"Multifraktalne charakterystyki finansowych szeregów czasowych"

Pełen tekst

(1)

(2)

(3)

(4)

(5) . !

(6) ".

(7)

(8)

(9) . !" #$" % &&. .

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15) ! " # . $

(16)

(17) $

(18)

(19)

(20)

(21) % & ' . .

(22)

(23) . .

(24) . . " .

(25) .

(26) !. # !. %#& !.

(27)

(28)

(29)

(30) . '#! ! (! %!##& )*. . + '%,)%(. . -. '%,)%( ! ! #!, !. ' ' '#0# 1 %!&. 1 !. (! !!& 2#! ,

(31) 1''. 3 & τ (q). $ . . / $ $ .

(32)

(33)

(34)

(35)

(36) f (α). . !

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42) " #$ #%&. . ' ( ) *(

(43)

(44) +

(45) f (α). . (

(46)

(47)

(48) f (α). '. , -

(49) +. '. .

(50)

(51)

(52) *

(53)

(54) /. '.. " 4#* 5. " 6 789:2. " " '! #! !&,#. ". ; '#! ! '! -#. <; ; '#! ! = &. /. 0 1

(55) . .

(56) <.

(57)

(58) * !* 2!. #2= & # ! 6 #>& .& !#, * 2!= > 2 & ! >! -, . . & > & #0 0> ? " <@ 6 2!= > #> !# 0#&.* . ! ?/ $ ; @. 0 & 2 && ! # # ! #2& ! #&. )!2 > #&. !A 20 0> * = ! & & # B #& 2. ! . ! !, ## &. = ! * &C 2# 2 #& D##& 0#2 = *> #& #!& E() ) F ? @ . * #! !> !* 2 , &# 1 > &# > 0 0 &2 &# ! ! * * . G. * 0 ! & 0 = 0 ;< # 5 '! #>0 0 >* >* !* * ? "@

(59) = * !* ! 0 >* * # * * & * &!2 ! ? <@ 2! >. != 2 & 0..& = . . . ! # !# * * !#. != ! ! 2 ) y(x) ! log −log & !. . 0 && *! *#& * =2 1 , * & > *. D##& EF 3 *> # .2= >* !* (4HI J(4HI ? @ & , #!. *. ! & & & , #! !. -0 * !* * #&.* ! * 0 & #! !C '#! !2 '!# -# E*) ) * ) & ' F E''(4F? <@ '#! !, 2 50. 6 2 E*) ) ' +) F E'4

(60) F ? / $@. + ! . 0 & ! & , # #. 4 & & ! &0 = > * *

(61) * !* 0 , /.

(62) C *) ) &) ,)

(63) E*) ) ,) &) F E'%,)%(F ? ;@ * * - ,)

(64) E+( ) - *) *. F E

(65) 1''F ?@ + # E !# !# !F . ! 2! & &=. . 0= 0* E= #0. #&= ##F ? @ > * #& #, 0 . *=C

(66) 1'' #& !& '%,)%( 0* * )#> 2 # ! 0 = 2 * = >, * ! 0 #>. !. & . H! & # 0 ! #! ! * 2 * E & =&*F , >& * %! #! ! & = 2! #&. = * * > &2 > = * 2 * 0> # > * && 5 ##, 0 *= #! ! f (α) & > ! A0 #! ! , . !& 0 D##& (!= 0. * , # * 2 #. +! . = * ! , * & = ! 2 2 50 # & & ! *.* 0 )#, * (K E)(LF 2# ) G 3#! E)G3F !# # 2 # # &=, * # 2

(67) =& 20 !* 0* .

(68) * 0* E F , !# E#!F !2 0 & !. 6 *2 '%,)%(

(69) 1'' #& !, # * # #&.* # , # # G * ! 0 2 ! # # * * * # 2* .* > # .

(70) ! " != ! ! * # f (α) > ! !

(71) 0 0 = ## !* > 0 !& $.

(72) 0 # ! )! >2 # > * ! , * 40 = & ! * * 2 2 6 0, #! ! * 2 & # . !. '%,)%(.

(73) 0 & # #& 2= , !& * # f (α) ! < + 0# #! ! *.& * * A0 & !#, = 02 # >2 #

(74) = !A . 2 !# , #&. = &.. = #2!* 0* I# 1 ! ! * ,#*. ' * && 2&. #, .. 0. &. # #2& & 0&. . = &. && 0 0&. 40 / ! * ! * 2!* * E ##=# # 2F 6, 0 # #&.& 0 & !& .

