PIOTR KULICKI*
MINIMALNE EMPIRYCZNE PODSTAWY TEORII BYTU
A MODELE DLA LOGIKI NAZW
WPROWADZENIE
W niniejszej pracy odnosz& si& do szeroko dyskutowanej, szczególnie w połowie XX wieku kwestii, któr# mo%na stre"ci$ w postaci nast&puj#cego pytania: Czy logika formalna mo%e by$ w interesuj#cy i istotny sposób za-stosowana w badaniach metafizycznych? Nie chodzi tu o czysto zewn&trzn# kontrol& tekstów metafizycznych, które mo%na ocenia$ z punktu widzenia szeroko rozumianej poprawno"ci logicznej tak jak ka%de inne wypowiedzi, zarówno naukowe jak i potoczne, ale o uchwycenie specyfiki logicznej po-znania metafizycznego (rozumowa' metafizycznych) oraz sformalizowanie teorii metafizycznych narz&dziami logiki.
Dotychczasowe próby formalizowania klasycznej teorii bytu nie przy-niosły rezultatów, które byłyby zadowalaj#ce jednocze"nie dla metafizyków i logików1. Mimo zasadniczych problemów stoj#cych na drodze zastosowa-nia logiki formalnej w teorii bytu, próby takiego zbli%ezastosowa-nia s# nadal podejmo-wane2 i wydaje si&, %e pozostaj# warto"ciowe poznawczo i istotne zarówno dla logiki jak i metafizyki.
Mo%na zauwa%y$, %e pewne tezy metafizyczne maj# swoje odpowiedniki w logice. Analizuj#c ich miejsce i rol& w systemie logicznym, mo%emy
Dr PIOTR KULICKI – Katedra Podstaw Informatyki, Wydział Filozofii, Katolicki Uniwersytet Lubelski Jana Pawła II; adres do korespondencji: Aleje Racławickie 14, 20-950 Lublin; e-mail: kulicki@kul.pl
1 Na ten temat ł#czenia metafizyki klasycznej ze współczesnymi badaniami z zakresu logiki zob. M.A. K r # p i e c, S. K a m i ' s k i, Z teorii i metodologii metafizyki, Lublin 19943, w szcze-gólno"ci rozdział „O zastosowaniach logiki współczesnej do metafizyki klasycznej” (s. 281-302).
2
Zob. np. E. N i e z n a ' s k i, Sformalizowana ontologia orientacji klasycznej, Warszawa 2007.
lepiej je zrozumie$ i to rozumienie mo%e mie$ zastosowanie do meta-fizycznego oryginału. Przykładem mog# by$ pierwsze zasady bytu – to%-samo"ci, niesprzeczno"ci, wył#czonego "rodka (odr&bno"ci), które pojawiaj# si& zarówno w metafizyce, jak i w logice.
Szczególnie obiecuj#ca jako punkt styku mi&dzy metafizyk# a logik# for-maln# wydaje si& by$ logika nazw. Sylogistyka Arystotelesa, stanowi#ca podstaw& logiki nazw, tworzona była w bliskiej relacji do metafizyki Filo-zofa. W niniejszym artykule analizowa$ b&dziemy wła"nie t& gał#) logiki w nawi#zaniu do rozwa%a' na temat punktu wyj"cia metafizyki prowa-dzonych przez A.B. St&pnia3.
Aby wykaza$, %e rozpatrywana własno"$ rachunku nazw nie jest zwi#-zana z jak#" specyficzna aksjomatyzacj#, ale zachodzi dla całego szeregu systemów pewnego typu, poka%emy j# dla czterech teorii b&d#cych ró%nymi wersjami sylogistyki Arystotelesa i ontologii S. Le"niewskiego.
W artykule nacisk poło%ony jest na intuicyjne znaczenie rezultatów z za-kresu logiki nazw. W zwi#zku z tym nie s# tu prezentowane szczegóły tech-niczne, takie jak dowody twierdze' – znale)$ je mo%na w cytowanych pra-cach. W kolejnych sekcjach zajm& si& przedstawieniem problemu od strony metodologii metafizyki, sformułowaniem aksjomatycznych systemów logiki nazw, analiz# modeli dla tych systemów oraz interpretacj# własno"ci dysjunkcji, któr# te systemy posiadaj#.
