A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 117, 1992
Kazim iera Guraj-Kaczmarek* O TEŚCIE jONCKHEEREA-TERPSTRY
1. Wprowadzenie
Metody a n a l i z y w a r i a n c j i pozw alają na jednoczesne porównanie k i l k u popul a c j i ze względu na jedną cechę. Do w e r y f i k a c j i h i p o t e zy o równości n a d z ie i matematycznych można k o rz y s t a ć zarówno z t e stów param etrycznych, ja k i n iep aram etrycznych.
Sprawdzanie h ip o t e z , w przypadku testów param etrycznych, odby wa s i ę poprzez porównanie poszczególnych składników w a r i a n c j i o g ó l n ej za pomocą s t a t y s t y k i F-Snedecora. S t a t y s t y k a ta wymaga, aby obserwacje b y ły n i e z a le ż n e , a ic h rozkład y normalne. W tym p r z y padku n ależy n a jp ie r w sp raw d zić, czy analizowana zmienna losowa podlega w każdej s u b p o p u la c ji rozkładowi normalnemu o t e j samej w a r i a n c j i . U c h y le n ie z a ło ż e n ia o n ie je d n o ro d n o ś c i w a r i a n c j i J e s t większym niebezpieczeństwem d la p o p u l a c j i g e n e r a l n e j n iż stosowa n ie testów parametrycznych do o b s e r w a c j i , k tó r e rozkładow i normal nemu n ie p o d le g a ją .
Z uwagi na to wygodniej j e s t stosować t e s t y n iep a ra m e trycz n e , k tó re n ie wymagają w e r y f i k a c j i wspomnianych zało żeń . W z a le ż n o ś c i od i l o ś c i czynników k s z t a ł t u j ą c y c h r e a l i z a c j e zmiennych losowych wyróżnia s i ę a n a l i z y w a ria n c y jn e jedno-, dwu- i w ie lo c z y n n ik o w e .
Jednoczynnikowa n ieparam etryczna a n a l i z a w a r i a n c j i , ja k każda t e o r i a , opiera s ię na pewnych z a ło ż e n ia c h , k t ó r e te r a z przedstawimy.
Danych j e s t к p o p u l a c j i g e ne ra lnych o dowolnych ro zk ła d a ch z c ią g ły m i d y stryb u ta n ta m i F ^ i u ) , F 2 ( u ) , . . . , Fk ( u ) . P o p u la c je te
*
są r o z r ó ż n ia ln e za względu na podiom j j = 1, 2, . . . , к pewnego czynnika A. Z każdej z tych popul a c j i pobrano próbę odpowiednio П р n2 » . nk elementową. Niech X y oznacza r e a l i z a c j ę zmien n e j 1-osowej -X, gdzie i - l i c z b a porządkowa elementu w j pop u la
c j i .
Załóżmy, że:
( 1 ) ^ i j ~ ^ ^ j + e i J ’ ^ ^ ^ ^ = ^ * 2 ’ •••> ^ * gd zie: p - nieznana ś re d n ia ogólna, - nieznany e f e k t j poziomu czynnika A
Ž
* j=
0i
j-1( 2 ) w szystk ie błędy losowe są wzajemnie n ie z a le ż n e ;
( 3 ) w szystk ie błędy losowe pochodzą z je d n e j i t e j samej p o p u l a c j i , w k t ó r e j ok reślon a j e s t c i ą g ł a zmienna losowa.
Z p r z y j ę t y c h założeń wynika, że od z w ie rcie d le n iem "zerowego" wpływu czynnika A w każdej su b p o p u la c ji byłyb y jednakowe ś re d n ie poziomy zmiennej losowej X w każdej z к zb iorow ości.