(75) ! $ . * ! * # #2 !& >& & #0 # . # * * 2#. ! #

(76) , & 0 #! ! &. !& ! . + >* 2 0 =, &* 1 # =. #2= 2!=# ! ''(4 #&. & & 20 * 2 #! ! * , * 40 ; != = & ! & # * + > '#! ! '! -# = &2 & #* . 6= ) ! * & #> ! # !#. ;.

(77) .

(78)

(79)

(80) . 0 M !N * 02 0 M0N !# M.N -0 5 '! ?@ !* /,* LL # & ! 2#!* > > * 0 * !& 2

(81) 0 0 & > & & & & &. =2 2 # ! 0 = 2 # 20 . '! 2 0 &# & # J , ! ! & = 2 ## > ! & 6! .# 20 = * !# 2#! ! & &, O = ** ##& = 2 ## ! & 0&. .> 20 % ! . & > * ## !> =. 0 0 2# ! *# 2 0 # ! 2 #0 0 ##! ! * &. * & 0& > 0 ! ! ?"@ O !* 2!.&. = P ## , ! && * !C H . * &. 2 '! , 0 2#0 * . %! . * > . && &

(82) 0 > & * &.* , ! * ! * * !> 2 ! 6 !2 ! > & . &, & #&. . = * &. G. * &.0 '! - ,) / 0 ?@

(83) & #& = 2. & ! - = > 0 ! . , ! # ! =.

(84) !& = . &= 2 !& 2. * !.

(85)

(86) . .

(87) 4# C ! !C F H F * F&. 2 F '! E !2 # c ! 2 .2 ! !>. #&. zn+1 = zn2 + c Ez0 = 0F & 2F. .

(88) .

(89)

(90) . - &= ! 0. = ! & 1 ! = # 1 > # #& & # 2 , ! & ! !> ! ? @ 3 0 2 # = E !F , 0 1 *#& ! # # #& )&= = > 02, &#&. & ?<@. 1 # 0&. ! # 6 = > = #& & 2 ! ., & 0>

(91) !# * # & # 0 > , # & #!* & 2! 2 #. +! 3 0 7* B#! 0 ! H*. , *. & & ! #> * * 2#0 E 0 !F 0#> * # )! 0 2 ! !> & = 0 #& = 60 2 ! > 2& ## Q&#&. , > > & ! 0 S : Rn → Rn > S(x) = T (x) + b, E F 2 T & 0 ! Rn = , . n×n b & Rn . 0 & 0> & ! E&0F #= # >!2 60 S : Rn → Rn

(92) &! & ! 0 < c < 1 ! & ? $@ |S(x) − S(y)| ≤ c|x − y| EF ! >2 x yRn G! > 0 * , & 2! . .

(93) ! "# $

(94) "#

(95) "#

(96) ! "# % $ &

(97)

(98) ' (

(99) T : Rn → Rn

(100) T (x+y) = T (x)+T (y) T (λx) = λT (x)

(101)

(102) x, yRn λR. .

(103) 4# C ) 2& & 0 ! 2. G>! S1, ...Sm . =>&. Rn & 0 & F 2 = > F =. m . Si (F ). i=1.

(104) &# > 2 # 2#& !2 5* # 0 4, = =>&.* = > #& * 3% E4 , F )! Si =.* , F & E ! Si =.* F & F 60 !##&. >. 0 & &. 2

(105) # &. 2 S1 , S2, S3 : R2 → R2 . !& , &2 &. )!2 > > C F = S1 (F ) ∪ S2 (F ) ∪ S3 (F )

(106) . > F & #. * 2 60 !# & ## +. = & &* > #> > & && * # 2#& > & ! ) , 0 & #& !# 2. 0> . 0 & 2 & ! . -. & * * 0. !.. ".

(107) 4# C &. 2.

(108) . ! 2 &. # ## !, * ) * * ! #> = ) , * > 6!&. & 0 ! EF ! #& = & != ! != 0=* , * 02 0> ## & 2# 1 ! & !2 dT > & & 0 )! ## & * !2

(109) # ! # & . & # 60 > # ! !* & 6 ## " 0, 0= = ! & ## 0A . && 0=& - 2 ## !2 G> 0 #, 2#& dT =

(110) & = = > !2 & . . # )!2 > &= # , !2 ! ! & G ! = & &P ! & & !# ! # )!2 > & ! ! # !2 ! > .

(111) 4# "C - #& & 6

(112) # ! & = # * & !& . E3F

(113) = # ! . # - 0 #2 0#. >* # 2 2 # ? @ + , # !> * * = * , & & 6>& &>& && #! ! # !2 =. !# ## !& = . G. & # !2 & 1 ?"@.