1. MINIMALNE SFORMUŁOWANIE PUNKTU WYJ+CIA METAFIZYKI
Zasadnicz# cz&"$ artykułu rozpoczynam od rozwa%a' metodologicznych dotycz#cych metafizyki. St&pie', analizuj#c punkt wyj"cia teorii bytu, wska-zuje na to, %e stanowi# go dane empiryczne, dobrane w taki sposób, aby ogra-niczy$ si& do tego co niepow#tpiewalne i unikn#$ tym samym zarzutów scep-tycznych. „Rozpoczynamy wi&c od budowania ogólnej teorii bytu w ten spo-sób, a%eby wychodz#c od pewnej bazy empirycznej, sformułowa$ j# tak mini-malnie, by nie wikła$ si& w pewne problemy dotycz#ce zawodno"ci naszego do"wiadczenia”4. „Takie minimum empiryczne (potrzebne i wystarczaj#ce do tego, aby rozpocz#$ metafizykowanie) mo%na sprowadzi$ do dwóch tez:
3
Zob. A.B. S t & p i e ', Dwa wykłady. Punkt wyj!cia w filozofii. Teorie relacji: filozoficzne
i logiczna, Lublin 2005.
4
a) istniej# przynajmniej dwa byty ró%ne, b) istnieje przynajmniej jeden byt zmienny”5.
Z punktu widzenia rozwa%a' niniejszej pracy szczególnie interesuj#ca jest pierwsza z wymienionych tez, a zwłaszcza wymieniona w niej liczba dwóch bytów, które stanowi$ maj# rzeczywisto"$ wystarczaj#co bogat# do zbudowania metafizyki6.
Uzasadniaj#c, %e warunek istnienia dwóch ró%nych bytów jest wystarcza-j#cy, St&pie' stwierdza, %e aby zbudowa$ wła"ciw# metafizyczn# koncepcj& bytu, wystarczy „uzna$ to, o czym mówili"my na pocz#tku, tzn. %e istniej# co najmniej dwa byty ró%ne, oraz zrozumie$ (intelekcj# uchwyci$), %e do tego, aby dwa byty były ró%ne, potrzeba i wystarcza, %eby były one w sobie okre"lone i %eby istniały”7. Podkre"la jednocze"nie, %e rozumowanie takie nie ma charakteru indukcyjnego. „Ró%ne zestawienia s#dów o ró%norodno"ci bytu s# potrzebne do tego, aby nam niezbicie u"wiadomi$, %e nie nale%y warunków koniecznych bycia bytem szuka$ w przynale%no"ci do pewnych kategorii – zarówno kategorii tre"ciowych (gatunki, rodzaje), jak i kategorii formalnych (substancja, przypadło"$, stan rzeczy, zdarzenie, zmiana)”8. Do stworzenia koncepcji bytu nie prowadzi równie% indukcyjne zestawianie wszystkich mo%liwych kategorii. To wła"nie nieindukcyjny charakter budo-wania koncepcji bytu umo%liwia teoretyczne ograniczenie bazy empirycznej do dwóch ró%nych bytów.
Analogiczne rozwa%ania dotycz#ce liczby przedmiotów mo%na przepro-wadzi$ na gruncie logiki nazw. Mo%na stwierdzi$, %e teza St&pnia znajduje swoiste potwierdzenie w tej gał&zi logiki.
2. SYSTEMY LOGIKI NAZW
Rozpatrz& cztery aksjomatyzacje logiki nazw. Pierwsz# z nich b&dzie sylogistyka Arystotelesa w uj&ciu J. Łukasiewicza, drug# – sylogistyka dopuszczaj#ca nazwy puste, trzeci# – najprostsza bezkwantyfikatorowa
wer-5
Tam%e, s. 91. 6
Teza ta, według wiedzy autora niniejszego artykułu, jest oryginalnie sformułowana przez St&pnia. Przyjmujemy j# jako podstaw& dalszych analiz o charakterze logiczno-analitycznym, abstrahuj#c od ewentualnych kontrowersji jej dotycz#cych mog#cych pojawi$ si& na gruncie metafizyki.
