Kurtoza wektora losowego. Prace Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, 2009, Nr 76, s. 44-54

EKONOMETRIA

Zastosowanie matematyki

w ekonomii

Redaktor naukowy

Janusz Łyko

26

Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu Wrocław 2009

PRACE NAUKOWE

UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO

WE WROCŁAWIU

nr 76

RESEARCH PAPERS

OF WROCŁAW UNIVERSITY

OF ECONOMICS

No. 76

Spis treści

Wstęp ... 7

Beata Bal-Domańska, Ekonometryczna analiza sigma i beta konwergencji regionów Unii Europejskiej ... 9

Andrzej Bąk, Aneta Rybicka, Marcin Pełka, Modele efektów głównych i modele z interakcjami w conjoint analysis z zastosowaniem programu R 25 Katarzyna Budny, Kurtoza wektora losowego ... 44

Wiktor Ejsmont, Optymalna liczebność grupy studentów ... 55

Kamil Fijorek, Model regresji dla cechy przyjmującej wartości z przedziału (0,1) – ujęcie bayesowskie ... 66

Paweł Hanczar, Wyznaczanie zapasu bezpieczeństwa w sieci logistycznej ... 77

Roman Huptas, Metody szacowania wewnątrzdziennej sezonowości w ana-lizie danych finansowych pochodzących z pojedynczych transakcji ... 83

Aleksandra Iwanicka, Wpływ zewnętrznych czynników ryzyka na prawdopo-dobieństwo ruiny w skończonym horyzoncie czasowym w wieloklasowym modelu ryzyka ... 97

Agnieszka Lipieta, Stany równowagi na rynkach warunkowych ... 110

Krystyna Melich-Iwanek, Polski rynek pracy w świetle teorii histerezy ... 122

Rafał Piszczek, Zastosowanie modelu logit w modelowaniu upadłości ... 133

Marcin Salamaga, Próba weryfikacji teorii parytetu siły nabywczej na przy-kładzie kursów wybranych walut ... 149

Antoni Smoluk, O zasadzie dualności w programowaniu liniowym ... 160

Małgorzata Szulc-Janek, Influence of recommendations announcements on stock prices of fuel market ... 170

Jacek Welc, Regresja liniowa w szacowaniu fundamentalnych współczynni-ków Beta na przykładzie spółek giełdowych z sektorów: budownictwa, informatyki oraz spożywczego ... 180

Andrzej Wilkowski, O współczynniku korelacji ... 191

Mirosław Wójciak, Klasyfikacja nowych technologii energetycznych ze względu na determinanty ich rozwoju ... 199

Andrzej Wójcik, Wykorzystanie modeli wektorowo-autoregresyjnych do modelowania gospodarki Polski ... 209

Katarzyna Zeug-Żebro, Rekonstrukcja przestrzeni stanów na podstawie wielowymiarowych szeregów czasowych ... 219

6

Spis treści

Summaries

Beata Bal-Domańska, Econometric analysis of sigma and beta convergence

in the European Union regions ... 24

Andrzej Bąk, Aneta Rybicka, Marcin Pełka, Main effects models and

main and interactions models in conjoint analysis with application of R software ... 43

Katarzyna Budny, Kurtosis of a random vector ... 53 Wiktor Ejsmont, Optimal class size of students ... 65 Kamil Fijorek, Regression model for data restricted to the interval (0,1) –

Bayesian approach ... 76

Paweł Hanczar, Safety stock level calculation in a supply chain network ... 82 Roman Huptas, Estimation methods of intraday seasonality in transaction

financial data analysis ... 96

Aleksandra Iwanicka, An impact of some outside risk factors on the finite-

-time ruin probability for a multi-classes risk model ... 109

Agnieszka Lipieta, States of contingent market equilibrium ... 121 Krystyna Melich-Iwanek, The Polish labour market in light of the hysteresis

theory ... 132

Rafał Piszczek, Logit model applications for bankruptcy modelling ... 148 Marcin Salamaga, Attempt to verify the purchasing power parity theory in

the case of some foreign currencies ... 159

Antoni Smoluk, On dual principle of linear programming ... 168 Małgorzata Szulc-Janek, Analiza wpływu rekomendacji analityków na ceny

akcji branży paliwowej (Analiza wpływu rekomendacji analityków na ceny akcji branży paliwowej) ... 178