(114) #& .>. != = & > ! 2 0 #& E 0 !F N = 1/sDS. !#. Ds =. log(N) , log(1/s). EF. 2 N & !. = s 0 ! Ds , 3 &#&. 0 #& ! R #& N = 3 DsS 6 ! # , # #& DsS DsS

(115) * = * & !2# 4> = > !#&. !

(116) , # ## !* 0 #& > ! & * ! 2 !

(117) # # H > # = #&. 2, 0# ! 0 s = 1/3 !#& * Ds = log(2)/ log(3) ≈ 0.6309

(118) 2 > ! > ! 0. > 2 # !22. Q #2#& > H & = # . & 2 . #&. ! ! & *#& > dT )! &. 2 Ds ≈ $ <.

(119) !#& 2 2!=# = . 0, .. G ! *= & ., & ! ! #&. 0 + ! , & #!. . & 5 6 E > 5 67 ( F & &. &. &>&* , && # & ! # !& = ? @. ( I#T & 5 6 O* U = # Rn , & & |U| = sup|x − y| : x, yU =& > ε Ui & ε, # F &>! F ⊂ ∞i=1 Ui 0 < |Ui | ≤ ε G>! 0> > F Rn s & !. . ! ε > 0 > C Hεs (F ). = inf. ∞ . |Ui | : {Ui } s. & ε − . F .. E"F. i=1. 1 F &>& ε = # # # =2 s *

(120) # & Ui 0 !! -&. ε =& 20 # ##&. != >, !* # F J Hs 2 ε → 0 & . 5 6 C E F

(121) = I#T = !# ∞ G & s ! 2 Hs &#& . 1 # s & I#T dH C ∞ ! s < dH Hs = E<F 0 ! s > dH . )!2 2 & , * &! . , * G &. * '! 0 & ! & # ! 2 I#T & = > &2 !2 3 *> & = ! #>& ! & &. ! ! * dT = dH S ).

(122) I#T & = &, # #>. & & #C & > &= !# . 02, &. #! = # & !& Hs (F ) = lim Hεs (F ). ε→0. /.

(123) * *#* ) & & > & = > # -#& F & Rn K(ε) & F #! ε O* N(ε) = !. #! K(ε).

(124) #0 dC # F > = #&.C dC (S) = lim sup. δ→O +. log(N(ε)) . log(1/ε). E/F.

(125) N(ε) > = ! *, ε

(126) ! & = 2 # 2 &= G & & & !0 > #0. G >& ! # # * = &. E ! # ! , * # ? @ dH = 0 dC = 1F *> ! #>& ! I#T #0 . E&. 2 HF #& ! & = !#& &! > & . ! E#! !F

(127) # 0 = 0 &= . O > ! . = !2 I#T #0 ?;@C dT ≤ dH ≤ dC . E$F . -& 2 # !2 0& *, 2 # !& 0 * # , 2 &

(128) 2! ! # !2 = ! !* && ! !> - & &. ##& & & &. #. ( 0 # ! * &, # * = ! >2 ## . ! 2! > & # ) ) & #& . ! !# &* ## !* * !

(129) 0 # #! ! !! 0 ## !&. > & M0*N !

(130) !& = =. ! !&. >.

(131) &. &= ! 2 , 2! = # E 2! !2F $.

(132) 2 2!= ! # #& 3. !& > 0 # *#&. ! = >* =* # ' µ > 0 0## 2 !# O # * &

(133) !# * µ R > 2= (x) = limε→0 µ([x, x + ε])/ε

(134) # ! , ) 2. > #&= 2= ' ! > #>&. ! α f (α)

(135) 0 ! α & = #&. ? ;@C +. α(x0 ) = lim+ ε→0. ln µ(Bx0 (ε)) , ln(ε). E;F. 2 Bx (ε) & #!. # x0 ε α ! M0=N ! # x0 6> & > 0. E F ##& #= α & ! #&.& !! * = E!F 3 0 & & & ! & µ )! 22 # α(x0)S * != ) x0 )#2 !C f (α) ) #. E!# # #! !F & & ! EI#TF ! 2 ! &#& ! α ?@C f (α) = dH {x0 supp µ : α(x0 ) = α}. E F # ! ! #0 2! 0 ! 0 5#&. & !* f (α) > Nα (ε) ε−f (α) 2 > # ! #& !#& *2# Nα ε → 0+.