7
Tam%e, s. 93. 8
sja ontologii Le"niewskiego, a ostatni# – pewna stosunkowo bogata wersja bezkwantyfikatorowego uj&cia ontologii Le"niewskiego.
Wszystkie wymienione formalizacje logiki nazw skonstruowane s# po-dobnie. Ich j&zyk obejmuje zmienne nazwowe (u%ywa$ b&d& liter: S, M, P), funktory zdaniotwórcze od argumentów nazwowych specyficzne dla rachun-ku nazw9: dwuargumentowe – a, i, ε (tworz#ce odpowiednio zdania: ka%de ...
jest ..., pewne ... jest ... oraz ... jest ...) oraz funktory klasycznego rachunku
zda':¬, ∧, ∨, →, ≡. We wszystkich systemach obowi#zuj# reguła odrywania i reguła podstawiania dla zmiennych nazwowych o standardowych schema-tach. Aksjomatami s# wszystkie podstawienia tez klasycznego rachunku zda' w j&zyku rachunku oraz specyficzne aksjomaty dla poszczególnych systemów, które zostan# wymienione poni%ej.
Aksjomatami sylogistyki w wersji Łukasiewicza (Syl-1) s# nast&puj#ce formuły:
(Syl-1-1) SaS;
(Syl-1-2) SiS;
(Syl-1-3) SaM ∧ MaP → SaP;
(Syl-1-4) SiM ∧ MaP → PiS.
Semantycznie interpretowa$ mo%na wyra%enia tego systemu sylogistyki w teorii zbiorów, gdzie zmienne interpretuje si& jako niepuste zbiory, zdania o postaci SaP jako zawieranie si&, a o postaci SiP jako posiadanie niepustego przeci&cia.
Drugi system sylogistyki10 (Syl-2) zdefiniowany jest poprzez nast&puj#ce aksjomaty specyficzne:
(Syl-2-1) SiP → SaS;
(Syl-2-2) SaP → SiP;
(Syl-2-3) SaM ∧ MaP → SaP;
(Syl-2-4) SiM ∧ MaP → PiS.
Interpretacja w teorii zbiorów dopuszcza dowolne (tak%e puste) zbiory, a zdania SaP oraz SiP interpretuje si& odpowiednio jako zawieranie si& nie-pustych zbiorów i posiadanie niepustego przeci&cia.
9 W dwóch pierwszych systemach wyst&puj# funktory: a oraz i, w trzecim ε, w ostatnim za" wszystkie wymienione.
10 System ten z nieco innym, równowa%nym zestawem aksjomatów i jego interpretacja w teo-rii zbiorów przedstawiona jest w pracy: A. P i e t r u s z c z a k, O logice tradycyjnej i rachunku
nazw dopuszczaj$cym podstawienia nazw pustych, „Ruch Filozoficzny” 44 (1987), s. 158-166,
przedstawiona tu aksjomatyzacja natomiast w pracy: P. K u l i c k i, The use of axiomatic
Aksjomatami bezkwantyfikatorowej ontologii w wersji minimalnej11 (Ont-1) s# z kolei formuły nast&puj#ce:
(Ont-1-1) SεP → SεS;
(Ont-1-2) SεM ∧ MεP → PεS;
(Ont-1-3) SεM ∧ MεP → MεS.
System ten zawiera wszystkie tezy ontologii Le"niewskiego, które daje si& sformułowa$ w jego j&zyku.
W wersji rozszerzonej o predykaty sylogistyki (Ont-2) aksjomaty s# na-st&puj#ce12:
(Ont-2-1) SεP → SεS;
(Ont-2-2) SεP → SaP;
(Ont-2-3) SaM ∧ MεP → SεP;
(Ont-2-4) SiP ∧ PεP → PεS;
(Ont-2-5) SiP → PaP;
(Ont-2-6) SaP → SiP;
(Ont-2-7) SaM ∧ MaP → PaS;
(Ont-2-8) SiM ∧ MaP → PiS.
