Własności szeregów
zbieżnych
Autorzy:
Katarzyna Czyżewska
Twierdzenie 1: WK zbieżności szeregu
Twierdzenie 1: WK zbieżności szeregu
Jeżeli jest zbieżny, to .Komentarz Komentarz
Zbadanie warunku koniecznego zbieżności szeregu nic nie mówi o zbieżności wtedy, gdy jest spełniony, ale gdy nie jest spełniony, to wiemy, że szereg jest rozbieżny (na podstawie prawa kontrapozycji: , gdzie i są zdaniami
logicznymi).
PRZYKŁAD
Przykład 1:
Przykład 1:
Zbadaj zbieżność szeregu . Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Badamy warunek konieczny zbieżności
Ponieważ warunek konieczny zbieżności szeregu nie jest spełniony, bo , to szereg jest rozbieżny.
PRZYKŁAD
Przykład 2:
Przykład 2:
Zbadaj zbieżność szeregu , dla . Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Badamy warunek konieczny zbieżności .
Ponieważ warunek konieczny zbieżności szeregu nie jest spełniony, bo , to szereg , dla jest rozbieżny.
∑
∞ n=1a
n n→∞lim
a
n= 0
(p ⇒ q) ⇔ (∼ q ⇒∼ p)
p q
(1 +
∑
∞ n=1 n1)
n=
(1 +
= e.
lim
n→∞a
n n→∞lim
1 n)
n≠ 0
lim
n→∞a
n∑
(1 +
∞ n=1 1n)
n∑
∞ n=1n
aa > 0
= ∞
lim
n→∞n
a≠ 0
lim
n→∞a
n∑
∞ n=1n
aa > 0
PRZYKŁAD
Przykład 3:
Przykład 3:
Zbadaj zbieżność szeregu . Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Badamy warunek konieczny zbieżności .
Ponieważ warunek konieczny zbieżności szeregu nie jest spełniony, bo , to szereg jest rozbieżny.
DEFINICJA
Definicja 1: szeregu o wyrazach nieujemnych
Definicja 1: szeregu o wyrazach nieujemnych
Mówimy, że szereg jest szeregiem o wyrazach nieujemnych, jeżeli wszystkie wyrazy szeregu są nieujemne.
DEFINICJA
Definicja 2: szeregu o wyrazach dodatnich
Definicja 2: szeregu o wyrazach dodatnich
Mówimy, że szereg jest szeregiem o wyrazach dodatnich, jeżeli wszystkie wyrazy szeregu są dodatnie.
UWAGA
Uwaga 1:
Uwaga 1:
Jeżeli szereg jest szeregiem o wyrazach nieujemnych (dodatnich), to ciąg sum częściowych ma wyrazy nieujemne (dodatnie) i jest niemalejący (rosnący).
WNIOSEK
Wniosek 1:
Wniosek 1:
Jeżeli szereg jest szeregiem o wyrazach nieujemnych (dodatnich), to jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg sum częściowych jest ograniczony.
∑
∞ n=1 1n−
√
n=
= 1
lim
n→∞ 1 n−
√
nlim
n→∞ 1 n √n≠ 0
lim
n→∞a
n∑
∞ n=1 n1−
√
n∑
∞ n=1a
na
n∑
∞ n=1a
na
n∑
∞ n=1a
n( )
S
n∑
∞ n=1a
n( )
S
nMówimy, że szereg jest szeregiem naprzemiennym, jeżeli dla każdej liczby naturalnej , zachodzi warunek .
PRZYKŁAD
Przykład 4:
Przykład 4:
Zbadaj zbieżność szeregu . Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Badany szereg jest szeregiem naprzemiennym o wyrazie , czyli wszystkie wyrazy o indeksach parzystych równe są , a wyrazy o indeksach nieparzystych równe są , zatem ciąg nie ma granicy i nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu.
Czyli szereg jest rozbieżny.
