Sprzężenie ruchów przestrzennych śmigłowca w prostoliniowym poziomym locie ustalonym

M E CH AN I KA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1/2, 24, (1986)

SPRZĘ Ż EN I

E RU CH ÓW PRZESTRZEN N YCH  Ś MIG ŁOWC

A

W PROSTOLIN IOWYM POZIOM YM LOCIE USTALON YM*

KRZYSZTOF JANKOWSKI JERZY MARYNIAK

Politechnika W arszawska

1. Wstę p

Rozwój techniki ś migłowcowej i nowe dziedziny zastosowania ś migł owców wymagają

coraz dokł adniejszych badań ich własnoś

ci dynamicznych. Szczególnie istotne jest roz-patrzenie sprzę ż e

ń ruchów podł uż nych i bocznych kadł uba ś migłowcaw przestrzeni

oraz sprzę ż e

ń ruchów poszczególnych elementów ś migł owca: kadł uba, ł opat wirnika

noś neg

o i ł opat ś migła ogonowego. Analiza jakoś ciowa i iloś ciow

a tego rodzaju sprzę

-ż e

ń potrzebna jest przy rozpatrywaniu szeregu problemów z dziedziny dynamiki ś mig

-ł owców.

2. Model matematyczny automatycznie sterowanego ś migłowca

Dla przeprowadzenia analizy sprzę ż e

ń ruchów przestrzennych poszczególnych zespo-ł ów ś migń ruchów przestrzennych poszczególnych zespo-łowca należ ań ruchów przestrzennych poszczególnych zespo-ło wyprowadzić odpowiedni model dynamiczny ś migń ruchów przestrzennych poszczególnych zespo-ł owca, uwzglę

d-niają cy ruchy wzglę dem kadł uba ł opat wirnika noś nego, ł opat ś

migła ogonowego, statecz-nika i turbin silników.

Jako model fizyczny rozpatrywanego jednowirnikowego ś migłowca przyję to ukł ad

mechaniczny skł adają cy się  z kadł uba i powią zanych z nim ruchomych elementów [1, 3]:

turbin silników, przegubowych ł opat wirnika i ś migła ogonowego, statecznika poziomego.

Ruch ukł adu skrę powany jest wię zami wynikają cymi ze struktury kinematycznej ś mig

-ł owca oraz z oddzia-ł ywania automatycznego uk-ł adu podwyż szani

a statecznoś

ci i stero-wania lotem. Ukł ad ten wią że ką ty sterowania ś migłowcem z parametrami jego ruchu

wedł ug nastę pują cych praw [6]:

* Praca przedstawiona na I Ogólnopolskiej Konferencji „ M echanika w Lotnictwie" — Warszawa 19 I 1984 r.

152 K . jAMKOWSKr, J . MARYNIAK

— ką t sterowan ia w ruchu podł uż n ym:

— ką t sterowan ia w ruch u boczn ym :

' — ką t sko ku ogóln ego ł opat wirn ika n oś n ego:

[k( izg +  <pg0], (3)

ką t ustawien ia ł opat ś migła ogonowego:

l

[kvCF

~

Wz)+ krR+ ?so]

'

W równ an iach tych TX^TĄ oznaczają  stał e czasowe czł onów inercyjnych, opisują -cych charakterystyki dynam iczne urzą dzeń wykonawczych autopilota; xg, yg, zg  — współ-rzę dn e ś ro dka masy kadł uba ś migł owca w nieruchomym, ziemskim ukł adzie współ  — współ-rzę d-n ych ; 0, <9, W  — ką ty quasi — eulerowskie przechyled-nia, pochyled-nia i odchyled-nia kadł uba ś m igł owca; P, Q, R — rzuty wektora prę dkoś ci ką towej kadł uba na osie ukł adu sztywno zwią zanego z kadł ubem . Wielkoś ci z indeksem  „ z " oznaczają  zadan e wartoś ci paramet-rów lotu, a in deks  „ o " przy sym bolach ką tów sterowania oznacza ich wartoś ci w stanie ustalon ym (począ tkowym ). Wybrany stan pracy ukł adu autom atycznego sterowania lotem otrzym uje się  przez n adan ie odpowiednich wartoś ci (w tym zerowych) współ czyn-n ikom wzm occzyn-nieczyn-nia ka.

K ą t ustawien ia ł opaty wirn ika noś nego <pi w nastę pują cy sposób zależy od ką tów sterowan ia:

<Pt =

 c>9+ (fcsmy>0 +  ?7cosyo)siny>i +  («cosv>0 — ^sin^cosyii + k^t, (i =  1, 2, ., ., «) , (5)

gdzie:

ipi — ką t azym utu, przy oglą daniu wirnika z góry skierowany zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara,

ip0 — ką t wyprzedzenia sterowania,

k — współ czynnik kom pen satora wzniosu ł opat,

(3j — ką t o bro t u i- ej ł opaty wirnika wokół  przegubu poziomego, n — liczba ł opat wirn ika noś nego.