System ten jest, w ramach u%ytego j&zyka, adekwatny (poprawny i pełny) w stosunku do rozumienia u%ytych funktorów zdaniotwórczych od argumen-tów zdaniowych wyst&puj#cego w ontologii Le"niewskiego, przy interpreta-cji stałej „a” jako tworz#cej zdania ogólnotwierdz#ce sylogistyki w sensie mocnym (tzn. tak jak w systemie Syl-2).
3. CHARAKTERYSTYCZNE MODELE W LOGICE NAZW
Pełno"$ teorii aksjomatycznej w stosunku do modelu oznacza, %e je%eli zdanie jest prawdziwe w ka%dym modelu zdefiniowanym w ramach okre"-lonej struktury modelowej, to jest tez# tej teorii. W pewnych sytuacjach,
11
System autorstwa A. Ishimoto z pracy: A. I s h i m o t o, A propositional fragment of
Les-niewski’s ontology, „Studia Logica” 36 (1977), s. 285-299.
12
System jest szczegółowo analizowany w pracy: P. K u l i c k i, On axiomatisation of pure
calculus of names, [w druku]. Szereg równowa%nych aksjomatyzacji przedstawianych jest w pracy:
A. P i e t r u s z c z a k, Standardowe rachunki nazw z funktorem Le!niewskiego, „Acta Universitatis Nicolai Copernici. Logica” 1 (1991), s. 5-29.
zamiast rozpatrywa$ wszystkie modele, mo%emy si& ograniczy$ do jakiego" podzbioru struktury, na przykład do modeli o okre"lonym rozmiarze. W tej sytuacji ka%de zdanie, które jest prawdziwe w takim ograniczonym modelu, jest tez#. Z drugiej strony, je%eli zdanie nie jest tez# systemu, to jest fał-szywe w modelu o okre"lonym rozmiarze.
Z tak# sytuacja mamy do czynienia w rachunku nazw, o ile ograniczymy si& do specyficznych formuł, zwanych w literaturze formułami Hornow-skimi. Formuły takie przyjmuj# posta$:
(1)α1∧ ... ∧ αm→ β,
gdzieα1 , ... , αm (m ≥ 0) oraz β s# zdaniami atomowymi j&zyka.
Takie zaw&%enie do formuł Hornowskich nie stanowi istotnego ograni-czenia siły wyrazu j&zyka. Formalnie ujmuje to wyst&puj#ca we wszystkich rozpatrywanych systemach własno"$ dysjunkcji, któr# w odniesieniu do sy-logistyki wprowadził J. Słupecki13. W ogólno"ci dotyczy ona wszelkich bez-kwantyfikatorowych systemów nabudowanych na klasycznym rachunku zda', których aksjomaty s# formułami Hornowskimi14. Przyjmuje ona nast&puj#c# posta$:
(2)γ → β1 ∨ ... ∨ βn
jest tez# systemu wtedy i tylko wtedy, gdy tez# systemu jest przynajmniej jedno z wyra%e'
(3)γ → βi (1 ≤ i ≤ n),
gdzieγ jest koniunkcj# wyra%e' atomowych, a βi (1 ≤ i ≤ n) s# wyra%eniami atomowymi.
W klasycznym rachunku zda' ka%de wyra%enie mo%na sprowadzi$ do ko-niunkcji wyra%e' o postaci (2). Z kolei zachodzenie własno"ci dysjunkcji gwarantuje mo%liwo"$ rozło%enia wyra%enia o postaci (2) na wyra%enia o po-staci (3). W rezultacie ka%de wyra%enie j&zyka rachunku nazw mo%na prze-kształci$ do zbioru wyra%e' Hornowskich, rozstrzygn#$, czy s# one praw-dziwe i nast&pnie oceni$ prawdziwo"$ pierwotnego wyra%enia.
Jednocze"nie wyra%enia Hornowskie s# intuicyjnie bardziej czytelne ni% wszelkie inne wyra%enia rachunku nazw, poniewa% daj# si& interpretowa$
13
U Słupeckiego wyst&puje ona w nieco innej, równowa%nej postaci. 14
Sformułowanie tego faktu oraz jego dowód znale)$ mo%na w pracy: J.C.C. M c K i n s e y,
The decision problem for some classes of sentences without quantifiers, „Journal of Symbolic
jako reguły, w których przesłankami s# elementy poprzednika, a wnioskiem nast&pnik. Tak# posta$ maj# te% formuły sylogistyki Arystotelesa.
