Tom 22 2006 Zeszyt 2
EDYTA BRZYCHCZY*
Metoda modelowania i optymalizacji robót górniczych w kopalni
wêgla kamiennego z wykorzystaniem sieci stochastycznych.
Czêœæ 2. Teoria technik sieciowych i budowa sieci stochastycznej
S ³ o w a k l u c z o w e
Modelowanie, optymalizacja, roboty górnicze, sieci stochastyczne, sieci GAN, metoda GERT
S t r e s z c z e n i e
W artykule zaprezentowano teoriê technik sieciowych i budowê sieci stochastycznej wprowadzonej do metody modelowania i optymalizacji robót górniczych w kopalni wêgla kamiennego. Metoda mo¿e stanowiæ narzêdzie wspomagaj¹ce proces projektowania przysz³ych robót górniczych z uwzglêdnieniem wymagañ decy-denta w sferze poziomu wyników produkcyjnych oraz ekonomiczno-finansowych.
Wprowadzenie
Niniejszy artyku³ jest kontynuacj¹ artyku³u zamieszczonego w zeszycie 1 Kwartalnika i przedstawia dalsz¹ charakterystykê metody modelowania i optymalizacji robót górniczych w kopalni wêgla kamiennego z wykorzystaniem sieci stochastycznych. Metoda zosta³a opracowana jako nowoczesne narzêdzie badawcze i analityczne, które uwzglêdnia w swej konstrukcji niepewnoœæ i ryzyko w dzia³alnoœci kopalni wêgla kamiennego, a tak¿e spe-cyfikê prowadzonego procesu wydobywczego.
* Dr in¿., Akademia Górniczo-Hutnicza, Kraków. Recenzowa³ prof. dr hab. in¿. Czes³aw Cyrnek
W pierwszej czêœci artyku³u zosta³y przedstawione podstawowe definicje i za³o¿enia metody. Wprowadzono pojêcia obiektów przestrzennych i technicznych oraz ci¹gu produk-cyjnego i robót górniczych.
Jak wspomniano w pierwszej czêœci artyku³u, g³ównym elementem omawianej metody jest sieæ stochastyczna, która poprzez swoj¹ konstrukcjê umo¿liwia p³ynne modelowanie przebiegu robót górniczych w czasie wraz z odwzorowaniem niepewnoœci zarówno ich kolejnoœci, jak i czasu ich trwania bêd¹cych pochodn¹ warunków górniczo-geologicznych i techniczno-organizacyjnych, w jakich te roboty s¹ prowadzone.
W niniejszym artykule zostanie pokrótce przedstawiony przegl¹d technik sieciowych i metoda GERTS, ich zastosowanie w polskim górnictwie wêgla kamiennego oraz przyjête etapy budowy sieci stochastycznej w opracowanej metodzie.
1. Metody sieciowe i metoda GERTS
Techniki sieciowe s¹ najczêœciej stosowanymi technikami do planowania i kontroli realizacji z³o¿onych przedsiêwziêæ, dla których bez wzglêdu na ich charakter, rodzaj i z³o-¿onoœæ, mo¿na wyodrêbniæ wspólne elementy. S¹ nimi: czynnoœæ, zdarzenie i zale¿noœæ czasowa (IdŸkiewicz 1967).
Czynnoœæ jest to dowolnie wyodrêbniona czêœæ przedsiêwziêcia, której realizacja zwi¹-zana jest z up³ywem czasu oraz zu¿ywaniem zasobów. Czynnoœæ przedstawia siê za pomoc¹ linii ³¹cz¹cej ze sob¹ dwa wierzcho³ki oznaczaj¹ce zdarzenia, co pokazano na rysunku 1.
Zdarzenie jest to moment czasowy, w którym rozpoczynamy co najmniej jedn¹ czynnoœæ lub w którym co najmniej jedna czynnoœæ siê koñczy (Siatki... 1967). Na rysunku 2
B
A
Rys. 1. Czynnoœæ pomiêdzy zdarzeniami A i B ród³o: opracowanie w³asne Fig. 1. Activity between events A and B
C
Rys. 2. Zdarzenie C i czynnoœci wchodz¹ce i wychodz¹ce z niego ród³o: opracowanie w³asne
przedstawiono zdarzenie C, czyli moment czasowy, w którym zakoñczy³a siê jedna czyn-noœæ, a trzy maj¹ w nim swój pocz¹tek.
Zdarzenie oznacza siê za pomoc¹ wierzcho³ków ró¿nego typu w zale¿noœci od rodzaju sieci w jakich wystêpuj¹.
Zale¿noœæ czasowa jest to czynnoœæ, która s³u¿y do pokazania zale¿noœci pomiêdzy zdarzeniami, a w konsekwencji i czynnoœciami. Takie czynnoœci zwane s¹ równie¿ czyn-noœciami œlepymi (IdŸkiewicz 1967) lub pozornymi (Jaworski 1999). Zale¿noœci czasowe znaczone s¹ lini¹ przerywan¹, co przedstawiono na rysunku 3.
