeni BC (R+ ). 42. Literatura. 54.

(4) tekst. ˛ Wstep Wst˛ep Rozprawa doktorska po´swiecona ˛ jest badaniu rozwiaza ˛ n´ nieliniowych równan´ całkowych Volterry–Stieltjesa w przestrzeni funkcji ciagłych ˛ i ograniczonych na półosi rzeczywistej oraz w przestrzeni funkcji ciagłych ˛ na przedziale ograniczonym. Liniowe jak i nieliniowe równania całkowe znajduja˛ szerokie zastosowania w fizy˙ ce, astronomii, ekonomii, biologii, mechanice, inzynierii czy elektrochemii. Odgrywaja˛ ˙ kluczowa˛ role˛ w opisie teorii ruchu kołowego, teorii sterowania, teorii transportakze tu, kinetyczno-molekularnej teorii gazów, rozchodzenia sie˛ promieniowania oraz teorii kolejek [6, 19, 22, 25, 28, 30, 31, 36, 42, 43] . ˙ Wiele równan´ całkowych mozna traktować jako szczególne przypadki równan´ całkowych Volterry–Stieltjesa, Hammersteina–Stieltjesa czy Urysohna–Stieltjesa. Badanie ˙ takich typów równan´ całkowych jest znacznie prostsze i pozwala uzyskać wyniki moz˙ liwe do wykorzystania dla szerszej klasy równan. ´ Przeglad ˛ róznych typów równan´ cał˙ znale´zc´ na przykład w pracach [7, 8, kowych Volterry–Stieltjesa i ich zastosowan´ mozna 10, 17, 18, 22, 23, 25, 26, 27, 33, 36, 37, 41, 43, 44]. Warto równiez˙ wspomnieć o równaniach całkowych Wienera–Hopfa, bed ˛ acych ˛ szczególnym przypadkiem równania całkowego Volterry–Stieltjesa, które znalazły liczne zastosowania. Zostały one wykorzystane miedzy ˛ innymi do opisania pewnych problemów zwiazanych ˛ z równowaga˛ radiacyjna˛ [29], teoria˛ dyfrakcji [21] oraz odbiciem fal elektro˙ w dynamicznej magnetycznych samolotu [20]. Równania te wykorzystywane sa˛ takze ˙ ˙ [4, 43]. spre˛ zysto´ sci [1] oraz dyfrakcji fal samolotu poprzez kolisty stozek ˙ c równiez˙ nieco ogólniejsze, tak zwaW przedkładanej pracy bedziemy ˛ rozwaza´ ne kwadratowe równania całkowe Volterry–Stieltjesa. Równania te łacz ˛ a˛ teorie˛ zwykłych równan´ całkowych Volterry–Stieltjesa z teoria˛ kwadratowych równan´ i pozwalaja˛ otrzymać wyniki dotyczace ˛ istnienia rozwiaza ˛ n´ dla szerszej klasy równan´ całkowych [7, 8, 12, 13, 42]. Główne wyniki tej pracy zawarte sa˛ w Twierdzeniach 2.3, 3.3 i 4.2. W dowodach tych twierdzen´ wykorzystuje sie˛ dwa podstawowe twierdzenia o punkcie stałym. Pierwsze z tych twierdzen´ to klasyczna juz˙ zasada Schaudera dotyczaca ˛ istnienia punktów stałych dla operatora pełnociagłego ˛ lub tez˙ operatora ciagłego, ˛ okre´slonego na zbiorze zwartym. Drugie ze wspomnianych twierdzen´ to pochodzace ˛ z 1955 r. twierdzenie Darbo, bed ˛ ace ˛ uogólnieniem twierdzenia Schaudera i zarazem klasycznego twierdzenia Banacha o od˙ acym. wzorowaniu zw˛ezaj ˛ Uogólnienie twierdzenia Schaudera zawarte w twierdzeniu ˙ zamiast operatora pełnociagłego Darbo polega na tym, ze ˛ (lub operatora ciagłego ˛ na ˙ sie˛ operator ciagły, zbiorze zwartym) rozwaza ˛ który zmniejsza tzw. miare˛ niezwarto˙ twierdzenie s´ ci zbioru (inaczej: zmniejsza stopien´ niezwarto´sci zbioru). Okazuje sie, ˛ ze Darbo jest bardzo wygodnym narzedziem ˛ w nieliniowej analizie funkcjonalnej i bywa czesto ˛ stosowane [3, 9, 14, 15]. W przedstawionej rozprawie bedziemy ˛ równiez˙ wykorzystywać inne narzedzia ˛ i techniki stosowane w szeroko rozumianej analizie matematycznej, jak np. teorie˛ funkcji o wa-. 4.

(5) riacji ograniczonej czy tez˙ teorie˛ dotyczac ˛ a˛ całki Riemanna–Stieltjesa [5, 34]. W pracy zostana˛ omówione trzy typy równan´ całkowych. Rozpoczniemy od omówienia rozwiaza ˛ n´ równania całkowego typu Volterry–Stieltjesa. ˛ Dyskusje˛ rozwiazalnos´ ci tego równania w funkcyjnej przestrzeni Banacha C [0, T ] przeprowadzimy w rozdziale drugim niniejszej rozprawy. Wspomniane równanie całkowe ma postać x (t) = a(t) +. Z t 0. f s, x (s) ds g(t, s),. (1). . gdzie t ∈ I = [0, T ], T > 0, g(t, s) = g : ∆ T → R oraz ∆ T = (t, s) : 0 6 s 6 t 6 T . W nastepnym ˛ rozdziale, rozdziale trzecim, zajmiemy sie˛ badaniem istnienia rozwiaza ˛ n´ równania całkowego x (t) = a(t) +. Z t 0. f t, s, x (s) ds g(t, s),. (2). . gdzie t ∈ R+ = [0, ∞), g(t, s) = g : ∆ → R oraz ∆ = (t, s) : 0 6 s 6 t . Rozwiaza ˛ n´ tych bedziemy ˛ poszukiwać w funkcyjnej przestrzeni Banacha BC (R+ ) zło˙ zonej z funkcji rzeczywistych okre´slonych, ciagłych ˛ i ograniczonych na półosi R+ i unormowanych norma˛ supremum. W ostatniej cze´ ˛ sci pracy zawartej w rozdziale czwartym, bedziemy ˛ zajmować sie˛ uogólnieniem wyników otrzymanych w rozdziale trzecim dla równania całkowego (2). ˙ c kwadratowe równanie całkowe VolMianowicie, w tym rozdziale bedziemy ˛ rozwaza´ terry–Stieltjesa majace ˛ postać x (t) = a(t) + u t, x (t). t. Z 0. f t, s, x (s) ds g(t, s),. (3). gdzie t ∈ R+ , g(t, s) = g : ∆ → R. ˙ wyniki dotyczace Zwróćmy uwage˛ na to, ze ˛ równania całkowego (2) zawarte w rozdziale trzecim zostały uzyskane bez posługiwania sie˛ technika˛ miar niezwarto´sci, a jedynie przy pomocy klasycznego twierdzenia Schaudera o punkcie stałym. Taka sytuacja była ˙ ˙ równanie całkowe (2) nie jest równaniem kwadratowym. Okamozliwa dzieki ˛ temu, ze ˙ postepowania ˙ zuje sie, ˛ ze ˛ takiego nie mozna zastosować dla równania całkowego (3), poniewaz˙ w tym przypadku zmuszeni jeste´smy niejako wspomóc sie˛ technika˛ miar niezwarto´sci. Z przedstawionych wzgledów ˛ rezultaty dotyczace ˛ równan´ całkowych (2) i (3) ˙ traktować jako niezalezne ˙ od siebie. Z drugiej strony, teoria równania całkowego nalezy (2) jest prostsza od tej zastosowanej do równania (3). ˙ kwadratowe równanie całkowe (3) obejmuje takze ˙ wieWarto zwrócić uwage˛ na to, ze ˙ le innych, ciekawych, szczególnych przypadków, jezeli tylko odpowiednio dobierzemy funkcje˛ g = g(t, s) oraz u t, x (t) . Jednym ze szczególnych przypadków równania całkowego (3), jest równanie Volterry–Chandrasekhara majace ˛ nastepuj ˛ ac ˛ a˛ postać: Z t f t, s, x (s) x (t) = a(t) + v t, x (t) ds, (4) t+s 0 gdzie t ∈ R+ . Równanie całkowe (4) jest uogólnieniem znanego równania Chandrasekhara, opisujacego ˛ rozchodzenie sie˛ promieniowania.. 5.

(6) ˙ we´zmiemy funkcje˛ g(t, s) = g : ∆ → R majac Rzeczywi´scie, jezeli ˛ a˛ postać g(t, s) =. t ln t+t s 0. gdy 0 < s 6 t , gdy t = 0. ˙ wymienioto równanie całkowe Volterry–Stieltjesa postaci (3) jest uogólnieniem wyzej nego równania całkowego [7] . Rzeczywi´scie wtedy mamy ds g(t, s) =. ∂ t g(t, s) ds = ds. ∂s t+s. ˙ ˙ być Innym ciekawym przypadkiem rozwazanego w tej pracy równania (3), moze równanie całkowe Volterry–Liouville’a rzedu ˛ ułamkowego majace ˛ postać v t, x (t) Z t f t, s, x (s) ds, (5) x (t) = a(t) + 1− α Γ(α) 0 (t − s) ˙ α ∈ (0, 1]. gdzie t ∈ R+ oraz Γ oznacza funkcja˛ gamma Eulera. Ponadto zakładamy, ze Rzeczywi´scie, biorac ˛ jako funkcje˛ g(t, s) = g : ∆ → R funkcje˛ postaci g(t, s) =. 1 α t − (t − s)α , α. ˙ otrzymujemy, ze ds g(t, s) =. 1 ds. ( t − s )1− α. ˙ równanie całkowe (5) jest szczególnym przypadkiem równania całkowePokazuje to, ze go v t, x (t) Z t x (t) = a(t) + f t, s, x (s) ds g(t, s), (6) Γ(α) 0 ˙ które jest niewielkim uogólnieniem rozwazanego przez nas równania całkowego (3) [7] . Równanie całkowe Erdélyi–Kobera to kolejny przykład równania, które jest szcze gólnym przypadkiem kwadratowego równania całkowego Volterry–Stieltjesa [7] . Ma ono nastepuj ˛ ac ˛ a˛ postać: Z t γm s f t, s, x (s) 1 x (t) = a(t) + ds, (7) Γ ( α ) 0 ( t m − s m )1− α gdzie m, γ, α ∈ R+ , α ∈ (0, 1], t ∈ R+ . Ponadto symbol Γ jest funkcja˛ gamma. ˙ ˙ Zeby uzasadnić powyzsze stwierdzenie, wystarczy za funkcje˛ g przyja´ ˛c g(t, s) = g : ∆ → R majac ˛ a˛ postać g(t, s) = tαm − (tm − sm )α . Mamy wówczas ds g(t, s) =. αmsm−1 ds. ( t m − s m )1− α. 6.