(136) &# &0& & > ! #! , ! -#> > # 2 #& ! & & ! # ##& = &2 ## (α0, f (α0)) 1 . . 3&. & > *2 #! ! )! * & =, & & ! # 0 = =& > &2 ## ( > ! #! ! & & . >* !. 6 ! # ! >* & > #>* 0=

(137) &. &=& # , &.& ! ! ε #>& α

(138) ! , # f (α) # #&. & 2!!* µ(Bx0 (ε)) εα(x0 ) ,. ;.

(139) !* . ! & ! O&=& ! #& = ! .

(140) C N (ε). Z(q, ε) =. . µqi (ε),. qR.. E F. i=1. 6! * q ##= 2!=# !

(141) 2 ε → 0+ #& 0# *#& = & #& =2 Z(q, ε) ετ (q) , E F 2 τ (q) & 0 ! - 2 , # = !& = # = .# τ (q) f (α) 4> 0 α ! ε (α)ε−f (α) G! = E F #2!= E F Z(q, ε) (α)εqα−f (α) dα, E "F . q ! ##= 2!=# !, )! ε → 0+ # & α ! & qα − f (α) & && - & τ (q) #& τ (q) = min(qα − f (α)). E F α . > τ (q) > &= 72: f (α) +&. &= &C f (α) = min(qα − τ (q)). E <F q - &. #&= !#&.. > ! # ! 6>, > > #0 C . q = df /dα τ (q) = qα − f (α). . α = dτ /dq f (α) = qα − τ (q).. E /F. -#> > # ! #& τ (q) & ! , # ! f (α) 0 = &2 ## & I#T )! #! ! 0 !#, &. & !. #&. q O E F > > d2f /dα2 < 0 ! * α . > > # ! 0 . != . .

(142) $"

(143)

(144) f (α)

(145)

(146) ) ∩ *

(147) f (α). .

(148) 6 τ (q) > . >. ! ! !C ) ) Dq Dq = Dq. τ (q) . q−1. E $F. f (α) .> = #&. !>C Dq =. 1 (qα − f (α)). q−1. E ;F. - Dq & >& ! ! * q &. &!. &= 3 ! q = 0 Z(0, ε) #& != # ε . 02 #

(149) #&. E F E F > −τ (0) = D0 = dc () = max f (α). EF α . ! # & f (α).

(150) α ! 2 # ! .2 # & &=, & . !. ! . )! q = 1 Z(1, ε) & #. # 0&. = , N (ε) 0 0#2 ε )! !& Z(1, ε) = i=1 µ(ε) = 1. - 2 > τ (1) = 0 &. E /F #& 0 = τ (1) = minα (α − f (α)) ⇒ f (α(q = 1)) = α(q = 1)

(151) = > 0#>& 5#&. >* * > C. µ(ε) log(µ(ε)) dτ (1) = lim D1 = α(1) = − E F . ε→0 dq log(ε)

(152) >C − µ(ε) log µ(ε) & !& =, * ε α(1) *#& * = !> ε & .

(153) . J q = 2 D0 & !&C D2 = lim. log. . ε→0. µ(ε)µ(ε) . log(ε). EF. )! q = ±∞ Z & & 2= µ(ε) E! q → +∞F !# & 2= E! q → −∞F . 2 # ! !&. &!&. &0. ! # !, &2 & . ## . .

(154) D0. wymiar nosnika. D1. wymiar informacyjny. q=0 q=1. 0. q=-. 8. q=+. αmin. wymiar informacyjny. α. 8. f(α. )=. α. f(α). αmax. 4# C # #! ! f (α). β ←→ q U ←→ α. F (β) ←→ τ (q) S(E) ←→ f (α). 1! C (!2 = ! #! ! , .. O & = # > . !, 2 = ! #! ! . ?<@ '> #> > q τ (q) 0. = . != , # 5! β = 1/kT 2 F . 6 . E /F ! > f (α) & !2 , S α 2 U - f (α) > #> &0 & & &.& 2!!& & 0* ! !*

(155) ! , 20 ! *#&. #! ! * . .

(156) 4# <C 4#*

(157) ,5E# 2F &2 , = E !F. .

(158) !

(159) . + 2 ! ! 2. 0#, > > #& 2#!* 1 & * = !* *& ! & , >& # . 2!2= = H #& 2. > 2 & ! > * & ! R2 ? @

(160) >. != 2 #& &= ,

(161) 0 #& & E F 0 #*#

(162) ,5 E

(163) 5'F E# <F U #> > = 2 # .& #& - ! & = # , 2 0 #&. 2#0 ! 0#> # #& = 2&. 2!= 20# )0 2 # # ! = #! !* * 20

(164) &# & & # H G ! . &. 5 +! 2#! #& G>! f (x) & .

