FOLIA OECONOMICA 271, 2012
[193]
Anna Szyma ska
WYBRANE METODY SZACOWANIA STAWEK
SK ADKI NETTO W UBEZPIECZENIACH
KOMUNIKACYJNYCH OC
Streszczenie. Podstaw dzia!alno"ci ubezpieczeniowej jest prawid!owe szacowanie sk!adek ubezpieczeniowych. Sk!adki powinny by# tak oszacowane, aby towarzystwo nie ponosi!o strat finansowych, natomiast ubezpieczony nie p!aci! za du$o lub za ma!o.
W pracy przedstawiono dwie metody estymacji stawek sk!adki dla sk!adek netto wyznacza-nych metod zerowej u$yteczno"ci. W pierwszej metodzie do szacowania stawek sk!adki wyko-rzystano estymatory bayesowskie. W metodzie drugiej stawki sk!adki oszacowano maksymalizu-j c funkcmaksymalizu-j% u$yteczno"ci, któremaksymalizu-j argumentem maksymalizu-jest ró$nica mi%dzy sk!adk i parametrem szkodowo-"ci, przy warunku zachowania równowagi finansowej ubezpieczyciela. Badanie przeprowadzono na danych rzeczywistych, pochodz cych z !ódzkiego towarzystwa ubezpieczeniowego.
S!owa kluczowe: stawka sk!adki, system bonus-malus, estymacja bayesowska.
I. WST"P
W ubezpieczeniach komunikacyjnych OC klasyfikacja ubezpieczonych do grup taryfowych odbywa si% na podstawie czynników a priori (obserwowalnych czynników ryzyka takich, jak na przyk!ad rodzaj i rok produkcji samochodu, pojemno"# silnika, wiek i p!e# kierowcy) oraz czynników a posteriori (historia szkodowo"ci kierowcy). Dlatego sk!adki w ubezpieczeniach komunikacyjnych OC s wyznaczane w dwóch etapach. Pierwszy to obliczenie sk!adki podstawo-wej na podstawie czynników a priori, drugi etap to taryfikacja a posteriori (por. Lemaire (1995)).
W pracy skoncentrujemy si% na drugim etapie nazywanym systemem bonus-malus.
Systemem bonus-malus b%dziemy nazywa# metody wyznaczania indywidu-alnych sk!adek, uwzgl%dniaj ce liczb% szkód spowodowanych przez kierowc% w przesz!o"ci. W ka$dym systemie bonus-malus musi by# ustalona klasa starto-wa, do której trafiaj ubezpieczeni bez historii szkodowo"ci, wektor stawek sk!adki podstawowej oraz zasady przej"# mi%dzy klasami.
Roczna sk!adka netto jest wyznaczana jako iloczyn sk!adki podstawowej obowi zuj cej w klasie taryfowej (taryfikacja a priori) oraz wspó!czynnika, b%-d cego szacowan procentow stawk sk!ab%-dki.
W pracy nie uwzgl%dnia si% dodatkowych zwy$ek i zni$ek, charakterystycz-nych dla poszczególcharakterystycz-nych ubezpieczycieli.
W ubezpieczeniach komunikacyjnych zak!ada si%, $e liczba szkód K w jed-norodnym portfelu jest zmienn losow o rozk!adzie Poissona postaci
! ) ( k e k K P k ! ! " # # , (k=0, 1, 2, ...) (1)
gdzie
!
nazywamy parametrem intensywno"ci szkód (por.Hossack (1999)). Je$eli portfel jest niejednorodny, to parametr intensywno"ci szkód ! jest zmienn losow o rozk!adzie gamma z parametrami " i # , o funkcji g%sto"ci postaci 0 , 0 , 0 , ) ( ) ( 1 $ $ $ % # " " ! & ' ' ! & ! 'e &! ' f (2) przy czym 2 2 & ' & '! #E(# i D (# . Wówczas liczba szkód w portfelu ma rozk!ad ujemny dwumianowy postaci
)
*
, 0,1,... 1 1 1 1 # ++ , -.. / 0 1 ++ , -.. / 0 1 ++ , -.. / 0 1 " # # # k k k k K P p k k & & & ' ' (3)Estymatory parametrów " i #, wyznaczone metod momentów (por. Doma'-ski, Pruska(2000)) s postaci:
k S k k S k k k " # " # 2 ' 2 2 & i (4)
W ubezpieczeniowym systemie bonus-malus wyznacza si% sk!adk% a priori, a nast%pnie uwzgl%dnia si% indywidualny parametr ryzyka nazywany stawk sk!adki (por. Lemaire (1995)). W pracy do wyznaczania indywidualnych para-metrów ryzyka zastosowano dwie metody: metod% I- wykorzystuj c estymatory bayesowskie oraz metod% II- Ferreiry.