P o uwzglę dnieniu wię zów ustalon o zbiór fc =   2 n + m + 1 3 współ rzę dnych uogólnio-nych, opisują cych poł oż en ie rozpatrywan ego ukł adu (m — liczba ł opat ś migła ogono-wego) [1, 3]. N astę pn ie korzystają c z równ ań Boltzm anna- H am ela [4] dla ukł adów nie-h olon om iczn ycadów nie-h wyprowadzon o równ an ia róż niczkowe ruchu m odelu ś migł owca. Ich liczba jest ró wn a 4n+2m + 22, n p . dla ś migł owca M i- 2: 36 (16 stopni swobody), a dla M i- 6: 50 (23 stopn ie swobody).

D la um oż liwienia efektywnego wykorzystania ukł ad równ ań róż niczkowych nielinio-wych z okresowym i współ czynnikam i uproszczono, zachowują c gł ówne czł ony nieliniowe,

Rys. 1. Schematy ś migł owca z zaznaczonymi parametrami wystę pują cymi w opisie matematycznym jego Tuchu: a) widok ogólny ś migł owca, b) widoki z boku i z tył u „ stoż ka" opisywanego przez ł opaty wirnika

noś nego, c) widoki z tył u i z góry „ stoż ka" ł opat ś migła ogonowego

154 K. JAN KOWSKI, J. MARYN IAK

• do ukł adu równ ań z nieokresowymi współ czynnikami [1, 5,6]. Współ rzę dne ką towe opi-sują ce ruch ł opat wirn ika noś nego i ś migła ogonowego zastą piono pierwszymi harmonicz-n ym i ich rozwipiono pierwszymi harmonicz-nię ć w szeregi F ouriera:

— ką ty wah ań ł opat wirn ika:

ft =  ao- alcosipt- b1smyl> (i =  1 , 2 , . . . , w) , (6) — ką ty o br o t ó w ł o p a t wirn ika wo kó ł  przegubów p io n o wych :

| , =  eo +  eLc o sV( + /1si n y, , (i =  1, 2, . . . , «) , (7)

— ką t y wa h a ń ł o p a t ś migła o go n o wego :

^j, (j  = 1 , 2 , ..., m), (8) .gdzie a0, a^, ..., dx są  n owym i funkcjami czasu. D zię ki tym podstawien iom przy liczbach ł o p a t n ~& 3 i m ~ź 3 redukują  się  w ró wn an iach ru ch u funkcje ką tów azym utów y>t i ysS,

P o d o ko n a n iu czę sto stosowan ych w opisie dyn am iki ś m igł owców przekształ ceń i p o m in ię ciu współ rzę dn ej cyklicznej ip ukł ad ró wn ań ru ch u zapisan o w postaci [1]:

& (9)

A

gdzie:

- y[35] = [U,V, W ,P,Q,R,co,ao,a1.b1,eo,i1.J1,ćOtc1,eii,xll,yt,zl,&,e, W ,

ao,a1,b1,eo,e1,f1,co, c1} dt, %, r\ , <pg, c?J, (10) a U, V, W  są  r zu t a m i prę dkoś ci liniowej kad ł u ba ś m igł owca n a osie u kł ad u zwią zanego z ka d ł u be m , co =  fy — p r ę d ko ść o bro t o wa wirn ika n oś n ego (rys. 1), pozostał e wielkoś ci zo st ał y wcześ niej o p isa n e;

—  ^ [ 3 5 x 3 5 ] — m acierz, której elem en ty są  funkcjam i skł adowych wekt o ra y; — B(y), C(y) — funkcje wektorowe, przy czym C,(j>), (i =  1, 2, ..., 16) odpowiadają dział ają cym  n a u kł a d sił om u o gó ln io n ym .

R ó wn a n ia (9) t wo rzą  m o d el m atem atyczn y ś m igł owca o 16- tu st opn iach swobody.

3. Analiza postaci drgań swobodnych ś migł owca

P o rozwinię ciu funkcji wektorowych z równania (9) w szeregi Taylora i odpowiednich przekształ cen iach otrzymuje się  ukł ad równań róż niczkowych ruchu zaburzonego [1]:

dx

dt (11)

gd z ie :

— x = y—y0 — o zn acza wekt or odchyleń rozwią zan ia y o d stan u ru ch u ustalonego o p isan ego wekt o rem  jo>

— G =  AQ1

(D—F) — m acierz stan u,

— Ao — m acierz an alogiczn a d o m acierzy A, przy wyzn aczan iu jej elem en tów podstawia się  y =y0,

SPRZĘ Ż ENIE RUCHÓW Ś MIGŁ OWCA 155

Tabela 1.