Sieæ zale¿noœci (model sieciowy) jest graficznym przedstawieniem planu przedsiê-wziêcia pokazuj¹cym wzajemne zale¿noœci pomiêdzy ró¿nymi dzia³aniami (IdŸkiewicz 1967). Na rysunku 4 przedstawiono przyk³adow¹ sieæ zale¿noœci.
Przy budowie sieci zale¿noœci pierwszym krokiem jest ustalenie sposobu odwzorowania poszczególnych elementów sieci. Metody analizy sieciowej (zwane tak¿e metodami progra-mowania sieciowego, metodami sieciowymi, metodami planowania sieciowego) oparte s¹ na wykorzystaniu teorii grafów (Radzikowski 1980).
Je¿eli wierzcho³ki grafu bêd¹ nam reprezentowaæ czynnoœci, krawêdzie zaœ nastêpstwa czasowe, to stworzona sieæ bêdzie okreœlana jako jednopunktowa, natomiast gdy czynnoœci zostan¹ przedstawione za pomoc¹ krawêdzi, a zdarzenia za pomoc¹ wierzcho³ków — taka sieæ bêdzie nazywana sieci¹ dwupunktow¹. W planowaniu sieciowym szersze zastosowanie
D
E
Rys. 3. Zale¿noœæ czasowa pomiêdzy zdarzeniami D i E ród³o: opracowanie w³asne
Fig. 3. Time dependence between events D and E
1 2 9 6 3 4 5 7 8
Rys. 4. Przyk³adowa sieæ zale¿noœci ród³o: opracowanie w³asne Fig. 4. Example of activity network
znajduj¹ sieci dwupunktowe. Sieci dwupunktowe ze wzglêdu na strukturê logiczn¹ mo¿na podzieliæ na (Jaworski 1999):
— sieci o strukturze deterministycznej, w której wszystkie czynnoœci musz¹ zostaæ zrealizowane, aby przedsiêwziêcie zosta³o wykonane, zwane sieciami kanonicznymi. — sieci o strukturze niezdeterminowanej (probabilistycznej), w których ka¿da czynnoœæ mo¿e byæ realizowana z okreœlonym prawdopodobieñstwem zwane sieciami stochas-tycznymi.
W odró¿nieniu od sieci deterministycznych, w sieciach stochastycznych — aby projekt móg³ zostaæ zakoñczony sukcesem — wystarcza realizacja jednej jakiejkolwiek czynnoœci o okreœlonym prawdopodobieñstwie wychodz¹cej ze zdarzenia probabilistycznego.
W ka¿dej sieci zale¿noœci nale¿y okreœliæ czasy trwania poszczególnych czynnoœci. Czas ten mo¿e byæ wielkoœci¹ zdeterminowan¹ lub zmienn¹ losow¹. Oprócz czasu mo¿na okreœliæ równie¿ inne atrybuty, np. koszt, wielkoœæ zu¿ytego zasobu itp. Sposób okreœlania czasów trwania czynnoœci lub innych atrybutów mo¿e równie¿ stanowiæ kryterium podzia³u metod sieciowych na: deterministyczne i probabilistyczne.
Pierwsz¹ metod¹ planowania sieciowego by³a metoda œcie¿ki krytycznej (CPM —
Critical Path Method), która powsta³a w 1957 roku w USA, jednak najwiêksz¹ popularnoœæ
zdoby³a metoda PERT (Program Evaluation and Review Technique — technika oceny i kontroli przedsiêwziêæ), pos³uguj¹ca siê sieciami deterministycznymi, która zosta³a wyko-rzystana w 1958 roku w USA dla opracowania harmonogramu i kontroli realizacji prac nad rakiet¹ balistyczn¹ Polaris. Przyk³adow¹ sieæ o strukturze deterministycznej przedstawia rysunek 5.
Metody sieciowe w krótkim czasie zdoby³y popularnoœæ, co spowodowa³o powstanie wielu odmian metod analizy sieci, np. CPS, PPS, LESS, CPA, RAMPS (IdŸkiewicz 1967).
Rys. 5. Sieæ o strukturze deterministycznej ród³o: Ignasiak 1975
Obecnie oprócz powsta³ych w latach szeœædziesi¹tych metod analiz sieciowych istnieje kilkadziesi¹t metod, które s¹ wykorzystywane w ró¿nych ga³êziach przemys³u, np. MPM--Metra, MK-ps, Cyclone, sieci Petriego (Organizacja ...1985).
Do najczêœciej wykorzystywanych metod sieciowych zalicza siê:
a) metody sieciowe pos³uguj¹ce siê sieciami kanonicznymi, np. CPM (Critical Path Me-thod — metoda œcie¿ki krytycznej), PERT (Program Evaluation and Review
Tech-nique — technika oceny i kontroli przedsiêwziêæ),
b) metody sieciowe pos³uguj¹ce siê sieciami stochastycznymi, np. GERT (Graphical
Eva-luation and Review Technique).