II. SZACOWANIE STAWEK SK ADKI ZA POMOC# METODY I
Niech Kj b%dzie zmienn losow oznaczaj c liczb% szkód w roku j dla danej
polisy; (k1, k2,…,kt) wektorem obserwacji liczby szkód przez t lat dla danej
poli-sy; F($) b%dzie dystrybuant zmiennej losowej !; !t11(k1,k2,...,kt) b%dzie nie-znanym parametrem szkodowo"ci w roku t+1 dla polisy opisanej wektorem ob-serwacji (k1, k2,…,kt).
Nieznany parametr !t11(k1,k2,...,kt) mo$na oszacowa# za pomoc estymato-ra bayesowskiego na podstawie wektoestymato-ra obserwacji (k1, k2,…,kt). Je$eli funkcja
straty jest kwadratowa to estymator bayesowski parametru(jest warunkow warto"ci oczekiwan rozk!adu a posteriori i ma posta#
)
*
2
3 1 # ( # 0 1 1 1 1( ,..., t) [ , , t] , , t t k k E k k !dF !k k ! ! (5)gdzieF(!k1, ,kt)jest dystrybuant warunkow zmiennej losowej ! przy zaob-serwowanych warto"ciach (k1, k2,…,kt).
Za!ó$my, $e rozk!ad liczby szkód w portfelu jest ujemny dwumianowy. Pa-rametr intensywno"ci szkód ( ma rozk!ad a priori gamma z paPa-rametrami " i #.
Z twierdzenia Bayes’a
)
*
) *
)
*
) *
) *
) *
2
4
4
2
3 1 " " 1 # " " # " 3 % % # # 0 ) ( 1 1 1 1 0 1 1 1 ) ( ! ) ( ! ,... ,... ) ,... ( ! ! ' & ' ! ! & ! ! ! ! ! ! ! & ' ' ' &! ' ! d e k d e k e dF k k P dF k k P k k dF t k t J j t J j t k t t t =) *
' ! ! & ! ! ! ! ' ' &! ! & ' ! & ' d e d e d e t k t k ˆ ˆˆ ˆ 1 ˆ 0 ) ( 1 ) ( 1 % # #3 " " 1 " " 1 1 " " 12
(6)Zatem rozk!ad a posteriori parametru ( jest rozk!adem gamma z parame-trami 'ˆ #' 1k oraz&ˆ #& 1t.
Estymator bayesowski parametru( ma posta#
t k k k t t 1 1 # # 1 & ' & ' ! ˆ ˆ ) ,..., ( 1 1 (7)
Parametry " i # mo$na wyznaczy# ze wzoru (4).
W ubezpieczeniach komunikacyjnych OC indywidualna sk!adka netto w okresie t+1 wynosi: ) ,..., ( ) ,..., ( 1 1 1 1 t t t t k k EX E b k k P1 # 5 (5 1 (8)
gdzie Pt11(k1,...,kt)-indywidualna sk!adka netto w okresie t+1, (EX)-warto"# oczekiwana pojedynczej szkody , ( (E )-warto"# oczekiwana liczby szkód,
) ,..., ( 1
1 t
t k k
b1 -stawka szacowanej sk!adki. Przyjmijmy, $e (EX) =1 oraz
& '
# ()
(E . Wówczas równanie (8) ma posta#
) ,..., ( ) ,..., ( 1 1 1 1 t t t t k k b k k P1 # 5 1 & ' (9)
St d kierowca, który po t latach zg!osi! k szkód, powinien p!aci# stawk% sza-cowanej sk!adki równ
bt11(k1,...,kt)# Pt11(k1,...,kt)5100%
' &
(10)
Do szacowania indywidualnej sk!adki netto zastosujemy zasad% zerowej u$yteczno"ci.
