Analiza wpływu roślinności sprężystej na warunki hydrauliczne przepływu w korytach zarośniętych : monografia. T. 1

(1)

(2)

(3)

Wrocław 2008

Tom I

monografia pod redakcją Tomasza Tymińskiego

(4)

Autorzy:

Tomasz Tymi

Ĕski

Leon Rembeza, Tomasz KałuĪa – współautorzy rozdziału 4

Opiniodawca

prof. dr hab. inĪ. Marek Madeyski

Redaktor merytoryczny

dr hab. inĪ. Krzysztof Pulikowski

Opracowanie redakcyjne mgr ElĪbieta Winiarska-Grabosz Korekta Janina Szydłowska Łamanie Halina Sebzda Projekt okładki

Teresa Alicja Chmura

(fotografie na I stronie okładki – Tomasz TymiĔski)

Publikacja finansowana przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa WyĪszego grant badawczy nr 2 P06S 007 26

ISBN 978–83–60574–18–8 – całoĞü ISBN 978–83–60574–23–2 – tom I

WYDAWNICTWO UNIWERSYTETU PRZYRODNICZEGO WE WROCŁAWIU Redaktor Naczelny – prof. dr hab. Andrzej Kotecki

ul. Sopocka 23, 50–344 Wrocław, tel. 071 328–12–77 e-mail: wyd@ozi.ar.wroc.pl

Nakład 100 + 16 egz. Ark. druk. 5,12 Druk i oprawa: Wydawnictwo Tekst Sp. z o.o.

(5)

SPIS TRE

ĝCI

Przedmowa ... 7

1.WstĊp... 9

2.Zarys problemu ... 11

3.Cel i zakres badaĔ... 13

4.Badania podstawowych własnoĞci fizycznych i mechanicznych roĞlinnoĞci sprĊĪystej... 15

4.1.Badania własnoĞci fizycznych elementów roĞlinnych ... 15

4.1.1. WilgotnoĞü drewna... 16

4.1.2. GĊstoĞci drewna ... 20

4.2.Odkształcenia roĞlinnoĞci elastycznej pod wpływem działania parcia hydrodynamicznego ... 24

4.2.1.Równanie małego ugiĊcia i jego rozwiązanie dla łodygi w kształcie stoĪka ĞciĊtego obciąĪonej parciem hydrodynamicznym... 25

4.2.2. Równanie duĪego ugiĊcia i jego rozwiązania... 29

4.2.3. Wyniki obliczeĔ ... 33

4.2.4.Linia ugiĊcia belki wspornikowej w zmiennym przekroju poprzecznym ... 36

4.2.5. SkrĊcanie prĊta o przekroju kołowym ... 39

4.3. Pomiary modułu sprĊĪystoĞci elementów roĞlinnych ... 41

4.3.1.Normowe oznaczanie modułu sprĊĪystoĞci przy zginaniu statycznym... 44

4.3.2. Pomiar modułu sprĊĪystoĞci elementów roĞlinnych na podstawie analizy linii ugiĊcia belki wspornikowej w zmiennym przekroju poprzecznym ... 44

4.3.3. Pomiar modułu sprĊĪystoĞci elementów roĞlinnych na podstawie analizy skrĊcania prĊta o przekroju kołowym... 47

(6)

4.3.4. Pomiar modułu sprĊĪystoĞci elementów z tworzyw sztucznych na podstawie analizy linii ugiĊcia belki wspornikowej o stałym

przekroju poprzecznym ... 51 4.4.Badania własnoĞci mechanicznych elementów roĞlinnych... 53 4.4.1. Charakterystyka naprĊĪeĔ – granica sprĊĪystoĞci badanych roĞlin ... 55 4.4.2. Wyznaczenie parametrów statycznych – wpływ czasu na wielkoĞü

odkształceĔ... 72

5. Wnioski ... 75 6. PiĞmiennictwo... 77

(7)

PRZEDMOWA

W ramach projektu badawczego finansowanego przez Ministerstwo Nauki i Szkol-nictwa WyĪszego, nr 2P06S 00726, pt. „Analiza wpływu roĞlinnoĞci sprĊĪystej na wa-runki hydrauliczne przepływu w korytach zaroĞniĊtych”, w Instytucie InĪynierii ĝrodo-wiska Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu i w Katedrze Budownictwa Wodnego Akademii Rolniczej w Poznaniu, przeprowadzone zostały badania laboratoryjne właĞci-woĞci biomechanicznych i hydraulicznych roĞlinnoĞci giĊtkiej porastającej doliny rzek. Owocem badaĔ, prowadzonych w latach 2004–2006, jest niniejsza publikacja, na którą składają siĊ dwie główne czĊĞci tematyczne:

CzĊĞü pierwsza pt. „WłaĞciwoĞci mechaniczne roĞlin giĊtkich” dotyczy badaĔ pod-stawowych własnoĞci fizycznych (wilgotnoĞü, gĊstoĞü) i mechanicznych (moment bezwładnoĞci, sprĊĪystoĞü) roĞlin. Skoncentrowano siĊ przy tym na doĞwiadczalnym okreĞleniu „sztywnoĞci” zbiorowisk roĞlinnych, reprezentowanej w formułach hydrau-licznych do obliczania oporów przepływu przez parametr MEJ, który m.in. uwzglĊdnia gĊstoĞü obsadzenia, geometriĊ i moduł sprĊĪystoĞci roĞlin.

CzĊĞü druga pt. „Charakterystyka hydrauliczna” dotyczy badaĔ hydraulicznego oddziaływania giĊtkiej roĞlinnoĞci krzewiastej na warunki przepływu. Badania ekspery-mentalne w laboratorium wodnym umoĪliwiły opracowanie charakterystyki hydraulicz-nej roĞlin na bazie wyznaczonych współczynników oporów przepływu, ze szczególnym uwzglĊdnieniem okreĞlonych w czĊĞci pierwszej cech geometrycznych i biomechanicz-nych zbiorowisk roĞlinbiomechanicz-nych.

MonografiĊ wzbogaca dokumentacja fotograficzna zamieszczona w tekĞcie, a przede wszystkim w załączniku do drugiej czĊĞci pracy. Mam nadziejĊ, Īe bĊdzie ona pomocna Czytelnikom w lepszym zrozumieniu opisywanej w monografii problematyki i pozwoli „poczuü atmosferĊ badaĔ laboratoryjnych”.

Szczególne podziĊkowania składam Profesorowi dr. hab. inĪ. Jerzemu Sobocie, Dziekanowi Wydziału InĪynierii Kształtowania ĝrodowiska i Geodezji Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu, za wsparcie, Īyczliwe rady i pomoc w wydaniu tej monografii.

DziĊkujĊ Profesorowi dr. hab. inĪ. Henrykowi Mikołajczakowi z Akademii Rolniczej w Poznaniu za cenne wskazówki i okazaną ĪyczliwoĞü.

Pani mgr inĪ. Małgorzacie Boczarskiej serdecznie dziĊkujĊ za pomoc przy pracach redakcyjnych.

(8)

(9)

1. WST

ĉP

Rzeki, spełniając wiele istotnych funkcji gospodarczych, stanowią waĪny element krajobrazu naturalnego. Mogą takĪe powodowaü potencjalnie wielkie zagroĪenie powo-dziowe. Tragiczne doĞwiadczenia katastrofalnych powodzi w dorzeczu Odry i Wisły z lipca 1997 r., w których swój niebagatelny udział miała roĞlinnoĞü, m.in. zawĊĪająca swobodny przekrój koryta wielkiej wody, ponownie zwróciły uwagĊ na rolĊ zdolnoĞci przepustowej terenów zalewowych. Oddziaływanie roĞlin na warunki przepływu zaleĪy w duĪej mierze, oprócz parametrów hydrodynamicznych, równieĪ od rodzaju roĞlin, ich fazy rozwojowej, cech geometrycznych i mechanicznych. Do waĪniejszych cech mecha-nicznych (wciąĪ jeszcze słabo poznanych) zaliczyü naleĪy sprĊĪystoĞü roĞlin. Cecha ta sprawia, Īe roĞliny są w róĪnym stopniu pochylane przez płynącą wodĊ (fot. 2.1). To m.in. od wielkoĞci modułu sprĊĪystoĞci zaleĪy, jak duĪej siły potrzeba, aby nastąpiło ugiĊcie. Poznanie tego parametru, zwłaszcza dla giĊtkiej roĞlinnoĞci Ğredniej na miĊdzy-walu (krzewy wikliny, olszyna, trzciny itp.), ma duĪe znaczenie przy przewidywaniu zachowania siĊ roĞlinnoĞci i okreĞlaniu oporów hydrodynamicznych, które są stawiane przez zbiorowiska roĞlin płynącej wodzie. Ma to Ğcisły związek z połoĪeniem zwierciadła wody w korycie.