Jacek Welc, A linear regression in estimating fundamental betas in the case of

the stock market companies from construction, it and food industries ... 190

Andrzej Wilkowski, About the coefficient of correlation ... 198 Mirosław Wójciak, Classification of new energy related technologies based

on the determinants of their development ... 208

Andrzej Wójcik, Using vector-autoregressive models to modelling economy

of Poland ... 218

Katarzyna Zeug-Żebro, State space reconstruction from multivariate time

series ... 227

PRACE NAUKOWE UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO WE WROCŁAWIU nr 76

Ekonometria 26 2009

Katarzyna Budny

Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

KURTOZA WEKTORA LOSOWEGO

Streszczenie: W teorii jednowymiarowych zmiennych losowych jedną z miar koncentracji rozkładu wokół wartości oczekiwanej czy też miar spłaszczenia rozkładu jest kurtoza. Przy-pomnijmy, że kurtoza zmiennej losowej jest definiowana jako czwarty moment centralny dzielony przez kwadrat wariancji.

Definicje potęgi wektora w przestrzeni z iloczynem skalarnym oraz momentu central-nego wektora losowego zaproponowane przez J. Tatara pozwalają na próbę podobcentral-nego określenia kurtozy wielowymiarowego wektora losowego.

Zaprezentowano podstawowe własności tak skonstruowanego wskaźnika oraz sformu-łowane i udowodniono twierdzenie podające postać kurtozy dla wektora losowego o stocha-stycznie niezależnych współrzędnych. W celu zobrazowania tego twierdzenia przedstawione zostaną postaci kurtozy dla wybranych wielowymiarowych typów rozkładów prawdopodo-bieństwa.

Słowa kluczowe: kurtoza, momenty wektora losowego, rozkłady wielowymiarowe, potęga wektora.

W teorii jednowymiarowych zmiennych losowych jedną z miar koncentracji rozkładu wokół wartości oczekiwanej czy też miar spłaszczenia rozkładu jest kur-toza. Celem niniejszej pracy jest uogólnienie tej charakterystyki na przypadek wie-lowymiarowy oraz zaprezentowanie jej wybranych własności.

Punktem wyjścia dla tych rozważań jest zaproponowana przez J. Tatara [1996; 1999] oraz wielokrotnie przywoływana (m.in. [Osiewalski, Tatar 1999; Tatar 2000a; 2000b; Tatar, Budny 2009]) definicja pot_{ęgi wektora w przestrzeni z} ilo-czynem skalarnym.

Definicja 1

Dla dowolnego

v

∈

R

noraz dowolnej liczby k N∈ _D = ∪N

_{{ }}

0 k-tą potęgę

wektora v definiujemy w następujący sposób: 1 o v = ∈ R oraz 1 1 , dla -nieparzystych . , , dla -parzystych k k k v v k v v v k − − ⎧ ⋅ ⎪ = ⎨ ⎪⎩

Kurtoza wektora losowego

₄₅

Z powyższej definicji – w sposób oczywisty – wynikają następujące dwie waż-ne własności , : -parzysta n k v R k N k v R, ∀ ∈ ∈ D ⇒ ∈ , : -nieparzysta n k v R k N k v R ∀ ∈ ∈ ⇒ ∈ .n ,

W pracy ograniczymy się do przestrzeni wektorowej ( , , , )_{R R}n _{+ ⋅ w której}

określono klasyczny (euklidesowy) iloczyn skalarny postaci:

1 2 1 2 ( , , ..., ), ( , , ..., ) n: n n v v v v w w w w R ∀ = = ∈ 1 , n _{i i}. i v w v w = =

∑

Na bazie pojęcia potęgi wektora zostały zdefiniowane m.in. momenty centralne wielowymiarowego wektora losowego [Tatar 1996; 1999].

Przypomnijmy, że przez kurtozę zmiennej losowej rozumiemy czwarty moment centralny tej zmiennej dzielony przez kwadrat jej wariancji. Wykorzystując definicję momentu centralnego wektora losowego, w pracy [Tatar, Budny 2009] podjęto próbę podobnego określenia kurtozy wielowymiarowego wektora losowego.

