Wykorzystanie modeli wzorcowych w rozwiązaniu problemu kompensacji cech podczas oceny jakości wyrobów

Pełen tekst

(1)Zeszyty Naukowe nr 831. Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie. 2010. Stanisław Pfeifer Katedra Towaroznawstwa Przemysłowego. Wykorzystanie modeli wzorcowych w rozwiązaniu problemu kompensacji cech podczas oceny jakości wyrobów 1. Wprowadzenie Jednym z ważniejszych zagadnień w zarządzaniu jakością, a także w naukach towaroznawczych, jest wielokryterialna ocena jakości wyrobów. Oceny mogą mieć charakter obiektywny lub subiektywny: dokonywane przez indywidualnych użytkowników (konsumentów) są subiektywne, natomiast analizy towarów przeprowadzane systematycznie na potrzeby przedsiębiorstw, organizacji handlowych lub w celach naukowych powinny być niezależne. W prezentowanym artykule określenie „ocena obiektywna” dotyczy oceny liczbowej otrzymanej w wyniku ustalonych procedur. Tworzą one określony system, nazywany modelem oceny wyrobów. Oceny obiektywne powinny być powtarzalne, podobnie jak ma to miejsce w badaniach empirycznych. Podane określenia nie oznaczają jednak, że oceny obiektywne to tylko te, które są wyrażane za pomocą liczb. Istotnym zagadnieniem w wielokryterialnej ocenie jakości jest zjawisko kompensacji cech, na co zwracają uwagę w swoich pracach T. Borys i A. Iwasiewicz [1, 6]. Polega ono na tym, że małe wartości ocen cząstkowych jednych cech mogą być kompensowane przez duże wartości innych cech. Zjawisko to szczególnie uwidacznia się w addytywnych modelach oceny opartych na średniej ważonej [6]. W ocenie jakości wyrobów można wykorzystać niektóre metody stosowane w taksonomii i wielowymiarowej analizie porównawczej (WAP). Porządkowaniu podlegają w niej obiekty, które są odwzorowywane na punkty w wielowymiarowej przestrzeni cech [3, 4, 10, 13, 14]. W ocenie towaroznawczej chodzi o to, aby.

(2) Stanisław Pfeifer. 32. w sposób obiektywny, zgodnie z ustalonymi założeniami, odróżnić towary lepsze od gorszych, uporządkować je pod względem jakości i określić, w jakim stopniu dany wyrób jest lepszy od innego. W odwzorowaniach tego typu różne towary mogą uzyskać taką samą lub inną ocenę w ramach określonej niepewności [11]. Odpowiada to sytuacjom, kiedy towary substytucyjne o podobnym poziomie jakościowym znajdują różnych nabywców, a wybór jednego z nich wynika z indywidualnych upodobań lub innych nieuchwytnych i niemożliwych do formalnego ujęcia preferencji konsumenckich. 2. Modele oceny wyrobów Ocena wyrobu najczęściej dotyczy jego jakości, a każdy sposób oceny zależy od przyjętych określeń i definicji. Definicji jakości jest bardzo wiele (zob. np. [1, 2, 5, 6, 7, 15]). Zgodnie z obowiązującą normą PN-EN ISO 9000 z września 2006 r. jakość to stopień, w jakim zbiór inherentnych właściwości spełnia wymagania [12]. Tak sformułowana definicja umożliwia zastosowanie niektórych metod taksonomii oraz wielowymiarowej analizy porównawczej w obiektywnej ocenie jakości. W1 W4. W10. W5 W3. W9. W2 W8. W6 W7. W11 Oc. O6. O11. O5 O7 O10. O9. O4 O 2. O1 O8. O3. Rys. 1. Proces oceny wyrobów W1, W2, …, W11 – przeniesienie ich na oś liczbową w postaci ocen całkowitych Oc (różnym wyrobom mogą zostać przyporządkowane takie same lub różne oceny w zależności od rodzaju wyrobów i stosowanego modelu) Źródło: opracowanie własne..