Sp ostrze że n ie to o b ja ś n ia postać hip otezy zerowej w jednoczyn- nikowej a n a l i z i e w a r i a n c j i (p o r . m. i n . B r z e z i ń s k i , S t a c h o w s k i [2j ) :
( 4 ) Hq : F ^ (u ) * F 2(u) = . . . *
Do w e r y f i k a c j i tak sformułowanej h ip otezy zerowej badacze wykorzy s t u j ą n a j c z ę ś c i e j t e s t K r u s k a l a - W a l l i s a , k t ó r y j e s t również oma wiany w l i t e r a t u r z e p o l s k o ję z y c z n e j. W tym opracowaniu p r e z e n t u j e my pewne w ła sn o ści t e s t u jo n c k h e o re a - T e r p s tr a , k t ó r y J e s t także testem pozwalającym weryfikować h ip otez ę zerową ( 4 ) , a n ie b y ł dotychczas stosowany przez p o l s k ic h s p e c j a l i s t ó w przedmiotu.
2. Podstawowe w ła s n o śc i t e s t u Jo n c kh ee rea - T e rp s try
Test '.jonckheerna-Terpstry z o s t a ł zaproponowany przez T e r-p s t r a [15] i J o n c k h e e r e a [ 7 ] , a l e w l i t e r a t u rze n a j c z ę ś c i e j występuje Jako t e s t Jon ckh eerea.
Zakładamy s p e ł n i e n i e założeń (1)-(3> jednoczynnikow ej a n a l i z y w a r i a n c j i , a h ip o tez ę zerową o k r e ś la wzór ( 4 ) , c z y l i
H„ i F j^ u ) = F 2( u ) = . . . = F k ( u ) wobec h ip o tez y a l t e r n a t y w n e j :
g d zie: Uuv - s t a t y s t y k a Manna-Whitneya.
Przypomnijmy, że gdy u < v, to s t a t y s t y k a Manna-Whitneya jest defin iow an a n a s tęp u jąc o :
n e j ( 5 ) , zatem ooszar k r y ty c z n y w tym t e ś c i e budujemy p raw o stron n i e . Dokładny ro zk ła d s t a t y s t y k i J j e s t skomplikowany. H o l l a n d e r , W o l f e [5] z a m i e ś c i l i w s w o jej pracy t a b l i c e w a r t o ś c i k r y ty c z n y c h j(ot, M r i j , . . . . nk ) ) s p e ł n i a j ą c y c h rów n a n ia :
( 5 ) Hj : F j ( u ) F j ( u ) sś . . . « Fk ( u ) , gdzie ch ociaż jedna z n ierów n ości j e s t o s t r a .
S t a t y s t y k a t e s t u Jo n c k h ee rea - T e rp s tra J j e s t sumą -jk (k - 1) s t a t y s t y k Manna-Whitneya, co możemy z a p is a ć : к k - l к
(
6)
( 7 ) U,u v S przy czym 1, j e ś l i Xi u < X j v f < x i u . X j y J « - 1/2, j e ś l i Xiu = Xj v . 0, j e ś l i Xiu > Xj vDuża l i c z b a par X j u < X^v świadczy na rzecz h ip o te z y a l t e r n a t y w
i e ) P ( J > j (oi, k, ( n j , . . . . nk ) ) ) = oć
O j, n2 , n3 * 2, 3, . . . , 8, przy czym ч n2 < n3 , oraz к = 4, 5, 6 i Oj » nj * • 2, J , i . W a rto śc i oC są podane z dokładnością 10~*.