Wykorzystanie roĞlinnoĞci do zabudowy rzek oraz ocena aktualnej przepustowoĞci koryta wielkiej wody wymagają zastosowania metod obliczania parametrów ruchu wody z uwzglĊdnieniem wpływu roĞlin oraz przyjĊcia odpowiedniej metodyki badaĔ takiego ruchu. Podstawową trudnoĞü w okreĞlaniu aktualnej przepustowoĞci koryta wielkiej wody stanowi brak obiektywnych sposobów wyznaczania wartoĞci współczynników oporu przepływu. Jego ustalenie nastrĊcza wiele kłopotu, co przekłada siĊ nastĊpnie na błĊdy oszacowania prĊdkoĞci czy teĪ natĊĪenia przepływu wody. Przyczyną jest tu nie-jednoznaczna interpretacja oraz opisowy, subiektywny sposób oceny szorstkoĞci. Obli-czenia te wymagają znajomoĞci metod okreĞlania iloĞciowych charakterystyk zarastania na podstawie wiedzy z zakresu ekologii, metod opisu i pomiarów pokrywy roĞlinnej. StrukturĊ roĞlinną naleĪy przedstawiü w postaci modelu zastĊpczego, który powinien odzwierciedlaü podobne oddziaływanie roĞlinnoĞci, jakie zachodzi w warunkach natural-nych. Rozpoznanie struktury roĞlinnej oraz ustalenie jej parametrów jest wiĊc

(10)

(11)

ko-2. ZARYS PROBLEMU

W przypadku roĞlinnoĞci elastycznej jej wpływ na warunki przepływu związany jest nie tylko z gĊstoĞcią struktury roĞlinnej, ale i z jej właĞciwoĞciami biomechanicznymi (moduł sprĊĪystoĞci). UwzglĊdnienie wpływu elastycznoĞci roĞlinnoĞci niskiej na wa-runki przepływu zaproponował Kouwen (1992). Bazując na pomiarach oporu nad elastycznymi plastikowymi elementami szorstkoĞci, wyraził on zastĊpczą szorstkoĞü piaskową jako funkcjĊ wywoływanych przez przepływ naprĊĪeĔ stycznych. Analizy Kouwena oparte na wynikach badaĔ nad roĞlinnoĞcią sztuczną zostały zweryfikowane w warunkach przepływu w korytach z roĞlinnoĞcią naturalną. Badania te potwierdziły potrzebĊ uwzglĊdniania mechanicznych cech roĞlin. Kouwen (1992) zaproponował na-stĊpującą zaleĪnoĞü: 1.59 0.25 0.14 ¸¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨¨ ¨ ¨ ¨ ¨ © § ¸¸¹ · ¨¨© § ⋅ ⋅ ⋅ ρ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = p h p s h I R g J E M h k [m] (4.1)

gdzie: M – wzglĊdna gĊstoĞü roĞlin [-]:

y x h a a R M ⋅ = 2 , (4.2)

E – moduł sprĊĪystoĞci elementu roĞlin [Pa],

J – moment bezwładnoĞci przekroju poprzecznego elementu roĞlinnego [m4],

hp – wysokoĞü roĞlin [m], Rh – promieĔ hydrauliczny [m], I – spadek hydrauliczny [-], ρ – gĊstoĞü wody [kgʘm-3 ], g – przyspieszenie ziemskie [mʘs2].

ZastĊpcza szorstkoĞü w równaniu (4.1) zaleĪy od „sztywnoĞci” wyraĪonej jako EJ, gdzie moment bezwładnoĞci przekroju J zaleĪy od geometrii elementów roĞlinnych,

(12)

a moduł sprĊĪystoĞci E jest cechą charakteryzującą sprĊĪyste właĞciwoĞci elementów

roĞlinnych. Metoda Kouwen’a została rozwiniĊta na bazie badaĔ laboratoryjnych, w których stosowano roĞlinnoĞü niską (trawy) oraz elementy z tworzywa sztucznego. MetodĊ tĊ moĪna takĪe wykorzystaü do oceny oporów odkształcającej siĊ pod wpływem przepływu wody (fot. 2.1) roĞlinnoĞci Ğredniej (krzewy). W literaturze brak jest jednak danych dotyczących podstawowych własnoĞci fizycznych i mechanicznych elementów roĞlinnoĞci krzewiastej, takich jak gałĊzie, odrosty itp., stąd duĪo miejsca w badaniach własnych poĞwiĊcono wyznaczaniu parametrów EJ dla naturalnej roĞlinnoĞci miĊdzywala.

Brak jest takĪe propozycji rozwiązaĔ metodycznych takich badaĔ. Ze wzglĊdu na specy-fikĊ materiału, jakim są elementy roĞlinne (gałązki, odrosty, łodygi), oraz biorąc pod uwagĊ fakt, Īe składa siĊ on głównie z tkanek drzewnych, moĪna zaproponowaü analizĊ właĞciwoĞci elementów roĞlinnych wzorowaną na metodyce przewidzianej dla oceny drewna. Metodyka ta, uwzglĊdniając wielkoĞü i strukturĊ elementów roĞlinnych, musi zostaü jednak znacząco zmodyfikowana. Wyniki własnych badaĔ i analiz zamieszczono w kolejnych rozdziałach pracy.

Fot. 2.1. Witka (dopływ Nysy ŁuĪyckiej). Trwale odkształcone krzewy wikliny po przejĞciu fali wezbraniowej w sierpniu 2006 roku

Phot. 2.1. The Witka river (tributary of the Nysa ŁuĪycka). Durably deformed purple willow shrubs after the flood wave in August 2006

(13)

3. CEL I ZAKRES BADA

ē

W ramach realizacji projektu badawczego KBN 2P06S 007 26 pt. „Analiza wpływu roĞlinnoĞci sprĊĪystej na warunki hydrauliczne przepływu w korytach zaroĞniĊtych”, w Instytucie InĪynierii ĝrodowiska Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu i w Katedrze Budownictwa Wodnego Akademii Rolniczej w Poznaniu, przeprowadzone zostały badania laboratoryjne właĞciwoĞci fizycznych i mechanicznych roĞlinnoĞci giĊt-kiej porastającej brzegi i miĊdzywala koryt rzecznych. Badania obejmowały projekt i budowĊ stanowisk pomiarowych oraz analizĊ modułu sprĊĪystoĞci, gĊstoĞci i wilgotno-Ğci róĪnych rodzajów roĞlin, a takĪe elementów z tworzyw sztucznych. Badaniami objĊto elementy roĞlinne (gałązki) wierzby purpurowej (Salix purpurea L.), trzciny pospolitej (Phragmitescommunis) i olszy czarnej (Alnus glutinosa). Są one najbardziej

reprezenta-tywne dla szeroko rozumianych terenów zalewowych, gdzie roĞlinnoĞü znacząco wpływa na warunki przepływu wód wielkich. Pomiary zasadnicze własnoĞci sprĊĪystych roĞlin wykonano w laboratorium wodnym Katedry Budownictwa Wodnego AR w Poznaniu. Pomiary w laboratoriach Instytutu InĪynierii ĝrodowiska UP we Wrocławiu stanowiły ich uzupełnienie. Rozszerzyły one bazĊ danych o informacje dotyczące granicy sprĊĪy-stoĞci roĞlin miĊdzywala oraz wpływu czasu działania obciąĪeĔ siłami na oddziaływanie hydrauliczne roĞlin. Badania własnoĞci fizycznych obejmowały okreĞlenie wilgotnoĞci i gĊstoĞci roĞlin. Natomiast ocena własnoĞci mechanicznych polegała na wyznaczeniu modułu sprĊĪystoĞci roĞlin oraz ich elastycznoĞci. Wykonano badania roĞlinnoĞci w stanie naturalnym oraz po przesuszeniu roĞlin. Ze wzglĊdu na specyfikĊ badanego materiału oraz biorąc pod uwagĊ fakt, Īe składał siĊ on głównie z tkanek drzewnych, analizĊ elementów roĞlinnych przeprowadzono, wzorując siĊ na metodyce przewidzianej dla oceny drewna. Modyfikacje opisanych w normach metod wynikały głównie z wiel-koĞci i kształtu próbek oraz moĪliwoĞci przeprowadzenia wiarygodnych badaĔ. Wyniki pozwoliły okreĞliü model sztywnoĞci badanych roĞlin w zaleĪnoĞci od uwilgotnienia i fazy rozwojowej roĞlin. Ma to zasadnicze znaczenie dla prawidłowej oceny przepusto-woĞci naturalnych koryt rzecznych przy przejĞciu wielkich wód i racjonalnego projekto-wania przedsiĊwziĊü hydrotechnicznych w dolinach rzek.

(14)

wa-Instytutu InĪynierii ĝrodowiska UP we Wrocławiu. UmoĪliwiły one opracowanie charak-terystyki hydraulicznej takich roĞlin na bazie wyznaczonych w laboratorium współczyn-ników oporów przepływu (λ, ζ, cw). Problematyce tej poĞwiĊcono drugą czĊĞü niniejszej

monografii pt. „Charakterystyka hydrauliczna”.

Realizacja projektu wymagała opracowania bogatej literatury, zebrania i analizy ob-szernego zbioru istniejących wyników prac badawczych oraz weryfikacji róĪnych metod oceny właĞciwoĞci biomechanicznych i hydraulicznych roĞlinnoĞci krzewiastej w oparciu o własne wyniki badaĔ.

(15)

4. BADANIA PODSTAWOWYCH WŁASNO

ĝCI

FIZYCZNYCH I MECHANICZNYCH

RO

ĝLINNOĝCI SPRĉĩYSTEJ

4.1. Badania własno

Ğci fizycznych elementów roĞlinnych

W ramach opisanego w rozdziale 3 projektu badawczego wykonano m.in. pomiary podstawowych własnoĞci fizycznych wybranych roĞlin. Badaniami objĊto gałązki wierz-by, trzciny pospolitej i olszy czarnej. Przygotowano 95 gałązek wierzby w dwóch seriach po 52 szt. i 43 szt., 40 elementów trzciny pospolitej i 50 gałązek olszy. Wszystkie ele-menty roĞlinne pozyskano na terenach zalewowych rzeki Warty w okolicach Poznania. Gałązki odpowiednio przygotowano do badaĔ, oczyszczając z liĞci i przycinając do wy-maganej długoĞci, oraz oznakowano specjalnymi metkami. Elementy roĞlinne posiadały długoĞü od 50÷70 cm (fot. 4.1).

(16)

Badania własnoĞci fizycznych obejmowały okreĞlenie wilgotnoĞci i gĊstoĞci roĞlin. Wykonano je dla roĞlinnoĞci w stanie naturalnym (wilgotnym) oraz po naturalnym prze-suszeniu roĞlin (po przechowaniu ich przez okres ok. 2 miesiĊcy w suchym, przewiew-nym miejscu). W podobny sposób przeprowadza siĊ analizĊ drewna i ta metoda wydaje siĊ tu adekwatna. Modyfikacje opisanych w normach metod wynikały głównie z wielkoĞci i kształtu próbek oraz moĪliwoĞci przeprowadzenia wiarygodnych badaĔ.