I

II

ITT

Wartoś ci wł asne

Al,2 =  £ l, 2± »?1.2 A3, 4=  &,4± '»?3,4 As, 6 =  Cs,6±iV5,<> Ź W.S =  h, 8 ± ' ^ 7 , 8 A7 =   £7 A8 =   £8

A

= fe

 £ io,  n i "y i o , ii Al2, 13 =  £ l2, 13± ń jl2» 13 Al4 =

 £l4

Al5, 16 =  fl5, lfi± i'?15, 16 ^17 • " ^17

Aia, 19 =  fis, lgi'^ is, 19 ho =  I20 A21i22 =  ^ 21, 22i "?21, 22 ^23, 24 — ^23,  2 4 i 'ł ?23, 24 • ^25,26 =  I25, 26± '»725,26 ^27,28 ==  ^27,  2 8 +  W?27, 28 A.29,30 =  I29, 30± "?29, 30 ^31 =  I 3I Postacie drgań — gł ówne ruchy W , (V) W W, V, U, co W , V W, co

v,<m

Vc > 160  — - I sł abo tł umiony

ruch dł ugookresowy sł abe tł umienie duże tł umienie ^15,16 ~  (O duże tł umienie 1J18.19 ~  3d) duże tł umienie 4 »?2i,22 « —co

przy T^,/ ' roś nie udział  K, 2 723, 24 ~ ~Q> »?2s, 26 ~  a)j =  /_sc o ( M i—6: / j = =  5,66) »?27, 28 K 2WS »?29, 30 < <»s duże tł umienie A3S a 0

156 K. JAN KOWSKI, J. MARYNIAK

— D =  C'(y0) =  [Cf'tCvo)] — macierz Jacobi'ego z pochodnymi sił  uogólnionych,

— F =  J B ' ( J0) =  [jBit(j'o)] — macierz Jacobi'ego funkcji B{y),

— ę (x) — funkcja wektora z wyrazami rzę du wyż szego od pierwszego.

Badają c wł asnoś ci dynamiczne m odelu ś migł owca razem z wartoś ciami wł asnymi L macierzy stan u G oblicza się  odpowiadają ce im wektory wł asne W j. Pozwala to przepro-wadzić analizę  m odaln ą , polegają cą  na obliczeniu czę stoś ci drgań i współ czynników tłu-m ienia oraz wyznaczeniu postaci drgań. Stwierdza się  w ten sposób, które ruchy obiektu ś migł owiec — ukł ad sterowania są  charakteryzowane przez kolejne wartoś ci własne macierzy stan u.

Obliczeń numerycznych dokon an o dla modelu cię ż kiego ś migł owca klasy Mi- 6.

P aram etry ruch u ustalonego — prostoliniowego lotu poziomego — wyznaczono według m etody, przedstawionej w [2]. Analizują c unorm owan e liniowo i fazowo wektory własne macierzy stan u stwierdzono, że m im o duż ej liczby współ rzę dnych w każ dej z postaci m oż na wyodrę bn ić kilka ruchów o najwię kszym udziale. Wyniki analizy postaci drgań wł asnych dla lotu poziomego w zakresie prę dkoś ci od 80 do 280 [km/ h] przedstawiono w tabeli I.

P ostacie ruchów, odpowiadają ce poszczególnym wartoś ciom wł asnym, podzielono

n a 3 grupy. D o pierwszej należą  postacie odpowiadają ce gł ównie sprzę ż onym podł uż nym

i boczn ym ru ch om kadł uba ś migł owca w przestrzeni; do drugiej: sprzę ż one ruchy kadł uba,, wirnika i ś migła ogon owego; a do trzeciej: ruchy ś migła ogonowego.

Jako charakterystyczne dla cię ż kiego ś migł owca, dla którego przyję to poł oż enie

ś rodka parcia kadł uba za SM ś migł owca, należy wskazać postacie odpowiadają ce ruchom

krótkookresowem u  ( Al j 2, ^3,+ ) i dł ugookresowemu ( A5 j 6) , nie zawierają

ce ruchu po-chylenia.