(7) Nastepnym ˛ bardzo interesujacym ˛ przykładem jest równanie całkowe Volterry–Wienera–Hopfa [22, 40, 43]. Równanie to ma nastepuj ˛ ac ˛ a˛ postać: x (t) = a(t) +. Z t. k (t − s) f t, s, x (s) ds,. 0. (8). gdzie t ∈ R+ . ˙ ˙ t ∈ [0, T ]. Wówczas równanie (8) nosi nazw˛e równania całkowego Załózmy dalej, ze ˙ ˙ ˙ ˙ funkcja f nie zalezaleznego od róznicy argumentów. Je´sli dodatkowo załozymy, ze ˙ od zmiennej t, to wówczas równanie (8) jest szczególnym przypadkiem równania zy ˙ całkowego (2.1) rozwazanego w drugim rozdziale pracy [8]. ˙ równanie (8) mozna ˙ traktować jako szczególny przypadek W celu uzasadnienia faktu, ze równania całkowego Volterry–Stieltjesa, we´zmy funkcje˛ g(t, s) = g : ∆ → R majac ˛ a˛ postać g(t, s) =. Z s. k (t − z)dz.. 0. Wtedy dostajemy ds g(t, s) =. ∂ ∂s. Z s. k (t − z)dz ds = k (t − s)ds.. 0. ˙ równanie całkowe (8) jest szczególnym przypadkiem równania całkowePokazuje to, ze go (3). Wyniki zawarte w tej pracy stanowia˛ uogólnienie rezultatów otrzymanych w [7, 8, 12, 18, 44] oraz poprawiaja˛ niektóre wyniki otrzymane w [8].. 7.

(8) tekst. Rozdział I ˛ Oznaczenia i wiadomos´ ci wstepne 1. Oznaczenia i wiadomo´sci wst˛epne. W rozdziale tym przedstawimy pewne podstawowe fakty i oznaczenia, które bed ˛ a˛ po˙ mocne w dalszych rozwazaniach. Rozpocznijmy od przypomnienia definicji funkcji rosnacej ˛ i malejacej, ˛ która˛ bedzie˛ my sie˛ posługiwać w kolejnych rozdziałach. Niech D bedzie ˛ niepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych R oraz niech dana bedzie ˛ funkcja x : D → R oraz zbiór A ⊂ D, A 6= ∅. ˛ na zbiorze A, je´sli dla wszystkich t1 , t2 ∈ A takich, Definicja 1.1. Funkcja x jest rosnaca ˙ t1 < t2 spełniony jest nastepuj ze ˛ acy ˛ warunek: x (t2 ) − x (t1 ) > 0. ˙ x jest malejaca ˛ na zbiorze A, je´sli dla wszystkich t1 , t2 ∈ A takich, Podobnie mówimy, ze ˙ t1 < t2 spełniony jest nastepuj ze ˛ acy ˛ warunek: x (t2 ) − x (t1 ) 6 0. W dalszym ciagu ˛ bedziemy ˛ posługiwać sie˛ równiez˙ nastepuj ˛ acym ˛ warunkiem, który ˙ jest równowazny istnieniu skonczonej ´ granicy funkcji w nieskonczono´ ´ sci. Warunek ten jest dobrze znany jako warunek Cauchy’ego w nieskonczono´ ´ sci por. np. [32] . ˙ ˙ dana jest funkcja W celu precyzyjnego sformułowania tego warunku załózmy, ze x : R+ → R. ˙ funkcja x = x (t) spełnia warunek Cauchy’ego w nieDefinicja 1.2. Bedziemy ˛ mówić, ze ˙ skonczono´ ´ sci, jezeli

(9)

(10) ∀ε>0 ∃T >0 ∀t,s>T

(11) x (t) − x (s)

(12) < ε. ˙ wspomnieli´smy, skonczona Jak juz˙ wyzej ´ granica limt→∞ x (t) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja x spełnia warunek Cauchy’ego w nieskonczono´ ´ sci. Przejd´zmy teraz do podania dalszych faktów zwiazanych ˛ z nasza˛ praca. ˛ Symbolem C [0, T ] oznaczamy przestrzen´ wszystkich funkcji rzeczywistych i ciagłych ˛ na przedziale [0, T ], natomiast przez B [0, T ] przestrzen´ wszystkich funkcji rzeczywistych i ograniczonych na przedziale [0, T ]. Symbolem BC (R+ ) oznaczamy przestrzen´ ˙ złozonych z wszystkich funkcji rzeczywistych okre´slonych, ciagłych ˛ i ograniczonych na R+ .. 8.

(13) W przestrzeniach C [0, T ] oraz BC (R+ ) definiujemy klasyczne normy

(14).

(15) || x ||T = max

(16) x (t)

(17) : t ∈ [0, T ] ,. (1.1).

(18).

(19) || x ||∞ = sup

(20) x (t)

(21) : t ∈ R+ .. (1.2). gdzie T > 0, oraz. Przestrzen´ C [0, T ] z norma˛ okre´slona˛ równo´scia˛ (1.1) oraz przestrzen´ BC (R+ ) wraz z norma˛ (1.2) tworza˛ przestrzenie Banacha. ˙ W dalszych rozwazaniach, celem dokonania uproszczen, ´ zamiast symbolu || x ||∞ bedzie˛ my pisać || x ||, o ile nie bedzie ˛ to prowadzić do nieporozumien. ´ Wprowad´zmy teraz kilka podstawowych oznaczen, ´ którymi bedziemy ˛ sie˛ dalej posługiwać. Niech E bedzie ˛ rzeczywista˛ przestrzenia˛ Banacha z norma˛ || · ||, wówczas symbol B( x, r ) oznacza domkniet ˛ a˛ kule˛ o s´ rodku w punkcie x i promieniu r. Kule˛ B(θ, r ), gdzie θ jest wektorem zerowym w E, oznaczmy przez Br . Dla dowolnego podzbioru X przestrzeni Banacha E poprzez X okre´slamy domkniecie ˛ ˙ zbioru X, natomiast ConvX oznacza domkniet ˛ a˛ powłoke˛ wypukła˛ zbioru X. Uzywa´ c ˙ standardowych oznaczen´ X + Y oraz λX aby opisać podstawowe opebedziemy ˛ takze racje algebraiczne na podzbiorach przestrzeni E. Przypomnimy teraz pewne podstawowe własno´sci zwiazane ˛ z wariacja˛ funkcji [5]. Pojecie ˛ wariacji funkcji, lub inaczej wahania funkcji, zostało wprowadzone przez francuskiego matematyka Camilla Jordana pod koniec XIX wieku. Wariacje˛ funkcji f na W Wb ˙ przedziale [ a, b] oznaczamy symbolem ba f . Jezeli a f < ∞, to funkcje˛ f nazywamy funkcja˛ o wariacji ograniczonej na przedziale [ a, b]. Zbiór wszystkich funkcjirzeczywistych o wariacji ograniczonej na przedziale [ a, b] oznaczamy poprzez BV [ a, b] . ˙ Wariacja funkcji posiada wiele uzytecznych własno´sci. ˙ (a) Suma, róznica, iloczyn i kombinacja liniowa dwóch funkcji o wariacji ograniczonej na przedziale [ a, b] jest funkcja˛ o wariacji ograniczonej na tym przedziale. Ponadto Wb Wb Wb a ( f + g ) 6 a f + a g. W szczególno´sci BV [ a, b] jest przestrzenia˛ wektorowa. ˛ ˙ dla dowolnej funkcji (b) Wariacja jest funkcja˛ addytywna˛ przedziału. Oznacza to, ze Wb W W f : [ a, b] → R oraz dla dowolnego c ∈ ( a, b) zachodzi a f = ca f + bc f . W szczególno´sci. Wd c. f 6. Wb a. f , dla [c, d] ⊂ [ a, b].. ˙ (c) Kazda funkcja o wariacji ograniczonej na przedziale [ a, b] jest ograniczona na tym przedziale. ˙ (d) Kazda funkcja monotoniczna na przedziale [ a, b

(22) ] jest funkcja˛ o wariacji ograniczo

(23) Wb

(24) nej na tym przedziale oraz a f = f (b) − f ( a)

(25) . Ma miejsce równiez˙ nastepuj ˛ ace ˛ twierdzenie [5]: ˛ na przedziale [ a, b] wtedy i tylko Twierdzenie 1.3. Jez˙ eli f ∈ BV [ a, b] , to funkcja f jest ciagła Wx ˛ na [ a, b]. wtedy, gdy funkcja x 7→ a f jest ciagła Funkcje˛ x 7→. Wx a. f bedziemy ˛ krócej oznaczać symbolem. 9. W. f ( x )..