W pracy Modele dla sylogistyki Arystotelesa w dziedzinie
dwuelemento-wej15 pokazany jest charakterystyczny model dla formuł Hornowskich sy-logistyki w wersji Łukasiewicza (tu rozszerz& go tak%e do systemu Syl-2), w pracy Minimal models for pure calculi of names16 podobny model zdefinio-wany jest dla obu rozpatryzdefinio-wanych systemów bezkwantyfikatorowej ontologii. Wszystkie wspomniane powy%ej modele daj# si& zdefiniowa$ w dzie-dzinie dwuelementowej. Oznaczmy elementy tej dziedziny, tzn. dowolne dwa ró%ne przedmioty symbolami: ♥ oraz ♦. W tak okre"lonej dziedzinie mo%na sformułowa$ cztery ró%ne zbiory, którym odpowiadaj# cztery nazwy: x, y, z, v, okre"lone w nast&puj#cy sposób: zakresem nazwy x jest ∅, y – {♥}, z – {♦}, v – {♥,♦}.
W przypadku systemu Syl-1 potrzebne b&d# tylko nazwy y, z oraz v. Prawdziwo"$ zda' atomowych zbudowanych przy u%yciu tych nazw mo%na przedstawi$ w postaci nast&puj#cych matryc.
a y z v i y z v
y 1 0 1 y 1 0 1
z 0 1 1 z 0 1 1
v 0 0 1 v 1 1 1
Matryce dla systemu Syl-1
Symbol 1 oznacza, %e odpowiednie zdanie atomowe jest prawdziwe, a sym-bol 0, %e jest fałszywe. Dla funktorów klasycznego rachunku zda' stosuje si& klasyczne matryce. Dowolna formuła Hornowska j&zyka jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy przy wszystkich podstawieniach nazw y, z, v za zmienne w niej wyst&puj#ce otrzymuje si& zdanie prawdziwe.
Analogicznie matryce dla pozostałych systemów rachunku nazw przed-stawiaj# si& nast&puj#co.
15
P. K u l i c k i, Modele dla sylogistyki Arystotelesa w dziedzinie dwuelementowej, „Roczniki Filozoficzne” 46-47 (1998/1999), z. 1, s. 239-242.
16
a x y z v i x y z v
x 0 0 0 0 x 0 0 0 0
y 0 1 0 1 y 0 1 0 1
z 0 0 1 1 z 0 0 1 1
v 0 0 0 1 v 0 1 1 1
Matryce dla systemu Syl-2
ε y z v
y 1 0 1
z 0 1 1
v 0 0 0
Matryca dla systemu Ont-1
ε x y z v a x y z v i x y z v
x 0 0 0 0 x 0 0 0 0 x 0 0 0 0
y 0 1 0 1 y 0 1 0 1 y 0 1 0 1
z 0 0 1 1 z 0 0 1 1 z 0 0 1 1
v 0 0 0 0 v 0 0 0 1 v 0 1 1 1
Matryce dla systemu Ont-2
Podsumowuj#c t& cz&"$ rozwa%a', mo%na stwierdzi$, %e prawdziwo"$ b#d) fałszywo"$ zda' szerokiego fragmentu rachunku nazw mo%e by$ oce-niana w oparciu o dziedzin& (fragment rzeczywisto"ci) zawieraj#cy jedynie dwa elementy (przedmioty). Obecno"$ wi&kszej liczby przedmiotów nie jest tu potrzebna. Stwierdzenie to odpowiada w oczywisty sposób przytoczonym w sekcji 1 rozwa%aniom dotycz#cym punktu wyj"cia metafizyki, w których równie% jest mowa o tym, %e dwa byty wystarcz# jako punkt wyj"cia dla ogólnej teorii bytu.