(3) Wykorzystanie modeli wzorcowych…. 33. Proces oceny wyrobów należących do jednej grupy asortymentowej można traktować jako przyporządkowanie im pewnych wartości liczbowych, tj. ocen całkowitych Oc (ocen syntetycznych) z przedziału zamkniętego [0, 1], w taki sposób, że wyrobom najgorszym przyporządkowuje się wartość równą zero, a najlepszym – wartość równą jedności. Sposób przyporządkowania wartości Oc poszczególnym wyrobom zależy od wielu czynników i jest określony w zaprojektowanym modelu. Z przyjętych i uzasadnionych merytorycznie założeń wynikają np. metody wyznaczenia wartości cech, procedury normalizacji i sposób określenia oceny syntetycznej (łączącej oceny poszczególnych cech diagnostycznych). W wyniku postępowania zgodnie z określonym modelem, oceny (a więc i towary) zostają uporządkowane na osi liczbowej, co przedstawiono na rys. 1. Zaznaczono na nim za pomocą kwadratów zbiór wyrobów należących do jednej, wspólnej grupy asortymentowej W. W zapisie formalnym należy to przedstawić w postaci zależności:. W = {W1, W2, …, Wm},. gdzie: W – zbiór ocenianych wyrobów, W1, W2, …, Wm – poszczególne wyroby, m – liczba wyrobów.. (1). Ocenie podlegają różne wyroby substytucyjne (o wspólnym przeznaczeniu, podobnym zbiorze właściwości użytkowych itp.). Z rys. 1 wynika, że każdemu z wyrobów W1, W2, …, W11 zostaje przyporządkowana jakaś ocena całkowita Oc. W ten sposób obiekty rzeczywiste, jakimi są poszczególne towary, są przekształcane w obiekty abstrakcyjne – oceny całkowite Oc, które najczęściej są przyznawane na podstawie analizy wielu cech diagnostycznych. Można do tego wykorzystać niektóre metody z dziedziny taksonomii lub WAP, których przykłady podano w pracach [9, 10]. Modele oceny obiektów, w których uwzględnia się wybrane cechy diagnostyczne, można podzielić na wzorcowe i bezwzorcowe. W modelach wzorcowych zakłada się istnienie obiektu (towaru) idealnego, czyli wzorca oceny. Metody tego typu polegają na wyznaczeniu odległości punktu dk, odpowiadającego ocenianemu towarowi Wa w zbiorze towarów W, od punktu odpowiadającego towarowi wzorcowemu Ww (rys. 2). Do wyznaczenia odległości między ocenianym obiektem a obiektem wzorcowym wykorzystuje się różnego rodzaju mierniki. W taksonomii używa się takich wielkości jak: odległość euklidesowa, odległość Hamminga (miejska), odległość Jeffreysa i Matusity, odległość kątowa [3, 4, 13, 14]. Mają one różne właściwości, dobiera się je w zależności od celu zastosowania. Różnice wynikają zarówno z odmiennie definiowanego pojęcia odległości w poszczególnych formułach, jak również.

(4) Stanisław Pfeifer. 34. z określania różnych przedziałów zmienności cech, sposobów preferencji czy przypisywania różnych współczynników ważności. O2 Ww. o2W. dk. Wa. o2a. Wo 0. 0. O1a. O1. O1w. Rys. 2. Odległość dk między ocenianym towarem Wa i towarem wzorcowym Ww w układzie dwóch cech, reprezentowanym przez oceny cząstkowe o1 i o2 Źródło: opracowanie własne.. Określenie odległości d k umożliwia uporządkowanie ocenianych towarów w zbiorze m-towarów W (W1, W2 , …, Wm) w zależności od usytuowania wzorca oceny (towaru Ww). Istotne jest wybranie odpowiedniego obiektu wzorcowego. Parametry wzorca (współrzędne obiektu modelowego) określa się na podstawie przesłanek merytorycznych (ocen ekspertów), badań laboratoryjnych lub danych statystycznych. Jednym z mierników, który może być wykorzystywany w ocenie jakości towarów, jest odległość euklidesowa. Wskaźnik ten jest związany z odległością kartezjańską, określającą odległość między dwoma punktami w przestrzeni o n wymiarach. Wzór na odległość między dwoma punktami w przestrzeni ma postać [8]:. n. dk =. ∑ ( owi − oi ). 2. (2). i=1. gdzie: dk – odległość między dwoma punktami odpowiadającymi dwóm wyrobom (ocenianemu i wzorcowemu), n – liczba wymiarów przestrzeni, równoważna liczbie cech diagnostycznych (i = 1, …, n), oi – współrzędne punktu równoważne ocenom cząstkowym ocenianego towaru, którymi są znormalizowane wartości cech diagnostycznych, owi – współrzędne punktu równoważne znormalizowanym wartościom cech wyrobu wzorcowego..