4.1.1. Wilgotno

Ğü drewna

Drewno jest materiałem porowatym i higroskopijnym. Do właĞciwoĞci sorpcyjnych drewna naleĪą: wilgotnoĞü, nasiąkliwoĞü, przesiąkliwoĞü, higroskopijnoĞü, kurczenie siĊ i pĊcznienie. Wymienione wyĪej cechy mają istotny wpływ na masĊ drewna, jego wymiary oraz właĞciwoĞci wytrzymałoĞciowe. WilgotnoĞü drewna jest to wzglĊdna zawartoĞü wody w tkance drzewnej, bĊdąca wynikiem stanu naturalnego (w ĞciĊtym drewnie) albo skutkiem działania czynników atmosferycznych lub eksploatacyjnych, w jakich materiał znajduje siĊ przez dłuĪszy czas. Woda w drewnie stanowi główny składnik soku komór-kowego, nasyca Ğciany komórkowe oraz wystĊpuje w cewkach i naczyniach bielu. W ĞwieĪo ĞciĊtym lub mokrym drewnie wyróĪnia siĊ wodĊ wolną, która wypełnia Ğwia-tło komórek (pory mikroskopowe) i wodĊ związaną (higroskopijną), nasycającą Ğciany komórkowe. Na wodĊ w Ğcianach komórkowych składa siĊ woda adsorpcyjna, związana z drewnem wiązaniami fizykochemicznymi, oraz woda kapilarna, związana z drewnem w wyniku ciĞnienia kapilarnego. W drzewnictwie rozróĪnia siĊ wilgotnoĞü bezwzglĊdną drewna W i wilgotnoĞü wzglĊdną drewna Ww:

♦ WilgotnoĞü drewna bezwzglĊdna W jest to wyraĪony w procentach stosunek masy

wody zawartej w drewnie do masy drewna w stanie całkowicie suchym:

% m m m W W 100 0 0 − = [%] (4.3)

♦ WilgotnoĞü drewna wzglĊdna Ww jest to stosunek masy wody zawartej w drewnie do masy drewna w stanie mokrym:

% m m m W W W W = − 0 100 [%] (4.4)

gdzie: m0 – masa drewna zupełnie suchego [kg],

mW – masa drewna wilgotnego [kg].

Metody pomiaru wilgotnoĞci drewna dzieli siĊ na dwie grupy: metody bezpoĞrednie i metody poĞrednie. Do bezpoĞrednich naleĪą te sposoby, w których zasada pomiaru spro-wadza siĊ do oznaczenia masy wody zawartej w drewnie. W grupie metod poĞrednich okreĞlenie wilgotnoĞci drewna polega na pomiarze innej wielkoĞci fizycznej zaleĪnej od zawartoĞci wody w tkance drzewnej.

Do grupy metod bezpoĞrednich naleĪy metoda suszarkowo-wagowa, która jest takĪe preferowana w badaniach laboratoryjnych. Jej zaletą jest moĪliwoĞü pomiaru wilgotnoĞci

(17)

drewna z duĪą dokładnoĞcią w całym zakresie jej wystĊpowania. Oznaczanie wilgotnoĞci drewna W, WW metodą suszarkowo-wagową przeprowadza siĊ zgodnie z wytycznymi

zawartymi w normie PN-77/D-04100.

Próbka powinna mieü w zasadzie kształt prostopadłoĞcianu o wymiarach przekroju poprzecznego 20 x 20 mm i długoĞci wzdłuĪ włókien 25±5 mm. Dopuszcza siĊ oznaczanie wilgotnoĞci drewna na próbkach innego kształtu i wymiarów. NaleĪy jednak pamiĊtaü, Īe duĪe próbki znacznie wydłuĪają czas suszenia drewna. W przypadku oznaczania wilgot-noĞci drewna okrągłego lub materiałów tartych naleĪy pobieraü próbki w postaci wycin-ków o gruboĞci około 30 mm, pozyskanych z całej powierzchni przekroju połoĪonego w odległoĞci 50 cm od czoła badanego elementu, a w przypadku elementów krótkich (do 1 m) – w połowie ich długoĞci.

Badania wilgotnoĞci elementów roĞlinnych

W przeprowadzonych badaniach modułu wilgotnoĞü elementów roĞlinnych okreĞlono zgodnie z wytycznymi normy PN-77/D-04100, robiąc jedynie odstĊpstwo co do kształtu i wielkoĞci próbki roĞlinnej. Próbki oznaczono identycznie jak elementy roĞlinne. Pozy-skano je, odcinając kawałki długoĞci ok. 5 cm z badanych gałązek (fot. 4.2).

Odcinki roĞlin zwaĪono na elektronicznej wadze laboratoryjnej z dokładnoĞcią do 0,0001 g. NastĊpnie próbki tak jak i pozostałe elementy roĞlinne pozostawiono w suchym przewiewnym pomieszczeniu na okres ok. 2 miesiĊcy. Przesuszone w ten sposób zostały ponownie zwaĪone (elementy roĞlinne wykorzystano powtórnie do wyznaczenia modułu sprĊĪystoĞci). Kolejnym etapem było umieszczenie wszystkich próbek w suszarce w tem-peraturze 105±2°C i suszenie do stanu całkowicie suchego. Proces suszenia był kontro-lowany przez waĪenia sprawdzające, które wykonywano w odstĊpach 2 h. Próbki po wyjĊciu z suszarki schłodzono, a nastĊpnie szybko – w celu niedopuszczenia do wiĊkszego nawilgotnienia drewna niĪ 0,1% – zwaĪono z dokładnoĞcią do 0,0001 g.

(18)

WilgotnoĞü bezwzglĊdną oraz wzglĊdną próbek obliczono ze wzorów (4.3) i (4.4), oznaczając zarówno wilgotnoĞü próbek ĞwieĪych, jak i naturalnie przesuszonych. Wyniki dla wikliny (w dwóch seriach), trzciny oraz olszy rozpatrywano jako próby losowe, dla których okreĞlano wartoĞci Ğrednie, odchylenie standardowe oraz wartoĞci maksymalne i minimalne z próby. Przykładowe zestawienie opracowanych wyników dla wierzby przedstawiono w tabeli 4.1.

Tabela 4.1 Table 4.1 WilgotnoĞü bezwzglĊdna i wzglĊdna próbek wierzby dla stanu wilgotnego i po przesuszeniu

Absolute and relative humidity for willow samples, humid and after drying Wierzba I Willow I Wierzba II Willow II WilgotnoĞü bezwzglĊdna Absolute humidity WilgotnoĞü wzglĊdna Relative humidity WilgotnoĞü bezwzglĊdna Absolute humidity WilgotnoĞü wzglĊdna Relative humidity ĝwieĪe Fresh [%] Suche Dry [%] ĝwieĪe Fresh [%] Suche Dry [%] ĝwieĪe Fresh [%] Suche Dry [%] ĝwieĪe Fresh [%] Suche Dry [%] x 59,09 8,23 148,32 8,98 56,73 7,47 134,50 8,08 σ 5,08 0,71 31,58 0,84 5,17 0,89 28,71 1,05 v 0,09 0,09 0,21 0,09 0,09 0,12 0,21 0,13 max. 69,52 9,45 228,11 10,44 67,39 9,46 206,65 10,45 min. 48,08 6,07 92,59 6,46 45,01 6,05 81,85 6,44

WilgotnoĞü bezwzglĊdna W próbek wierzby obu serii dla stanu wilgotnego i po przesuszeniu była podobna. Seria I cechowała siĊ nieco wiĊkszą wilgotnoĞcią – 148,32% niĪ seria II – 134,50% równieĪ dla stanu po przesuszeniu – 8,98% dla I serii i 8,08% dla serii II. WilgotnoĞü wzglĊdna WW próbek ĞwieĪych była wyĪsza dla serii I – 59,09%

w stosunku do 56,73% dla serii II. Po przesuszeniu wilgotnoĞü spadła do 8,23% dla serii I oraz 7,47% dla serii II. Współczynnik zmiennoĞci z próby, definiowany jako iloraz od-chylenia standardowego i wartoĞci Ğredniej w przypadku wilgotnoĞci bezwzglĊdnej Ğ wie-Īych próbek obu serii, był jednakowy i wynosił 0,213, w przypadku wilgotnoĞci wzglĊ d-nej spadał on do 0,086 (seria I) i 0,091 (seria II). Dla próbek suchych niĪszy współczynnik zmiennoĞci cechował wyniki serii I (0,094 dla wilgotnoĞci bezwzglĊdnej serii I w stosunku do 0,130 oraz 0,086 dla wilgotnoĞci wzglĊdnej w serii I do 0,119 w serii II).

Podobną analizĊ wilgotnoĞci bezwzglĊdnej i wzglĊdnej wykonano w przypadku pró-bek trzciny. W tabeli 4.2 zaprezentowano opracowane pod wzglĊdem statystycznym wyniki. ĝrednia wilgotnoĞü bezwzglĊdna W ĞwieĪych próbek trzciny wynosiła aĪ 304,31%. Natomiast wartoĞüĞredniej wilgotnoĞci wzglĊdnej WW próbek ĞwieĪych miała

68,47%. Po przesuszeniu wilgotnoĞü bezwzglĊdna spadła do wartoĞci 9,61%, a wilgot-noĞü wzglĊdna do 8,76%. Współczynnik zmiennoĞci z próby w przypadku wilgotnoĞci bezwzglĊdnej ĞwieĪych próbek był duĪy i mierzył aĪ 0,561. W przypadku wilgotnoĞci wzglĊdnej spadał on do 0,264. Próbki suche cechował niĪszy współczynnik zmiennoĞci (0,086 dla wilgotnoĞci bezwzglĊdnej oraz 0,082 dla wilgotnoĞci wzglĊdnej).