Niech

(

₁, ...,

)

: n n

X = X X Ω →R będzie wektorem losowym, dla którego ist-nieje kurtoza.

Definicja 2

Kurtozę wektora losowego

(

₁,...,

)

: n n

X = X X Ω →R definiujemy następująco:

(

)

(

)

4 2 2 KurtX E X EX . D X ⎡ ₋ ⎤ ⎣ ⎦ =

Przed przystąpieniem do omawiania własności tak skonstruowanego wskaźnika przypomnijmy, że dla zmiennej losowej

ξ

:

Ω

→ R, dla której istnieje kurtoza, jej ekscesem nazywamy wielkość:

(

)

(

)

( )

4 2 2 Kurt 3 E E 3. Excess D ξ ξ ξ ξ ξ − = − = −

Zauważmy, że dokonując stosownych przekształceń, eksces kurtozy można przedstawić w postaci:

( )

( )

( )

(

( )

)

( )

2 4 3 2 2 2 2 2 4 12 3 6 , 4 E mE m E E m Excess D ξ ξ ξ ξ ξ ξ − + − − = (1) gdzie Eξ=m.

Katarzyna Budny

46

Istotnie

(

)

(

)

( )

4 2 2 Kurt 3 E E 3 Excess D ξ ξ ξ ξ ξ − = − = − =

(

)

( )

( )

(

−

)

−

=

+

−

+

−

=

4

6

4

₂

3

2 2 4 3 2 2 3 4

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

E

E

m

m

m

m

E

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

( ) ( )

( )

(

)

( )

( ) ( )

( )

(

)

( )

( ) ( )

4 3 2 2 3 2 _{2 4} 2 2 2 _{2 4} 2 2 2 _{2 4} 2 2 4 6 4 2 3 2 2 E mE m E m E m E E E E E E E E E E E E ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ − + − + 4 = − − + ⎛ _{− +} ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ _{⎠ =} − +

( )

( )

( )

(

( )

)

( )

( )

(

)

−

( )

+ = − + − + − + − = 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 4 2 2 3 4 2 3 6 3 4 6 4 m m E E m m E E m m E m mE E

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

( )

( )

( )

(

( )

)

( )

2 4 3 2 2 2 2 2 4 12 3 6 . 4 E mE m E E m D ξ ξ ξ ξ ξ − + − − =

W dalszej cz_{ęści pracy zostanie sformułowane i udowodnione twierdzenie} po-daj_{ące postać kurtozy dla wektora losowego o stochastycznie niezależnych} współ-rz_{ędnych. W dowodzie tego twierdzenia wykorzystamy m.in. następujący lemat:}

Lemat 1 Niech

(

₁, ...,

)

: n n X = X X Ω R j X

→ będzie wektorem losowym, dla którego ist-nieje kurtoza, oraz takim, że dla wszystkich i, j ∈ {1, 2, ..., n}, jeżeli i ≠ j, to jest stochastycznie niezależna od (innymi słowy:

i

X

j i X X ⊥ dla wszystkich i, j ∈ {1, 2, ..., n} takich, że i ≠ j) .

Wówczas prawdziwe są następujące równości:

1)

(

2

)

( ) ( )

2 2

( )

4 , 1 1 , n _{i j} n _i , i j i i j E X X E X E X E X = = ≠ =

∑

+

∑

2)

(

)

( )

2 2

( )

3 , 1 1 , , n n i j i i i j i i j E X X X EX E X m m E X = = ≠ =

∑

+

∑

,

Kurtoza wektora losowego

₄₇

3)

(

2

)

2 2 2

( )

2 , 1 1 , , n n i j i i i j i i j E X EX m m m E X = = ≠ =

∑

+

∑

4)

(

)

2

( )

2 , 1 , , _iE X_j , n i j EX EX E X X m = =

∑

5)

EX

,

EX

2= 2 2 , 1 , n i j i j m m =

∑

gdzie m_i=EX_i, dla każdego i∈

{

1,2, ...,n

}

.