Zasada zerowej u$yteczno"ci opiera si% na za!o$eniu, $e oczekiwana u$y-teczno"# zarobku ubezpieczyciela, gdy ryzyko ( zostanie ubezpieczone za cen% P, równa si% u$yteczno"ci pocz tkowej rezerwy R ubezpieczyciela, czyli
)] ( [ ) (R #E u R1P"! u .
Niech funkcja u($) b%dzie wyk!adnicz funkcj u$yteczno"ci postaci
)
!*
! c
e c
u( )# 11 " " (11)
gdzie c>0 jest parametrem okre"laj cym awersj% do ryzyka towarzystwa ubez-pieczeniowego. Im wi%ksza jest awersja, tym wi%ksza jest sk!adka. Je$eli funk-cja u$yteczno"ci ma posta# okre"lon wzorem (11), to sk!adka netto wynosi
) ( ln 1 c M c P# ( (12)
W przypadku ujemnego dwumianowego rozk!adu liczby szkód w portfelu sk!adka netto wynosi
) * ) *
) *
1 1 1 ln ) ( ln 1 ln 1 0 1 1 0 " $ ++ , -.. / 0 " " # # % # #2
2
3 " " " 3 ( c c e e dla e c d e e c dF c M c P c & & ' ! ' ! & ! ! ' &! ' (13)Uwzgl%dniaj c, $e
'
ˆ #'
1k oraz&
ˆ#&
1t, szacowana wed!ug zasady u$yteczno"ci indywidualna sk!adka netto wynosi++ , -.. / 0 1 " " 1 # 1 & ' t e c k k k P c t t 1 1 ln ) ,..., ( 1 1 (14)
Na podstawie równa' (10) i (14) stawka szacowanej w systemie bonus- ma-lus sk!adki kierowcy, który po t latach zg!osi! k szkód, wynosi
% 100 1 1 ln ) ,..., ( 1 1 ++ 5 , -.. / 0 1 " " 1 # 1 & ' ' & t e c k k k b c t t (15)
III. SZACOWANIE STAWEK SK ADKI ZA POMOC# METODY II
Metoda ta jest oparta na wyk!adniczej funkcji u$yteczno"ci i za!o$eniu, $e ubezpieczyciel ma awersj% do karania nadmiernymi sk!adkami wszystkich kie-rowców w danej grupie portfela. Uwa$a, $e przeszacowana stawka sk!adki jest wi%kszym b!%dem ni$ niedoszacowana stawka sk!adki pod warunkiem, $e rów-nowaga finansowa ubezpieczyciela zostanie zachowana. Stawki sk!adki szacuje wi%c maksymalizuj c funkcj% u$yteczno"ci, której argumentem jest ró$nica mi%-dzy sk!adk i parametrem szkodowo"ci, przy warunku zachowania równowagi finansowej.
Niech dla danego t liczba m+1 oznacza liczb% grup taryfowych w portfelu (k=0,...,m); Nk oznacza ! czn liczb% roszcze' w k-tej grupie taryfowej; N –
! czn sum% roszcze' w portfelu, czyli
6
# # m k k N N 0 . Oznaczmy przez ) ,..., ( 1 1 t t k P k k
Metoda II opiera si% na wyznaczeniu przysz!ych sk!adek netto pk jako mak-simum funkcji ) *
7
8
)
t*
p c m k k k e dF k k c N N p Z( ) 1 11 k ,..., 1 0 0 ! !" " # 3 " #6 2
(16) przy warunku6
# # m k k kp N N 0 1 ! (17)gdzie c jest parametrem wyra$aj cym awersj% do ryzyka ubezpieczyciela. Wykorzystuj c funkcj% Lagrange’a
) *
7
8
)
*
++ , -.. / 0 " 1 " #6 2
6
# " " # 3 m k k k t p c m k k k N p N k k dF e c N N p L k 0 1 0 0 1 ,..., 1 1 1 ) , ( ' ! ! ' ! (18) otrzymujemy6
# # 9 # : : m k k kp N N L 0 1 0 ! ' (19))
*
N k m N k k dF e e N N p L k t c cp k k k ,..., , 0,..., 1 0 0 1 # # 9 # : :2
3 "! ! ' (20)Niech Mk(x) oznacza funkcj% tworz c momenty rozk!adu a posteriori
para-metru !, okre"lon wzorem
)
*
2
3 # 0 1,..., ) ( x t k x e dF k k M ! ! (21)Uwzgl%dniaj c wzory (20) i (21) mamy
'
k
cp
k c e
M (" )# " (22)
Wyznaczaj c pk z równania (22) otrzymujemy indywidualn sk!adk% netto w