(26) ˙ ˙ Jezeli rozwazymy funkcje˛ dwóch zmiennych u(t, s) = u : [ a, b] × [c, d] → R, to Wq wówczas symbolem t= p u(t, s) oznaczamy wariacje˛ funkcji t 7→ u(t, s) na przedziale Wq [ p, q] ⊂ [ a, b]. W analogiczny sposób definiujemy wielko´sc´ s= p u(t, s). Przytoczymy teraz twierdzenie zwiazane ˛ z funkcja˛ o wariacji ograniczonej. Twierdzenie to zostało sformułowane przez Camilla Jordana i pozwoliło upro´scić teorie˛ funkcji o wariacji ograniczonej oraz stworzyć wygodna˛ teorie˛ zwiazan ˛ a˛ z całka˛ Riemanna– Stieltjesa [5, 32]. Twierdzenie 1.4 (Jordana). Funkcja f : [ a, b] → R ma wariacj˛e ograniczona˛ na przedziale ˛ [ a, b] wtedy i tylko wtedy, gdy moz˙ e być przedstawiona w postaci róz˙ nicy dwóch funkcji rosnacych na tym przedziale. ˙ n´ jest całka Riemanna–Stieltjesa. PrzyNieodłacznym ˛ elementem dalszych rozwaza pomnimy teraz pewne fakty z nia˛ zwiazane ˛ [5, 26, 34]. Niech f oraz g bed ˛ a˛ funkcjami rzeczywistymi okre´slonymi na przedziale [ a, b]. Całk˛e Riemanna-Stieltjesa (lub krócej całk˛e Stieltjesa) z funkcji f wzgledem ˛ funkcji g oznaczamy symbolem Z b a. f ( x )dg( x ).. (1.3). ˙ ˙ jezeli ˙ Waznym faktem jest, ze funkcja f jest ciagła, ˛ natomiast funkcja g ma wariacje˛ ograniczona, ˛ to istnieje całka Riemanna–Stieltjesa (1.3) [5]. Przypomnijmy teraz twierdzenie, które pozwala zredukować całke˛ Stieltjesa do całki Riemanna [5, 32]. Uogólnienie tego twierdzenia zostanie podane w dalszym ciagu ˛ tego rozdziału. Twierdzenie 1.5. Niech g ∈ C1 [ a, b] i niech funkcja f b˛edzie całkowalna w sensie Riemanna. Wtedy funkcja f jest całkowalna w sensie Stieltjesa wzgl˛edem funkcji g i ma miejsce równo´sc´ Z b a. Z b. f ( x )dg( x ) =. a. f (t) g0 (t)dt,. gdzie całk˛e po prawej stronie rozumiemy jak zwykła˛ całk˛e Riemanna. ˙ pewne podstawowe informacje zwiazane Podamy takze ˛ z funkcjami bezwzglednie ˛ ciagłymi ˛ [5, 32, 38, 39] . ˙ ˛ a˛ je´sli dla kazdego Definicja 1.6. Funkcje˛ f : [ a, b] → R nazywamy bezwzgl˛ednie ciagł ˙ dla kazdego ˙ ε > 0 istnieje δ > 0 taka, ze skonczonego ´ ciagu ˛ parami rozłacznych ˛ podprzedziałów ( ak , bk ) przedziału [ a, b] nastepuj ˛ aca ˛ implikacja jest prawdziwa:. ∑(bk − ak ) < δ =⇒ ∑ | k. f (bk ) − f ( ak ) |< ε.. k. Zbiór funkcji bezwzglednie ˛ ciagłych ˛ na przedziale [ a, b] oznaczamy symbolem AC [ a, b] . ˙ uogólnienie Twierdzenia 1.5 por. [5, 32, 39] . Przytoczymy teraz zapowiadane wyzej Twierdzenie 1.7. Jez˙ eli f ∈ C [ a, b] oraz g ∈ AC [ a, b] , to funkcja f jest całkowalna w sensie Riemanna–Stieltjesa wzgl˛edem funkcji g i ma miejsce równo´sc´ Z b a. f ( x )dg( x ) =. Z b. 10. a. f ( x ) g0 ( x )dx,.

(27) ˛ a˛ prawie wsz˛edzie na przedziale [ a, b] pochodna˛ funkcji g oraz przy czym g0 oznacza istniejac całka po prawej stronie jest rozumiana jako całka Lebesgue’a. ˙ z Twierdzenia 1.5, a przede wszystkim z jego uogólnioZwróćmy uwage˛ na to, ze ˙ nej wersji zawartej w powyzszym Twierdzeniu 1.7, korzystali´smy juz˙ we Wstepie ˛ omawiajac ˛ szczególne przypadki równania Volterry–Stieltjesa takie, jak np. równanie całkowe Volterry–Chandrasekhara (4), równanie całkowe Volterry–Liouville’a rzedu ˛ ułam˙ kowego (5), równanie całkowe Erdélyi–Kobera (7) czy tez równanie całkowe Volterry– Wienera–Hopfa (8). Kolejne twierdzenia łacz ˛ a˛ pojecia ˛ bezwzglednej ˛ ciagło´ ˛ sci, całkowalno´sci i wariacji funkcji a jednocze´snie wyja´sniaja˛ pewne fakty wykorzystane w sformułowaniu Twierdzenia 1.7 [5, 32]. Twierdzenie 1.8. Dla funkcji f o warto´sciach rzeczywistych okre´slonej na przedziale [ a, b] ˛ warunki sa˛ równowaz˙ ne: nast˛epujace ˛ (1) Funkcja f jest bezwzgl˛ednie ciagła. (2) Funkcja f ma pochodna˛ f 0 prawie wsz˛edzie i pochodna ta jest całkowalna w sensie Lebesgue’a oraz dla wszystkich x ∈ [ a, b] zachodzi f ( x ) = f ( a) +. Z x a. f 0 (t)dt.. (3) Istnieje funkcja g całkowalna w sensie Lebesgue’a na przedziale [ a, b] taka, z˙ e dla wszystkich x ∈ [ a, b] Z x. f ( x ) = f ( a) +. a. g(t)dt.. ˙ ˙ ˙ sc´ Jezeli powyzsze warunki sa˛ spełnione, to f 0 = g prawie wszedzie. ˛ Równowazno´ pomiedzy ˛ warunkami (1) i (3) znana jest jako podstawowe twierdzenie rachunku całkowego Lebesgue’a. Twierdzenie 1.9. Niech f ∈ AC [ a, b] . Wtedy ˛ (1) Funkcja f ma wariacj˛e ograniczona. ˛ sposób: (2) Wariacja wyraz˙ a si˛e w nast˛epujacy b _. f =. Z b

(28). a.

(29)

(30) f 0 (t)

(31) dt.. a. ˛ sposób: (3) Funkcja wariacji wyraz˙ a si˛e w nast˛epujacy _. Z x

(32)

(33)

(34) f 0 (t)

(35) dt, f (x) = a. dla x ∈ [ a, b]. ˙ Przytoczymy teraz dwa bardzo wazne lematy [5], które bedziemy ˛ niejednokrotnie wykorzystywać. Lemat 1.10. Je´sli funkcja f jest całkowalna w sensie Stieltjesa na przedziale [ a, b] ze wzgl˛edu na funkcj˛e o ograniczonej wariacji g, to ma miejsce nierówno´sc´

(36) Z b

(37) Z b x

(38)

(39)

(40)

(41) _

(42)

(43) 6

(44) f ( x )

(45) d f ( x ) dg ( x ) g .

(46)

(47) a. a. 11. a.

(48) Lemat 1.11. Niech f 1 , f 2 b˛eda˛ funkcjami całkowalnymi w sensie Stieltjesa na przedziale [ a, b] ze ˛ a˛ g takimi, z˙ e f 1 ( x ) 6 f 2 ( x ) dla x ∈ [ a, b]. Wówczas wzgl˛edu na funkcj˛e rosnac Z b a. f 1 ( x )dg( x ) 6. Z b a. f 2 ( x )dg( x ).. ˙ Ze wzgledu ˛ na postać równan´ całkowych rozwazanych przez nas w kolejnych roz˙ c całki Stieltjesa majace działach, w dalszej cze´ ˛ sci pracy bedziemy ˛ rozwaza´ ˛ postać Z b a. Z b a. x (s)ds g(t, s),. x (t, s)ds g(t, s),. ˙ gdzie funkcje dwóch zmiennych g, x : [ a, b] × [c, d] → R spełniaja˛ odpowiednie załozenia gwarantujace ˛ istnienie takich całek, np. funkcja x (t, s) = x jest ciagła ˛ na [ a, b] × [c, d] oraz ˙ funkcja s 7→ g(t, s) jest o wariacji ograniczonej na [c, d] dla kazdego ustalonego t ∈ [ a, b]. Symbol ds oznacza całkowanie ze wzgledu ˛ na zmienna˛ s. Przypomnimy teraz klasyczne kryterium Arzeli–Ascoliego. Najpierw jednak przytoczymy definicje˛ zbioru relatywnie zwartego. Definicja 1.12. Niech (X , d) bedzie ˛ przestrzenia˛ metryczna˛ i niech A ⊂ X . Zbiór A ˙ ˙ nazywamy zbiorem relatywnie zwartym w przestrzeni (X , d), jezeli z kazdego ciagu ˛ ˙ wybrać podciag ˙ { xn } ⊂ A mozna ˛ zbiezny w przestrzeni X . ˙ temu, ze ˙ domkniecie Relatywna zwarto´sc´ zbioru A jest równowazna ˛ zbioru A jest zbiorem zwartym w przestrzeni X . ˙ ˙ M jest niepustym i zwartym podzbiorem przestrzeni W dalszym ciagu ˛ załózmy, ze metrycznej (X , d). Symbolem C ( M) oznaczmy zbiór wszystkich funkcji rzeczywistych ˙ zbiór C ( M) wyposazymy ˙ okre´slonych i ciagłych ˛ na zbiorze M. Jezeli w metryke˛ supremum (w norme˛ supremum), to otrzymamy przestrzen´ metryczna˛ zupełna˛ C ( M ) jest ˙ jest zbiorem ograniczonym przestrzenia˛ Banacha . O zbiorze A ⊂ C ( M) powiemy, ze ˙ ˙ ˙ (lub,

(49)

(50) ze funkcje ze zbioru A sa˛ wspólnie ograniczone), jezeli istnieje stała Q > 0 taka, ze

(51) x (t)

(52) 6 Q dla wszystkich x ∈ A i dla kazdego ˙ t ∈ M. ˙ funkcje ze zbioru A sa˛ jednakowo ciagłe, ˙ spełniony jest waru˛ Bedziemy ˛ mówić, ze jezeli nek h i

(53)

(54) ∀ε>0 ∃δ>0 ∀ x∈ A ∀t,s∈ M d(t, s) 6 δ ⇒

(55) x (t) − x (s)

(56) 6 ε . Twierdzenie 1.13 (Arzeli–Ascoliego). Niech M b˛edzie zbiorem zwartym, zawartym w pewnej ˛ przestrzeni metrycznej oraz niech X b˛edzie podzbiorem złoz˙ onym z funkcji jednostajnie ciagłych w zbiorze M. Zbiór X jest relatywnie zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje ze zbioru X sa˛ ˛ wspólnie ograniczone i jednakowo ciagłe. ˙ Powyzsze twierdzenie pozwala nam zbadać relatywna˛ zwarto´sc´ zbiorów w przestrzeni C [0, T ] , gdzie T > 0. Przedstawimy teraz kolejne twierdzenie, które jest warunkiem wystarczajacym ˛ na rela tywna˛ zwarto´sc´ zbioru w przestrzeni BC (R+ ) [11, 14] .. 12.