Oto k i l k a w ła sn o ści s t a t y s t y k i J>
a ) j e ś l i min ( n ^ n2 , n ^ ) —* <o i h ipoteza zerowa j e s t prawdziwa, to s t a t y s t y k a 3 podlega rozkładowi asym ptotycznie n o r malnemu o parametrach:
(1 0 ) D2( J ) = |n2(2N + 3) - J j n2 (2n^ ♦ 3) c z y l i :
3' = ~ a s N (0 , 1);
b) k o r z y s t a ją c ze s t a t y s t y k i 3' odrzucamy h ip otezę zerową ( 4 ) , gdy 3 '> u ^ a u a oznacza wartość d ystryb u a n ty rozkładu normal nego standaryzowanego i
c ) j e ś l i oczekiwany kierunek r e l a c j i między n adziejam i matema tycznymi n ie j e s t zgodny z i s t n i e ją c y m uporządkowaniem d la h ip o tezy a lt e r n a t y w n e j
F j i u ) < F 2( u ) * . . . < F k ( u ) ,
to grupy należy przenumerować;
d) j e ś l i к = 2, to korzystamy z jednostronnego t e s t u Manna- -Whitneya-Wilcoxona;
e ) wartość s t a t y s t y k i 3 możne wyznaczyć również wówczas, gdy zamiast znamy ic h ra n g i (łą c z n e rangowanie w szystk ich
к N = X i n,
j = l J o b s e r w a c j i ) ;
f ) wartość s t a t y s t y k i 0 zmienia s i ę wraz z przestawieniem grup;
g) j e ś l i к i nj małe (np. к = 3, n^ = 2, j = 1, 2, 3) i h i poteza HQ j e s t prawdziwa, to dokładny rozk ła d s t a t y s t y k i 3
mo-żerny otrzymać w y ko rz ys tu ją c f a k t , żo w s z y s tk ie
z b io ry rang mają jednakowe prawdopodobieństwo r e a l i z a c j i ;
h) z uwagi na własność s y m e t r i i rozkładu s t a t y s t y k i 3 warto* ś c i k ry ty c z n e j(o£, 5 , ( n p n2, n ^ ) ) zamieszczone w t a b l icach H o 1 l a n d e r a i W o l f e a [5] możemy odczytać nawet wówczas, gdy n ie sp ełn io n a J e s t nierówność n} n2 € n} .
N ajw ażniejszą w ła s n o śc ią każdego t e s t u J e s t jego moc. Przypom nijmy s t a t y s t y k ą omawianego te s t u ( 6 ) :
Ponieważ J * J 2 ♦ J j + . . . + + J k , to możemy z a p is a ć , że
g d z ie : J * * Ц J . v = 2
Hipoteza Hg ( 4 ) będzie odrzucona, gdy
J > Jor, a J o r * j ( « , k, ( n p . . . , nk ) ) .
0 d e h C l11 rozważa k l a s ą h ip o tez a lt e rn a ty w n y c h Нл po s t a c i :
przy ( Л > 1 ).
Hipoteza Нд (1 2 ) d la A = 1 brzmi tak samo, ja k nasza h ipoteza zerowa ( 4 ) .
3. Moc t e s t u Jo n c k h ee rea - T e rp s try
k-1
(
11)
J = J * + J,V k-1
Obecnie będziemy s i ę s t a r a l i przy tak z d e fin io w a n e j h i p o t e z i e
(1 2):
a) znaleźć dokładny rozkład s t a t y s t y k i 3, a tym samym o b l i czyć moc te s tu 3 o n c k h e e re a -T e rp s try , gdy l i c z b a wyróżnionych sub- p o p u la c j i ( k ) oraz ic h lic z n o á ó ( n . ) j e s t mała (do k i l k unastu e- le m entów);
b) badać zbieżność s t a t y s t y k i 3 ( r o z k ła d s t a t y s t y k i 3 j e s t dy s k r e t n y ) do rozkładu normalnego.
Często przy w e r y f i k a c j i h ip o t e z y , że dwie p o p u la cje z c i ą g ł y mi dystrybuantam i F ( * ) i G ( * ) maję t a k i e same r o z k ła d y , tzn. Hq : F ( * ) = G ( • ) , form ułuje s i ę h ip otez y a lt e r n a t y w n e :
(1 3 ) Hj : G = FA dla A > 0 i A / 1,
»2
* G a 1 - (1 - F ) A dla Л > 0 i A. / l znane w l i t e r a t u r z e jako a lt e r n a t y w y Lehmanna.Załóżmy, że mamy daną próbę losową n j elementową z c i ą g ł ą d ystryb u antą F ( •) oraz próbę losową n2 elementową z c i ą g ł ą dys- tryb uan tą G (- ) = { р ( ' ) } Л.