Zaznaczy$ tu nale%y, %e na gruncie logiki nazw, aby ograniczenie do dwóch przedmiotów było mo%liwe, system logiczny musi posiada$ własno"$ dysjunk-cji. Dlatego te% wspomniana własno"$ b&dzie przedmiotem dalszych rozwa%a'.
4. INTERPRETACJA ZASADY DYSJUNKCJI
Aby lepiej zrozumie$ własno"$ dysjunkcji, rozpatrzmy przykład systemu b&d#cego wzmocnieniem systemu Łukasiewicza, który jej nie posiada. System taki otrzymamy, gdy rozpatrywa$ b&dziemy zale%no"ci mi&dzy nazwami zde-finiowanymi w dziedzinie zawieraj#cej dokładnie okre"lon# liczb& elementów, np. dwa. System taki jest wi&c zbiorem zda' j&zyka sylogistyki prawdziwych w sytuacji, gdy istniej# dokładnie dwa przedmioty i rozpatrywane s# nazwy odpowiadaj#ce niepustym zbiorom z nich zbudowanym. Mimo zewn&trznego podobie'stwa zało%enie to ró%ni si& od przyj&tego w poprzednim paragrafie. W tamtym przypadku rozpatrywali"my tylko formuły okre"lonego kształtu (formuły Hornowskie), dla których, o ile s# fałszywe, istnieje model o dwóch elementach wykazuj#cy ten fakt. Teraz liczebno"$ dziedziny staje si& własno-"ci# definiuj#c# system i odnosi si& do formuł o dowolnej postaci. W tak okre"lonym systemie prawdziwa jest np. alternatywa:
SiP ∨ SiM ∨ PiM
która głosi, %e z trzech dowolnych nazw przynajmniej dwie musz# obejmo-wa$ wspólnie jaki" przedmiot, cho$ nie musi by$ tez# %adne z wyra%e':
SiP, SiM, PiM
rozpatrywane oddzielnie.
Zasada dysjunkcji nie obowi#zuje wi&c w systemach logicznych rachunku nazw dotycz#cych fragmenty rzeczywisto"ci o ograniczonej z góry liczbie obiektów. W zwi#zku z tym mo%na j# uzna$ za formalizacj& faktu, %e nazwy s# rozumiane tre"ciowo, a nie zakresowo. Obejmuj# wszystkie aktualne b#d) potencjalne przedmioty spełniaj#ce odpowiednie warunki, a nie zestawienie okre"lonych co do ilo"ci elementów. Taka interpretacja własno"ci dysjunkcji wykracza poza jej techniczn# rol& w rozpatrywanych systemach formalnych. Wskazuje na istotn# własno"$ tej logiki i jednocze"nie aspektu rzeczywis-to"ci, który ta logika uzewn&trznia. Aby prawa logiki mogły obowi#zywa$ musz# bowiem wyst&powa$ w rzeczywisto"ci i jej poznaniu prawidłowo"ci ich obowi#zywalno"$ gwarantuj#ce.
Takie same tre"ciowe, a nie zakresowe podej"cie do u%ywanych nazw wyst&puje w teorii bytu. Ilo"$ bytów nie jest ograniczona, zawsze mog# si& pojawi$ na horyzoncie poznania kolejne indywidua, gatunki, rodzaje. Wła"-ciwego uj&cia zale%no"ci mi&dzy przedmiotami oraz ich gatunkami i rodza-jami nie da si& zbudowa$ poprzez proste zestawienie wszystkich istniej#cych przedmiotów ani ich kategorii. W zamian za to potrzebna jest intelektualna intuicja tre"ci.
Wida$ wi&c podobie'stwo mi&dzy rozwa%aniami le%#cymi u podstaw teo-rii bytu oraz logiki nazw, wskazuj#ce na to, %e dotykaj# tego samego aspektu rzeczywisto"ci. Rozwa%ania logiczne s# wi&c pewnego rodzaju potwierdze-niem intuicji dotycz#cych minimalnej podstawy empirycznej dla metafizyki przytoczonych w sekcji 1.