(19)

Tabela 4.2 Table 4.2 WilgotnoĞü bezwzglĊdna i wzglĊdna próbek trzciny dla stanu wilgotnego i po przesuszeniu

Absolute and relative humidity for reed samples, humid and after drying Trzcina Reed WilgotnoĞü bezwzglĊdna Absolute humidity WilgotnoĞü wzglĊdna Relative humidity ĝwieĪe Fresh [%] Suche Dry [%] ĝwieĪe Fresh [%] Suche Dry [%] x 304,31 9,61 68,47 8,76 σ 170,56 0,83 18,07 0,72 v 0,56 0,09 0,26 0,08 max. 697,92 11,06 87,47 9,96 min. 24,58 5,04 19,73 4,80

Szczegółową analizĊ wilgotnoĞci bezwzglĊdnej i wzglĊdnej wykonano równieĪ w przypadku próbek olszy. Podobnie jak dla wierzby i trzciny wyniki pomiarów opraco-wano pod wzglĊdem statystycznym. Przykładowe zestawienie otrzymanych dla olszy wyników badaĔ zaprezentowano w tabeli 4.3.

Tabela 4.3 Table 4.3 WilgotnoĞü bezwzglĊdna i wzglĊdna próbek olszy dla stanu wilgotnego i po przesuszeniu

Absolute and relative humidity for alder samples, humid and after drying Olsza Alder WilgotnoĞü bezwzglĊdna Absolute humidity WilgotnoĞü wzglĊdna Relative humidity ĝwieĪe Fresh [%] Suche Dry [%] ĝwieĪe Fresh [%] Suche Dry [%] x 68,21 5,37 40,34 4,95 σ 9,99 4,19 3,65 3,51 v 0,15 0,78 0,09 0,71 max. 88,34 22,51 46,90 18,38 min. 42,33 1,07 29,74 1,06

ĝrednia wilgotnoĞü bezwzglĊdna W ĞwieĪych próbek olszy wynosiła 68,21%. Nato-miast wartoĞü Ğredniej wilgotnoĞci wzglĊdnej WW próbek ĞwieĪych miała 40,34%. Po

przesuszeniu wilgotnoĞü bezwzglĊdna spadła do 5,37%, a wilgotnoĞü wzglĊdna do 4,95%. Współczynnik zmiennoĞci z próby w przypadku wilgotnoĞci bezwzglĊdnej Ğ wie-Īych próbek był niski i wynosił aĪ 0,15. W przypadku wilgotnoĞci wzglĊdnej spadał on do 0,09. Próbki suche cechował wyĪszy współczynnik zmiennoĞci (0,78 dla wilgotnoĞci

(20)

4.1.2. G

ĊstoĞci drewna

GĊstoĞü drewna definiuje siĊ jako stosunek masy drewna do jego objĊtoĞci. GĊstoĞü jest podstawową i najczĊĞciej oznaczaną właĞciwoĞcią drewna, gdyĪ od niej zaleĪą zasadnicze właĞciwoĞci drewna: fizyczne, mechaniczne i technologiczne. O wartoĞci liczbowej gĊstoĞci drewna decyduje układ: substancja drzewna-powietrze-woda. Ponie-waĪ gĊstoĞü substancji drzewnej jest dla wszystkich gatunków drewna w przybliĪeniu stała (1,46–1,56 gʘcm-3), o gĊstoĞci drewna decyduje praktycznie jego porowatoĞü oraz wilgotnoĞü. Stąd teĪ w praktyce drzewnictwa wyróĪnia siĊ zwykle cztery okreĞlenia dotyczące gĊstoĞci drewna:

• gĊstoĞü substancji drzewnej:

sd 0 sub V m = ρ [kgʘm-3] (4.5) • gĊstoĞü drewna w stanie całkowicie suchym:

0 V m0 = ρ0 [kgʘm -3 ] (4.6) • gĊstoĞü drewna przy wilgotnoĞci W

w chwili badania: W W W V m = ρ [kgʘm-3] (4.7) • gĊstoĞü umowna drewna:

max V

m

U = 0

ρ [kgʘm-3] (4.8) gdzie: mO – masa próbki w stanie całkowicie suchym [kg],

mW – masa próbki o wilgotnoĞci W [kg],

VO – objĊtoĞü próbki w stanie całkowicie suchym [m3],

Vsd – objĊtoĞü substancji drzewnej zupełnie suchej i wolnej od porów [m3],

VW – objĊtoĞü próbki o wilgotnoĞci W [m3],

Vmax – objĊtoĞü próbki o wilgotnoĞci równej lub wyĪszej od punktu nasycenia

włókien.

GĊstoĞü substancji drzewnej ρsub jest to stosunek masy zupełnie suchego drewna do

objĊtoĞci zupełnie suchej i wolnej od porów substancji drzewnej, wyraĪony w kgʘm-3. Wiedząc, Īe gĊstoĞü substancji celulozowej mieĞci siĊ w przedziale 1590÷1620 kgʘm-3, a gĊstoĞü ligniny od 1380 do 1490 kgʘm-3, naleĪy stwierdziü, Īe o gĊstoĞci substancji drzewnej decyduje zawartoĞü celulozy i ligniny, głównych składników chemicznych Ğcian komórkowych drewna. WartoĞü liczbowa ρsub zawiera siĊ w przedziale 1490÷

1560 kgʘm-3. W drzewnictwie dla uproszczenia i ujednolicenia obliczeĔ przyjĊto, Īe prze-ciĊtna gĊstoĞü substancji drzewnej, niezaleĪnie od gatunku drewna, wynosi 1500 kgʘm-3.

Z uwagi na fakt, Īe drewno jednoczeĞnie ze wzrostem wilgotnoĞci do punktu nasy-cenia włókien zmienia zarówno swoją objĊtoĞü, jak i masĊ w całym przedziale moĪliwej do osiągniĊcia wilgotnoĞci, wyróĪnia siĊ cztery pojĊcia gĊstoĞci drewna (KokciĔski, 2004): gĊstoĞü drewna zupełnie suchego ρο, gĊstoĞü drewna wilgotnego (o wilgotnoĞci W)

ρW, umowna gĊstoĞü drewna ρU i gĊstoĞü drewna przy wilgotnoĞci W = 12%:

12 12 V m = ρ [kgʘm-3] (4.9)

(21)

W publikacjach naukowych przez podanie wartoĞci liczbowej gĊstoĞci drewna, bez okreĞlenia wilgotnoĞci drewna w chwili badania, rozumie siĊ gĊstoĞü drewna oznaczoną przy wilgotnoĞci 12% (tj. w stanie powietrzno-suchym).

WartoĞci liczbowe gĊstoĞci drewna są znacząco zróĪnicowane i zaleĪą głównie od: gatunku drzewa (budowy drewna), połoĪenia drewna w pniu oraz wilgotnoĞci. GĊstoĞü drewna, pochodzącego z drzew pozyskiwanych dla potrzeb praktyki przemysłowej drzew-nictwa i przemysłu celulozowo-papierniczego, w skali Ğwiatowej waha siĊ od 100 kgʘm-3 (balsa – Ochroma lagopus Sw.) do 1300 kgʘm-3 (gwajak – Guaiacum officinale L.). Drewno naszych gatunków lasotwórczych charakteryzuje siĊ gĊstoĞcią w przedziale od 350 kgʘm-3 (sosna wejmutka – Pinus strobus L.) do 800 kgʘm-3 (grab – Carpinus betulus L.). W obrĊbie kaĪdego gatunku drzewa gĊstoĞü drewna równieĪ zaleĪy od szeregu czynni-ków podstawowych, do których naleĪą: szerokoĞü słoi rocznych, udział drewna póĨnego oraz umiejscowienie drewna w pniu drzewa.

Znaczący wpływ na gĊstoĞü drewna w obrĊbie jednego drzewa ma czĊĞü pnia, z któ-rej pozyskano drewno. Na przekrojach poprzecznych pni drzew iglastych gĊstoĞü drewna wzrasta wzdłuĪ promienia drzewnego od rdzenia ku obwodowi. U liĞciastych pierĞ cie-niowo-naczyniowych najwyĪszymi wartoĞciami liczbowymi gĊstoĞci odznacza siĊ drewno w strefie przyrdzeniowej i zmniejsza siĊ w miarĊ oddalania siĊ od rdzenia do obwodu pnia. Na przekroju podłuĪnym pnia gĊstoĞü drewna maleje w miarĊ przesuwania siĊ od odziomka drzewa ku nasadzie korony. MiĊdzy nasadą korony a wierzchołkiem drzewa gĊstoĞü drewna moĪe albo obniĪaü siĊ, albo wzrastaü.

WartoĞci liczbowe gĊstoĞci drewna oznacza siĊ według wytycznych zawartych w normie PN-77/D-4101, a dobór i przygotowanie próbek do pomiarów według normy PN-77/D-4227. W praktyce laboratoryjnej wyróĪnia siĊ dwie grupy metod pomiaru gĊstoĞci drewna, róĪniące siĊ sposobem oznaczania objĊtoĞci próbki:

− metody stereometryczne, zalecane przez Polskie Normy PN-77/D-4101, stosowane do oznaczania gĊstoĞci prostopadłoĞciennych próbek drewna, których objĊtoĞü wy-znacza siĊ na podstawie ich wymiarów w trzech kierunkach próbki;

− metody wypornoĞciowe, polegające na oznaczeniu objĊtoĞci wypartej cieczy przez próbkĊ drewna całkowicie w niej zanurzoną (metody immersyjne) lub na oznacza-niu gĊstoĞci drewna przez czĊĞciowe zanurzenie próbek w cieczy z wykorzystaniem zdolnoĞci do pływania wynikającej z róĪnicy gĊstoĞci cieczy i drewna (metody flotacyjne).

Pomiar gĊstoĞci elementów roĞlinnych

Oznaczenie gĊstoĞci drewna (ρW) metodą stereometryczną przeprowadza siĊ

zgod-nie z wytycznymi zawartymi w normie PN-77/D-04101. Próbka drewna powinna mieü kształt prostopadłoĞcianu o wymiarach przekroju poprzecznego 20 x 20 mm i długoĞci wzdłuĪ włókien 25:1: 5 mm. W przypadku gdy szerokoĞü przyrostów rocznych przekracza 4 mm, wymiary przekroju naleĪy zwiĊkszyü w ten sposób, aby próbka zawierała nie mniej niĪ 5 słoi rocznych. Odchylenia od równoległoĞci oraz prostopadłoĞci odpowied-nich płaszczyzn próbki nie powinny przekraczaü 0,1 mm.