Stosowanie sztywnej sieci PERT i potrójnego oszacowania obci¹¿eñ poszczególnych jej ³uków daje z regu³y uproszczony opis badanej rzeczywistoœci. Œcis³e okreœlenie przebiegu przedsiêwziêcia poprzez zdeterminowane parametry uniemo¿liwia wykorzystanie stworzo-nej sieci do analizy wielu wariantów rozwi¹zañ. St¹d te¿, w wyniku krytyki techniki PERT, ju¿ wczeœnie, bo w 1962 roku, pojawi³y siê próby jej ulepszenia. Wielowariantowoœæ sieci sta³a siê mo¿liwa do przedstawienia dziêki wprowadzeniu przez H. Eisnera nowego typu zdarzenia (Eisner 1962). Zdarzenie to, przedstawione za pomoc¹ wierzcho³ka „lub”, umo¿-liwi³o zapis alternatywnego przebiegu przedsiêwziêcia. W tabeli 1 przedstawiono w³aœci-woœci zdarzeñ przy ich wyst¹pieniu w modelu sieciowym.
Ta koncepcja wprowadzenia bloków decyzyjnych w sieci poprzez dopuszczenie wielo-wariantowych wyjœæ ze zdarzeñ umo¿liwi³a w praktyce budowê zbiorczych sieci przed-siêwziêæ, które dotychczas ze wzglêdu na alternatywny charakter rozwi¹zañ wymaga³y oddzielnego planowania (Trocki i in. 2003).
Propozycje metodologiczne H. Eisnera, w tym opracowana przez niego typologia wierz-cho³ków sieci, pozwalaj¹ wykorzystaæ do opisu technik sieciowych grafy przep³ywu syg-na³ów SFG (Signal Flow Graphs), wprowadzone przez S.J. Masona przy analizie obwodów elektrycznych (Trocki i in. 2003).
TABELA 1 Rodzaje zdarzeñ
TABLE 1 Events forms
Zdarzenie zdeterminowane Zdarzenie probabilistyczne
W sieciach deterministycznych wyst¹pienie zdarzenia „i-i” pozwala na rozpoczêcie wszystkich czynnoœci
wystêpuj¹cych po nim, je¿eli wszystkie czynnoœci wystêpuj¹ce przed nim zosta³y zrealizowane
W sieciach stochastycznych zaistnienie tego typu zdarzenia mo¿e rozpocz¹æ jak¹kolwiek czynnoœæ wystêpuj¹c¹ po nim, a nie wszystkie jak to by³o
w sieciach zdeterminowanych
Wprowadzenie nowego typu zdarzenia równie¿ okaza³o siê niewystarczaj¹ce. Roz-szerzenie powi¹zañ w sieci oraz podstawowe typy zdarzeñ i zale¿noœci matematyczne z nich wynikaj¹ce poda³ S.E. Elmaghraby (Elmaghraby 1964). Przedstawi³ on sieæ typu GAN (Generalized Activity Network) i zaproponowa³ dalsze uelastycznienie techniki sieciowej poprzez wprowadzenie roz³¹cznego wejœcia zdarzenia (Trocki i in. 2003).
W sieci GAN zdarzenie sk³ada siê z dwóch czêœci: strony wejœcia i strony wyjœcia. Logiczne formy wierzcho³ków od strony wejœcia i wyjœcia przedstawiono w tabeli 2.
Przyk³adow¹ sieæ stochastyczn¹ przedstawia rysunek 6.
Kolejny etap w rozwoju sieci stochastycznych to opracowanie metody GERT, która s³u¿y do analizy sieci stochastycznych typu GAN.
Metoda GERT zosta³a opracowana przez Pritskera, Happa i Whitehouse'a (Pritsker, Happ 1966; Pritsker, Whitehouse 1966) poprzez po³¹czenie koncepcji (Nasierowski 1978):
— budowy sieci PERT,
— grafów przep³ywów sygna³ów,
— algebry grafów opracowanej przez S. Elmaghrabiego, — stosowania elementów logicznych w sieciach.
W celu przeprowadzenia analizy sieci stochastycznych metod¹ GERT dokonuje siê kolejnych redukcji ich struktury. W rozwa¿aniach przyjmuje siê, ¿e ka¿dy ³uk sieci GAN opisany jest przez dwuwymiarowy wektor [pi, ti], gdzie pi jest prawdopodobieñstwem
realizacji ³uku i, pod warunkiem, ¿e wierzcho³ek, z którego on wychodzi zostanie
zreali-TABELA 2 Logiczne formy wierzcho³ków w sieci GAN
TABLE 2 Logic forms of GAN network nodes
Wyjœcie z wierzcho³ków
Wejœcie do wierzcho³ków
Deterministyczne „i” Probabilistyczne „lub”
Zdarzenie wyst¹pi, je¿eli zakoñcz¹ siê wszystkie czynnoœci poprzedzaj¹ce „i”
Zdarzenie wyst¹pi, jeœli skoñczy siê jakakolwiek z czynnoœci poprzedzaj¹ca „lub”
Zdarzenie wyst¹pi, jeœli skoñczy siê jedna i tylko jedna z czynnoœci wzajemnie siê wykluczaj¹cych „albo”
zowany, a tioznacza czas trwania czynnoœci odpowiadaj¹cej ³ukowi i, natomiast czas trwania
czynnoœci jest wielkoœci¹ deterministyczn¹ (Jaworski 1999).