(57) Twierdzenie 1.14. Niech X b˛edzie niepustym i ograniczonym podzbiorem przestrzeni Banacha ˛ do X sa˛ lokalnie jednakowo ciagłe ˛ na R+ to znaczy, z˙ e dla BC (R+ ). Załóz˙ my, z˙ e funkcje nalez˙ ace ˙ ˛ ˛ kazdego T > 0 funkcje ze zbioru X sa jednakowo ciagłe na przedziale [0, T ]. Ponadto zakładamy, ˛ warunek: z˙ e spełniony jest nast˛epujacy

(58)

(59) ∀ε>0 ∃T >0 ∀ x∈X ∀t,s∈[T,∞)

(60) x (t) − x (s)

(61) 6 ε. Wtedy zbiór X jest relatywnie zwarty w przestrzeni BC (R+ ). ˙ ˙ drugi z warunków załozonych ˙ ˙ Zauwazmy, ze w powyzszym twierdzeniu oznacza ˙ funkcje ze zbioru X spełniaja˛ warunek Cauchy’ego w niena podstawie Definicji 1.2, ze ˙ funkcje te skonczono´ ´ sci jednostajnie ze wzgledu ˛ na zbiór X. Stad ˛ wnioskujemy, ze ˙ sa˛ zbiezne ´ sci do skonczonych ´ granic z "jednakowa˛ predko´ ˛ scia" ˛ por. w nieskonczono´ [11, 14] . W rozdziale drugim i trzecim podczas dowodu głównych twierdzen, ´ bedziemy ˛ korzystać z twierdzenia Schaudera o punkcie stałym. Niech zbiór C bedzie ˛ niepustym, domknietym ˛ i wypukłym podzbiorem przestrzeni ˙ odwzorowaniem pełnociagłym ˛ Banacha E. Przypomnijmy, ze nazywamy odwzorowanie ˙ zbiór T (C ) jest relatywnie zwarty w E. Odwzorowanie to ciagłe ˛ T : C → C takie, ze ˙ nazywa sie˛ takze odwzorowaniem zwartym. Twierdzenie 1.15 (Schaudera o punkcie stałym). Je´sli K jest niepustym, domkni˛etym i wypukłym podzbiorem przestrzeni Banacha E, to dowolne odwzorowanie T : K → K, które jest ˛ pełnociagłe, ma punkt stały. Przypomnimy teraz pojecie ˛ modułu ciagło´ ˛ sci. Niech X ⊂ C [0, T ] bedzie ˛ niepustym i ograniczonym zbiorem. Ustalmy ε > 0 i T > 0. ˛ sci ω T ( x, ε) funkcji x na przedziale [0, T ] przyjmujac We´zmy x ∈ X i okre´slmy moduł ciagło´ ˛

(62).

(63) ω T ( x, ε) = sup

(64) x (t) − x (s)

(65) : t, s ∈ [0, T ], |t − s| 6 ε .. (1.4). ˙ W przypadku gdy zbiór X ⊂ BC (R+ ) jest niepusty i ograniczony, mozemy ustalić ε > 0 ˛ sci restrykcji funkcji x do przedziału [0, T ] oraz T > 0 i dla x ∈ X okre´slić moduł ciagło´ w sposób analogiczny. ˛ sci zbioru X, Zdefiniujmy teraz wielko´sc´ ε 7→ ω T ( X, ε), która˛ nazywamy modułem ciagło´ w nastepuj ˛ acy ˛ sposób: . ω T ( X, ε) = sup ω T ( x, ε) : x ∈ X . Dalej zdefiniujmy nastepuj ˛ ace ˛ wielko´sci [14, 16]: ω0T ( X ) = lim ω T ( X, ε), ε →0. ω0 ( X ) = lim ω0T ( X ). T →∞. ˙ ˙ uzywaj ˙ Zauwazmy, ze ac ˛ wprowadzonych wielko´sci i terminologii Twierdzenie 1.13 mo˙ zemy wypowiedzieć w nastepuj ˛ acy ˛ sposób. Twierdzenie 1.16. Niech X b˛edzie ograniczonym i niepustym podzbiorem przestrzeni C [0, T ] . Zbiór X jest relatywnie zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy ω0T ( X ) = 0.. 13.

(66) ˙ Rozwazmy teraz wielko´sci b( X ) oraz γ = γ( X ) okre´slone w nastepuj ˛ acy ˛ sposób: n

(67) o

(68)

(69)

(70) b( X ) = lim sup sup x (t) − x (s) : t, s > T } . T →∞. (1.5). x∈X. γ ( X ) = ω0 ( X ) + b ( X ) .. (1.6). ˙ ˙ Wielko´sci te bed ˛ a˛ uzywane w dalszych rozwazaniach tego rozdziału. ˙ W rozwazaniach prowadzonych w rozdziale czwartym pojawia˛ sie˛ zagadnienia zwia˛ ˙ zane z miarami niezwarto´sci. Pojecie ˛ miary niezwarto´sci zostało po raz pierwszy uzyte w roku 1930 przez profesora Kazimierza Kuratowskiego. Zdefiniował on funkcje, ˛ przy ˙ ˙ uzyciu której mozna zmierzyć stopien´ niezwarto´sci zbioru. Dzieki ˛ tej funkcji udało sie˛ miedzy ˛ innymi uogólnić klasyczne twierdzenie Schaudera o punkcie stałym [14, 15, 3, 9]. Przypomnijmy teraz definicje˛ wspomnianej funkcji Kuratowskiego. W tym celu za˙ ˙ M jest przestrzenia˛ metryczna˛ zupełna. łózmy, ze ˛ Poprzez M M oznaczmy rodzine˛ wszystkich niepustych i ograniczonych podzbiorów przestrzeni M oraz przez N M podrodzine˛ zbioru M M , składajac ˛ a˛ sie˛ ze wszystkich relatywnie zwartych zbiorów. SymC C ˙ a˛ ze wszystkich zbiorów bolem M M , lub krócej M , oznaczmy podrodzine˛ M M , złozon domknietych. ˛ Niech X ∈ M M . Definicja 1.17. Funkcje˛ α : M M → R+ okre´slona˛ równo´scia˛ ˙ być pokryty skonczon α( X ) = inf {ε > 0 : X moze ´ a˛ liczba˛ zbiorów o s´ rednicy mniejszej niz˙ ε} nazywamy miara˛ niezwarto´sci Kuratowskiego. ˙ α( X ) > 0 dla kazdego ˙ Prawda˛ jest, ze niepustego i ograniczonego podzbioru X ∈ M M . ˙ ˙ z definicji tej wynika nastepuj Zauwazmy, ze ˛ aca ˛ nierówno´sc´ : α( X ) 6 diam X, gdzie symbol diam X oznacza s´ rednice˛ zbioru X. Miara niezwarto´sci Kuratowskiego ma szereg innych własno´sci. I tak, dla X, Y ∈ M M , gdzie M jest przestrzenia˛ metryczna˛ zupełna, ˛ mamy: 1. α( X ) = 0 ⇐⇒ X jest zwarty, 2. α( X ) = α( X ), 3. X ⊂ Y =⇒ α( X ) 6 α(Y ), . 4. α( X ∪ Y ) = max α( X ), α(Y ) , . 5. α( X ∩ Y ) 6 min α( X ), α(Y ) . ˙ Wykorzystujac ˛ miare˛ niezwarto´sci Kuratowskiego, mozemy uogólnić twierdzenie Cantora w nastepuj ˛ acy ˛ sposób:. 14.