M a n n i W h i t n e y [9] p o d a li wzór re k u re n c y jn y dla prawdopodobieństwa s t a t y s t y k i Uu v , k tó r a b y ła a nalo g iczn a do o k re ś l o n e j u nas wzorem ( 7 ) , przy czym b y ła ona sumą t y l k o zer l j e dynek :
(1 4 ) P ( U 12 = u, np n2 ) . -- ~ Lr~ P ( U 12 = u, n1( n2 - 1) ♦
+ nx -*-^2 P(U12 s u " n2 * nx - 1, n2 )
oraz t a b l i c e rozkładu s t a t y s t y k i U12 d la n j , n2 < 8. Natomiast u S c h o r a k a [13] znajdujemy wzór re k uren cyjny d la prawdopo dobieństw rozkładu s t a t y s t y k i n^ - n2 - U, gdy h ipoteza h| i H2 j e s t prawdziwa
n l
An-+ ЛП2" ; P ( U 12 = u ’ -nl* n2 ’ 1 } ' gdy G = F Ä i Я > 0. Ponadto (16) P (U 12 = U, nx , n2) = p(u - u - ni - " г 5 + A n . * Á n 2 V n ~ P <u « u n l V n2 . ' l ) -gdy G = 1 - (1 - F )a i A > 0. Zauważmy, że: P ( U l2 =>u, O j , n2 1G * F Л ) s p i u i2 = n l n2 “ u ' nl ' n21 G * = 1 - (1 - F ) A ) , P ( U j 2 * u, H j, n2 |G * 1 (1 - F ) * ) * P ( l l j 2 * n t n2 - u , П р n2 |G * * l - ( I - F ) x ).
Ola p r z e j r z y s t o ś c i zapisu przyjmijmy oznaczenie (1 7 ) P ( u 12 a u> nľ n2 ^ s q A^n ľ n2 '
Przy z a ło ż e n iu , że hipoteza Нд (1 2) j e e t prawdziwa, to (1 8 ) P U - j ) - PA ( j , k, n ), gd zie: j e < 0 , -|k(k - 1 ) > , J o k re ś la wzór ( 6 ) , Ц - lic z b a prób, z k tó ry c h każda j e s t n- -elementowa (n^ = n ) . Zgodnie z p r z y ję ty m i oznaczeniami d la к = 2 (1 9 ) Рд O , 2
,
n) = q * (n , n, j ) . J e ś l i к > 2, to prawdziwy j e s t n as tęp u jąc y wzór r e k u r e n c y j n y : (2 0 ) P ( J = j ) = pA ( j , k, n) = = L p Ł( t , к - 1, n ) q д ( n , nk - n, j - t ) ,gdzie sumowanie j e s t r o z c i ą g n i ę t e na w s zy s tk ie w a rto á c i t s p e ł n i a j ą c e nierówność
(2 1 )
max-jo
,
j - n2(k - 1)< m i n | j , y ( k - l ) ( k - 2 ) n 2 }.
Tak określone g r a n ic e w a r t o ś c i t (2 1 ) powodują, że p ^ ( * ) oraz qA( •) są d o d a t n i e .
J e ś l i s t a t y s t y k ę J przedstawimy w p o s ta c i sumy dwóch s k ł a d n i ków (1 1 ) J * i J k , wówczas zgodnie z tzw. T e rp stra [15] będą to n ie z a le ż n e zmienne losowe, а р л ( j , k, n) j e s t ic h splotem. Funk- k c j e P j ( ’ ) można oszacować p od sta w ia ją c A * 1 do wzorów (1 9 ) i
(2 0 ) .
Wykorzystując f a k t n ie z a le ż n o ś c i zmiennych losowych J * i J k (1 1) oraz wzory o k r e ś l a j ą c e w i e l k o ś c i E ^ k ) , ° 2^ k ^ * ) » D2( J * ) (p o r. L e h m a n n [ в] i J o n c k h e e r e a [ 7 ] ) łatwo znaleźć E ( 3 ) oraz D2( J ) .