Procedurê stosowania metody GERT mo¿na podzieliæ na kilka etapów (Trocki i in. 2003): a) opisanie projektu za pomoc¹ sieci stochastycznej,
b) zebranie danych liczbowych charakteryzuj¹cych obci¹¿enie poszczególnych ³uków sieci, c) redukcja skonstruowanej sieci stochastycznej,
d) przekszta³cenie sieci (lub funkcji) zastêpczej do postaci umo¿liwiaj¹cej okreœlenie praw-dopodobieñstw i czasu (lub innego atrybutu),
e) analiza i ocena wyników.
Rozwi¹zywanie modeli sieciowych GERT metod¹ kolejnych redukcji jest zbyt praco-ch³onne, st¹d te¿ wprowadzono mo¿liwoœæ wykorzystania do rozwi¹zywania z³o¿onych sieci typu GAN metod symulacyjnych (np. Monte Carlo). Przyk³adem stosowania tego typu postêpowania obliczeniowego jest metoda GERTS (Graphical Evaluation and Review
Tech-nique Simulation) (Jaworski 1999).
W metodzie tej przyjêto, ¿e ka¿dy ³uk sieci opisany jest przez dwuparametrowy wektor
W[pi, ti], jednak w odró¿nieniu od metody redukcji sieci, czas potrzebny do realizacji
czynnoœci opisanej przez ³uk i (lub inny atrybut, np. czas trwania czynnoœci, koszt, realizacja czynnoœci, niezawodnoœæ itp. (Mercik 1976)), jest zmienn¹ losow¹ o danej gêstoœci praw-dopodobieñstwa fi(t) (Trocki i in. 2003). Praktyczne zastosowanie dla wyra¿enia funkcji
gêstoœci prawdopodobieñstwa zmiennej losowej znajduje dziewiêæ rozk³adów (Bocian, Juchnikowski 1979): jednopunktowy, normalny, prostok¹tny, Erlanga, logarytmiczno-nor-malny, Poissona, Beta, Gamma (w tym wyk³adniczy), Beta (sprowadzony do trzech para-metrów, jak w metodzie PERT).
Rys. 6. Przyk³ad sieci stochastycznej ród³o: Kamburowski, Nowak 1984 Fig. 6. Example of stochastic network
Kroki postêpowania w tej metodzie s¹ okreœlone nastêpuj¹co (Trocki i in. 2003): — Krok 1 — wykorzystuj¹c generator liczb losowych:
– dla wierzcho³ków maj¹cych alternatywne wyjœcia generujemy liczby losowe z rozk³adów prawdopodobieñstw okreœlonych na tych wyjœciach. Liczby te wyz-naczaj¹ w sposób jednoznaczny podsieæ, bêd¹c¹ jedn¹ z mo¿liwych struktur przedsiêwziêcia;
– dla ka¿dej czynnoœci podsieci generujemy liczbê losow¹ z rozk³adu prawdopodo-bieñstwa opisuj¹cego czas realizacji tej czynnoœci (lub inny atrybut).
— Krok 2 — dane otrzymane w kroku 1 traktujemy jako deterministyczne i wyz-naczamy interesuj¹ce nas wielkoœci. Poszczególne wyniki s¹ zapamiêtywane w pa-miêci komputera.
Krok 1 i 2 powtarza siê z³o¿on¹ liczbê razy, tak¹, aby otrzymaæ zadowalaj¹co dok³adne oszacowania parametrów wybranych wielkoœci (prawo wielkich liczb). Przyk³adami takich parametrów, które wyznacza siê w metodzie GERTS s¹ prawdopodobieñstwa realizacji zdarzeñ koñcowych oraz wartoœci œrednie i wariancje rozk³adów czasów osi¹gniêcia tych zdarzeñ lub rozk³adów innych atrybutów opisuj¹cych ³uki sieci.