(71) 6. Je´sli ( Xn )n∈N jest zstepuj ˛ acym ˛ ciagiem ˛ niepustych, domknietych ˛ i ograniczonych ˙ limn→∞ α( Xn ) = 0, to wówczas zbiór podzbiorów zbioru M takich, ze X∞ =. ∞ \. Xn. n =1. jest zbiorem niepustym i zwartym. ˙ ˙ rozpatrywana wyzej ˙ przestrzen´ metryczna jest przeJe´sli załozymy dodatkowo, ze strzenia˛ Banacha (oznaczmy ja˛ przez E), to wtedy dla dowolnych zbiorów X, Y ∈ ME funkcja α posiada dodatkowe własno´sci zwiazane ˛ z liniowa˛ struktura˛ tej przestrzeni: 7. α( X + Y ) 6 α( X ) + α(Y ), 8. α(rX ) = |r |α( X ), r ∈ R, 9. α(ConvX ) = α( X ), S 10. α 06λ6h λX = hα ( X ). Wyznaczenie miary niezwarto´sci Kuratowskiego danego zbioru jest zwykle do´sc´ trudne. Własno´sci wygodniejsze w zastosowaniu posiada miara niezwarto´sci Hausdorffa, która została wprowadzona pod koniec lat 50-tych XX wieku. ˙ ˙ X ∈ MM . W celu przedstawienia definicji tej miary załózmy, ze Definicja 1.18. Funkcje˛ ˙ być pokryty skonczon χ( X ) = inf {ε > 0 : X moze ´ a˛ liczba˛ kul o promieniu mniejszym niz˙ ε } nazywamy miara˛ niezwarto´sci Hausdorffa. ˙ ˙ Definicje˛ miary niezwarto´sci Hausdorffa mozna sformułować równowaznie w nastepu˛ jacy ˛ sposób: χ( X ) = inf {ε > 0 : X ma skonczon ´ a˛ ε − sieć w M}. ˙ wymienione własno´sci 1–10. Tak okre´slona funkcja posiada wszystkie wyzej Zarówno w przypadku miary niezwarto´sci Kuratowskiego jak i miary niezwarto´sci ˙ trudno´sci, jezeli ˙ miary te chcemy wyrazić przy poHausdorffa, napotykamy do´sc´ duze mocy formuł nawiazuj ˛ acych ˛ do struktury przestrzeni Banacha, w których te miary nie˙ zwarto´sci rozwazamy. Otóz˙ w przypadku miary niezwarto´sci Kuratowskiego formuły ˙ takie nie sa˛ znane w zadnej przestrzeni Banacha por. [3, 14, 15] . Sytuacja jest nieco lepsza w przypadku miary niezwarto´sci Hausdorffa, poniewaz˙ dla niektórych przestrzeni ˙ Banacha mozemy podać takie formuły, jak np. ˛ c0 , l p oraz dla dla przestrzeni ciagowych przestrzeni funkcyjnej C [ a, b] por. [14, 15] . Z drugiej strony, w pewnych przestrze˙ podać oszacowania miary niezwarto´sci Hausdorffa (lub Kuratowniach Banacha mozna ˙ miary te sa˛ równowazne ˙ funkcjom skiego) przy pomocy takich formuł w tym sensie, ze zbiorowym zdefiniowanym takimi formułami. Sytuacja taka ma np. miejsce dla prze˙ strzeni ciagowej ˛ c oraz dla przestrzeni Lebesgue’a L p ( a, b) [14, 15]. W obydwu wyzej omówionych sytuacjach wymagana jest jednak znajomo´sc´ kryteriów zwarto´sci nawia˛ zujacych ˛ do struktury rozpatrywanej przestrzeni Banacha typu kryterium Ascoliego– Arzeli dla przestrzeni C [ a, b] lub kryterium Riesza albo Kołmogorowa dla przestrzeni 15.

(72) L p ( a, b) . Otóz˙ w wielu przestrzeniach Banacha kryteriów takich nie znamy, a znamy je˙ dynie pewne warunki wystarczajace ˛ na relatywna˛ zwarto´sc´ dla rozwazanych przestrze∞ ni. Przykładem takiej przestrzeni Banacha jest przestrzen´ ciagowa ˛ l lub wspomniana wcze´sniej przestrzen´ funkcyjna BC (R+ ). Konstrukcje˛ miar niezwarto´sci dla tego typu ˙ przestrzeni Banacha mozna zrealizować na podstawie aksjomatycznej definicji miary niezwarto´ s ci, wprowadzonej w roku 1980 przez Józefa Banasia i Kazimierza Goebela ˙ [14] . Miara tak okre´slona jest wygodna w uzyciu i nie jest zbyt ogólna. Wykorzystanie miar niezwarto´sci które podlegaja˛ aksjomatom wprowadzonej definicji pozwala scha˙ rakteryzować rozwiazania ˛ róznych równan´ operatorowych, które sa˛ badane za pomoca˛ technik miar niezwarto´sci. ˙ zapowiadana˛ definicje˛ miary niezwarto´sci. W tym celu ustalmy Przytoczmy teraz wyzej przestrzen´ Banacha E. Definicja 1.19. Odwzorowanie µ : ME → R+ nazywamy miara˛ niezwarto´sci w przestrzeni E, je´sli spełnia nastepuj ˛ ace ˛ warunki: 1. Rodzina kerµ = { X ∈ ME : µ( X ) = 0} jest niepusta i kerµ ⊂ NE , 2. X ⊂ Y ⇒ µ( X ) 6 µ(Y ), 3. µ( X ) = µ( X ), 4. µ(ConvX ) = µ( X ), 5. µ(λX + (1 − λ)Y ) 6 λµ( X ) + (1 − λ)µ(Y ) dla λ ∈ [0, 1], ˙ 6. Je´sli ( Xn ) jest zstepuj ˛ acym ˛ ciagiem ˛ zbiorów domknietych ˛ z ME takim, ze T limn→∞ µ( Xn ) = 0, wtedy przeciecie ˛ X∞ = ∞ X jest niepuste. n =1 n ˛ Rodzine˛ kerµ opisana˛ w pierwszym aksjomacie nazywamy jadrem miary niezwarto´sci µ. ˛ Je´sli kerµ = NE , wówczas miare˛ niezwarto´sci µ nazywamy pełna. ˙ zauwazy´ ˙ c, ze ˙ zbiór X∞ ∈ kerµ oraz jest zwarty. Jest to Korzystajac ˛ z aksjomatu 6 mozna prosta konsekwencja nierówno´sci µ( X∞ ) 6 µ( Xn ) dla n = 1, 2, . . ., z której otrzymujemy, ˙ µ( X∞ ) = 0, zatem X∞ ∈ kerµ. Obserwacja ta odgrywa kluczowa˛ role˛ w zastosowaniu ze technik zwiazanych ˛ z miarami niezwarto´sci. ˛ je´sli spełnia nastepuj Miare˛ niezwarto´sci µ nazywamy subliniowa, ˛ ace ˛ warunki: 7. µ(λX ) = |λ|µ( X ) dla λ ∈ R, 8. µ( X + Y ) 6 µ( X ) + µ(Y ). Je´sli miara µ spełnia nastepuj ˛ acy ˛ warunek: 9. µ( X ∪ Y ) = max{µ( X ), µ(Y )}, wtedy jest ona okre´slana jako miara z własno´scia˛ maximum. ˛ je´sli jest pełna, subliniowa Definicja 1.20. Miare˛ niezwarto´sci µ nazywamy regularna, i posiada własno´sc´ maksimum. Zarówno miara niezwarto´sci Hausdorffa χ jak i miara Kuratowskiego α sa˛ miarami regularnymi [14]. ˙ ˙ wielko´sc´ γ okre´slona równo´scia˛ (1.6) jest miara˛ niezwarto´sci Mozna pokazać, ze w przestrzeni BC (R+ ) która jest subliniowa i ma własno´sc´ maksimum. Miara ta nie jest 16.

(73) ˙ funkjednak pełna. Jej jadro ˛ składa sie˛ ze wszystkich zbiorów X ∈ MBC(R+ ) takich, ze cje nalez˙ ace ˛ do X sa˛ lokalnie jednakowo ciagłe ˛ na R+ (jest to konsekwencja równo´sci ω0 ( X ) = 0), posiadaja˛ granice skonczone ´ w nieskonczono´ ´ sci i zmierzaja˛ do tych granic ˙ jednostajnie ze wzgl edu ˛ na zbiór X, to znaczy dla ka zdego ε > 0 istnieje T > 0 takie,

(74)

(75)

(76)

(77) ˙ x (s) − x (t) 6 ε dla wszystkich s, t > T i x ∈ X (jest to konsekwencja˛ równo´sci ze b( X ) = 0). Miary niezwarto´sci posiadaja˛ liczne zastosowania [3, 9, 14, 15] . Wykorzystuje sie˛ je miedzy ˛ innymi w teorii równan´ operatorowych w przestrzeniach Banacha. Podane poni˙zej twierdzenie o punkcie stałym typu Darbo odgrywa kluczowa˛ role˛ w zastosowaniach G. Darbo udowodnił nastepuj ˛ ace ˛ twierdzenie dla miary niezwarto´sci Kuratowskiego [24] . Twierdzenie to jest mocniejsza˛ wersja˛ Twierdzenia 1.15. Twierdzenie 1.21. Niech Ω b˛edzie niepustym, ograniczonym, domkni˛etym i wypukłym pod˛ zbiorem przestrzeni Banacha E i niech T : Ω → Ω b˛edzie przekształceniem ciagłym. Załóz˙ my, z˙ e ˙ ˙ istnieje stała k ∈ [0, 1) taka, ze µ( TX ) 6 kµ( X ) dla kazdego X, gdzie X jest niepustym podzbiorem zbioru Ω, natomiast µ jest miara˛ niezwarto´sci w E. Wtedy T ma przynajmniej jeden punkt ˛ stały w zbiorze Ω. Ponadto zbiór FixT wszystkich punktów stałych przekształcenia T nalez˙ acych do Ω, jest elementem rodziny kerµ. Okre´slone w twierdzeniu przekształcenie T nazywamy kontrakcja˛ Darbo.. 17.

(78) tekst. Rozdział II Równanie całkowe Volterry–Stieltjesa w przestrzeni C [0, T ] 2. Równanie całkowe Volterry–Stieltjesa w przestrzeni C [0, T ]. . ˙ c równanie całkowe, które zapiszemy w nastepuj W tym rozdziale bedziemy ˛ rozwaza´ ˛ acej ˛ postaci: x (t) = a(t) +. Z t. f s, x (s) ds K (t, s).. 0. (2.1). Równanie to bedziemy ˛ nazywać równaniem Volterry–Stieltjesa. Rozwiaza ˛ n´ tego równa nia bedziemy ˛ poszukiwać w przestrzeni C [0, T ] , gdzie T > 0 jest dowolnie ustalone. ˙ spełnione sa˛ nastepuj ˙ Przyjmijmy teraz, ze ˛ ace ˛ załozenia, dotyczace ˛ równania (2.1). (2i) Funkcja a(t) = a : [0, T ] → R jest ciagła. ˛ (2ii) f : [0, T ] × R → R jest funkcja˛ ciagł ˛ a˛ oraz istnieje funkcja rosnaca ˛ φ : R+ → R+ , ˙ taka, ze

(79)

(80) φ(0) = 0,

(81)

(82)

(83) lim φ(u) = 0,

(84) u →0

(85)

(86)

(87)

(88) f (t, x ) − f (t, y)

(89) 6 φ | x − y|

(90)

(91) dla wszystkich t ∈ [0, T ] i x, y ∈ R.