(22)

Przygotowane próbki waĪy siĊ z dokładnoĞcią do 0,01 g. Wymiary liniowe przekroju poprzecznego i długoĞü próbki mierzy siĊ z dokładnoĞcią do 0,1 mm za pomocą suw-miarki. NastĊpnie okreĞla siĊ wilgotnoĞü drewna metodą suszarkowo-wagową. GĊstoĞü drewna o wilgotnoĞci Ww w chwili badania ρW naleĪy obliczaü z dokładnoĞcią do

5 kgʘm-3 (lub 0,005 gʘcm-3) według wzoru (4.7).

Metody okreĞlania gĊstoĞci drewna adaptowano do oceny gĊstoĞci badanych ele-mentów roĞlinnoĞci elastycznej. Ze wzglĊdu na wielkoĞü elementów roĞlinnych, które zostały wykorzystane w badaniach, nie moĪna było przygotowaü próbek zgodnie z zale-ceniami normy PN-77/D-04101. W tym przypadku z kaĪdego elementu poddanego bada-niom wycinano koĔcówkĊ o długoĞci ok. 5 cm (znakowaną takim samym oznaczeniem jak badany element roĞliny), którą dokładnie mierzono za pomocą suwmiarki (długoĞü i dwie skrajne Ğrednice), a nastĊpnie waĪono z dokładnoĞcią do 0,0001 g. Wyznaczając objĊtoĞü próbki jako objĊtoĞü walca, obliczano gĊstoĞü gałązek ρW o danej wilgotnoĞci W.

WilgotnoĞü próbek okreĞlono wczeĞniej metodą suszarkowo-wagową.

GĊstoĞü gałązek obliczono ze wzoru (4.7), uwzglĊdniając trzy stany ich wilgotnoĞci: wilgotne, suche i po całkowitym wysuszeniu w suszarce. Przy okreĞlaniu gĊstoĞci uwzglĊdniano zarówno zmianĊ masy próbek dla róĪnych wilgotnoĞci, jak równieĪ zmia-nĊ wymiarów samej próbki (objĊtoĞci) wywołanej skurczem drewna. Wyniki dla wikliny (w dwóch seriach), trzciny oraz olszy rozpatrywano jako próby losowe, dla których okre-Ğlano wartoĞci Ğrednie, odchylenie standardowe oraz wartoĞci maksymalne i minimalne z próby. Zestawienie opracowanych wyników dla wierzby podano w tabeli 4.4, dla trzciny w tabeli 4.5, a dla olszy w tabeli 4.6.

Tabela 4.4 Table 4.4 GĊstoĞü próbek wierzby dla stanu wilgotnego, po przesuszeniu i całkowicie suchego

Density for willow samples, humid and after drying Wierzba I Willow I Wierzba II Willow II GĊstoĞü gałązek Density of branches GĊstoĞü gałązek Density of branches ĝwieĪe Fresh ρw [kgʘm-3] Suche Dry ρw [kgʘm-3] Cał. suche Totally dry ρ0 [kgʘm-3] ĝwieĪe Fresh ρw [kgʘm-3] Suche Dry ρw [kgʘm-3] Cał. suche Totally dry ρ0 [kgʘm-3] x 948,72 525,83 482,64 1010,84 560,07 521,90 σ 131,67 58,77 55,15 135,59 75,04 69,98 v 0,14 0,11 0,11 0,13 0,13 0,13 max. 1365,18 652,16 601,97 1564,64 689,43 641,47 min. 724,97 384,69 351,91 744,49 384,63 350,26

GĊstoĞü próbek wierzby I była nieco wiĊksza od gĊstoĞci wierzby II. Dotyczyło to za-równo próbek wilgotnych (ĞwieĪych i po przesuszeniu), jak i całkowicie suchych. GĊstoĞü całkowicie suchych gałązek była niemal dwukrotnie niĪsza od ĞwieĪych (948,72 kgʘm-3

(23)

do 482,64 kgʘm-3 dla wierzby I i od 1010,84 kgʘm-3 do 521,90 kgʘm-3 dla wierzby II). Dla obydwu serii pomiarowych uzyskano zbliĪone wartoĞci współczynnika zmiennoĞci (od 0,14 dla ĞwieĪych gałązek wierzby I do 0,11 dla gałązek całkowicie suchych).

Tabela 4.5 Table 4.5 GĊstoĞü próbek trzciny dla stanu wilgotnego, po przesuszeniu i całkowicie suchego

Density for reed samples, humid and after drying Trzcina Reed GĊstoĞü Density ĝwieĪe Fresh ρw [kgʘm-3] Suche Dry ρw [kgʘm-3] Cał. suche Totally dry ρ0 [kgʘm-3] x 510,41 162,70 148,35 σ 146,35 81,08 73,82 v 0,29 0,50 0,50 max. 935,76 452,00 411,35 min. 177,55 66,47 60,50

GĊstoĞü trzcin w stanie wilgotnym była niewielka i wynosiła tylko 510,41 kgʘm-3, po przesuszeniu spadła do 148,35 kgʘm-3 (próbki całkowicie suche). W badaniach uzy-skano wysokie wartoĞci współczynnika zmiennoĞci – 0,29 dla próbek ĞwieĪych oraz 0,50 dla suchych.

Tabela 4.6 Table 4.6 GĊstoĞü próbek olszy dla stanu wilgotnego, po przesuszeniu i całkowicie suchego

Density for alder samples, humid and after drying Olsza Alder GĊstoĞü gałązek Density of branches ĝwieĪe Fresh ρw [kgʘm-3] Suche Dry ρw [kgʘm-3] Cał. suche Totally dry ρ0 [kgʘm-3] x 788,25 555,20 527,80 σ 91,96 54,39 56,41 v 0,12 0,10 0,11 max. 1017,50 684,39 655,09 min. 535,64 446,91 418,28

(24)

GĊstoĞüĞwieĪych próbek olszy wynosiła 788,25 kgʘm-3, a po przesuszeniu spadła do 527,80 kgʘm-3 (próbki całkowicie suche). W badaniach uzyskano niskie wartoĞci współ-czynnika zmiennoĞci – 0,12 dla próbek ĞwieĪych oraz 0,10 dla suchych – zbliĪone do tych, jakie uzyskano dla wierzby.

4.2. Odkształcenia ro

ĞlinnoĞci elastycznej pod wpływem

działania parcia hydrodynamicznego

Pod wpływem działania parcia hydrodynamicznego roĞlinnoĞü giĊtka porastająca tereny zalewowe rzeki ulega ugiĊciu (rys. 4.1). Powoduje to zmianĊ oporów ruchu płyną -cej korytem wody. Wynika stąd potrzeba okreĞlenia wielkoĞci wspomnianego ugiĊcia.

W tym celu wykorzystuje siĊ wzory okreĞlające ugiĊcia sprĊĪyste prĊtów (Kutija i Hong, 1996). Są to jednak wzory ograniczone w zasadzie do małych ugiĊü prĊtów o stałym przekroju poprzecznym. MoĪna je wykorzystaü do obliczeĔ w zakresie ograni-czonym do małych ugiĊü łodyg w kształcie walca. Tymczasem łodygi roĞlin mają kształt zbliĪony do stoĪka ĞciĊtego oraz mogą wystąpiü ugiĊcia o duĪych wartoĞciach, szczegól-nie podczas przepływu wielkich wód.

W niniejszym opracowaniu przedstawiono rozwiązanie równania małego ugiĊcia dla łodygi w kształcie stoĪka ĞciĊtego zaprezentowane przez RembezĊ (2005), przy przy-jĊciu obciąĪenia parciem hydrodynamicznym, oraz rozwiązania równania duĪych ugiĊü w przypadku łodygi w kształcie walca i stoĪka ĞciĊtego przy obciąĪeniu oddzielnie siłą skupioną i parciem hydrodynamicznym (Rembeza,2005).

Rys. 4.1. UgiĊcie łodygi roĞliny pod wpływem działania parcia hydrodynamicznego Fig. 4.1. Stem deflection due to hydrodynamic pressure

(25)

4.2.1. Równanie małego ugi

Ċcia i jego rozwiązanie dla łodygi

w kształcie sto

Īka ĞciĊtego obciąĪonej parciem

hydrodynamicznym

Równanie róĪniczkowe ugiĊcia łodygi przedstawionej na rys. 4.1 ma postaü (Lan-dau i Lifszic, 1958, Smirnow 1963, Timoshenko i Gere 1962 ):

( )

x M EI = ρ (4.10) przy czym:

(

)

" y " y ' y / 1 1+ 2 3 2 _≅ = ρ (4.11)

gdzie: ȡ – promieĔ krzywizny,

M(x) – moment sił zewnĊtrznych, E – współczynnik sprĊĪystoĞci, I – moment bezwładnoĞci przekroju,

y',y"– pochodne funkcji ugiĊcia y, pierwszego i drugiego rzĊdu.

Rys. 4.2. Rozkład parcia hydrodynamicznego wody działającego na łodygĊ w kształcie stoĪka ĞciĊtego: a) rzut powierzchni czołowej roĞliny na płaszczyznĊ pionową, b) rozkład ciĞnienia

hydro-dynamicznego, c) wykres parcia hydrohydro-dynamicznego, d) przekrój pionowy łodygi Fig. 4.2. Distribution of hydrodynamic pressure of water acting on a truncated cone-shaped stem:

a) plant’s front projection onto vertical surface, b) distribution of hydrodynamic pressure c) plot of hydrodynamic pressure, d) vertical section of stem

(26)

Przyjmując, Īe odkształcenie jest małe, moĪna pominąü kwadrat pierwszej pochod-nej w wyraĪeniu na promieĔ krzywizny ȡ i z zaleĪnoĞci (4.10) i (4.11) otrzymamy:

( )

EI x M " y = (4.12)

Dla łodygi w kształcie stoĪka ĞciĊtego (rys. 4.2d) moment bezwładnoĞci przekroju po-przecznego bĊdzie funkcją x:

4 4 X I = π (4.13) przy czym:

(

)

r L x r R X _¸+ ¹ · ¨ © § − − = 1 (4.14)

gdzie: r, R – promienie stoĪka ĞciĊtego, L – wysokoĞü łodygi.