2. Metody sieciowe w górnictwie polskim
Pocz¹tki planowania sieciowego w górnictwie polskim przypadaj¹ na wczesne lata szeœædziesi¹te. W pracy (Doœwiadczenia...1966) opisano doœwiadczenia ze stosowania sia-tek czynnoœci w tej bran¿y przemys³u, dotyczy³y one sieci deterministycznych i techniki PERT. W póŸniejszym okresie zainteresowanie metod¹ PERT zmniejszy³o siê; co by³o spowodowane przede wszystkim bardzo pracoch³onnym sposobem wyznaczania czasu trwa-nia poszczególnych czynnoœci oraz struktury sieci zale¿noœci, a tak¿e oderwanie stosowa-nych wówczas analiz sieciowych od funkcji kontrolstosowa-nych. W powo³astosowa-nych pracach (Czylok i in. 1975; Czylok 1980, 1976; Lisowski 2001) opisano stworzone rozwi¹zania (SAWIP, system SPP.1, SPK, SPO-PR, metoda ACSM), które pos³ugiwa³y siê elementami techniki PERT oraz teori¹ grafów. Wdra¿aniem i opracowaniem tych metod zajmowa³ siê G³ówny Instytut Górnictwa, a od 1975 roku nowo utworzona jednostka — Centralny Oœrodek Informatyzacji Górnictwa, obecnie Centralny Oœrodek Informatyki Górnictwa S.A. W Aka-demii Górniczo-Hutniczej na Wydziale Górniczym w Instytucie Projektowania i Budowy Kopalñ równie¿ prowadzono prace, w których zastosowie znalaz³y metody planowania sieciowego. W pracach (Cyrnek 1974; Cyrnek 1991; Soliñski 1978) wykorzystano istnie-j¹ce metody analizy sieciowej do programowania wielkoœci nak³adów inwestycyjnych na wykonanie górniczych wyrobisk udostêpniaj¹cych i przygotowawczych w pe³nym cyklu budowy kopalñ g³êbinowych. Dla potrzeb projektowania optymalnego udostêpnienia pod-ziemnych z³ó¿ zastosowanie znalaz³y równie¿ sieci warstwowe (Magda, Phoung 1995).
3. Budowa sieci stochastycznej w opracowanej metodzie
Po przeprowadzonej analizie literatury obejmuj¹cej publikacje z doœwiadczeñ górnictwa w zakresie stosowania metod sieciowych oraz modelowania i optymalizacji elementów kopalñ rozpoczêto prace nad opracowaniem metody wykorzystuj¹cej sieci stochastyczne do modelowania i optymalizacji robót górniczych (Magda 2003; Majka 2003).
Aby stworzyæ sieæ stochastyczn¹ adekwatn¹ do projektowanego przedsiêwziêcia — a w przypadku omawianej metody — do prowadzenia robót górniczych w kopalni wêgla kamiennego, nale¿a³o przyj¹æ pewien sposób opisu integralnych elementów sieci.
Podstawowymi elementami sieci stochastycznej s¹: — ³uki,
— wierzcho³ki.
Sieæ taka jest sieci¹ dwupunktow¹, czyli typu „AoA” (Dawson, Dawson 1998) tzn. (czynnoœæ na ³uku).
Celem w³aœciwego oddania oraz wykorzystania sposobu postêpowania okreœlonego w proponowanej metodzie za³o¿ono, ¿e zarówno liczba wierzcho³ków, jak i liczba ³uków s¹ zmienne, co umo¿liwia rozpatrywanie du¿ej liczby wariantów w zakresie mo¿liwoœci prowa-dzenia eksploatacji w kopalni, oczywiœcie przy uwzglêdnieniu ograniczeñ wynikaj¹cych z warunków górniczo-geologicznych i techniczno-organizacyjnych.
3.1. O p i s ³ u k ó w s i e c i
Do opisu charakterystyki ³uków oddaj¹cych poszczególne czynnoœci sieci s³u¿¹ obiekty przestrzenne oraz obiekty techniczne. O wymiarach sieci decyduje kombinacja wszystkich mo¿liwych po³¹czeñ obiektów technicznych i przestrzennych, dopuszczalnych z punktu widzenia technologii, uwzglêdniaj¹cych nastêpstwa czasowe poszczególnych czynnoœci oraz dostêpnoœæ obiektów technicznych koniecznych do wykonania okreœlonych czynnoœci.
Istnieje mo¿liwoœæ wykorzystania ró¿nego wyposa¿enia do wykonania danej czynnoœci w j-tym wyrobisku, st¹d te¿ powstaj¹ alternatywne ³uki, o których liczbie decyduj¹ warianty wyposa¿enia j-tego wyrobiska, zapisane odpowiednio w macierzach MWCH lub MWS.
Wprowadzono nastêpuj¹cy zapis charakterystyki ³uku:
a CZ p c ij c =é ë ê ùûú (1) gdzie:
c — numer kolejny ³uku a,
CZij — okreœlona czynnoœæ realizowana w j-tym obiekcie œcianowym w i-tym
ci¹gu produkcyjnym:
– roboty przygotowawcze RPij,
– prace zbrojeniowe œciany ZBij,
– eksploatacja œciany Eij,
– prace likwidacyjne LIKij,
pc — prawdopodobieñstwo realizacji ³uku o danej charakterystyce.
Przyk³adowy opis ³uku sieci stochastycznej przedstawiono poni¿ej:
a5 E21 0 5 = é ë ê ù û ú , (2)
Interpretacja zapisu (2) jest nastêpuj¹ca: ³uk numer piêæ oddaje czynnoœæ eksploatacji pierwszej œciany w drugim ci¹gu produkcyjnym. Prawdopodobieñstwo realizacji tego ³uku wynosi 0,5.