(165) #&. . ! >2 λ > 0 0 !&= EF -#> > ! H = 1 #& f (x) & +. = * 0 2#! #& * > , > * . # !2 ! # . H G & * * , & ! & # O&=& #> . DG = 2 − H DT = 1/H > 2 − H + # # * >. = & & > & . = >* 2* DG > # & #0 02 # E G * 2!2 M2 *NF DT ,& #0 . = & M>N #& E. T M!NF 2 2 > & ?/@. f (x0 + λx) − f (x0 ) λH (f (x0 + x) − f (x0 )).. ".

(166)

(167) * !* 20 0 !2 !&. ! ! . = , ## #! !*

(168) C '%,)%(

(169) 1'' E && 0, ># #F ! . & !# &* * 0 . # f (α) + . > * #& &! & 6>& 20 * . ) #

(170) 1'' ! ! 2 # # && 0 !# 0. "

(171) #

(172) ! $

(173)

(174) % 6 *) ) &) ,)

(175) '%, )%( E*) ) ,) &) F & !,. & )%( #! ! ? ; @ )! &, * >& ! & & 0#2, * !& !& 2 # . & &. &! * * ' & !& & ! #. != #! , !*. 2 2. 3 !4#. H0 # 0 = =# && & # ! !# #2! 0 I#. )! xi 0#2 N ! & 2) 89 : 2 #C Y (i) =. n . [xi − < x >],. i=1. i = 1, 2...N,. E"F. 2 <> . 0& Y (i) > # & & . #&.& = i * +&=, & & ! > ##= # = * * #& .

(176) # ! & 2 0#2 s 5 !, * #2!= # ! & # &. & .# =

(177) # & # #& 2Ns 0 2 Ns = N/s. .

(178) O= ! >2 2 ν ! & Pν(l) , ! # l G2 &= ! ! &= D##& > 0C F 2 (s, ν) ≡. 1 {Y [(ν − 1)s + i] − Pν(l) (i)}2 . s i=1 s. E F. - & !# ##= # > ) !> , # l !# ! & l ! l − 1 2!& 2 !# , > = > & & '%)%( ! l = 1 '%)%( ! l = 2 . " O= & # & * , 0* !

(179) ;

(180). 2Ns 1 1/q q/2 Fq (s) ≡ [F2 (s, ν)] , 2Ns ν=1. q R\{0}.. E<F. - # q & & # ! #& 0#C ! ! !> !, 20# 3 ! q < 0 &= 0 #& D##& = *0 0* D##& ! q > 0 &= =. 0 #> D##&

(181) & , #> > ! q = 2 '%)%( * )%(. + . & * Fq ! >* ! s

(182) # 2 ! & ! #& =, 2 #& D##& ! #>* sC Fq ∼ sh(q) , E/F 2 h(q) & ) 5 .> = > ! && h(2) & 0 I# 5. )! ! h(q) & 0 & 2 & #! ! 9<: & !&.. #&. q )#> D##& &. & 0, h & D##& . * = h

(183) h(0) > E<F

(184) # # !2. . F0 (s) ≡ exp. 2NS 1 ln[F 2 (ν, s)] ∼ sh(0) . 4Ns ν=1. <. E$F.

(185) )! 20 #&.* !. !&= Eh ! !# & F '%,)%( & &. 0 !2 > , #= 0 O& & > # # 0 !2 20# #> !* Y˜ (i)C Y˜ (i) ≡. i . [Y (k)− < Y >].. E;F. k=1. )! !2 20# #& D##& = # !>. ˜ F˜q (s) ∼ sh(q) = sh(q)+1 . EF '%,)%( >& & = & ! * , ! # & 20 0#2* 0 * & 0 - 2 > . '%,)%( ! . !, * 0 ! * F 2(ν, s) & !# ! C [F 2 (ν, s)]q/2 ∼ sτ (q) . E F F 2 (ν−1,s)<F 2 (ν,s)≥F 2 (ν+1,s). O & 0. &= '%,)%(. 2 2. 56 !4#

(186)

(187)

(188)

(189) 4 . '#! ! )%( > !, # #! !2 && . . #0. ? ;@ ( ! && > > & & N ! ( i=1 xi = 1) = & , * . E F . = ! & > # !& ) ;

(190) 9,&:C FF2 A ≡ [Y (νs) − Y ((ν − 1)s)]2 . EF 4> >& & & #. ! xi ! [(ν − 1)s : νs]

(191) # !& > > & E F ps(ν) ν , 2 &. E F > C Z(q, s) ≡. N/s . |ps (ν)|q ∼ sτ (q) .. ν=1. /. EF.