okresie t+1
) *
)
M c*
c
Uwzgl%dniaj c wzory (10) i (23) stawka szacowanej sk!adki metod II wynosi
) *
)
ln ln*
100% 1 ) ,..., ( 1 1 M c c k k bt1 t # '" k " ' & (24) W przypadku ujemnego dwumianowego rozk!adu liczby szkód w portfelu stawka szacowanej metod II sk!adki wynosi% 100 1 1 ln ) ( ) ln( 1 ) ,..., ( 1 1 ++ , -. . / 0 ++ , -.. / 0 1 " " 1 1 1 # " 1 t e k c k k b c t t ' ' ' & & & (25) IV. ZASTOSOWANIA
Przedstawione metody zastosowano do wyznaczania szacowanej stawki sk!adki na podstawie danych dotycz cych historii szkodowo"ci, pochodz cych z towarzystwa ubezpieczeniowego dzia!aj cego na !ódzkim rynku.
W tablicach 1 i 2 oszacowano stawki sk!adek metod I (u$ywaj c wzoru (15)) oraz metod II (u$ywaj c wzoru (25)). Parametry " i # rozk!adu intensyw-no"ci szkód (oszacowano za pomoc wzoru (4).
Tablica 1. Stawki sk!adki (w %) szacowane metod I (M I) oraz metod II (M II) dla c=0,4.
0 1 2 3 i wi%cej k t M I M II M I M II M I M II M I M II 0 100 100 1 95 99 121 113 148 125 174 135 2 90 98 115 112 141 124 166 134 3 86 97 110 111 134 123 158 133 4 82 96 105 111 128 122 151 132
)ród!o: Obliczenia w!asne.
Tablica 2. Stawki sk!adki (w %) szacowane metod I (M I) oraz metod II (M II) dla c=1,65.
0 1 2 3 i wi%cej k t M I M II M I M II M I M II M I M II 0 100 100 1 94 98 121 109 147 118 173 125 2 89 96 114 107 139 116 164 123 3 85 94 108 105 132 114 155 122 4 81 93 103 104 125 113 148 120
V. WNIOSKI
Szacowane stawki sk!adki podstawowej ró$ni si% znacznie. Metoda I jest krytykowana, poniewa$ wraz ze wzrostem k i t coraz bardziej przeszacowuje sk!adki. Ma równie$ ograniczenia dotycz ce parametru c. Metoda II zaburza symetri% mi%dzy nadp!at i niedop!at . Obci $a kierowców ca!ego portfela nie-wiele wy$szymi sk!adkami, nie obci $aj c tak dotkliwie kierowców w klasach o du$ej liczbie szkód k.
BIBLIOGRAFIA
Doma'ski Cz., Pruska K., (2000), Nieklasyczne metody statystyczne, PWE, Warszawa.
Hossack I.B., Pollard J.H., Zehnwirth B., (1999), Introductory statistics with applications in
gen-eral insurance, Cambridge.
Lemaire J., (1995), Bonus-Malus Systems in Automobile Insurance, Kluwer Nijhoff, Boston.
Anna Szyma ska
CHOSEN METHODS OF ESTIMATING NET PREMIUMS IN CIVIL RESPONSIBILITY CAR INSURANCE
Abstract
The foundation of insurance activity is the correct estimation of insurance premiums. The premiums should be estimated so that the insuring company would not incur losses and the insured would not pay too much or too little.
In the paper two methods of estimating rates of premiums for net premiums defined by zero-utility method are presented. In the first method to estimating premiums bayes estimators are used. In the second method rates of premium are estimated by maximum utility function whose argu-ment is difference between the premium and the parameter of damage with the condition to pre-serve insurer’s finance balance. The investigation was carried on real data from a &ód* insurance company.