Mimo pokazanych formalnych podobie'stw nie mo%na pomin#$ istotnych ró%nic mi&dzy logik# nazw a metafizyk#. Logika nazw ujmuje tylko jeden aspekt – wzajemnych relacji mi&dzy nazwami mog#cych słu%y$ do klasy-fikowania przedmiotów, ale za to z matematyczn# precyzj#. Klasyfikowanie takie jest te% obecne w metafizyce, w m.in. postaci teorii kategorii byto-wych. Metafizyka jednak%e jako swój podstawowy problem przyjmuje znale-zienie koniecznych warunków bycia bytem.
6. PODSUMOWANIE
W pracy zwrócono uwag& na analogi& zachodz#c# mi&dzy rozwa%aniami dotycz#cymi liczby przedmiotów stanowi#cych empiryczn# podstaw& dla teorii bytu oraz dociekaniami dotycz#cymi rozmiaru modeli potrzebnych do rozstrzygania formuł na gruncie bezkwantyfikatorowej logiki nazw. W obu wypadkach w odpowiedzi na postawiony problem pojawiaj# si& jako minimum dwa przedmioty. W wyja"nieniu zauwa%onego podobie'stwa wskazano na tre"ciowy, w odró%nieniu od zakresowego, aspekt poznania rzeczywisto"ci.
BIBLIOGRAFIA
I s h i m o t o A.: A propositional fragment of Lesniewski’s ontology, „Studia Logica” 36 (1977), s. 285-299.
K u l i c k i P.: Modele dla sylogistyki Arystotelesa w dziedzinie dwuelementowej, „Roczniki Filozoficzne” 46-47 (1998/1999), z. 1, s. 239-242.
— The use of axiomatic rejection, [w:] T. C h i l d e r s (wyd.), The Logica Yearbook 1999, Prague: Filosofia 2000, s. 109-117.
— On axiomatisation of pure calculus of names, [w druku]. — Minimal models for pure calculi of names, [w druku].
Ł u k a s i e w i c z J.: O sylogistyce Arystotelesa, „Sprawozdania z czynno"ci i posiedze' Pol-skiej Akademii Umiej&tno"ci” 44 (1939, nr 6, s. 220-227. Przedruk w: J. Ł u k a s i e w i c z, Z zagadnie' logiki i filozofii, Warszawa 1961, s. 220-227.
M c K i n s e y J.C.C.: The decision problem for some classes of sentences without quantifiers, „Journal of Symbolic Logic” 8 (1943), s. 61-76.
N i e z n a ' s k i E.: Sformalizowana ontologia orientacji klasycznej, Warszawa: UKSW 2007. P i e t r u s z c z a k A.: O logice tradycyjnej i rachunku nazw dopuszczaj#cym podstawienia nazw
pustych, „Ruch Filozoficzny” 44 (1987), s. 158-166.
— Standardowe rachunki nazw z funktorem Le"niewskiego, „Acta Universitatis Nicolai Coper-nici. Logica” 1 (1991), s. 5-29.
S ł u p e c k i J.: Z bada' nad sylogistyka Arystotelesa, Wrocław 1948.
S t & p i e ' A.B.: Dwa wykłady. Punkt wyj"cia w filozofii. Teorie relacji: filozoficzne i logiczna, Lublin: TNKUL 2005.
THE MINIMUM EMPIRICAL BASIS FOR THE THEORY OF BEING VS. MODELS FOR THE LOGIC OF NAMES
S u m m a r y
In the article attention is paid to the analogy between considerations concerning the number of objects that are the empirical basis for the theory of being and investigations concerning the size of the models necessary for solving formulas on the ground of calculus of names without quantifiers. In both cases a minimum of two objects appear as an answer to the question that has been posed. In explaining the noticed similarity the meaning aspect, as different from the referential aspect of cognition of reality, is pointed to.
Translated by Tadeusz Karłowicz
Słowa kluczowe: teoria bytu, rachunek nazw, model charakterystyczny. Key words: theory of being, calculus of names, characteristic model.
Information about Author: PIOTR KULICKI, Ph.D. – Department of Foundation of Computer Science, Faculty of Philosophy, The John Paul II Catholic University of Lublin; address for correspondence: Al. Racławickie 14, PL 20-950 Lublin; email: kulicki@kul.pl