(192) -. = #&. 0# Z(q, s) #&. D##& Fq (s) > C Fq (s) =. 1 1/q Zq (s) ∼ sh(q) , Ns. E"F. * !#&C E F &. >& !> E /F > ., = #2! 0 I# # !C α = h(q) + qh (q) ; f (α) = q[α − h(q)] + 1. E<F τ (q) = qh(q) − 1.. . " " & " ' (

(193) ! 3 #! !* & *. * - ,)

(194)

(195) 1'' E+( ) - *) *. F ?; @

(196) #&. && ! & 20#. 0A ,! != & !# & #& > ##= ! τ (q) = & 72: f (α) 1 & # & ! & 2! ! &*. '

(197) 1'' 0 = * 0#2, * !& & )O( ?"@ &!2 !#2 ? @ 22& 2& #&. E)7(F ? @ 0 =& ##!& ?<@. 22. 7

(198)

(199)

(200)

(201)

(202). 6.

(203) 1'' & ! E( ) F E

(204) 1F ?/@ & & & 20# 0 !!, & =! #>! !!& 2#! 20 1 ! & #&. !# = ! 20 !. 1 Tψ [f ](b, s) = s. . ψ. x − b f (x)dx, s. E/F. 2 f (x) ! 20 ψ & !. b R s R+ , C 0 #= ! %! ! #& # # ! ! & E $.

(205) 4# /C 60 ! & !& EF (, ! 20C ! * EF 1 ! EF 7 . ( ) F %#& ψ && ! !& 6 . . != . > =0 = && 6 = # s ##& = # !& ##& ! &, !# = =! - ! #= b ! # != 0#> K & . . !.

(206) > , 0A & 0 #& = . ! = & !# 0> E KF ! E F 60 !& 0 , ## / (! 20 0 ! * # 0 # H

(207) > & #> !* ! #& =& 20 20# !2 > & = )#&. , & 20# 0A 0>,! ##& **. ##= 20# =. ! = ! +, ;.

(208) # .. #&. 20# ! 0. G # 0> != . & && !, !& =! %! # #! ! ! & #0 = #&.C . Cψ =. ∞. 0. |Ψ(ω)|2 dω < ∞, ω. E$F. Ψ(ω) & . %# #& ψ(ω) %! > & &! # ! , * 20# &=& * !> ! &C J# && * ' )#*

(209) , = ! #. & *& #& J# !2 > # = =& & ! ! +&. N & *& > C dN − x2 e 2. dxN. E;F )! N S #& #!. !=C #&= 2 !# E * 0# ! &.2 & !#F. %#& & &. . *= N * , ψ(N ) & * 0 ≤ m < N. E"F ψ (N ) (x)xm dx = 0, G A& 0 & !# !# 0 IV! O ## $ ! & ! #* #& J# !# 0 b s * = !. ψ (N ) (x) =. 22.

(210)

(211)

(212) 8

(213) + 4

(214) 7!!. -* = #& f (x) 0 ## x0 > , # !# 1! f (x) = c0 + c1 (x − x0 ) + . . . + cn (x − x0 )n + C|x − x0 |α . E" F G>! ! ! nψ > n * > & 2! !# n &. >2 > C 1 Tψ [f ](x0 , s) = s. . C|x − x0 |. α(x0 ). x − x0 )dx = C|s|α(x0 ) ψ( s. . . |x |α(x0 ) ψ(x )dx ,. E"F.

(215) 4# $C JC * #& J# & ! )0C 0 , b s #!&= !. .. E"F ( ! > #> 0 ! &>! . ! +2 = #& & 2 ! ! * 0 IV! E ! !#&.* * 0F 6 2#!, !& #& #

(216) 1 !, !* |T ψ[f ](x0, s)| 6# (x0 , s) & !! # #0# &>! |T ψ[f ](x0 , s)| > |T ψ[f ](x, s)| ! >2 x . x0 |T ψ[f ](x0 , s)| ≥ |T ψ[f ](x, s)| ! >2 x ! . x0 ' #0# > 0. 0A !. . #&. ! E# /F G! 0* !* 20 >* #0# !& & 20 !! 2#! 3& . > ! #&. = 0#> * ! ## Tψ [f ](x0 , s) ∼ sα(x0 ) ,. . s → 0+ ..

(217) &&& !