Prawdopodobieñstwa realizacji ³uków dla wierzcho³ków maj¹cych alternatywne wyj-œcia, zgodnie z metodologi¹ techniki GERTS, mog¹ byæ ka¿dorazowo wyznaczane poprzez generowanie liczb losowych z rozk³adów prawdopodobieñstwa okreœlonych na tych wyj-œciach, przy za³o¿eniu, ¿e suma prawdopodobieñstw ³uków wychodz¹cych z i-tego wierz-cho³ka jest równa 1, mog¹ równie¿ byæ wyznaczone z wykorzystaniem metod eksperckich, co proponuje siê w literaturze (Giedymin, Ba³towski 1981).
W opracowanej metodzie prawdopodobieñstwa realizacji ³uków s¹ ustalane przez projektanta z wykorzystaniem jego wiedzy i doœwiadczenia o mo¿liwoœci prowadzenia robót górniczych w danych warunkach górniczo-geologicznych i techniczno-organiza-cyjnych.
Dla zachowania spójnoœci sieci opisano równie¿ ³uki, które przedstawiaj¹ zale¿noœæ czasow¹: a p c c =é ë ê0 ùûú (3) gdzie:
c — numer kolejny ³uku a, 0 — czynnoœæ pozorna,
pc — prawdopodobieñstwo realizacji ³uku o danej charakterystyce.
3.2. O p i s w i e r z c h o ³ k ó w s i e c i
W sieciach dwupunktowych wierzcho³ek reprezentuje zdarzenie, którego wyst¹pienie uzale¿nione jest od realizacji czynnoœci do niego wchodz¹cych. Zdarzenie równie¿ rozpo-czyna czynnoœci nastêpuj¹ce po nim.
W opisie sieci stochastycznej zastosowanie znajduje szeœæ typów wierzcho³ków powsta-j¹cych z mo¿liwych kombinacji ich wejœæ i wyjœæ.
Istniej¹ trzy rodzaje wejœæ i dwa rodzaje wyjœæ z wierzcho³ków, co przedstawiono w tabeli 3.
Wierzcho³ki sieci stochastycznej mo¿na opisaæ za pomoc¹ nastêpuj¹cej macierzy:
w tp tp ap aw ap aw ap aw i wej wyj e f = é ë ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú 1 1 2 2 K K (4) gdzie:
i — numer kolejny wierzcho³ka, dla i = 1, 2, …, dd,
dd — liczba wierzcho³ków sieci,
tpwej — typ wejœcia wierzcho³ka wi, który mo¿e byæ oznaczony jako: 11 — gdy wejœcie jest typu deterministyczne „i”,
12 — gdy wejœcie jest typu probabilistyczne „lub”, 13 — gdy wejœcie jest typu probabilistyczne „albo”,
TABELA 3 Graficzna i logiczna interpretacja zapisów wejœæ i wyjœæ z wierzcho³ków
TABLE 3 Graphic and logic interpretation of input and output nodes
Rodzaj elementu WartoϾ tp Oznaczenie graficzne Skutek logiczny
WEJŒCIE 11 Zdarzenie wyst¹pi kiedy zakoñczone zostan¹
wszystkie czynnoœci wchodz¹ce do wierzcho³ka „i”
WEJŒCIE 12
Zdarzenie wyst¹pi kiedy zakoñczy siê jedna jakakolwiek czynnoœæ wchodz¹ca do wierzcho³ka
„lub”
WEJŒCIE 13
Zdarzenie wyst¹pi kiedy zakoñczy siê jedna i tylko jedna z czynnoœci wzajemnie siê wykluczaj¹cych
wchodz¹cych do wierzcho³ka „albo”
WYJŒCIE 21
Wszystkie czynnoœci po wyst¹pieniu zdarzenia wychodz¹ce z wierzcho³ka „i” musz¹ zostaæ
zrealizowane
WYJŒCIE 22
Po wyst¹pieniu zdarzenia jedna jakakolwiek z czynnoœci wychodz¹cych z wierzcho³ka „lub”
mo¿e zostaæ zrealizowana
tpwyj — typ wyjœcia wierzcho³ka wi, który mo¿e byæ oznaczony jako:
21 — gdy wyjœcie jest typu deterministyczne „i”, 22 — gdy wyjœcie jest typu probabilistyczne „lub”,
api — ³uki wchodz¹ce do wierzcho³ka w, dla i = 1, 2, ..., e,
awi — ³uki wychodz¹ce z wierzcho³ka w, dla i = 1, 2, ..., f,
e — liczba ³uków wchodz¹cych do wierzcho³ka w,
f — liczba ³uków wychodz¹cych z wierzcho³ka w.
Przyk³adowy opis wierzcho³ka sieci stochastycznej mo¿na przedstawiæ nastêpuj¹co:
w a a a a a a a 4 5 11 7 12 8 13 15 12 22 0 = é ë ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú (5)
Wierzcho³ek 4 ma wejœcie typu „lub” i wyjœcie typu „lub”. Aby zdarzenie opisane tym wierzcho³kiem wyst¹pi³o, musi zostaæ zakoñczona jedna jakakolwiek z czynnoœci wcho-dz¹cych do niego (a5, a7, a8). Po wyst¹pieniu zdarzenia mog¹ rozpocz¹æ siê jedna lub wiêcej
czynnoœci wychodz¹cych z wierzcho³ka (a11, a12, a13, a15).