J e ś l i hipoteza H^ (1 2) j e s t prawdziwa, to 2/
E ( j ) г 0...£.K к ' 1 + я ’
D2( J k ) *л 2п2(к - 1) -j
Natomiast J e ś l i h ipoteza Hg ( 4 ) j e s t prawdziwa, to
E ( J * ) =■ { n 2(k - l ) ( k - 2 ) , 02( J * ) * туп2(к - i ) ( к - 2 ) (2nk + 3). Stąd otrzymujemy: (2 2 ) E ( 3) * E ( J k + J * ) = E ( J k ) ♦ E ( J * ) =
•
"2‘* - » (Ч-1 -
T-hr)-(23) D2( J ) ■ 02( J k + J * ) = o2 (3k ) ♦ 02 ( J * ) =■ " 2(k ■ ° [ T ľ r i ? - { ° í s ŕ 4 ^ * m * * } * ; Wiadomo, że J * i J k podlegają rozkładowi asym ptotycznie n or malnemu, d la teg o rozk ład J będziemy aproksymować rozkładem n o r malnym ze ś re d n ią E ( J ) wzór (2 2 ) i 02( J ) wzór ( 2 3 ) . Wówczas
. / j a E ( J )
-(2 4 ) P ( J * j a r ) . l - ^ --- l ) ,
gdzie Ф ( • ) j e s t d ystryb u antą rozkładu normalnego N (0 , 1).
Występująca we wzorze (2 4) lic z b a ^ j e s t związana z powszech n ie stosowaną tzw. poprawką na c ią g ł o ś ć (p o r. np. J a c o b s o n
•W) .
Z uwagi na f a k t , że J j e s t dyskretną zmienną losową z t a b l i c H o i l a n d e r a i W o l f e a [5] otrzymujemy, np. że:
P ( J > 12) = 0,0111, P ( J > 11) = 0,0333, P ( J S 10) * 0,0889, P ( J 5 9) * 0,1667, a więc n ie I s t n i e j e j « s p e ł n ia j ą c e równanie:
P ( J ^ j « ) = o< , g d zie: o< - zadany poziom i s t o t n o ś c i .
W artości Jcx i J<x ♦ 1 ustalamy tak , aby przy z a ło ż e n iu , że h ip oteza zerowa j e s t prawdziwa b y ła s p ełnio na n astęp u jąc a n ie r ó w ność :
(2 5 ) P j = P ( J > Jc*) > « > P ( J ^ j « + 1) = P 2.
T a b lic e 0 d e h a [lO ] 1 [ l l ] z a w ie r a ją w a r t o ś c i tych praw dopodobieństw i w a rt o ś c i k ry ty c z n y c h Jcy albo Jcx + 1. w z a le ż ności któ re z prawdopodobieństw Pj czy P 2 j e s t b liż s z o <X. Porówna n ie dokładnych (2 0 ) i aproksymowanych w a rto ś c i prawdopodobieństwo P ( J ^ j a ) d la poziomów i s t o t n o ś c i o< = o , 01 i 0,02 oraz к * 3 i 6, n = 2, 4, 6 i 1 p r z e d s ta w ia ją l i c z b y podane w t a b l . 1.
O
Zauważamy, że błąd aproksymacji j e s t mały: 10" , a taka do kładność do celów praktycznych j e s t w y s t a rc z a ją c a .