(218) # 2 ! #& & ! C ∞ #&C Tψ [f ](x0 , s) ∼ sn , s → 0+ . E""F 1 α = & # !* ! G ! ! ! . 2= # ! & = ! ! 2 &# 20

(219) # & 2!!& &. & #& 0# = #&.C Z(q, s) = |Tψ [f ](bl (a), a)|q ∼ sτ (q) , E" F ψ. lL(s). 2 L(a) & * ! l !>.* ! s bl & 0> # τ (q) 0 !#&. &. E"F Nα (s) ∼ sf (α) > C τ (q) = min(qα − f (α)) = τB (q). E"<F α τB (q) >. # & 0 #& , !#&. E F . 2 !# 2 !* ! ! #! ! ! )& E" F & ! ! q < 0 '> &. & *= &. #0 # # # #0# 0#> ! #C Z(q, s) = ( sup |Tψ [f ](bl (a ), a )|)q . E"/F lL(s). s ≤s. . * # ! f (α) .22 , & 72: τ (q)C f (α) = min(qα − τ (q)). E"$F q 22. &

(220)

(221) τ (q). )! q = 0 τ (0) ! ! ! s & # ! #& +0#&. = #0& > −τ (0) & !# #&. . ) +, !

(222) h +

(223) . D(h)

(224) " /0-102 3 α f (α). .

(225) )! q = 1 τ (1) ! &= 2 # >& #& dc (G) = max(1, 1 − τ (1)). )! q = 2 τ (2) = β − 2 2 β & 0 2= !& ˆ S(k) ∼ k −β Eβ = 2H + 1F. .

(226) ".

(227) f (α). ' >& . = !&. * #! ! 6 > * #& 20 , & !# f (α)

(228) , C # '%,)%(

(229) 1'' . . 2W

(230) !# #& * # . ( ! ! ! ! * #! ! > ! ! -0 >! 0 = > = 0 !& * #& 2= * . > ! #*# 5 E !F # 789:2 ! αL = 1.5 E ! !& *F #! !& E 0 # A0 !> # aF. )% *

(231) . 6 > 0 0 = !* . 7 ,7* E ) 7 F ?; /@ 1 * 0 ! & ! !# & * > D##& , # 202

(232) > ! E & ! #* 5 !# #*

(233) ,5 E

(234) 5'F & >&F 5*! ; # ?;@ 0 . = #&.. 0. #0. O

(235) 1 , # > 20 !#& = . %5' BH & 2# & #& &C < BH (t1 )BH (t2 ) > =. σ2 (|t1 |2H + |t2 |2H − |t1 − t2 |2H ), 2. E";F. 2 XY . - ! & 2 # & C var(BH (t)) = σ 2 |t|2H . E F %5' & * . &2 #C 0 I#, X5 X

(236) # 5 & ! . !& !* = #&.* 3 ! X5 X = . !&. E &.F ! X5 X #& .

(237) !&= E &=F 2! %5' & !, #* 5

(238) 5' ! 2 5= & &*! !&

(239) >& * &. > & * & = # * # # #! ! E20 &, !& ! .. #&= 2= D##&F ( # f (α) & # ## !! α = H f (α) = 1

(240) = &, 2 ## ! .2 # #2#& !. 6 0C & 0 #! ! 2 # * & & !

(241) 1'' #>2 !# '%,)%( >2 &# !& !* 0 #. ) ! 0#2 # 5 . / 0 >! # & !& E !& #& !& !& F. 4> !

(242) 1'' 0 !& * J#, # ψ(1) ψ(2) ψ(3) ψ(4) E E;FF # '%,)%() , l = " > & #>& 0 >! !& # )! &* C , !& * J## !#& 0 2 ψ(4) & 2! !# )! '%,)%(> !, & ! !# 2 ) S" " - q ! # 0 = , . G , ! # # (q = 0) ! , < " q & . 6 0 ! Fq (s) Z(q, s) ! * >, * & !

(243) ! . ## ;. O&> > <= , &> <= . - #& D##& & 0# #&. =2 * G ! & = ! ! # #, & 0 ! .2 = sS" s ≈ . )! =* ! #& 2 = ! Fq (s) ., & &. . ! #>* 0 s O > .# = &. & !> '%,)%( & * * 6 2!. ! #& 0# G & !> & *= 2 ! 0* < > # & .> ! !>, =2& 60 ! & & # #& D##& & & ! !> , &# #>& ! 1> & !& & = 0# <.