Graficzne przedstawienie przyk³adowo opisanego wierzcho³ka zamieszczono na ry-sunku 7.
Opisana szczegó³owo sieæ s³u¿y za podstawê do budowy modelu matematycznego, którego g³ówne za³o¿enia przedstawiono w dalszej czêœci artyku³u.
4. Wprowadzenie do modelu matematycznego
Po zbudowaniu sieci stochastycznej adekwatnej dla planowanego przedsiêwziêcia ko-nieczne by³o stworzenie algorytmu obliczeñ.
a8
a12
a7
w4a11
a15
a13
a5
Rys. 7. Przyk³adowy wierzcho³ek sieci ród³o: opracowanie w³asne Fig. 7. Example of network node
Algorytm obliczeñ podzielono na dwa etapy:
1. Etap I — dzia³ania na informacjach zgromadzonych w bazie danych o wyrobiskach, maszynach i urz¹dzeniach.
2. Etap II — obliczenia sieci stochastycznej.
Do dzia³añ na danych zgromadzonych w bazie zaliczono badanie podobieñstwa obiektów (wyrobisk), którego podstawy teoretyczne autorka opisa³a szczegó³owo w swej pracy dok-torskiej (Brzychczy 2005). Po wyborze obiektów najbardziej do siebie podobnych pod wzglêdem okreœlonego zbioru cech i przyjêcia potrzebnych charakterystyk (postêpu danych robót (Pos) oraz kosztu ich prowadzenia (Koszt), przechodzi siê do etapu obliczeñ na sieci stochastycznej.
Obliczenia sieci stochastycznej wymaga³y wyprowadzenia zale¿noœci matematycz-nych pomiêdzy charakterystykami opisuj¹cymi czynnoœci na ³ukach tej sieci. Zale¿noœci te szczegó³owo zostan¹ przedstawione w czêœci trzeciej artyku³u poœwiêconego omawianej metodzie.
Podsumowanie
W artykule zosta³a przedstawiona dalsza charakterystyka metody modelowania i opty-malizacji robót górniczych w kopalni wêgla kamiennego z wykorzystaniem sieci stochas-tycznych. W czêœci drugiej omówiono przegl¹d technik sieciowych i metodê GERTS oraz etapy budowy sieci stochastycznej dla opracowanej metody. W nastêpnej czêœci zostanie szczegó³owo przedstawiony model matematyczny umo¿liwiaj¹cy przeprowadzenie obliczeñ na zbudowanej sieci stochastycznej i na podstawie ich wyników — wybór najlepszego rozwi¹zania.
Artyku³ opracowany w ramach pracy statutowej 11.11.100.856
LITERATURA
B o c i a n L., J u c h n i k o w s k i G., 1979 — Metoda sieciowa GERT. Informatyka nr 11.
B r z y c h c z y E., 2005 — Metoda modelowania i optymalizacji robót górniczych w kopalni wêgla kamiennego z wykorzystaniem sieci stochastycznych. Praca doktorska, Kraków.
C y r n e k C., 1974 — Prognozowanie nak³adów inwestycyjnych w zakresie robót górniczych udostêpniaj¹cych i przygotowawczych w zale¿noœci od tempa realizacji w cyklu budowy g³êbinowych kopalni wêgla ka-miennego. Zeszyty Naukowe AGH, Górnictwo z. 59, Kraków.
C y r n e k C., 1991 — Wybrane zagadnienia przebiegu i oceny procesu inwestycyjnego budowy kopalñ g³êbi-nowych. Skrypty Uczelniane AGH, Wyd. AGH, Kraków.
C z y l o k A., M a d e j s k i A., W i e r c i o c h A., 1975 — Perspektywiczne planowania budowy i rozwoju kopalñ w górnictwie wêgla kamiennego (system SPP). Przegl¹d Górniczy nr 5.
C z y l o k A., 1976 — Symulacyjna analiza wariantów inwestycyjno-produkcyjnych kopalñ wêgla kamiennego. Prace GIG, Komunikat nr 663, Katowice.
C z y l o k A., 1980 — Szczególne przypadki analizy sieci i ich zastosowanie w górnictwie. Prace GIG, Katowice. D a w s o n R.J., D a w s o n C.W., 1998 — Practical proposals for managing uncertainty and risk in project
planning. International Journal of Project Management, Elsevier Science Ltd and IPMA, vol. 16, no. 5. Doœwiadczenia ze stosowania siatek czynnoœci (PERT). Red. A. Lisowski. Wyd. GIG, Katowice 1966. E i s n e r H., 1962 — A Generalized Network approach to the planning and scheduling of a research project.
Operation Research vol. 10, no. 1.