(5) Wykorzystanie modeli wzorcowych…. 35. Należy zauważyć, że modele oceny oparte na odległości euklidesowej w pewnym stopniu zmniejszają niekorzystne zjawisko kompensacji cech. Gdy jednak zmienność ocen cząstkowych jest duża, problem ten nadal występuje. Ponadto wzorcowe modele oceny mają niekorzystną właściwość: większa wartość odległości (wyższa ocena) wskazuje na gorszą jakość, ponieważ badany wyrób jest bardziej oddalony od wzorcowego. Należy więc dokonać przekształcenia wzoru (2) w taki sposób, aby większym wartościom ocen odpowiadały towary lepszej jakości. Zależność spełniającą te wymagania opisuje wzór:. OcK = 1 – dk,. (3). gdzie OcK to ocena danego wyrobu z uwzględnieniem postulatu jednolitej preferencji ocen cząstkowych oraz całkowitych. Zakładając, że współrzędne punktu odpowiadającego wyrobowi wzorcowemu, czyli znormalizowane wartości cech diagnostycznych, wynoszą 1, po odpowiednich przekształceniach algebraicznych otrzymuje się modyfikację wzoru (3):. n. OcK = 1 − dk =. 2 ∑ ( oi ) . . (4). i=1. Zależność (4) określa odległość punktu odpowiadającego badanemu wyrobowi już nie od punktu wyrobu wzorcowego, lecz wyrobu „zerowego” (W0), czyli od początku układu współrzędnych (rys. 2). W tym przypadku wzrost wartości ocen cząstkowych oi jest proporcjonalny do oceny całkowitej wyrobu OcK. Ocena OcK zależy jednak od n, a więc od liczby cech diagnostycznych, i zwiększa się w miarę wzrostu n. I tak np. gdy w ocenie wyrobu uwzględniono trzy cechy o wartościach znormalizowanych powyżej 0,7, wartość OcK będzie większa od 1,21, a zgodnie z założeniami dotyczącymi normalizacji cech [4, 9] wartości ocen cząstkowych powinny zawierać się w zamkniętym przedziale [0, 1]. Należy więc wymagać, aby oceny całkowite również zawierały się w takim przedziale. Można to uzyskać, wprowadzając współczynniki ważności cech, których suma będzie równa jedności. Współczynniki te, podobnie jak rodzaj oraz liczba cech diagnostycznych, to stałe elementy danego modelu oceny. Uwzględniając współczynniki ważności cech ui we wzorze (4), otrzymuje się zależność:. OcE =. n. ∑ ui ( oi ) i =1. 2. .. (5). Sposób wyznaczenia wartości OcE, określony równaniem (5), jest podstawowym elementem wzorcowych modeli oceny jakości, które opierają się na odległości kartezjańskiej. Wartości ocen syntetycznych wyznaczonych ze wzoru (5) nie zależą.