T а 1 i с а 1 Porównanie w a r t o ś c i Р (Э > j « . ) dokładnych i aproksymowanych
Я
oc = 0, 01 oc = 0 ,20
к = 3 к = 6 к = 3 * = 6
0 A D^A 0 A D-A 0 A D-A D A D-A
1 0,011 0,014 (- 0,00 3) 0,009 0,011 (- 0,00 2) 0,167 0,160 (0 ,0 0 7 ) 0,187 0,183 <0,004) n = 2 • 6 0,075 0,078 (-0,003) 0,059 0,060 (-0,001) 0,590 0,576 (0 ,0 1 4 ) 0,546 0,542 (0 ,0 0 4 ) 12 0,107 0,098 (0 ,0 1 1 ) 0,082 0,081 (0 ,0 0 1 ) 0,707 0,707 (- 0 ,0 0 6 ) 0,633 0,634 (- 0 ,0 0 1 ) ' 1 0,010 0,012 (- 0 ,0 0 2 ) 0,010 0,011 (- 0 ,0 0 1 ) 0,216 0,210 (0 ,0 1 6 ) 0,205 0,203 (0 ,0 0 7 ) n = 4 « 6 0,213 0,207 (0 ,0 0 6 ) 0,154 0,153 (0 ,0 0 1 ) 0,880 0,883 (- 0 ,0 0 3 ) 0,767 0,767 (0 ,0 0 0 ) 12 0,339 0,325 (0 ,0 1 4 ) 0,232 0,230 (0 ,0 0 2 ) 0,963 0,968 (- 0 ,0 0 5 ) 0,863 0,865 ( - 0 , 0C2) 1 0,010 0,011 (- 0 ,0 0 1 ) 0,010 0,010 (0 ,00 0) 0,201 0,198 (0 ,0 0 3 ) 0,201 0,199 (0 ,0 0 2 ) n = 6 « 6 0,393 0,378 (0 ,0 1 5 ) 0,264 0,264 (0 ,0 0 3 ) 0,948 0,955 (0 ,0 0 7 ) 0,868 0,870 (- 0 ,0 0 2 ) 12 0,611 0,600 ( 0 ,0 1 1 ) 0,401 0,399 (G ,00 2) 0,992 0,995 (- 0 ,0 0 3 ) 0,944 0,945 (- 0 ,0 0 1 ) U w a g a : 0 - w a r t o ś c i dokładne, A - w a r t o ś c i aproksymowane. Ź r ó d ł o : O d e h [ l i ] , s . 470. K az im ie ra G u ra j-K a cz m a re k
A. Uwagi końcowe
Nasze badania p ozw alają sformułować pozytywny wniosek odnośnie do k o r z y s t a n ia z rozkładu asymptotycznego s t a t y s t y k i omawianego t e s t u , nawet przy mało li c z n y c h próbach. Przed staw ion e rozważania mają stanow ić bazę d la d a ls z y c h badań k o n c e n tru ją c y c h s i ę na wy k o r z y s t a n iu nieparam etrycznych testów a n a l i z y w a r i a n c j i do p o g łę b io n e j a n a l i z y s t a t y s t y c z n e j nowożeńców. Zdajemy sobie w p e ł n i sprawę, że przedstawione rozważania n ie wyczerpują podjętego t e matu.
I tak n ależ y wspomnieć o pracy S h о г а к a [ 1 4 ] , k t ó r y podaje wzór r e k u re n c y jn y s łu ż ą c y do generowania rozkładu J przy z a ło ż e n iu , że h ip o tez a Нд, ma postać o g ó l n i e j s z ą n iż przeprowadza ne przez nas rozważania, lemat asym ptotycznej mocy t e s t u Jonckhee- r e a - T e rp s t ry podejmowali również: P u r i [1 2 ], В a r t h o l o - m e w [ l ] i O d e h [ l O j . P rac e te będą m. I n . przedmiotom naszych d a ls z y c h badań. L i t e r a t u r a £l] B a r t h o l o m e w D. J . (1 96 1): Ordered T e s ts in the A n a l y s i s of V a r ia n c e , B lo m e t r ik a , 48, 325-332. [2] B r z e z i ń s k i J . , S t a c h o w s k i R. (1 98 1): Zastosowanie a n a l i z y w a r i a n c j i w eksperymentalnych badaniach p s yc h o lo g ic z n y c h , PWN, Warszawa.
[3] D o m a ń s k i Cz. (1 9 7 9 ): S t a t y s t y c z n e t e s t y nieparame t r y c z n e , PWE, Warszawa.
[4] D o m a ń s k i Cz, (1906): Teoretyczne podstawy testów nieparam etrycznych i ic h zastosowanie w naukach ekonomicz nych, Acta U n i v e r s i t a t i s L o d z i e n s i s , F o l i a oeconomica.
[5] H o l l a n d e r M. , W o l f e 0. (1 97 3): Nonparametric S t a t i s t i c a l Methods, J ohn Wi l e y and Sons, New York.