(244) MF-DFA l=4. l=3. l=2. l=1. H=0.3 0. 10. Fq(s). l=1. l=2. l=3. l=4. 1. H=0.5. 10. 0. 10. l=2. l=1. l=3. l=4. 1. 10. H=0.75. 0. 10. 2. 3. 10. 4. 10. 2. 10. 3. 10. 4. 10. 2. 10. s. 3. 10. 4. 10. 2. 10. 3. 10. 4. 10. 10. WTMM 20. 10. ψ. ψ. ψ. ψ. (4). (3). (2). (1). H=0.3 0. 10. 32. Z(q,s). 10. (1). (2). ψ. (3). ψ. (4). ψ. ψ. 16. 10. H=0.5. 0. 10. -16. 10. 40. 10. (2). (1). (3). ψ. ψ. (4). ψ. ψ. 20. 10. H=0.75 0. 10. -20. 10. 2. 10. 3. 10. 4. 10. 2. 10. 3. 10. 4. 10. 2. 10. 3. 10. 4. 10. 2. 10. 3. 10. 4. 10. s. 4# ;C 4> #& D##& Fq (s) #& 0# Z(q, s) ! #0* #* 5 H = /. /.

(245) WTMM. MF-DFA 1 0,8. 1 0,8. H=0.3. H=0.3. 0,6. 0,6 0,2. (2). l=1 l=2 l=3 l=4. 0 1 0,8. f(α). 0,4. (1). ψ. 0,2. ψ. (3). ψ. H=0.5. 0 1 0,8. H=0.5. (4). ψ. 0,6. 0,6. 0,4. 0,4. 0,2. 0,2. 0 1 0,8. H=0.75. 0 1 0,8. H=0.75. 0,6. 0,6. 0,4. 0,4. 0,2. 0,2. 0. 0. 0,2. 0,4. α. 0,6. 0,8. 1. 0. 0,2. f(α). 0,4. 0,4. α. 0,6. 0,8. 1. 0. 4# C #! ! ! #0* #* 5 H = / ! > '%,)%(

(246) 1''. = !

(247) ! #! ! . ##

(248) > # # #& & α ≈ H #& & !& - #2& #>. >= * 2!=

(249) # !& > > & & #!, > ! )! >2 , 0 ∆α

(250) # '%,)%( ! H = 0.3 H = 0.5 . # E∆α F *#& = # #> > #> , ! # E∆α F = #& & ! H = / #2#&. >! & & !& )! # , * 2! 0 0 & #>& !

(251) 1'' !# '%,)%(

(252) &. 0 * #>2 # E&# & ! !# #>2 !#F. !& ! > 0 !> 0 , * 0#2 !& +! ! * # H &* #> & ! EH = . / F )! >& H > 0#2 < $.

(253) H=0.3. 0,8. 0,6. 0,6. 0,4. 0,4. 0,2. 0,2. 0 1. f(α). 1. 0,8. 0 1. H=0.5. 0,8. 0,8. 0,6. 0,6. 0,4. 0,4. 0,2. 0,2. 0 1. 0 1. H=0.75. 0,8. 0,8. 0,6. 0,6. 0,4. 0,4. 0,2. 0,2. 0 0,2. 0,3 0,4. 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9. α. 1 0,2. f(α). 1. 0,3 0,4. 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9. α. 1. 0. 4# C #! ! ! #0* #* 5 H = / ! ! >* 0#2 C N S EF N S< EF N S E◦F ! '%,)%( E! !F

(254) 1'' E !F. # )! '%,)%( ! & *& J## !

(255) 1'' +, &. = * * 0 !

(256) q & & ! 0 = ! ?, @ 2! ! &* & , 0 #. (!#&. #! E# F > > = ! '%,)%( . . E∆α ≈ 0.25 ! &2 #F > q #2#& M#2N #! ! !# ! '# & f (α) 0 !!, α = H ! = E&. & & H = 0.5 ! & # & #= α = " F 3 0#> & 0& & & ! >2 # > & 0& !> 0 0#2 3& = !

(257) 1'' # , > !> 0#2 3 & 0#> # f (α) & => #> & >2 #. ;.

(258) G ! && # & ! > > !& & #! !# )! = # # & ! '%,)%( 0 !! α = H E& &. & & ! 5 S / F. 6##&. ! '%,)%( ! , # 0&. ! !& & 0#2 !& & O

(259) 1'' >! & 2! 0#2 , O ! # f (α) ! # 00 > > >* 6 ##&. =

(260) 1'' & & !. = ! 2& > '%,)%( *#& & . #* 5. . + ,-./ 0. O= ! 0 & & #! , !C ! ? ; $ " " @ 4> * = ! 789:2 E17%F E- ?@( ,) F &. *= *

(261) > 0 D##& 20 & 0, ! # *#& = 0#>. =. !. 2# 2 + &. = 0* * .* 0 '! 0 ! 789:2 *#, &. = >& * !# ;< # ? "@