ObciąĪeniem zewnĊtrznym jest ciĞnienie hydrodynamiczne działające na powierzchniĊ czołową roĞliny: 2 2 1 v c p= _wρ [Pa] (4.15)

gdzie: v – prĊdkoĞü przepływu [mʘs-1], ȡ – gĊstoĞü wody [kgʘm-3],

cw – współczynnik oporu opływu przez wodĊ [-].

Przyjmując w przybliĪeniu prostokątny rozkład prĊdkoĞci, otrzyma siĊ prostokątny roz-kład ciĞnienia na wysokoĞci roĞliny (rys. 4.2b). Zakładając nastĊpnie, Īe szerokoĞü rzutu powierzchni czołowej na płaszczyznĊ pionową F zmienia siĊ liniowo (rys. 4.2a), dosta-niemy liniowy rozkład parcia hydrodynamicznego (rys. 4.2c, rys. 4.3). Wreszcie po wy-znaczeniu i podstawieniu do równania (4.12) wyraĪenia do okreĞlenia momentu od par-cia hydrodynamicznego oraz uwzglĊdnieniu w równaniu (4.12) związku (4.13) otrzyma-my równanie róĪniczkowe ugiĊcia w rozpatrywanym przypadku:

(

)

(

)(

)

4 3 4 2 3 X L x L a b X x L a " y ⋅ − − λ + − λ = (4.16) przy czym: , E p π = λ 3 4 r L x ) r R ( X _¸+ ¹ · ¨ © § − − = 1 (4.17)

Po scałkowaniu równania (4.16) i wyznaczeniu stałej całkowania z warunku y'=0, dla x = 0 otrzymamy:

(27)

(

−

)

¨¨©§− + − + − + ¸¸¹·+ λ = 3₃ ₂ 2₃ ₂ 2₃ 3 1 3 1 3 R r R r R X r X r X r R aL ' y

(

)

(

−

)

¨¨©§ + − + − + − ¸¸¹· − λ + ₄3 2₂ 3₃ 2₂ 3₃ 3 2 3 3 3 2 3 3 R r R r R r X r X r X r R X ln r R L a b (4.18) Całkując nastĊpnie równanie (4.18)i wyznaczając stałą całkowania z warunku (rys. 4.3) y = 0 dla x = 0, otrzymamy równanie krzywej ugiĊcia w postaci:

(

)

»»_¼+ º « « ¬ ª − + − ¸¸¹ · ¨¨© § + − + + − − − λ = 4₄ 2₂ 2₂ 2₂ 2 1 2 1 3 1 6 3 R r R r R r R r R X X r X r R X ln r R aL y

(

)

(

)

»»¼+ º « « ¬ ª − + + − − ⋅ ⋅ − λ + ₅ 4 2₂ 6 1 2 3 3 X r X r R X ln r X R X ln r X r R L r a b 3 3 2 3 2 3 3 2 2 3 3 2 2 + + − + ¸¸¹ · ¨¨© § − + − + r R R r R r R r R r R r r X (4.19) Podstawiając w równaniu (4.19) x = L, otrzymamy wzór do obliczenia strzałki w (patrz rys. 4.3):

(

)

¸¸¹+ · ¨¨© § + − + − − − λ = 4₄ 2₂ 3₃ 3 2 3 3 6 11 3 R r R r R r R r ln r R L a w

(

)

(

−

)

¨¨©§ + − + − + ¸¸¹· ⋅ − λ + r R R r R r R r R r ln r R r L a b 3 3 2 2 5 4 3 2 6 3 10 4 (4.20)

W przypadku gdy a = r, b = R, to znaczy, gdy parcie wody działa tylko na łodygĊ, rów-nania (4.19) i (4.20) przyjmą postaü:

(

)

»»_¼ º « « ¬ ª + + − ¸¸¹ · ¨¨© § − − + − + − λ = r R R r R r R r R r r X X r X r R X ln r X r R r L y 1 3 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 4 4 (4.21) oraz:

(

−

)

¨¨©§ − + − + + ¸¸¹· ⋅ λ = r R R r r R R r R r ln r R r L w ₃ 3 2 2 4 4 3 2 3 5 3 6 13 (4.22) Aby wykorzystaü otrzymane rozwiązanie do obliczenia wielkoĞci ǻh, naleĪy okreĞliü wzór do obliczania długoĞci łodygi wzdłuĪ krzywej ugiĊcia (rys. 4.3):

(28)

dx ' y L x

³

+ = 1 0 2 1 (4.23) gdzie: x₁ =L−Δh (rys. 4.3).

Rys. 4.3. Schemat obliczeniowy małego ugiĊcia łodygi w kształcie stoĪka ĞciĊtego obciąĪonej parciem hydrodynamicznym

Fig. 4.3. Computational diagram for the small deflection of truncated cone-shaped stem due to hydrodynamic pressure

W rozpatrywanym przypadku pochodna 'y okreĞlona jest równaniem (4.18). Ze

wzglĊdu na złoĪoną postaü równania (4.18) przyjĊto, Īe w przybliĪeniu krzywą ugiĊcia moĪna aproksymowaü parabolą przechodzącą przez punkt o współrzĊdnych x = L, y = w:

2 Ax y= , 2 L w A= (4.24)

przy czym wartoĞü w oblicza siĊ z równania (4.20), a w szczególnym przypadku, gdy:

a = r i b = R, z równania (4.22).

Po podstawieniu równania (4.24) do wzoru (4.23) i wykonaniu całkowania dochodzi siĊ do równania, na podstawie którego moĪna obliczyü wielkoĞü x1:

2 1 2 2 1 2 2 2 1 _sin 2 4 1 L x w h ar w L L x w L L x w ⋅ + + ⋅ = (4.25)

(29)

4.2.2. Równanie du

Īego ugiĊcia i jego rozwiązania

Gdy ugiĊcie jest duĪe, to krzywizny nie moĪna zastąpiü drugą pochodną _y"_{, lecz}

trzeba rozpatrzyü równanie dokładniej. Równanie to na podstawie związków (4.10), (4.11) i (4.12) moĪna przedstawiü w postaci:

(

y'

)

( )

x " y ϕ = + 2 3 1 (4.26) Przy układzie współrzĊdnych przyjĊtych jak na rysunku 4.4 warunki brzegowe mają postaü:

x = 0, y = 0 oraz x = 0, y'=0 (4.27) Rozwiązanie równania (4.26) przy warunkach brzegowych (4.27) moĪna doprowadziü do postaci (Smirnow, 1963):

³

₋

=

x

u

dx

u

y

0

1

2 (4.28) przy czym:

³

ϕ

=

x

dx

)

x

(

u

0 (4.29)

Rys. 4.4. Schemat obliczeniowy duĪego ugiĊcia łodygi w kształcie walca lub stoĪka ĞciĊtego obciąĪonej siłą skupioną

(30)

Ze wzglĊdu na ograniczoną długoĞü łodygi maksymalna wartoĞü ugiĊcia wystąpi dla wartoĞci x = x1 < L (rys. 4.4), gdzie L jest długoĞcią łodygi. WielkoĞü x1 moĪna wyzna-czyü z równania (4.23) okreĞlającego długoĞü łodygi L wzdłuĪ krzywej ugiĊcia. Po

obli-czeniu, wystĊpującej w równaniu (4.23), pochodnej 'y ze związku (4.28) i podstawieniu do (4.23) otrzymamy wzór, na podstawie którego moĪna wyznaczyü wielkoĞü x1:

³

− = 1 0 1 2 x u dx L (4.30)

Łodyga w kształcie walca obciąĪona siłą skupioną

W tym przypadku przedstawionym na rysunku 4.4 funkcja ĳ(x) z równania (4.26) ma postaü:

( )

x = k

(

x −x

)

ϕ 2 1 , 4 2 ER P k π = (4.31)

Biorąc pod uwagĊ powyĪszą postaü funkcji ĳ(x), z równania (4.29) otrzymamy:

(

x x

)

kx

u= 2 ₁− (4.32) NastĊpnie po podstawieniu związku (4.32) do równania (4.28) i (4.30) otrzymamy:

(

)

(

)

[

]

³

− − − = x x x kx dx x x kx y 0 ₁ 2 1 2 1 2 (4.33)

(

)

[

]

³

₋ ₋ = 1 0 1 2 ₁ 2 x x x kx dx L (4.34)

Całki wystĊpujące w równaniach (4.33) i (4.34) są całkami eliptycznymi. Ich obliczenie daje nastĊpujące wzory do wyznaczenia krzywej ugiĊcia:

( )

x kx kx x kx kx L x L x m , E kL m , F kL m , E kL L x L y 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 − + + − ¸ ¹ · ¨ © § − − γ + γ − γ − + = (4.35) oraz:

(

,m

)

F k L ₁ 2 1 γ = (4.36) przy czym: , kx m 2 1 12 2₌ + 2 1 2 1 1 1 2 sin kx kx arc + = γ (4.37)

(31)

(

)

(

)

[

(

)

2

]

1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 sin x x k kx kx x x k arc − + − + − = γ (4.38)

gdzie:F

( ) (

γ,m,F γ₁,m

)

– całki eliptyczne niezupełne pierwszego rodzaju w postaci normalnej, E

( ) (

γ,m,E γ₁,m

)

– całki eliptyczne niezupełne drugiego rodzaju w postaci normalnej. Maksymalną rzĊdną krzywej ugiĊcia y1 (rys. 4.4) moĪna wyznaczyü ze wzoru (4.35), przyjmując x = x1. Wtedy ze wzoru (4.38) mamy Ȗ = 0 i całki eliptyczne F

( )

γ m, =0 oraz

( )

γ m, =0 E , a wzór (4.35) przyjmuje postaü:

(

,m

)

E kL L x L y 1 2 1 1 ₌₁₊ ₋ 2 _γ _(4.39)

przy czym x1 wyznacza siĊ ze wzoru (4.36).