(6) Stanisław Pfeifer. 36. od liczby cech i zwiększają się do wartości równej jedności, gdy wartości ocen cząstkowych oi zbliżają się do jedności. Zachowany jest więc podstawowy postulat jednolitej preferencji: wzrost ocen cząstkowych prowadzi do wzrostu wartości oceny całkowitej i wskazuje na wyższą jakość danych wyrobów. 3. Problematyka kompensacji cech Poważnym problemem w syntetycznej ocenie jakości jest kompensacja cech. Wyjaśniono to na przykładzie, który zaprezentowano na rys. 3, przedstawiającym dwa wyroby: Wa oraz Wb. O2. 1,0. Ww Wb. ob2. Wa. oa2 W0 0,0. Ob1. Oa1. 1,0. O1. Rys. 3. Wartości oceny całkowitej jako odległości między towarami Wb, Wa a towarem W0 w układzie reprezentowanym przez dwie oceny cząstkowe: o1 i o2 (mimo różnych wartości cech towary Wa i Wb uzyskują taką samą ocenę na skutek zjawiska kompensacji cech) Źródło: opracowanie własne.. Na rys. 3 odległość obu wyrobów od początku układu współrzędnych, czyli od towaru najgorszego, zerowego (W0) jest taka sama, ponieważ ob1 = oa2 oraz oa1 = = ob2. Odpowiada to sytuacji, kiedy np. wyrób Wa ma oceny cząstkowe (0,7; 0,3), a wyrób Wb (0,3; 0,7). Przy jednakowej ważności cech wartość oceny całkowitej obu wyrobów wyznaczona ze wzoru (5) jest taka sama i wynosi 0,71. W celu rozwiązania omawianego problemu należy wprowadzić pojęcie niejednorodności jakościowej wyrobu. Wartości ocen cząstkowych oi danego wyrobu, gdy oi = o1, o2, …, on, mogą charakteryzować się większą lub mniejszą zmiennością. Mniejsza zmienność oi dowodzi, że wartości cech są mniej zróżnicowane i dany wyrób jest bardziej jednorodny pod względem cech, które są brane pod.

(7) Wykorzystanie modeli wzorcowych…. 37. uwagę w ocenie jakości. Należy przyjąć założenie, że im większa jest zmienność ocen cząstkowych, tym większa jest niejednorodność jakościowa wyrobu, a więc końcowy wynik oceny powinien być mniejszy. Reprezentantami zmienności ocen cząstkowych mogą być miary bezwzględne, takie jak rozstęp ocen Ro, lub miary względne, np. współczynnik zmienności. Rozstęp ocen należy wyrazić zależnością:. Ro = omax – omin,. (6). gdzie: omax – maksymalna wartość oceny cząstkowej, omin – minimalna wartość oceny cząstkowej, Ro – rozstęp ocen cząstkowych danego towaru. Uzależnienie oceny całkowitej Oc od rozstępu Ro w taki sposób, że wzrost wartości Ro powoduje zmniejszenie Oc, może mieć charakter liniowy lub nieliniowy. Zależność liniową przedstawiają funkcje monotonicznie malejące typu y = a – bx, gdzie x odpowiada wartości Ro, a to wartość oceny, która ma być zmniejszona, a b jest współczynnikiem proporcjonalności. Uwzględniając podane założenia, należy przyjąć następującą liniową zależność oceny całkowitej od rozstępu:. OcL = OcE – εRo,. (7). gdzie: OcL – ocena całkowita oparta na liniowym modelu obniżenia oceny, OcE – ocena wyrażona równaniem (5), ε – współczynnik proporcjonalności, liniowy współczynnik obniżenia oceny (ε należy do przedziału [0, 1]), Ro – rozstęp ocen cząstkowych danego towaru. W ocenie jakości wyrobów korzystna jest sytuacja, w której niewielkim wartościom rozstępu Ro (kiedy występuje niewielka niejednorodność jakościowa) odpowiada niewielkie zmniejszenie oceny całkowitej, a większym wartościom rozstępu (kiedy występuje duża niejednorodność jakościowa) odpowiada duże zmniejszenie oceny całkowitej. Podane postulaty realizuje nieliniowy model oceny, oparty na funkcji monotonicznie malejącej typu y = a – bxδ , gdzie występuje nieliniowy współczynnik obniżenia oceny δ – merytorycznie ustalona liczba dodatnia wpływająca na dynamikę obniżania oceny całkowitej. Przy uwzględnieniu podanych założeń model nieliniowy należy wyrazić wzorem:. OcN = OcE – εRoδ,. (8).