Dowód:

Korzystając z własności całki oraz z niezależności zmiennych losowych 2

i

X oraz 2

j

X dla wszystkich i, j ∈ {1, 2, ..., n} takich, że i ≠ j, otrzymujemy

(

2

)

2 2 1 1 , n _i n _j i j E X X E X X = = ⎡⎛ ⎞⎛ ⎞⎤ = ⎢⎜ _⎟⎜⎜ ⎟_⎟⎥= ⎢⎝ ⎠⎝ ⎠⎥ ⎣

∑

∑

⎦

(

2 2

)

( ) ( )

2 2

( )

4 , 1 , 1 1 , n n n i j i j i i j i j i i j E X X E X E X E X = = = ≠ =

∑

=

∑

+

∑

czyli tezę1.

Podobnie, wykorzystując niezależność zmiennych losowych 2

i

X oraz X _j dla wszystkich i, j ∈ {1, 2, ..., n} takich, że i ≠ j, otrzymujemy tezę 2.

Rzeczywiście, prawdziwy jest bowiem ciąg równości:

(

)

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

2 2 1 1 , 1 2 3 2 2 , 1 1 , 1 1 , , . n n n i j j i j j i j i j n n n n j i j i i i j i i i j i i j i i j i j E X X X EX E X X m E X X m m E X E X m E X E X m m E X = = = = = = = ≠ ≠ ⎡⎛ ⎞⎛ ⎞⎤ 3 = ⎢⎜ _⎟⎜⎜ ⎟_⎟⎥= = ⎢⎝ ⎠⎝ ⎠⎥ ⎣ ⎦ = + = +

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

Dla dowodu tezy 3 również korzystamy z założenia niezależności zmien-nych losowych Xioraz Xj, gdy i ≠ j. Mamy więc:

(

)

(

)

(

)

( )

2 1 1 , 1 2 2 2 2 , 1 , 1 1 , . n n n i i j j i j i j i j i j n n n i j i j i j i i i j i j i i j E X EX E X EX X EX E X X m m m m E X X m m m E X = = = = = = ≠ ⎡⎛ ⎞⎛ ⎞⎤ = _{⎢⎜ ⎟⎜ ⎟⎥}= = ⎝ ⎠ ⎢ ⎝ ⎠⎥ ⎣ ⎦ = = +

∑

∑

∑

∑

∑

∑

Katarzyna Budny

48

Z kolei teza 4 wynika z następującego ciągu przekształceń:

(

)

2 2 2

( )

2 2

( )

1 1 1 1 , 1 , , n _i n _j n _i n _j n _i i j i j i j EX EX E X X m E X m E X m E X = = = = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =_{⎜ ⎟ ⎜ ⎟}=_{⎜ ⎟⎜ ⎟}= ⎝

∑

⎠ ⎝

∑

⎠ ⎝

∑

⎠⎝

∑

⎠

∑

2 _. j

Teza 5 jest oczywista.

Możemy teraz przystąpić do sformułowania i udowodnienia twierdzenia tej pracy.

Twierdzenie 1

Niech

(

₁, ...,

)

: n n

X = X X Ω →R będzie wektorem losowym, spełniającym za-łożenia lematu1. Wówczas

(

)

(

₂

)

2 1 2 2 , 1 2 Kurt 1 . n i i i n i j i j ExcessX D X X D X D X = = + = +

∑

∑

Dowód:

Pokażemy najpierw, że

(

)

(

)

( )

( )

( )

(

( )

)

(

)

2 2 1 2 2 , 1 2 4 3 2 2 2 1 2 2 , 1 2 4 8 4 , n i i i n i j i j n i i i i i i i i n i j i j ExcessX D X D X D X E X m E X m E X E X m D X D X = = = = + = − + − − =

∑

∑

∑

∑

4 i (2)

gdzie dla wszystkich m_i=EX , i∈

{

1,2, ...,n

}

.