W przypadku gdy moduł całek eliptycznych m § 1, czyli, jak to wynika z zaleĪnoĞci

(4.37), gdy wyraĪenie k⋅ x₁2 ≈1, całki eliptyczne wystĊpujące we wzorach (4.35), (4.36) i (4.39) moĪna wyraziü w postaci:

( )

2 1 2 1 1 1 2 tg kx kx h ar m F + = λ ,

( )

(

)

(

)

(

)

[

2

]

1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 tg x x k kx kx x x k h ar m , F − + − + − = γ (4.40)

( )

2 1 2 1 1 1 2 kx kx m E + = λ ,

( )

(

)

(

)

(

)

[

2

]

1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 x x k kx kx x x k m , E − + − + − = γ (4.41)

Ze związku (4.41) wynika, Īe dla kx2≈1 całka F

(

γ₁,m

)

zmierza do nieskoĔ czo-noĞci, a nastĊpnie z równania (4.36) wynika, iĪ wyraĪenie kL2 bĊdzie zmierzaü do nie-skoĔczonoĞci. Oznacza to, biorąc pod uwagĊ oznaczenie k według wzoru (4.30), Īe przy ograniczonych wartoĞciach R i E obciąĪenie P zmierza do nieskoĔczonoĞci.

Równanie (4.36) po uwzglĊdnieniu związku (4.40) moĪna po przekształceniach doprowadziü do postaci: ¸¹ · ¨© § − = 2 2 2 2 1 2 tg 2 2 tg kL h kL kL h L x (4.42)

Obliczenia według wzoru (4.42) dają zadowalającą dokładnoĞü dla kL2>≈1. Dla 4

2 _>≈

kL funkcja tgh 2kL2 ≈1i równanie (4.42) uproĞci siĊ do postaci:

1 1

L

(32)

Wzór (4.39) po zastosowaniu związku (4.41) przyjmie postaü:

(

2

)

1 2 2 1 1 1 1 4 1 kx kL kx L x L y + − + = (4.44)

Łodyga w kształcie stoĪka ĞciĊtego obciąĪona siłą skupioną

W tym przypadku, przedstawionym narysunku 4.4, funkcja ĳ(x) ze wzoru (4.46) ma postaü:

( )

(

4

)

1 2 X x x k x = − ϕ (4.45) przy czym:

(

)

(

)

(

)

Mając funkcjĊ u wyraĪoną wzorem (4.47) moĪna z zaleĪnoĞci (4.30) wyznaczyü wiel-koĞü x1, zaĞ, zaleĪnoĞci (4.28) rzĊdne krzywej ugiĊcia y. Całki wystĊpujące w

równa-niach (4.28) i (4.30), ze wzglĊdu na złoĪoną postaü funkcji u, obliczyü moĪna stosując jedną z metod numerycznego całkowania.

Łodyga w kształcie stoĪka ĞciĊtego obciąĪona parciem hydrodynamicznym

W tym przypadku, przedstawionym na rysunku 4.5, funkcja ĳ(x) wystĊpująca we wzorze (4.26) wyraĪona jest równaniem:

( )

(

)

(

)(

4

)

1 3 1 4 2 1 3 X X x x a b X x x a x ⋅ − − λ + − λ = ϕ (4.48) przy czym:

(

)

(

)

(

−

)

( )(

)

(

−

)

(33)

Rys. 4.5. Schemat obliczeniowy duĪego ugiĊcia łodygi w kształcie stoĪka ĞciĊtego obciąĪonej parciem hydrodynamicznym

Fig. 4.5. Computational diagram for the big deflection of truncated cone-shaped stem due to hydrodynamic pressure

W przypadku gdy a = r, b = R, wzór (4.50) przyjmuje postaü:

(

)

(

−

)

Dalej postĊpujemy podobnie jak podano w przypadku obliczeĔ obciąĪenia siłą skupioną (patrz str. 33 i 35). Mając parametr u ze wzoru (4.30), wyznacza siĊ x1, a nastĊpnie

z zaleĪnoĞci (4.28) rzĊdne krzywej ugiĊcia. Całki wystĊpujące we wzorach (4.28) i (4.30) oblicza siĊ metodą numeryczną.

4.2.3. Wyniki oblicze

Ĕ

Wykorzystując wyprowadzone wzory, wykonano porównawcze obliczenia krzywych ugiĊcia na podstawie wzorów wyprowadzonych przy załoĪeniu małego i duĪego ugiĊcia.

Łodyga w kształcie walca obciąĪona siłą skupioną

Pod uwagĊ wziĊto wzory duĪego ugiĊcia (4.35), (4.36) i (4.39) oraz odpowiadające nastĊpujące znane wzory wyprowadzone przy załoĪeniu małych ugiĊü:

(34)

Rys. 4.6. Krzywa ugiĊcia łodygi w kształcie walca obciąĪonej siłą skupioną. Linią ciągłą oznaczono krzywą ugiĊcia z rozwiązania dla duĪych ugiĊü, linią przerywaną – z rozwiązania dla małych ugiĊü Fig. 4.6. Deflection curve for truncated cone-shaped stem bent due to concentrated force. Solid line

denotes the deflection curve from the solution for big deflections, broken line denotes the deflection curve from the solution for small deflections

Wyniki przedstawiono na rysunku 4.6. Do obliczenia długoĞci L wzdłuĪ krzywej ugiĊcia w przypadku rozwiązania przy załoĪeniu małych ugiĊü zastosowano wzór (4.25) dla kL2 = 1,25, zaĞ dla kL = 3,92 zastosowano metodĊ całkowania numerycznego. Metodą całkowania numerycznego powtórzono obliczenie krzywej ugiĊcia w przypadku rozwią -zania przy załoĪeniu duĪych ugiĊü, uzyskując zgodnoĞü wyników. Do obliczeĔ nume-rycznych wykorzystano program komputerowy Mathcad. Jak siĊ okazuje, dla wiĊkszych wartoĞci kL2 wystĊpują wyraĨne róĪnice w przebiegu krzywej ugiĊcia, lecz wielkoĞci x1

i tym samym ¨h prawie siĊ nie róĪnią.

Łodyga w kształcie stoĪka ĞciĊtego obciąĪona siłą skupioną

Obliczenia wykonano na podstawie wzorów (4.28), (4.30) i (4.47) wyprowadzonych przy załoĪeniu duĪych ugiĊü oraz wzorów podanych przez Mikołajczaka (2005) w przy-padku małych ugiĊü, które przy oznaczeniach ujĊtych w niniejszej pracy mają postaü:

» ¼ º « ¬ ª ₊ ₋ ¸ ¹ · ¨ © § ₋ + − ¸ ¹ · ¨ © § − = 1 2 3 2 1 6 2 1 2 2 2 3 2 R r R r R X X rR X R R r kL L y (4.53) r R kL L w 2 3 2 = (4.54)

(35)

przy czym:

(

)

Wyniki obliczeĔ wykonanych przy przyjĊciu stosunku 0,1

Rr = i wielkoĞci kL

2

= 0,075 przedstawiono na rysunku 4.7. Dla małych ugiĊü wielkoĞü x1 obliczano na podstawie

wzoru (4.25). Z obliczeĔ wynika, Īe dla przyjĊtych danych wystĊpują duĪe róĪnice w przebiegu krzywych ugiĊcia oraz w wielkoĞci x1 i co za tym idzie – w wielkoĞci ¨h.

Rys. 4.7. Krzywa ugiĊcia łodygi w kształcie stoĪka ĞciĊtego obciąĪonej siłą skupioną. Linią ciągłą oznaczono ugiĊcia z rozwiązania dla duĪych ugiĊü, linią przerywaną – z rozwiązania dla małych ugiĊü Fig. 4.7. Deflection curve for truncated cone-shaped stem bent due to concentrated force. Solid line

denotes the deflection curve from the solution for big deflections, broken line denotes the deflection curve from the solution for small deflections

Łodyga w kształcie stoĪka ĞciĊtego obciąĪona parciem hydrodynamicznym

Obliczenia wykonano dla przypadku, gdy parciem wody obciąĪona jest tylko łody-ga. Wykorzystano wzory (4.28), (4.29) i (4.51) dla duĪych ugiĊü, zaĞ dla małych ugiĊü zaleĪnoĞci (4.21), (4.22) i (4.25). Wyniki obliczeĔ, w których przyjĊto stosunek 0,1

Rr =

oraz wartoĞü parametru ₃ 09458

3 , RL =

λ , przedstawiono na rysunku 4.8. RównieĪ w tym przypadku, jak w poprzednim, widoczne są wyraĨne róĪnice w obu rozwiązaniach.