E l m a g h r a b y S.E., 1964 — An algebra for the Analysis of Generalized Activity Networks. Management Science, vol. 10, no. 3.
E l m a g h r a b y S.E., 1970 — The theory of networks and Management Science. Management Science vol. 17, no. 2.
G i e d y m i n O., B a ³ t o w s k i M., 1981 — Metody sieciowe — wyk³ady i zadania. Wydawnictwa Uczelniane Politechniki Lubelskiej, Lublin.
I d Ÿ k i e w i c z A., 1967 — PERT — metody analizy sieciowej. PWN, Warszawa. I g n a s i a k E., 1975 — Programowanie sieciowe. PWE, Warszawa.
J a w o r s k i K.M., 1999 — Metodologia projektowania realizacji budowy. PWN, Warszawa.
K a m b u r o w s k i J., N o w a k A., 1984 — O wykorzystaniu sieci typu GERT w planowaniu procesów budow-lanych. Problemy Rozwoju Budownictwa, r.19, nr 4.
L i s o w s k i A., 2001 — Podstawy ekonomicznej efektywnoœci podziemnej eksploatacji z³ó¿. Wydawnictwo GiG i PWN, Katowice—Warszawa.
M a g d a R., 2003 — Koncepcja wykorzystania sieci stochastycznych do projektowania i optymalizacji robót górniczych w kopalniach wêgla kamiennego. Materia³y konferencyjne, Szko³a Ekonomiki i Zarz¹dzania w Górnictwie, Bukowina Tatrzañska
M a g d a R., P h o u n g T.H., 1995 — Projektowanie optymalnego udostêpnienia podziemnych z³ó¿ na bazie modelowania matematycznego. Zastosowanie metod matematycznych w nauce i technice. Materia³y IV Miêdzynarodowego Sympozjum nt. Zastosowanie metod matematycznych, techniki komputerowej w geo-logii, górnictwie, metalurgii i pokrewnych dziedzinach. Kraków.
M a j k a E., 2003 — Modelowanie robót górniczych za pomoc¹ sieci stochastycznych. Materia³y konferencyjne, Szko³a Ekonomiki i Zarz¹dzania w Górnictwie, Bukowina Tatrzañska.
M e r c i k J.W., 1976 — Modelowanie sieciowe za pomoc¹ sieci typu GAN. Prace Naukowe Instytutu Organizacji i Zarz¹dzania Politechniki Wroc³awskiej nr 12, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wroc³awskiej, Wroc³aw. N a s i e r o w s k i W., 1978 — Metoda GERT. Przegl¹d Organizacji nr 2.
Organizacja i planowanie budowy. Red. W. Lenkiewicz. PWN, Warszawa 1985.
P h o u n g T.H., M a g d a R., 1995 — Zastosowanie programowania matematycznego i techniki komputerowej do projektowania optymalnego udostêpnienia z³o¿a MAO KHE w Wietnamie. Zastosowanie metod matema-tycznych w nauce i technice. Materia³y IV Miêdzynarodowego Sympozjum nt. Zastosowanie metod matematycznych, techniki komputerowej w geologii, górnictwie, metalurgii i pokrewnych dziedzinach. Kraków.
P r i t s k e r A.A.B., H a p p W.W., 1966 — GERT — Graphical evaluation and review technique. Part 1, Funda-mentals. Journal of Industrial Engineering vol. 17, nr 5.
P r i t s k e r A.A.B., W h i t e h o u s e C.E., 1966 — GERT — Graphical evaluation and review technique. Part 2, Probabilistic and industrial engineering applications. Journal of Industrial Engineering vol. 17, nr 6. R a d z i k o w s k i W., 1980 — Matematyczne techniki zarz¹dzania. PWE, Warszawa.
Siatki czynnoœci i ich analiza. Praca zbiorowa. Wydawnictwo Morskie, Gdynia 1967.
S o l i ñ s k i I., 1978 — Metoda oceny efektywnoœci procesu budowy górniczego zespo³u produkcyjnego w wa-runkach Lubelskiego Zag³êbia Wêglowego. Praca doktorska, AGH, Kraków.
T r o c k i M., G r u c z a B., O g o n e k K., 2003 — Zarz¹dzanie projektami. PWE, Warszawa.
¯ u b e r R., 1975 — Planowanie i kierowanie przedsiêwziêciami badawczymi i projektowymi za pomoc¹ sieci stochastycznych. Przegl¹d Organizacji nr 4.
EDYTA BRZYCHCZY
MODELLING AND OPTIMISATION METHOD OF MINING WORKS IN HARD COAL MINE WITH AN APPLICATION OF STOCHASTIC NETWORKS
PART 2. THEORY OF NETWORK TECHNIQUES AND STOCHASTIC NETWORK CREATION
K e y w o r d s
Modelling, optimisation, mining works, stochastic networks, GAN networks, GERT method
A b s t r a c t
The article presents theory of network techniques and stochastic network creation introduced to modelling and optimisation method of mining works in hard coal mine. Presented method could be an useful tool to design process of future mining works in coal mine, according to technical and economical plans.