[6] J a c o b s o n J . E. (1 96 3): The Wllcoxon Two - Sample S t a t i s t i c : Tables and B i b l i o g r a p h y , IASA, 58, 1086-1103.
[7] J o n c k h e e r e A. R. (1 9 5 4 )s A D i s t r i b u tio n - Free к- -Sample Test Against Ordere'd A l t e r n a t i v e s , B io m e trl ka, 41, 133-145.
[8] L e h m a n n L . E. (1953); The Power of Rank T e s ts , AMS, 24, 23-43.
[9] H a n n H. B. , W h i t n e y 0. R. (1947): On a Test of Whether One of Two Random V a r ia b le s i s S t o c h a s t i c a l l y L a r ger Than the Othes, AMS, 18, 50-60.
[10] 0 d e h R. (1971): On Jo n c k h e e re ‘ s k-Sample Test Against Ordered A l t e r n a t i v e s , Technom etrics, 13, 912-918.
[11] 0 ď e h R. (1972): On the Power of Jo n c k h e e re ’ s k-Sample, Test Against Ordered A l t e r n a t i v e s , B io m e t r lk a , 59, 467-471. [12] P u r i M. L. (1965): Some D i s t r i b u t i o n - Free k-Sample
Rank Test of Homogeneity Against Ordered A l t e r n a t i v e s , Comm. Pure A p p l., Math. I B , 51-63,
[ 13] s h o r a k R. A. (1966): R e c u rs iv e G eneration of the D i s t r i b u t i o n of the Mann-Whitney-Wilcoxon U - S t a t i s t i c under G eneralized Lehmann A l t e r n a t i v e s , AMS, 37, 284-286.
[14] S h o r a k R. A. (1960): R e c u rs iv e G eneration of the D i s t r i b u t i o n of S e v e r a l Non-Paramotric Test S t a t i s t i c s under Censoring, IASA, 63, 353-366.
[15] T e r p s t r a S. (1952): The Asymptotic N orm ality end Consistency of K e n d a l l ’ s Test Against Trend when Tios ate Prese n t in one Ranhing, Indag, Math. 14, 327-333.
Kazim iera Guraj-Kaczmarek
ON THE 30NCKHEERĘ-TERPSTRA TEST
The Jon ckh aere-Terp stra t e s t is one of the one f a c t o r t e s t s of non-parametric v a ria n c e a n a l y s i s . I t was proposed by T e r p s t r a [ l 5 ] and J o n c k h e e r o [6J most o fte n i t appears in the s c i e n t i f i c l i t e r a t u r e аь the Jo n c k h e e re ’ s te s t . When f u l f i l l i n g the assumptions 1.1 - 1.1 of the cne f a c t o r a n a l y s i s c f v a ria n c e the n u ll h yp o th esis HQ : F j ( u ) = F 2 - . . . = Fk ( u ) as ag a in s t the a l t e r n a t i v e h yp o th e sis H^ : F ^ (u ) í F j ( u ) í . . . < F k ( u ) where at l e a s t one of the i n e q u a l i t i e s i s s t r i c t .
The s t a t i s t i c J of the Jo n c kh ee re- T e rp stra t e s t . i s a sum ^ k (k - 1) of the Mann-Whitney s t a t i s t i c s ( 2 . 2 ) .
The paper p rese n ts the examination of the t e s t ’ s p r o p e r t i e s , i n c l uding the f in d in g of the exact d i s t r i b u t i o n of s t a t i s t i c J , when the more g e n e ra l h y p o th e s is Нд_ i s t ru e ( 3 . 2 ) and the exami n a t io n of convergence of the 3 s t a t i s t i c s ( t h e d i s t r i b u t i o n of which i s d e s c r e t e ) towards normal d i s t r i b u t i o n ( t a b . 1 ). The ap p roxim ation e r r o r of 10*2 may be c o n s id e re d r a t h e r s m a l l , thus the suggested a p p ro x im a tion can be accepted as s a t i s f y i n g the p r a c t i c a l o b j e c t i v e s .