(36)

Rys. 4.8. Krzywe ugiĊcia łodygi w kształcie stoĪka ĞciĊtego obciąĪonej parciem hydrodynamicznym. Linią ciągłą oznaczono ugiĊcie z rozwiązania dla duĪych ugiĊü, linią przerywaną

– z rozwiązania dla małych ugiĊü

Fig. 4.8. Deflection curve for truncated cone-shaped stem bent due to hydrodynamic pressure. Solid line denotes the deflection curve from the solution for big deflections, broken line denotes

the deflection curve from the solution for small deflections

4.2.4. Linia

ugi

Ċcia belki wspornikowej w zmiennym przekroju

poprzecznym

Odkształcenie roĞlinnoĞci elastycznej pod wpływem działania wody w przypadku małych ugiĊü uproĞciü moĪna takĪe do rozwiązania dla łodygi w kształcie stoĪka ĞciĊtego obciąĪonej siłą skupioną. Rozwiązanie to zaproponował Mikołajczak (2005). W tym celu naleĪy znaleĨü wzór opisujący liniĊ ugiĊcia belkiwspornikowej w zmiennym przekroju poprzecznym osiowo symetrycznym (stoĪek ĞciĊty). Schemat statyczny takiego modelu przedstawiono na rys. 4.9. Zmiana promienia elementu roĞlinnego opisana jest funkcją liniową: ( ) x r l r R x = − + ρ (4.56) Przedstawiü ją moĪna w postaci: ( )x =H⋅x+r ρ (4.57) przy czym: l r R H = − (4.58)

(37)

Rys. 4.9. Schemat statyczny oraz przyjĊte oznaczenia do wyznaczenia modułu sprĊĪystoĞci Fig. 4.9. Static diagram and notation for determining the modulus of elasticity

Wykorzystując równanie róĪniczkowe linii ugiĊcia obowiązujące w zakresie sprĊĪystym w postaci:

( )

x M y J E '' =− (4.59) gdzie: M

( )

x =−P⋅x (4.60) uzyskujemy: EJxy"

( )

x =+P⋅x (4.61)

przy czym moment bezwładnoĞci przekroju wynosi:

(

)

4 4 4 4₍_x₎ _Hx _r Jx + π = πρ = (4.62)

Równanie (4.61) zapisaü moĪna w postaci:

(

Hx r

)

y" P x E ⋅ = + π ⋅ 4 4 (4.63) przy czym:

(

)

4 4 r Hx x E P " y + π = (4.64)

Równanie (4.64)wyraziü moĪna w postaci:

( )

₍

₎

4 x a x " y + = (4.65)

(38)

gdzie: E P a π = 4 (4.66) Przyjmując warunki brzegowe:

1. x = l y’(l) = 0 2. x = l y(l) = 0

równanie róĪniczkowe (4.61) moĪna całkowaü, bezpoĞrednio podstawiając:

t r Hx+ = (4.67) uzyskujemy wówczas: A t r t H a ' y + »¼ º «¬ ª₋ ₊ = −2 −3 2 ₂ ₃ 1 (4.68) Stałą całkowania A wyznaczamy, podstawiając warunek brzegowy 1) x = l y’(l) = 0

»¼ º «¬ ª ₋ = → + »¼ º «¬ ª₋ ₊ = ₂ ₂ ₃ ₂ ₂ ₃ 3 2 1 3 2 1 0 R r R H a A A R r R H a (4.69) Wstawiając stałą A do równania (4.68),uzyskujemy:

»¼ º «¬ ª₋ ₊ ₊ ₋ = − − 3 2 3 2 2 3 2 1 3 2 1 R r R t r t H a ' y (4.70)

Ponowne całkowanie równania (4.70) daje wyraĪenie:

B t R r R t r t H a y _»+ ¼ º « ¬ ª ¸ ¹ · ¨ © § ₋ + − = − − 3 2 2 1 3 3 2 1 6 2 1 (4.71) które, uwzglĊdniając wczeĞniejsze podstawienie t (t = Hx + r), zapisaü moĪna w postaci:

(

) (

)

R

(

Hx r

)

Stałą całkowania B wyznaczamy, podstawiając warunek brzegowy 2) x = l i y(l) = 0

B R R r R R r R H a ₊ » ¼ º « ¬ ª ¸ ¹ · ¨ © § ₋ + − = ₃ ₂ ₂ ₃ 3 2 1 6 2 1 0 (4.73) »¼ º «¬ ª − − = »¼ º «¬ ª ₋ ₊ ₋ − = ₃ ₂ ₃ ₃ ₂ 2 1 3 2 1 6 2 1 R r R H a R r R R r R H a B (4.74)

(39)

» ¼ º « ¬ ª ₊ − ₊ ₊ − + + = ₃ 3 2₂ 3 ₃2 3 ₂2 6 R ) R r ( ) r Hx ( R r R ) r Hx ( r Hx H a ) x ( y (4.75)

Podstawiając w równaniu (4.75) x = 0, wyznaczamy strzałkĊ ugiĊcia:

(

)

3 3 3 2 3 2 2 3 3 3 6 2 3 2 6 H rR R r a R r R R r R r r H a w = − » » ¼ º « « ¬ ª + − − + = (4.76) Po podstawieniu a i H uzyskujemy: r R l E P w ₃ 3 3 4 π = (4.77) lub: r R EJ Pl w= ⋅ 3 3 (4.78) gdzie: 4 4 R J= π (4.79)

4.2.5. Skr

Ċcanie prĊta o przekroju kołowym

AnalizĊ statecznoĞci elementu roĞlinnego przeprowadziü moĪna równieĪ (KałuĪa, TymiĔski, 2006) rozpatrując skrĊcanie prĊta o przekroju kołowym, liniowo zmiennym po długoĞci – stoĪek ĞciĊty (rys. 4.10):

Rys. 4.10. Schemat statyczny oraz przyjĊte oznaczenia do wyznaczenia modułu sprĊĪystoĞci przy skrĊcaniu prĊta w postaci stoĪka ĞciĊtego

(40)

Zmiana promienia elementu roĞlinnego opisana jest funkcją liniową: ( ) x r l r R x + − = ρ (4.80)

Pochodna kąta ĳ (kąt skrĊcania) jest proporcjonalna do momentu skrĊcającego:

0 GJ M dx dϕ₌ s (4.81)

gdzie: Ms – moment skrĊcający,

J0 – biegunowy moment bezwładnoĞci,

G – moduł odkształcenia postaciowego.

Biegunowy moment bezwładnoĞci zapisaü moĪna w postaci:

( )

2 4 0 x x J =π⋅ρ (4.82)

Podstawiając do równania (4.81), otrzymamy:

4 4 2 2 ρ π = ρ π = ϕ G M ) x ( G M dx d s s (4.83) co zapisaü moĪna:

( )

x dx G M d s 4 2 ρ π = ϕ (4.84)

Całkując stronami równanie (4.84), otrzymamy:

³

(

)

¸¹= · ¨ © § ₊ ₊ ¸ ¹ · ¨ © § ₋ − π = ¸ ¹ · ¨ © § ₋ − π = ϕ ₃ ₃ 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 3 2 1 1 3 2 R rR r R r r R G l M R r ) r R ( l G M ) l ( s s ₃ ₃ 2 2 2 2 2 2 3 2 1 3 2 R r r Rr R G l M R r r rR R R r r R r R G l Ms s ⋅ + + π = + + ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ π ⋅ = (4.86)

(41)

wprowadzając wyraĪenie 2 4 0 R J = π do wzoru (4.86), otrzymamy: ¸ ¹ · ¨ © § ₊ ₊ ¸ ¹ · ¨ © § ⋅ ⋅ = ⋅ + + ¸ ¹ · ¨ © § = ϕ R r r R r R GJ l M R r r Rr R r R GJ l M ) l ( s s 1 3 1 3 2 0 2 2 2 0 (4.87)

4.3. Pomiary modułu spr

ĊĪystoĞci elementów roĞlinnych

WłaĞciwoĞci mechaniczne roĞlinnoĞci to ich zdolnoĞü do przeciwstawiania siĊ od-kształceniu i zniszczeniu oraz zdolnoĞü do sprĊĪystego i plastycznego odkształcania siĊ pod wpływem zewnĊtrznych sił mechanicznych. Siły działające na ciało mogą byü statyczne albo dynamiczne, zaleĪnie od sposobu przyłoĪenia obciąĪenia. Siły statyczne zmieniają siĊ powoli, osiągając stopniowo wymiar maksymalnego obciąĪenia. ObciąĪe-nia dynamiczne mogą byü udarowe, zmienne lub przemienne. Udarowe układy sił powstają wówczas, gdy energia kinetyczna zderzających siĊ ciał jest pochłoniĊta przez ugiĊcie w materiale. ObciąĪenia zmienne wahają siĊ zwykle sinusoidalnie miĊdzy dwiema granicami, a obciąĪenia przemienne w zasadzie są obciąĪeniami zmiennymi, wahającymi siĊ miĊdzy dwiema granicami równymi co do wielkoĞci, lecz o przeciwnych znakach.

Siła (obciąĪenie) przyłoĪona do roĞliny (elementu roĞliny) wywołuje w nim naprĊ-Īenia i odkształcenia. NaprĊĪenie mechaniczne jest miarą sił wewnĊtrznych powstają-cych w materiale odkształcanym pod wpływem oddziaływaĔ zewnĊtrznych. NaprĊĪenie σ mierzy siĊ wielkoĞcią siły P działającej na jednostkĊ pola A przekroju roĞliny:

A P

=

σ [Nʘm-2] (4.88)

Odkształcenie jest zmianą pierwotnego kształtu i wymiarów roĞliny, wywołane naprĊĪeniami. TĊ właĞciwoĞü wyraĪa siĊ w jednostkach bezwymiarowych lub w procen-tach. Odkształcenie wzglĊdne ε, np. przy zginaniu, jest mierzone stosunkiem skrócenia (Δl = l0 – lx ) do początkowej długoĞci próbki l0.

Po ustaniu działania siły odkształcającej materiał moĪe powróciü do stanu pierwot-nego, odzyskując początkowe wymiary, kształt i objĊtoĞü. ZdolnoĞü drewna do powracania do stanu początkowego po ustaniu działania sił zewnĊtrznych okreĞla siĊ mianem sprĊĪy-stoĞci, a odkształcenia zanikające po ustaniu działania siły noszą nazwĊ odkształceĔ sprĊĪystych. Odkształceniom sprĊĪystym moĪna przeciwstawiü odkształcenia trwałe, czyli nie zanikające po ustaniu działania sił. Maksymalne naprĊĪenie, nie powodujące odkształcenia trwałego, stanowi granicĊ sprĊĪystoĞci drewna. Teoretycznie przyjmuje siĊ, Īe do granicy sprĊĪystoĞci odkształcenia trwałe równe są zeru, a w materiale wystĊ-pują jedynie sprĊĪyste zmiany jego wymiarów.

Drewno, z uwagi na niejednorodną budowĊ anatomiczną tkanki drzewnej oraz złoĪo-noĞü budowy chemicznej i strukturalnej Ğcian komórkowych, jest materiałem konstrukcyj-nym wybitnie anizotropowym o własnoĞciach typowo lepkosprĊĪystych. Do unikalnych