(92)

(93). Oczywi´scie F1 = max

(94) f (t, 0)

(95) : t ∈ [0, T ] . (2iii) K (t, s) = K : ∆ T → R jest funkcja˛ ciagł ˛ a˛ na trójkacie ˛ . ∆ T = (t, s) : 0 6 s 6 t 6 T . (2iv) Dla dowolnego t ∈ [0, T ] funkcja s 7→ K (t, s) jest funkcja˛ o wariacji ograniczonej na przedziale [0, t]. ˙ dla t1 , t2 ∈ [0, T ], t1 < t2 , t2 − t1 6 δ, (2v) Dla dowolnego ε > 0 istnieje δ > 0 taka, ze spełniona jest nierówno´sc´ t1 _ . K (t2 , s) − K (t1 , s) 6 ε.. s =0. 18.

(96) (2vi) K (t, 0) = 0 dla wszystkich t ∈ [0, T ]. (2vii) Funkcja t 7→. Wt. s =0. K (t, s) jest ograniczona na przedziale [0, T ].. Oznaczmy dalej K = sup. nW. t s =0. o K (t, s) : t ∈ [0, T ] . Oczywi´scie K < ∞.. (2viii) Istnieje dodatnia liczba r0 spełniajaca ˛ nierówno´sc´ || a||T + φ(r ) + F1 K 6 r.. (2.2). ˙ ˙ n, Przedstawimy teraz dwa lematy wynikajace ˛ z powyzszych załoze ´ które bed ˛ a˛ wyko˙ rzystywane w dalszych rozwazaniach. Lemat 2.1. Jez˙ eli spełnione sa˛ załoz˙ enia (2iii) oraz (2iv), to funkcja p _. p 7→. K (t, s). s =0. ˛ na przedziale [0, t] dla dowolnego t ∈ [0, T ]. jest ciagła ˙ n´ (2iii) i (2iv) oraz własno´sci wariacji funkcji zawarLemat ten jest konsekwencja˛ załoze tych w Twierdzeniu 1.3. Lemat 2.2. Niech b˛eda˛ spełnione załoz˙ enia (2iii) – (2iv). Wówczas dla dowolnie ustalonej liczby t2 ∈ (0, T ] i ε > 0 istnieje δ > 0 taka, z˙ e je´sli t1 < t2 i t2 − t1 6 δ, to ma miejsce nierówno´sc´ t2 _. K (t2 , s) 6 ε.. s = t1. ˙ Dowód. Ustalmy t2 ∈ (0, T ] oraz ε > 0. Nastepnie ˛ rozwazmy funkcje˛ H okre´slona˛ na przedziale [0, t2 ] w nastepuj ˛ acy ˛ sposób: H ( p) =. p _. K ( t2 , s ).. s =0. Na podstawie Lematu 2.1 funkcja H jest ciagła ˛ istnieje δ > 0 taka,

(97)

(98) w punkcie t2 . Zatem ˙ dla t1 > 0, t1 < t2 i t2 − t1 6 δ otrzymujemy

(99) H (t2 ) − H (t1 )

(100) 6 ε. ze Z drugiej strony

(101)

(102) t1 t2

(103) _

(104)

(105)

(106)

(107) _

(108)

(109) H ( t2 ) − H ( t1 )

(110) =

(111) K ( t2 , s ) − K ( t2 , s )

(112)

(113) s =0

(114) s =0

(115)

(116) t1 t1 t2

(117) _

(118) _ _

(119)

(120) =

(121) K ( t2 , s ) + K ( t2 , s ) − K ( t2 , s )

(122)

(123) s =0

(124) s=t s =0 1. =. t2 _. K (t2 , s) 6 ε.. s = t1. Teraz przedstawimy główne twierdzenie dotyczace ˛ rozwiazalno´ ˛ sci równania całkowego (2.1). 19.

(125) Twierdzenie 2.3. Jez˙ eli spełnione sa˛ załoz˙ enia (2i) – (2viii), to równanie (2.1)ma przynajmniej ˛ ˛ do kuli Br0 = x ∈ C [0, T ] : jedno rozwiazanie x = x (t) w przestrzeni C [0, T ] nalez˙ ace. || x ||T 6 r0 , gdzie r0 jest liczba˛ z załoz˙ enia (2viii ). ˙ Dowód. Rozwazmy operator F okre´slony w przestrzeni C [0, T ] w nastepuj ˛ acy ˛ sposób: Z t. ( Fx )(t) = a(t) +. 0. f τ, x (τ ) dτ K (t, τ ),. (2.3). gdzie x ∈ C [0, T ] , t ∈ [0, T ]. ♦ Najpierw pokaz˙ emy, z˙ e Fx ∈ C [0, T ] dla x ∈ C [0, T ] . ˙ ˙ c, ze ˙ s < t. Wówczas We´zmy dowolne s, t ∈ [0, T ]. Bez straty ogólno´sci mozemy załozy´ wykorzystujac ˛ Lematy 1.10 oraz 1.11, otrzymujemy Z s

(126)

(127)

(128)

(129) Z t

(130)

(131)

(132)

(133)

(134)

(135) ( Fx )(t) − ( Fx )(s)

(136) 6

(137) a(t) − a(s)

(138) +

(139)

(140) f τ, x (τ ) dτ K (t, τ ) − f τ, x (τ ) dτ K (s, τ )

(141)

(142)

(143) 0 0 Z s

(144) Z t

(145)

(146)

(147)

(148)

(149) T 6 ω ( a, ε) +

(150) f τ, x (τ ) dτ K (t, τ ) − f τ, x (τ ) dτ K (t, τ )

(151)

(152)

(153) 0 0 Z s

(154)

(155)

(156)

(157) Z s

(158)

(159) f τ, x (τ ) dτ K (t, τ ) − f τ, x (τ ) dτ K (s, τ )

(160)

(161)

(162) +

(163) 0 0

(164) Z t

(165)

(166)

(167)

(168)

(169) T 6 ω ( a, ε) +

(170) f τ, x (τ ) dτ K (t, τ )

(171)

(172)

(173) s

(174)

(175) Z s

(176)

(177)

(178)

(179) +

(180) f τ, x (τ ) dτ K (t, τ ) − K (s, τ )

(181)

(182)

(183) 0 Z t

(184) τ

(185)

(186)

(187) _ T

(188)

(189) 6 ω ( a, ε) + f τ, x (τ ) dτ K (t, p)

(190)

(191) s p =0. +. Z s

(192).

(193)

(194) f τ, x (τ )

(195) dτ. 0. q =0 T. 6 ω ( a, ε) + +.

(196)

(197) K (t, q) − K (s, q)

(198)

(199). τ

(200)

(201)

(202)

(203)

(204) _

(205) f (τ, x (τ ) − f (τ, 0)

(206) +

(207) f (τ, 0)

(208) dτ K (t, p)

(209)

(210). Z t

(211) s. p =0. Z s

(212).

(213)

(214)

(215)

(216) f (τ, x (τ ) − f (τ, 0)

(217) +

(218) f (τ, 0)

(219) dτ. 0. Z s o. Z t s. . φ | x (τ )| + F1 dτ. φ | x (τ )| + F1 dτ. τ _ q =0. . . 6 ω ( a, ε) + φ || x ||T + F1 . τ _. + φ || x ||T + F1. Z s 0. dτ. .

(220)

(221) K (t, q) − K (s, q)

(222)

(223) t. Z. τ _ q =0. s. .

(224)

(225) K (t, q) − K (s, q)

(226)

(227).

(228)

(229) K (t, p)

(230)

(231). p =0. . T. . τ _ q =0. 6 ω T ( a, ε) + +. τ _. dτ. τ _ p =0.

(232)

(233) K (t, p)

(234)

(235).

(236)

(237) K (t, q) − K (s, q)

(238)

(239). t _ K (t, p) 6 ω T ( a, ε) + φ || x ||T + F1 p=s. . + φ || x ||T + F1. s _. . K (t, q) − K (s, q) .. q =0. 20. (2.4).

(240) ˙ ˙ funkcja Fx jest ciagła Stad, ˛ uwzgledniaj ˛ ac ˛ załozenie (2v) oraz Lemat 2.2 wnioskujemy, ze ˛ na przedziale [0, T ].. ♦ Teraz pokaz˙ emy, z˙ e F ( Br0 ) ⊂ Br0 . ˙ ˙ ˙ dla t ∈ [0, T ] oraz Korzystajac ˛ z załozenia (2vii), Lematów 1.10 i 1.11 pokazemy, ze x ∈ C [0, T ] spełniona jest nastepuj ˛ aca ˛ nierówno´sc´ : t

(241)

(242) _

(243) ( Fx )(t)

(244) 6 || a|| T + F1 + φ(|| x || T ) K (t, s). s =0. Rzeczywi´scie, mamy Z t

(245) s

(246)

(247)

(248) _

(249) ( Fx )(t)

(250) 6 || a|| T +

(251) f s, x (s)

(252) ds K (t, p) 0. 6 || a||T + 6 || a||T +. p =0 s

(253) i _

(254)

(255)

(256) f s, x (s) − f (s, 0)

(257) +

(258) f (s, 0)

(259) ds K (t, p). Z t h

(260) 0. p =0. Z t 0. s _ K (t, p) φ | x (s)| + F1 ds p =0. 6 || a||T + φ || x ||T + F1. . 6 || a||T + F1 + φ || x ||T. Z t 0. ds. t _. s _. K (t, p). . p =0. K (t, s).. s =0. ˙ ˙ istnieje dodatnia liczba r0 taka, ze ˙ opeKorzystajac ˛ z załozenia (2viii) wnioskujemy, ze rator F przekształca w siebie kule˛ Br0 . ˛ ♦ W tym kroku pokaz˙ emy, z˙ e operator F jest ciagły na przestrzeni C [0, T ] . ˙ || x − y|| T 6 ε. Wtedy, W tym celu ustalmy dowolnie ε > 0 oraz x, y ∈ C [0, T ] takie, ze dla t ∈ [0, T ] dostajemy

(261)

(262)

(263) Z t

(264)

(265)

(266) ( Fx )(t) − ( Fy)(t)

(267) =

(268)

(269) f s, x (s) − f s, y(s) ds K (t, s)

(270) 0. 6 6 6. s _

(271) f s, x (s) − f s, y(s) |ds K (t, p). Z t

(272) 0. Z t 0. Z t 0. p =0 s

(273) _

(274) φ

(275) x (s) − y(s)

(276) ds K (t, p) p =0. φ(ε)ds. 6 φ(ε). s _. K (t, p). . p =0 t _. K (t, s) 6 Kφ(ε).. s =0. ˙ ˙ operator F jest ciagły Powyzsze oszacowanie pokazuje, ze ˛ na przestrzeni C [0, T ] .. 21.