(8) Stanisław Pfeifer. 38. gdzie: OcN – ocena całkowita oparta na nieliniowym modelu oceny, δ – nieliniowy współczynnik obniżenia oceny. Równanie (8) jest ogólnym rozwiązaniem problemu kompensacji cech we wzorcowych modelach oceny wyrobów. Gdy ε = 0, rozstęp nie jest uwzględniany i wzór (8) przyjmuje postać wzoru (5). Jeśli δ = 1, występuje model liniowy i wzór (8) przyjmuje postać wzoru (7). 4. Wyniki badań W celu weryfikacji zaprezentowanych wzorcowych modeli oceny przeprowadzono badania symulacyjne fikcyjnych wyrobów, w wypadku których występuje zjawisko silnej kompensacji cech. Założono, że ocenie jakości podlega grupa siedmiu towarów, wybrano pięć cech diagnostycznych. Ustalono potrzebne do normalizacji parametry graniczne cech, tj. wartości maksymalne, minimalne i nominalne, jako stałe elementy danego modelu oceny [9, 10]. Parametry te umożliwiły przekształcenie wartości cech na oceny cząstkowe oi. Dla uproszczenia obliczeń przyjęto system wag stałych, co prowadziło do uzyskania jednakowych współczynników ważności ui wszystkich cech diagnostycznych. Założono występowanie silnej kompensacji cech ocenianych wyrobów: pomimo różnych wartości poszczególnych cech diagnostycznych wszystkie towary otrzymały taką samą – w ramach błędu oceny – wartość oceny syntetycznej OcS, obliczonej jako średnia ważona ze wzoru:. n. OcS = ∑ ui oi , i =1. (9). gdzie: OcS – ocena całkowita wyznaczona jako średnia ważona, oi – oceny cząstkowe cech diagnostycznych, ui – współczynnik ważności cechy. Współczynniki ważności cech były takie same, tak więc średnia ważona była równa średniej arytmetycznej. Po wyznaczeniu wartości cech, pierwszym etapie oceny jakości, dokonano ich normalizacji. Otrzymano oceny cząstkowe zawarte w przedziale [0, 1]. Następnie obliczono rozstęp ocen na podstawie wzoru (7). Wyniki obliczeń symulacyjnych ocen cząstkowych siedmiu wyrobów W oraz pięciu cech diagnostycznych podano w tabeli 1..

(9) Wykorzystanie modeli wzorcowych…. 39. Tabela 1. Oceny cząstkowe oraz rozstęp ocen Ro siedmiu wyrobów W W. Ro. 1. 0,02. 3. 0,49. 2. 1. 0,33. 4. 6. 0,81. 7. 0,720. 0,830. 0,790. 0,930. 0,920. 1,000. 0,680. Źródło: opracowanie własne.. 5. Współczynniki ważności ui. 0,460. 0,14. 0,730. 0,830. 0,820. 0,340. 0,695. 0,795. 0,210. 0,860. 0,656. 4. 0,740. 0,790. 0,720. 0,950. 0,94. 3. 0,780. 0,890. 0,72. Oceny cząstkowe oi. 0,740. 0,790. 0,62. 5. 2. 0,954. 0,980. 0,785. 0,830. 0,880. 0,840. 0,740. 0,270 0,140. 0,060. 0,14. 0,14 0,14 0,14. 0,14. 0,14. 1. 0,8. 0,6 Oc 0,4. 0,2. 0. 0. 0,2. 0,4 ε = 0, δ = 0 δ=2. Ro. 0,6 δ=1 δ=4. 0,8. 1. δ = 1,5 δ=6. Rys. 4. Zależność oceny całkowitej Oc od rozstępu Ro we wzorcowych modelach oceny wyrobów przy różnych współczynnikach obniżania oceny δ Źródło: opracowanie własne.. Kolejnym krokiem było wyznaczenie ocen całkowitych za pomocą równania (8). Dodatkowo w celach porównawczych obliczono oceny całkowite OcS jako średnie ze wzoru (9). Wyniki tych obliczeń podano w tabeli 2..