TWIERDZENIE
Twierdzenie 2: o działaniach arytmetycznych dla szeregów zbieżnych
Twierdzenie 2: o działaniach arytmetycznych dla szeregów zbieżnych
Jeżeli szereg jest zbieżny do sumy oraz szereg jest zbieżny do sumy , to szereg jest zbieżny do sumy i szereg jest zbieżny do sumy , dla dowolnego .UWAGA
Uwaga 2:
Uwaga 2:
Jeżeli szereg jest zbieżny oraz szereg jest rozbieżny, to jest rozbieżny i szereg jest rozbieżny dla dowolnego .
∑
∞ n=1a
nn
⋅
< 0
a
n+1a
n(−1
∑
∞ n=1)
n= (−1
a
n)
n1
−1
( )
a
n(−1
∑
∞ n=1)
n∑
∞ n=1a
nA
∑
∞n=1b
nB
∑
∞n=1( + )
a
nb
nA + B
∑
∞c
n=1a
ncA
c ∈ R
∑
∞ n=1a
n∑
∞n=1b
n∑
∞n=1( + )
a
nb
nc
∑
∞ n=1b
nc ≠ 0
PRZYKŁAD
Przykład 5:
Przykład 5:
Zbadaj zbieżność szeregu . Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozważamy szeregi i , które są szeregami geometrycznymi o ilorazach i odpowiednio. Zatem szereg jest zbieżny do sumy , a szereg jest zbieżny do sumy . A zatem
szereg jest zbieżny do sumy .
PRZYKŁAD
Przykład 6:
Przykład 6:
Zbadaj zbieżność szeregu . Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozważamy szeregi i , które są szeregami harmonicznymi rzędów i odpowiednio, czyli szereg jest zbieżny, a szereg rozbieżny, a zatem szereg jest rozbieżny.
TWIERDZENIE
Twierdzenie 3: o działaniach arytmetycznych na szeregach o wyrazach
Twierdzenie 3: o działaniach arytmetycznych na szeregach o wyrazach
nieujemnych
nieujemnych
Jeżeli szeregi i mają wyrazy nieujemne, to ze zbieżności szeregu wynika zbieżność obydwu szeregów i . Z rozbieżności przynajmniej jednego z szeregów lub wynika rozbieżność szeregu , przez kontrapozycję.
TWIERDZENIE
Twierdzenie 4:
Twierdzenie 4:
Jeżeli szereg jest szeregiem o wyrazach nieujemnych, to zmiana kolejności sumowania wyrazów tego szeregu nie ma wpływu na jego zbieżność, a w przypadku szeregu zbieżnego, na wartość jego sumy.
∑
∞ n=1 2− n 3n 5n∑
∞ n=1 2 n 5n∑
∞n=1 3 n 5n 25 35∑
∞ n=1 2 n 5nS
1= ⋅
25 1−12=
5 2 3∑
∞n=1 3 n 5nS
2= ⋅
35 1−13=
5 3 2∑
∞ n=1 2 − n 3n 5nS = + (−1) ⋅ = −
23 32 56∑
∞ n=1 √n+n 3 n2∑
∞ n=1 √n 3 n2∑
∞n=1 nn2 531
∑
∞ n=1 √n 3 n2∑
∞n=1 nn2∑
∞n=1 √n+n 3 n2∑
∞ n=1a
n∑
∞n=1b
n∑
∞n=1( + )
a
nb
n∑
∞ n=1a
n∑
∞n=1b
n∑
∞n=1a
n∑
∞n=1b
n( + )
∑
∞ n=1a
nb
n∑
∞ n=1a
nWylicz sumę szeregu . Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Ponieważ szereg ma wyrazy dodatnie, to pogrupujemy wyrazy szeregu dodając do siebie osobno wyrazy o indeksach parzystych i osobno wyrazy o indeksach nieparzystych. Dla sumy wyrazów o indeksach parzystych korzystamy z równości
otrzymując
Dla sumy wyrazów o indeksach nieparzystych skorzystamy z równości otrzymując
Obliczamy granice obydwu sum
oraz , zatem szereg jest zbieżny do sumy .
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.
Data generacji dokumentu: 2019-04-15 05:00:28
Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=ca8136b52765d3bc7fdeb9e23aa47754
Autor: Katarzyna Czyżewska