Wykorzystując (1), przeprowadzimy następujące przekształcenie:

(

)

(

₂

)

2 1 2 2 , 1 2 n i i i n i j i j ExcessX D X D X D X = = + =

∑

∑

Kurtoza wektora losowego

₄₉

( )

( )

( )

(

( )

)

(

)

(

)

2 4 3 2 2 2 4 2 2 2 2 1 2 2 , 1 4 12 3 6 2 n i i i i i i i i i _i n i j i j E X m E X m E X E X m D X D X D X D X = = ⎛ _{− + − −} ⎞ ⎜ ₊ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = =

∑

∑

( )

(

)

( )

(

)

( )

( )

( )

(

( )

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 4 3 2 2 2 4 2 2 2 2 1 2 2 , 1 2 2 4 12 3 6 n i i i i i i i i i i i i i _i n i j i j E X E X m m E X m E X m E X E X m D X D X D X D X = = ⎛ _{− + + − + − −} ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = =

∑

∑

( )

( )

( )

(

( )

)

(

_{4 3 2 2 2} 2

)

1 2 2 , 1 4 8 4 . n i i i i i i i i n i j i j E X m E X m E X E X m D X D X = = − + − − =

∑

∑

4

Z kolei korzystając z definicji parzystej potęgi wektora, dwuliniowości iloczy-nu skalarnego oraz własności całki, otrzymujemy:

(

)

(

)

2 4 2 , , 2 , , E X EX E X EX X EX E X X X EX EX EX ⎡ ⎤ ⎡ ₋ ⎤_{= − −} ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ⎡ ⎤ = _⎢ − + _⎥= ⎣ ⎦

(

2 2 , 4 , , 4 , 2 , , E X X X X X EX X EX X X EX EX = − + + −

)

2 4 X EX, ⋅ EX EX, + EX EX, . (3)

Zauważmy ponadto, że

(

) (

)

2 , , , E X EX EX EX = EX EX . (4) Istotnie

(

)

( )

(

)

2 ₂ 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 , , , . n n n n i i j i i j i j i j n n n n n j i i j i k j i j i k E X EX EX EX E X EX EX E X m m m m EX m m m EX EX = = = = = = = = = ⎡⎛ ⎞⎛ ⎞⎤ ⎡⎛ ⎞⎛ ⎞⎤ = _{⎢⎜ ⎟⎜ ⎟⎥}= _{⎢⎜ ⎟⎜ ⎥}= ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎟ ⎢ ⎝ ⎠⎥ ⎢ ⎝ ⎠⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜= ⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

Katarzyna Budny

50

(

)

4

(

2

)

(

)

, 4 , , E X EX⎡_⎣ − ⎤_⎦=E X X − E X X X EX +

(

2

)

(

)

2 4E X EX, +2 EX EX E X X, , −3 EX EX, . (3′) Zapisując teraz kolejne składniki prawej strony równości (3′) tak, jak na to po-zwala teza lematu 1, otrzymujemy:

(

)

(

)

( ) ( )

( )

( )

( )

4 2 2 4 , 1 1 2 2 3 , 1 1 4 n n i j i i j i i j n n i j i i i j i i j E X EX E X E X E X E X m m E X = = ≠ = = ≠ − = + ⎛ ⎞ ⎜ ₊ ⎟₊ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑

∑

∑

∑

( )

( )

2 2 2 2 2 2 , 1 1 , 1 , 1 4 2 n n n i j i i i j i j i i j i j i j m m m E X m E X m m = = = ≠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + _⎜ + _⎟+ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑

∑

∑

∑

− 3 = j n = + + + − 2 2 n i j =

( ) ( )

_{2 2}

(

( )

₂

)

2

( )

₄

( )

_{2 2}

( )

_{2 2} , 1 1 1 , 1 , 1 2 2 n n n n n i j i i i j i i j i i i j i j E X E X E X E X E X m E X m = = = = = =

∑

−

∑

+

∑

−

∑

−

∑

+

( )

2 2

( )

3 2 2 2 2 4 1 1 , 1 , 1 1 4 4 3 4 n n n n i i i i i j i j i i i i j i j i E X m m E X m m m m m = = = = +

∑

−

∑

+

∑

+

∑

−

∑

( )

− = +

∑

∑

= = 2 1 , 2 2 1 , 2 ₃ 2 n _j j i i j n j i iE X m m m

( ) ( )

2 2

( )

2 2 2 2 2

( )