(10) Stanisław Pfeifer. 40. Tabela 2. Oceny całkowite grupy wyrobów W W. Oceny całkowite uzyskane w różnych modelach OcN, δ=1. OcN, δ = 1,5. OcN, δ=2. OcN, δ=4. OcN, δ=6. 0,74. 0,57. 0,64. 0,69. 0,73. 0,74. 0,71. 0,69. 0,38. 0,72. 0,65. 0,24. OcS. OcE. 0,73. 0,78. 3. 0,72. 0,71. 5. 0,71. 1. 2 4. 6 7. 0,72. 0,71. 0,67 0,62. 0,77. 0,77. 0,47. 0,54. 0,31. 0,36. 0,15. 0,77. 0,59. 0,69. 0,41. 0,53. 0,18. 0,23. 0,45. 0,50. 0,28. 0,31. 0,16. 0,78. 0,62. 0,43. Ro. 0,78. 0,02. 0,71. 0,49. 0,66. 0,60. 0,50 0,28. 0,33 0,62 0,72. 0,81. 0,94. Objaśnienia: OcS – ocena jako średnia ważona obliczona ze wzoru (9), OcE – ocena jako odległość od początku układu współrzędnych, wyrażona wzorem (5), OcN – oceny obliczone na podstawie wzoru (8) dla ε = 0,5, przy różnych współczynnikach δ, Ro – rozstęp ocen cząstkowych. Źródło: opracowanie własne.. Z badań symulacyjnych przedstawionych w tabeli 2 wynika, że występuje zjawisko pełnej kompensacji cech: różne wyroby o odmiennych znormalizowanych wartościach cech otrzymały niemal identyczną ocenę całkowitą obliczoną ze wzoru (9). W kolejnych modelach to niekorzystne zjawisko jest w różnym stopniu eliminowane. Na podstawie danych przedstawionych w tabeli 2 wyznaczono graficzną postać zależności ocen całkowitych Oc od rozstępu Ro dla różnych wartości δ, z założeniem, że liniowy współczynnik obniżenia oceny ε wynosi 0,5 (rys. 4). 5. Analiza wyników badań i wnioski Wyniki przeprowadzonych badań symulacyjnych świadczą o znacznym zróżnicowaniu wartości ocen całkowitych tych samych wyrobów w zależności od rodzaju przyjętego modelu oceny. Na skutek silnej kompensacji cech oceny całkowite, obliczone jako średnie ważone według wzoru (9), są prawie identyczne dla wszystkich wyrobów, a niewielkie różnice mogą wynikać z niepewności oceny [11]. Wynika to z danych przedstawionych w drugiej kolumnie tabeli 2. Stosowanie tradycyjnych metod oceny jakości, opartych ma metodach bezwzorcowych (np. na średniej ważonej), nie pozwala zatem na rozróżnienie odmiennych jakościowo wyrobów, których wartości cech, a więc i wartości ocen cząstkowych, są diametralnie różne (zob. dane w tabeli 1). Zastosowanie modelu wzorcowego opartego na odległości euklidesowej, zgodnie z równaniem (5), który określa ocenę całkowitą danego wyrobu jako odległość od wyrobu zerowego, pozwala na zmniejszenie kompensacji cech i umożliwia w niewielkim stopniu rozróżnić.

