Przenoszenie niepewności

Metrologia:

prawo przenoszenia

niepewności

dr inż. Paweł Zalewski

Terminologia:

„Niepewność” a „błąd” pomiaru:

W przypadku pojedynczych pomiarów stosujemy określenia:

Błąd bezwzględny: (1)

Błąd względny: (2)

Gdzie x – wartość zmierzona, x₀ – wartość rzeczywista. Wielkości określone wzorami (1) i (2) są pojedynczą realizacją zmiennej losowej i nie wchodzą do teorii niepewności. W praktyce nie znamy wartości rzeczywistych wielkości mierzonych i szacujemy niepewności pomiarowe wynikające ze statystycznych praw rozrzutu pomiarów. Istotny jest również problem niepewności przypisywanej wielkości złożonej (wyliczanej ze wzoru fizycznego):

0

x

x







0

x







Prawo Gaussa przenoszenia niepewności:

Błędy obserwacji powodują, że wszelkie funkcje tych obserwacji są

również obarczone błędami.

W przypadku funkcji liniowych ocena niepewności funkcji obserwacji nie jest skomplikowana.

Niepewność standardową (nazywaną też błędem średnim) funkcji nieliniowej F = y = f(x₁, x₂, x₃, ...), może być obliczona dla przybliżonej postaci tej funkcji, przy założeniu, że daje się ona rozwinąć w szereg Taylora.

Funkcja F(x₁, x₂, x₃) w postaci szeregu Taylora w otoczeniu punktu P (x₀₁, x₀₂, x₀₃):











,

,



...

,

,

,

,

3 03 2 02 1 01 03 02 01 3 03 2 02 1 01 3 2 1































dx

x

F

dx

x

F

dx

x

F

x

x

x

F

dx

x

dx

x

dx

x

F

x

x

x

F

Prawo Gaussa przenoszenia niepewności:

Utożsamiając zmiany dx₁, dx₂, dx₃ z błędami: _x, _y, _z :

Pomiędzy błędem funkcji F i błędami zmiennych X, Y, Z zachodzi związek:





3 2 1 0 3 2 1 3 2 1

,

,

dx

c

dx

b

dx

a

F

X

c

X

b

X

a

x

x

x

F

y































z y x F

a



b



c











Prawo Gaussa przenoszenia niepewności:

A niepewność względna:

y

u

u

_Fr



F































































2

...

2 3 2 2 2 2 2 1 3 2 1 x x x F F

m

x

F

m

x

F

m

x

F

m

u





N

n

m

x

x

x

x

x

F

m

x

F

m

n i x i n n i x i F _{i i}















































 

;

,...,

,

,

1 2 3 2 1 1 2

Wobec czego niepewność standardowa funkcji będzie sumą geometryczną różniczek cząstkowych:

Przykład: Obliczyć pole prostokątnej działki o bokach a, b; błąd średni oraz względny pola.

Z pomiaru długości boków figury:

a = 300 m, m_a= 0,10 m, b = 20 m, m_b= 0,01m

Pole: P = F(a,b) = a × b = 6000 m2_{= 60 a}

Średni błąd funkcji P:

a

b

Prawo Gaussa przenoszenia niepewności:

2 2 2 2 b a P

m

b

P

m

a

P

m





































Pochodne cząstkowe:

P = 6000 m

2

± 4 m

2 Błąd względny pola figury:

Prawo Gaussa przenoszenia niepewności:

a

b

P

b

a

P

_











,



 

2



2



 

2



2 2

m

6

,

3

01

,

0

300

1

,

0

20



















_{a b} p

b

m

a

m

m

P

P

1600

1

m

6000

m

6

,

3

2 2



Metoda najmniejszych kwadratów w regresji liniowej:

y = 0.9399x + 1.5859 R² = 0.9913 4 5 6 7 8 9 10 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8









min

2 2











n i i i

ax

b

y

S

Warunek minimum funkcji dwu zmiennych:

Otrzymuje się układ równań liniowych dla niewiadomych a i b:

Rozwiązując ten układ równań otrzymuje się wyrażenia na a i b:

Metoda najmniejszych kwadratów w regresji liniowej:

0

,

0

2 2













b

S

a

S



















i i i i i i

y

bn

x

a

y

x

x

b

x

a

2

y

x

x

y

x

b

W

y

x

y

x

n

a

i i i i i i i i i

   



 









2

Odchylenia standardowe obu parametrów prostej:

Metoda najmniejszych kwadratów w regresji liniowej:

 

2 2









n

x

_i

x

_i

W

n

x

a

u

b

u

W

S

n

n

a

u

i









2 2

)

(

)

(

2

)

(