, 1 , 1 , 1 , 1 2 2 n n n n i j i j i j i i j i j i j i j E X E X E X m m m m E X = = = = ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎜ ⎟ =_⎜ ⎜_⎜ − + ⎟_⎟⎟− ⎝ ⎠ ⎝

∑

∑

∑

⎠

∑

( )

( )

(

( )

( )

2 2 2 2 2 2 4 3 , 1 , 1 , 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 3 3 4 4 4 n n n n n i j i j i j i i i i j i j i j i i n n i i i i i i m E X m m m m E X m E X E X m E X m = = = = = = = + + − + − + + +

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

( )

(

)

− = −

∑

∑

= = n i i n i i m X E 1 4 1 2 2 ₄ 2 j

)

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

(

( )

)

2 2 2 2 2 2 4 , 1 , 1 , 1 1 2 3 2 2 2 4 1 1 1 1 2 4 8 4 , n n n n i j i j i j i i j i j i j i n n n n i i i i i i i i i i E X E X E X m m m E X m E X E X m E X m = = = = = = = = ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎜ ⎟ =_⎜ ⎜_⎜ − + ⎟_⎟⎟+ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + − −

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

Kurtoza wektora losowego

₅₁

czyli ostatecznie

(

)

(

)

(

( ) ( )

( )

)

( )

( )

( )

(

( )

)

(

)

4 2 2 2 2 2 2 , 1 2 4 3 2 2 2 1 2 4 8 4 n i j i j i j i j n i i i i i i i i E X EX E X E X E X m m m E X m E X m E X E X m = = ⎛ ⎞ 4 _. − =_⎜ − + _⎟ ⎝ ⎠ + − + − −

∑

∑

+ (3′′)

Wykorzystując równość (3′′), uzyskujemy:

(

)

(

)

4 2 2 KurtX E X EX D X ⎡ ₋ ⎤ ⎣ ⎦ = =

( ) ( ) ( )

(

)

( )

( )

( ) ( )

(

)

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− + − −} + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = ∑ ∑ ∑ = = = n 1 j , i j 2 i 2 n 1 i 4 i 2 2 i 2 i 2 i 3 i i 4 i n 1 j , i 2 j 2 i 2 j 2 i 2 j 2 i X D X D m 4 X E X E m 8 X E m 4 X E m m m X E 2 X E X E

( )

( )

( )

(

( )

)

2 2 2 4 3 2 2 2 4 , 1 1 2 2 , 1 4 8 4 n n i j i i i i i i i i j i n i j i j D X D X E X m E X m E X E X m D X D X = = = ⎛ ⎞ + _⎜ − + − − _⎟ ⎝ ⎠ =

∑

∑

=

∑

( )

₄

( )

_{3 2}

( )

₂

(

( )

₂

)

2 1 2 2 , 1 4 8 4 1 . n i i i i i i i i n i j i j E X m E X m E X E X m D X D X = = ⎛ _{− + − −} ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = +

∑

∑

4

Wobec udowodnionej wcześniej równości (2) mamy więc:

(

)

(

₂

)

2 1 2 2 , 1 2 Kurt 1 , n i i i n i j i j ExcessX D X X D X D X = = + = +

∑

∑

czyli żądaną tezę.

Prostą konsekwencją twierdzenia 1 jest następujący wniosek.

Wniosek 1 Jeżeli

(

1, ...,

)

: n n X = X X Ω D X → ℜ 2

będzie wektorem losowym spełniającym za-łożenia lematu 1 oraz dodatkowo 2 2 2

Katarzyna Budny

52

(

)

1 2 2 Kurt 1 . n i i ExcessX X n = + = +

∑

Dowód:

Dzięki tezie twierdzenia 1 otrzymujemy:

(

)

( )

( ) ( )

(

)

2 2 1 1 2 2 2 2 2 Kurt 1 1 . n n i i i i ExcessX ExcessX X n n n σ σ σ = = + + = + = + ⋅ ⋅

∑

∑

Twierdzenie 1 dostarcza również – w oczywisty sposób – poniższych wnio-sków.