(11) Wykorzystanie modeli wzorcowych…. 41. poszczególne wyroby. Rozróżnienie w postaci ocen całkowitych jest tym większe, im większa jest niejednorodność jakościowa, którą reprezentuje rozstęp ocen Ro. Można to zaobserwować na wykresie: ε = 0, δ = 0 (rys. 4). Zastosowanie nieliniowych modeli oceny, określonych równaniem (8), pozwala na niemal całkowite uniknięcie kompensacji cech. Przy ustalonym, liniowym współczynniku obniżenia oceny ε oraz nieliniowym współczynniku obniżenia oceny δ ocena całkowita obniża się w zależności od wartości rozstępu ocen Ro. Należy podkreślić, że współczynniki ε i δ powinny być ustalane na podstawie wiedzy merytorycznej dotyczącej ocenianych towarów. Są one stałymi elementami danego systemu oceny. W zależności od wartości tych parametrów można zmieniać dynamikę zmian oceny jakości. W prezentowanych modelach znaczna niejednorodność jakościowa wyrobów prowadzi do istotnego zmniejszenia oceny całkowitej. Wyroby charakteryzujące się małą zmiennością wartości cech diagnostycznych, w wypadku których przeważają duże wartości ocen cząstkowych, otrzymują wysoką ocenę jakości. Opracowane wzorcowe modele oceny mogą być stosowane do obiektywnej oceny jakości różnych wyrobów czy, szerzej problem ujmując, produktów należących do wspólnej grupy. W tym znaczeniu modele te powinny być wykorzystywane w różnych systemach zarządzania jakością, jak również w badaniach towaroznawczych. Literatura [1] Borys T., Elementy teorii jakości, PWN, Warszawa 1980. [2] Borys T., Kategorie jakości w statystycznej analizie porównawczej, Prace Naukowe Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego we Wrocławiu, Seria: Monografie i Opracowania, nr 23, Wrocław 1984. [3] Grabiński T., Metody taksonometrii, Akademia Ekonomiczna w Krakowie, Kraków 1992. [4] Grabiński T., Wielowymiarowa analiza porównawcza w badaniach dynamiki zjawisk ekonomicznych, Zeszyty Naukowe Akademii Ekonomicznej w Krakowie , Seria specjalna: Monografie, nr 61, Kraków 1984. [5] Hamrol A., Zarządzanie jakością z przykładami, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2005. [6] Iwasiewicz A., Zarządzanie jakością, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa–Kraków 1999. [7] Iwasiewicz A., Zarządzanie jakością w przykładach i zadaniach, Śląskie Wydawnictwa Naukowe Wyższej Szkoły Zarządzania i Nauk Społecznych w Tychach, Tychy 2005. [8] Leja F., Geometria analityczna, PWN, Warszawa 1966. [9] Pfeifer S., An Application of Non-linear Normalisation to Quality Assessment of �� Goods [w:] Global Safety of Commodity and Environment: Quality of Life, Proceedings of the 15th IGWT Symposium, vol. 1, Kiev 2006..

(12) 42. Stanisław Pfeifer. [10] Pfeifer S., Metody wielowymiarowej analizy porównawczej w badaniu i ocenie jakości towarów, „Towaroznawcze Problemy Jakości” 2004, nr 1. [11] Pfeifer S., Niepewność oceny w badaniach towaroznawczych [w:] Jakość w badaniach i dydaktyce szkół wyższych, monografia z cyklu Techniczne i Ekonomiczne Aspekty Jakości, red. S. Doroszewicz, A. Kobylińska, Oficyna Wydawnicza SGH w Warszawie, Warszawa 2007. [12] PN-EN ISO 9000:2006, Systemy zarządzania jakością. Podstawy i terminologia. [13] Walesiak M., Uogólniona miara odległości w statystycznej analizie wielowymiarowej, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego we Wrocławiu, Wrocław 2006. [14] Wishart D., Mode Analysis: A Generalisation of Nearest Neighbour which Reduce a Chaining Effects [w:] Numerical Taxonomy, ed. A.J. Cole, Academic Press, New York 1969. [15] Zalewski R.I., Aktualne trendy w nauce o jakości, „Problemy Jakości” 2000, nr 4. The Use of Standard Models to Solve the Problem of Compensation for Properties When Assessing the Quality of Products In the paper selected issues concerning multi-criteria assessment of products are discussed. Similarities and differences between the mapping of points onto the numerical axis and the assessment related to the commodity science are shown. A model for assessment, based on the Cartesian distance, in which measures of quality heterogeneity in the form of the range of partial results are used, has been proposed. On the basis of the carried out simulation research it has been shown that the proposed assessment models make it possible to eliminate the phenomenon of compensation for properties; hence, they may be widely used in quality management and research related to the commodity science..

(13)