(277) ˛ pokaz˙ emy, z˙ e obraz kuli F ( Br0 ) jest relatywnie zwarty w przestrzeni C [0, T ] . ♦ W dalszym ciagu Dla dowodu okre´slmy dwie funkcje MT (ε) i NT (ε) w nastepuj ˛ acy ˛ sposób: MT (ε) = sup NT (ε) = sup. t1 n_ . n. s =0 t2 _. o K (t2 , s) − K (t1 , s) : t1 , t2 ∈ [0, T ], t1 < t2 , t2 − t1 6 ε ,. o K (t2 , s) : t1 , t2 ∈ [0, T ], t1 < t2 , t2 − t1 6 ε .. s = t1. ˙ ˙ na podstawie załozenia ˙ ˙ Zauwazmy, ze (2iii), (2v) oraz Lematu 2.2 otrzymujemy, ze MT (ε) → 0 i NT (ε) → 0 je´sli ε → 0. Ustalmy teraz dowolnie ε > 0 oraz we´zmy dowolna˛ funkcje˛ x ∈ Br0 . Nastepnie ˛ ˙ |t − s| 6 ε. Bez straty ogólno´sci mozemy ˙ ˙ c, ze ˙ wybierzmy t, s ∈ [0, T ] takie, ze załozy´ s < t. Wtedy na podstawie oszacowania (2.4) dostajemy

(278)

(279)

(280) ( Fx )(t) − ( Fx )(s)

(281) 6 ω T ( a, ε) + φ(r0 ) + F1 NT (ε) + φ(r0 ) + F1 MT (ε). ˙ ˙ funkcje ze zbioru F ( Br0 ) sa˛ jednakowo ciagłe Powyzsze oszacowanie pokazuje, ze ˛ na ˙ przedziale [0, T ]. Poniewaz˙ wszystkie załozenia Twierdzenia 1.13 s a ˛ spełnione, wi ec ˛ zbiór F ( Br0 ) jest relatywnie zwarty w przestrzeni C [0, T ] . Biorac ˛ pod uwage˛ ciagło´ ˛ sc´ operatora F oraz korzystajac ˛ z twierdzenia Schaudera ˙ operator F ma punkt stały x nalez˙ acy o punkcie stałym wnioskujemy, ze ˛ do kuli Br0 . Funkcja x = x (t) jest rozwiazaniem ˛ równania całkowego Volterry–Stieltjesa (2.1). ˙ ˙ załozenie ˙ ˙ Zauwazmy, ze (2v) odgrywa kluczowa˛ role˛ w naszych rozwazaniach, jed˙ mozemy ˙ nak jest do´sc´ kłopotliwe do zweryfikowania. Okazuje sie, ˛ ze sformułować inne ˙ załozenie [18, 44] , które bedzie ˛ bardziej poreczne ˛ w zastosowaniach i pozwoli roz˙ strzygna´ ˛c, czy funkcja K = K (t, s) spełnia załozenie (2v). ˙ ˙ K (t, s) = K : 4T → R. Aby sformułować zapowiadany warunek załózmy, ze ˙ t1 < t2 funkcja s 7→ K (t2 , s) − K (t1 , s) jest (2v1 ) Dla dowolnych t1 , t2 ∈ [0, T ] takich, ze malejaca ˛ (rosnaca) ˛ na przedziale [0, t1 ]. Przedstawmy teraz konsekwencje wynikajace ˛ z wprowadzenia warunku (2v1 ). Lemat 2.4. Jez˙ eli załoz˙ enia (2v1 ) i (2vi) sa˛ spełnione, to dla dowolnego s ∈ [0, T ] funkcja t 7→ ˛ (rosnaca) ˛ na przedziale [s, T ]. K (t, s) jest malejaca Dowód. W trakcie dowodu zajmiemy sie˛ przypadkiem funkcji malejacej. ˛ Dla funkcji rosnacej ˛ dowód wyglada ˛ analogicznie. Ustalmy liczbe˛ s ∈ [0, T ] i we´zmy dowolne ˙ t1 , t2 ∈ [s, T ], t1 < t2 . Wtedy, na podstawie załozenia (2v1 ), otrzymujemy K ( t2 , s ) − K ( t1 , s ) 6 K ( t2 , 0) − K ( t1 , 0). ˙ Stad, ˛ na podstawie załozenia (2vi), otrzymujemy K (t2 , s) − K (t1 , s) 6 0.. ˙ ˙ Przedstawimy teraz twierdzenie, dzieki ˛ któremu mozemy wykorzystać załozenie (2v1 ).. 22.

(282) Twierdzenie 2.5. Załóz˙ my, z˙ e funkcja K = K (t, s) spełnia załoz˙ enia (2iii), (2v1 ) i (2vi). Wtedy K spełnia załoz˙ enie (2v). Dowód. Dla ustalenia uwagi zajmiemy sie˛ przypadkiem funkcji malejacej. ˛ Dla funkcji rosnacej ˛ dowód wyglada ˛ analogicznie. Ustalmy dowolnie ε > 0. Poniewaz˙ funkcja ciagła ˛ na przedziale domknietym ˛ jest jedno˙ ˙ istnieje δ > 0 taka, ze ˙ stajnie ciagła, ˛ zatem korzystajac ˛ z załozenia (2iii) wnioskujemy, ze je´sli t1 , t2 ∈ [0, T ], t1 < t2 i t2 − t1 < δ, to

(283)

(284)

(285) K (t2 , t1 ) − K (t1 , t1 )

(286) 6 ε. ˙ ˙ być zapisana jako Na podstawie Lematu 2.4 powyzsza nierówno´sc´ moze 0 6 K (t1 , t1 ) − K (t2 , t1 ) 6 ε.. (2.5). ˙ ˙ t1 , t2 sa˛ ustalone. We´zmy podział 0 = s0 < s1 < ... < sn = t1 przeZałózmy teraz, ze ˙ n´ (2v1 ), (2vi) i Lematu 2.4, otrzymujemy działu [0, t1 ]. Wtedy, na podstawie załoze n −1

(287) . ∑. i =0.

(288)

(289)

(290)

(291) K ( t 2 , s i +1 ) − K ( t 1 , s i +1 ) − K ( t 2 , s i ) − K ( t 1 , s i )

(292). =. n −1 n . ∑. o K ( t 2 , s i ) − K ( t 1 , s i ) − K ( t 2 , s i +1 ) − K ( t 1 , s i +1 ). i =0.

(293)

(294) = K ( t1 , t1 ) − K ( t2 , t1 ).

(295) Stad ˛ t1 _ . K ( t2 , s ) − K ( t1 , s ) = K ( t1 , t1 ) − K ( t2 , t1 ).. s =0. ˙ a˛ nierówno´sc´ z (2.5), mozemy ˙ Łacz ˛ ac ˛ powyzsz zakonczy´ ´ c dowód. ˙ ˙ wyniki zawarte w Twierdzeniu 2.3 W dalszej cze´ ˛ sci tego rozdziału pokazemy, ze ˙ ˙ ˙ moga˛ być uzyte równiez˙ w przypadku równania całkowego zaleznego od róznicy argumentów, które zapiszemy w nastepuj ˛ acej ˛ postaci: x (t) = a(t) +. Z t. k (t − s) f s, x (s) ds,. 0. (2.6). gdzie t ∈ [0, T ]. Równanie to jest szczególnym przypadkiem równania całkowego (2.1), je´sli przyjmiemy K (t, s) =. Z s. k (t − z)dz. 0. (2.7). dla (t, s) ∈ 4T . ˙ Powyzsze podstawienie ma sens, gdy funkcja k = k (u) jest całkowalna w sensie Lebesguea na [0, T ]. ˙ n´ w bardziej przejrzystej formie, zastosujemy podstawieW celu przedstawienia załoze nie u = t − z por. [32], str. 175 . Wówczas Z t. k (t − z)dz =. 0. Z s. k (u)du.. 0. ˙ ˙ Przedstawimy teraz twierdzenie, dotyczace ˛ równania całkowego zaleznego od róznicy argumentów (2.6). 23.

(296) ˛ warunki: Twierdzenie 2.6. Załóz˙ my, z˙ e spełnione sa˛ nast˛epujace ˛ (2i) Funkcja a(t) = a : [0, T ] → R jest ciagła. ˛ a˛ oraz istnieje funkcja rosnaca ˛ φ : R+ → R+ , (2ii) f : [0, T ] × R → R jest funkcja˛ ciagł taka, z˙ e

(297)

(298) φ(0) = 0,

(299)

(300)

(301) lim φ(t) = 0,

(302) t →0

(303)

(304)

(305)

(306) f (t, x ) − f (t, y)

(307) 6 φ | x − y|

(308)

(309) dla wszystkich t ∈ [0, T ] oraz x, y ∈ R.

(310).