Wniosek 2

Jeżeli X =

(

X1, ..., Xn

)

:Ω → ℜ bn ędzie wektorem losowym, spełniającym

za-łożenia lematu 1 oraz dodatkowo

(

2

)

~ ,

i i i

X N m σ dla każdego i∈

{

1,2, ...,n

}

,to:

4 1 2 2 , 1 2 Kurt 1 n i i n i j i j X σ σ σ = = = +

∑

∑

=

(

₂

)

2 1 2 2 , 1 2 1 . n i i n i j i j D X D X D X = = +

∑

∑

Ponadto przy założeniu σ1=σ2=....=σn= otrzymujemy σ

2 KurtX 1 . n = + Wniosek 3 Jeżeli

(

1, ...,

)

: n n X = X X Ω ~ i i

→ ℜ będzie wektorem losowym spełniającym za-łożenia lematu 1 oraz X t_ν (tzn.

X

i ma rozkład t-Studenta z νi stopniami

swo-body), gdzie

ν

_i

>

4

dla każdego i∈

{

1, 2, ...,n

}

, to

2 1 , 1 6 2 4 2 Kurt 1 . 2 2 n i i i i n j i i j i j X ν ν ν ν ν ν ν = = ⎛ ⎞⎛ + ⎜ ₋ ⎟⎜ ₋ ⎝ ⎠⎝ = + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ _{− ⎟⎜ − ⎟} ⎝ ⎠⎝ ⎠

∑

∑

⎞ ⎟ ⎠

Kurtoza wektora losowego

₅₃

6 2 4 KurtX 1 . n ν + − = +

Wnioski 2 oraz 3 podają postać kurtozy dla wybranych typów rozkładów, co zostało także przedstawione w pracy [Tatar, Budny 2009].

Kolejny fakt jest natychmiastową konsekwencją tych wniosków.

Wniosek 4

Jeżeli

(

1, ...,

)

:

n n

X = X X Ω → ℜ będzie wektorem losowym spełniającym za-łożenia wniosku 2 oraz zajdzie warunek σ1=σ2 =....=σn =σ, a

będzie wektorem losowym spełniającym założenia wniosku 3 oraz dodat-kowo

(

1, ..., n

)

: Y = Y Y n Ω → ℜ 1 2 .... vn 4, ν ν= = = = > to wówczas ν KurtY >Kurt .X

Literatura

Feller W., Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, t. 1 i 2, PWN, Warszawa 1969. Fisz M., Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, PWN, Warszawa 1969. Jakubowski J., Sztencel R., Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, Script, Warszawa 2004. Osiewalski J., Tatar J., Multivariate Chebyshev Inequality Based on a New definition of Moments of

a Random Vector, „Przegląd Statystyczny” 1999, z. 2.

Plucińska A., Pluciński E., Probabilistyka. Rachunek prawdopodobieństwa, statystyka matematyczna,

procesy stochastyczne, WNT, Warszawa 2006.

Tatar J., O niektórych miarach rozproszenia rozkładów prawdopodobieństwa, „Przegląd Statystycz-ny” 1996 z. 3/4.

Tatar J., Moments of a Random Variable in a Hilbert Space, „Przegląd Statystyczny” 1999 z. 2. Tatar J., Nowa charakteryzacja wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa, Sprawozdanie

z badań statutowych; um. nr: 92/KM/1/99/S, AE, Kraków 2000a.

Tatar J., Momenty absolutne wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa, Komisja Staty-styczno-Demograficzna PAN, O/Kraków, 17 listopada 2000b.

Tatar J., Budny K., Kurtosis of a Random Vector – Special Types of Distributions, praca złożona do druku, 2009.

KURTOSIS OF A RANDOM VECTOR

Summary: Kurtosis is one of the measures of concentration distribution around expected

value or measures of flattening, frequently used in the theory of single-dimensional random variables. To remind: kurtosis of a random variable is defined as the fourth central moment divided by the square of the variance.

Katarzyna Budny

54

Definitions of the power of a vector in the space with the scalar product and the central moment of a random vector proposed by J. Tatar [1996; 1999] allow to make an attempt to redefine the kurtosis of the multi-dimensional random vector.

In the paper the essential properties of such constructed indicator are presented and the theorem giving a form of kurtosis for a random vector with stochastically independent mar-ginal variables is formulated and proved. To illustrate this theorem, the forms of kurtosis for special, multi-dimensional types of distributions are presented.