(311) Oznaczmy F1 = max

(312) f (t, 0)

(313) : t ∈ [0, T ] . Oczywi´scie F1 < ∞. ˛ na [0, T ]. (2ix) Funkcja k (u) = k : [0, T ] → R+ jest malejaca ˛ (2x) Istnieje dodatnie rozwiazanie r0 nierówno´sci || a||T + φ(r ) + F1 k 6 r,. (2.8). gdzie k=. Z T. k(u)du.. 0. ˛ Wtedy istnieje przynajmniej jedno rozwiazanie x = x (t) równania (2.6) w przestrzeni C [0, T ] . Poniewaz˙ równanie całkowe (2.6) jest szczególnym przypadkiem równania (2.1) zało˙ ˙ równanie to spełnia warunki postawione w Twierdzeniu 2.6 i pokazemy, ˙ ˙ zymy, ze ze ˙ warunki te przybieraja˛ posta´ c załozen´ przedstawionych w Twierdzeniu 2.3. ˙ Funkcje a(t) oraz f s, x (s) nie uległy zmianie, sprawdzimy zatem jedynie załozenia (2iii)–(2viii). ˙ Dowód. Majac ˛ na uwadze równo´sc´ (2.7) załozenie (2iii) jest spełnione. ˙ Dalej korzystajac ˛ z własno´sci wariacji funkcji oraz Twierdzenia 1.9 załozenie (2iv) równiez˙ jest spełnione automatycznie. ˙ ˙ c sie˛ Twierdzeniem Zajmiemy sie˛ teraz załozeniem (2v). W tym celu wystarczy posłuzy´ ˙ funkcja K (t, s) okre´slona równo´scia˛ (2.7) spełnia załozenie ˙ 2.5, a wiec ˛ sprawdzić, ze (2v1 ). ˙ ˙ to załozenie ˙ ˙ funkcja Zauwazmy, ze bedzie ˛ spełnione, jezeli s 7 → K ( t2 , s ) − K ( t1 , s ) bedzie ˛ malejaca ˛ na przedziale [0, t1 ]. Na podstawie równo´sci (2.7) jest to oczywi´scie ˙ temu, ze ˙ funkcja równowazne s 7→. Z s 0. k (t2 − z) − k(t1 − z) dz. jest malejaca ˛ na przedziale [0, t1 ]. ˙ wcze´sniej okre´slona funkcja jest bezwzglednie Z faktu, ze ˛ ciagła ˛ na przedziale [0, t1 ] ˙ to ostatnie załozenie ˙ ˙ temu, ze ˙ wnioskujemy, ze jest równowazne 24.

(314) k ( t2 − s ) − k ( t1 − s ) 6 0 ˙ ˙ dla s ∈ [0, t1 ]. Ale zgodnie z załozeniem (2ix) powyzszy warunek jest spełniony. ˙ spełnione jest załozenie ˙ Tym samym pokazali´smy, ze (2v). ˙ Dalej korzystajac ˛ z równo´sci (2.7), dla dowolnego t ∈ R+ otrzymujemy, ze K (t, 0) =. Z 0 0. k (t − z)dz = 0,. ˙ zatem załozenie (2vi) jest spełnione. ˙ Załozenie (2vii) jest równiez˙ spełnione automatycznie. ˙ ˙ Na koniec zajmijmy sie˛ teraz załozeniem (2viii), które przyjmie postać załozenia (2x) ˙ istnieje dodatnie rozwiazanie mówiacego, ˛ ze ˛ r0 nierówno´sci || a||T + φ(r ) + F1 k 6 r,. (2.9). gdzie k=. Z T. k (u)du.. 0. ˙ ˙ w naszych dalszych rozwazaniach ˙ Zauwazmy, ze zwiazanych ˛ z równaniem (2.1), ˙ ˙ c wariant rosnacy. ˙ postapi´ wystarczy w załozeniu (2vi) rozwazy´ ˛ Podobnie nalezy ˛ c w przypadku Lematu 2.4. Wykorzystujac ˛ Twierdzenie 2.5 i rozumujac ˛ analogicznie jak w przy˙ w takim przypadku funkcja k = k (u) powinpadku funkcji malejacej ˛ k otrzymujemy, ze na być rosnaca ˛ na [0, T ]. W celu zapewnienia całkowalno´sci funkcji k na [0, T ], musimy ˙ ˙ załozyć, ze k = k (u) : [0, T ] → R− = (−∞, 0]. Teraz przedstawimy nieco inna˛ (rosnac ˛ a) ˛ wersje˛ Twierdzenia 2.6. Twierdzenie 2.7. Załóz˙ my, z˙ e spełnione sa˛ załoz˙ enia (2i), (2ii) oraz (2x) Twierdzenia 2.6. Po˛ warunek jest spełniony: nadto załóz˙ my, z˙ e nast˛epujacy ˛ na [0, T ], gdzie R− = (−∞, 0]. (2xi) Funkcja k (u) = k : [0, T ] → R− jest rosnaca ˛ Wtedy istnieje przynajmniej jedno rozwiazanie x = x (t) równania (2.6) w przestrzeni C [0, T ] . ˙ Dowód powyzszego twierdzenia przebiegałby analogicznie jak w przypadku Twierdzenia 2.6 i dlatego jest pominiety. ˛ ˙ Podsumowujac ˛ Twierdzenia 2.6 oraz 2.7 mozemy sformułować nastepuj ˛ ace ˛ ˛ warunki: Twierdzenie 2.8. Załóz˙ my, z˙ e spełnione sa˛ nast˛epujace (1) a ∈ C [0, T ] . ˛ a˛ i istnieje funkcja rosnaca ˛ φ : R+ → R+ , φ(0) = 0, (2) f : [0, T ] × R → R jest funkcja˛ ciagł limt→0 φ(t) = 0 i taka, z˙ e

(315)

(316)

(317) f (t, x ) − f (t, y)

(318) 6 φ (| x − y|) (2.10) dla t ∈ [0, T ], x, y ∈ R. (3) Funkcja k (u) = k : [0, T ] → R jest monotoniczna na [0, T ] i jest jednakowego znaku.. 25.

(319) ˛ nierówno´sc´ (4) Istnieje dodatnia liczba r0 spełniajaca. || a||T + (φ(r ) + F1 )k 6 r, gdzie k =. (2.11).

(320)

(321) Rt

(322).

(323)

(324) k (u)

(325) du i F1 = max

(326) f (t, 0)

(327) : t ∈ [0, T ] . 0. ˛ Wtedy istnieje przynajmniej jedno rozwiazanie x = x (t) równania (2.6) w przestrzeni C [0, T ] . ˙ Zaprezentujemy teraz przykłady funkcji k = k (u) spełniajacych ˛ załozenia Twierdzenia 2.8. ˙ Przykład 2.9. Rozwazmy funkcje˛ k : [0, T ] → R+ majac ˛ a˛ nastepuj ˛ ac ˛ a˛ postać: k(u) =. u2. 1 . +1. Wtedy dostajemy k=. Z T 0. k (u)du = arctg T <. π . 2. Przykład 2.10. We´zmy teraz pod uwage˛ funkcje˛ k : [0, 1] → R+ okre´slona˛ równo´scia˛ k ( u ) = ( u + 1) e − u . ˙ Nietrudno sprawdzić, ze k=. Z T 0. (u + 1)e−u du = 2 − e−T ( T + 2) < 2.. Przykład 2.11. Dla funkcji k : [0, T ] → R zadanej wzorem k(u) =. −1 , 1 + eu. otrzymujemy k=. T. Z T

(328) 0. Z

(329)

(330) k (u)

(331) du =. 0. 1 du = ln 1 + eu. . 2 + eT 1 + eT. . < ln 2.. ˙ W dalszym ciagu ˛ przedstawimy dwa przykłady pokazujace ˛ uzyteczno´ sc´ rezultatów zawartych w Twierdzeniach 2.3 i 2.6. ˙ Przykład 2.12. Rozwazmy równanie całkowe typu Volterry–Stieltjesa postaci 2. x (t) = t sin t +. Z t hq 3. 0. i x2 (s) + arctg s ds K (t, s),. (2.12). ˙ gdzie t ∈ [0, T ], przy czym T > 0 jest dowolnie ustalona˛ liczba. ˛ Ponadto zakładamy, ze funkcja K (t, s) = K : 4T → R jest funkcja˛ typu Chandrasekhara postaci ( t ln t+t s dla 0 < s 6 t 6 T K (t, s) = 0 dla s = 0 por. równanie (4) we Wstepie ˛ . 26.

(332) ˙ ˙ równanie całkowe (2.12) jest szczególnym przypadkiem równania (2.1), Zauwazmy, ze gdzie funkcje a = a(t), f = f (t, x ) i K = K (t, s) sa˛ okre´slone nastepuj ˛ aco: ˛ a(t) =t2 sin t, √ 3 f (t, x ) = x2 + arctg t ˙ oraz K (t, s) została okre´slona powyzej. ˙ ˙ spełnione sa˛ załozenia ˙ W dalszym ciagu ˛ pokazemy, ze Twierdzenia 2.3. Rzeczywi˙ ˙ || a|| T 6 T 2 . Nastepnie s´ cie, sprawdzenie załozenia (2i) jest trywialne. Ponadto mamy, ze ˛ ˙ ˙ funkcja f : [0, T ] × R → R jest ciagła zauwazmy, ze ˛ i dla dowolnego t ∈ [0, T ] oraz dla dowolnych x, y ∈ R mamy nastepuj ˛ ace ˛ oszacowanie [2] : q

(333) q

(334)

(335) √

(336)

(337) f (t, x ) − f (t, y)

(338) 6

(339)

(340) 3 x2 − 3 y2

(341)

(342) 6 3 ( x − y)2 . 2. ˙ Zatem funkcja f spełnia załozenie (2ii) z funkcja˛ φ zadana˛ wzorem φ(r ) = r 3 . Oczywi˙ s´ cie funkcja φ spełnia warunki narzucone w załozeniu (2ii). Ponadto mamy

(343). .

(344) F1 = max

(345) f (t, 0)