Interesują ce są  zł oż one postacie ruchów nutacyjnych wirnika noś nego i ś

migła ogo-n owego. C harakteryzują  je wartoś ci wł asmigła ogo-n e: / l1 5 > 1 6 — zaburzenia ką tów „ stoż

ka" opisy-wanego przez ł opaty wirn ika: a0 i at oraz ruchu pionowego ś migł owca;  / l1 8 ; 1 9

 — zabu-rzenia ką tów ctj i foi (pochylanie i przechylanie „ st o ż ka" wirnika), silnie sprzę ż

one z prze-chylaniem „ st o ż ka" ś migła ogonowego (zaburzenia ką ta ct) oraz z przechylaniem cał ego

ś migł owca (rys. 1); dla ś migła ogon owego: A2s,26 — oscylacyjne zmiany ką ta c0; X2y,28 —

zaburzen ia ką tów przechylenia cx i pochylenia dx „ st oż ka" ł opat ś migła ogonowego.

C ztery zerowe wartoś ci wł asne macierzy stanu wynikają  z 4- ro wymiarowej rozmaitoś ci ruch u ustalon ego [2] i n ie są  równoznaczne z przypadkiem krytycznym w teorii statecz-n oś ci.

4. Wnioski

Analizują c wyniki przedstawionej pracy zaobserwowano wystę powanie silnego sprzę

-ż enia ruch ów podł u-ż n ych i bocznych ś migł owca. Wynika z tego, -że mechanikę  lotu ś mig

-ł owca jedn owirn ikowego należy w jej dok-ł adniejszym uję ciu rozpatrywać zgodnie z zasa-dam i ruch u przestrzen n ego. Sprzę ż enie ruchów podł uż nych i bocznych wskazuje na potrzebę wł ą czenia w prawa sterowania w kan ał ach pochylania i wysokoś ci param etrów ruchów boczn ych, a w kan ale przechylania — param etrów ruchów podł uż nych. Pozwolił oby to

SPRZĘ Ż EN IE RU CH ÓW Ś MIG Ł OWCA 157

uprzedzić zaburzen ia wynikają ce ze sprzę ż eń i polepszyć jako ść stabilizacji. T en sposób sterowania n ie jest wykorzystan y w prawach sterowan ia (l)- r- (4), o praco wan ych wed-ł ug prac z lat 70- tych [6 i in .].

Z powodu wystę powan ia sprzę ż eń ruchów przestrzen n ych kad ł u ba i wirn ika n oś-nego celowe był oby rozważ en ie moż liwoś ci wł ą czenia param etrów ką towych ruch u wir-nika do praw sterowan ia ś migł owcem w kan ał ach poch ylan ia i przech ylan ia.

P rzedstawiony m odel m atem atyczn y może być przydatn y przy poszukiwan iu sposo-bów eliminacji drgań , przen oszon ych z wirn ika na kad ł u b. Jeś li okaże się n iezbę dn e, analizując czę stoś ci wspóln ych drgań kadł u ba i wirn ika m oż na ot rzym ać wskazan ia co do doboru p aram et ró w dyn am iczn ego tł um ika drgań , m on towan ego d o gł owic n iekt ó -rych ś migł owców ( n p . Sikorsky, Lynx).

Literatura

1. JAN KOWSKI K., Modelowanie fizyczne i matematyczne wł asnoś ci dynamicznych sterowanego ś migł owca w mchu przestrzennym, R ozprawa doktorska, P olitechnika Warszawska, Warszawa 1982,

2. JANKOWSKI K., Metodyka wyznaczania parametrów ruchu ustalonego ś migł owca na przykł adzie lotu

poziomego i zawisu, M ech. Teoret. i Stos., T. 23, z. 3/ 4, Warszawa 1985.

3. JAN KOWSKI K., M ARYN IAK J., Modelowanie matematyczne automatycznie sterowanego ś migł owca w ruchu

przestrzennym, M ech. Teoret. i Stos., T. 23, z. 3/ 4, Warszawa 1985.

4. NEJMARK J.. I ., F U AI E N . A., Dynamika ukł adów nieholonomicznych, P WN , Warszawa 1971.

5. EcAyjioB C .  I O . J BAXOB O .  I I .3 J^MHTPUEB H . C

. , Bepmonem KOK o6z,eKinynpaejieHUM, MaimiHOCT-poeHHe, MocKBa 1977.

6. KctfKEBHHKOB B .  A. , AemoMamimecKan cma6iiAU3auuH eeptno/ ietnoe, MaruH H ocTpoeH H ej M ocKBa 1977.

P e 3 io M e

COnPJD KEH H E ITPOCTPAH CTBEH H BIX flBICKEH U B BEPTOJIETA B YC TAH OBH B-U IEMCJI n P H M OJI H H E fł H OM  rO P H 3O H T AJI LH O M  IJ.OJIETE

AHajiH3 pe3yji£»TaT0B MaTeiwaTiraecKoro MOflejrapoBainiH  u ManiHHHbix Bbi^HcneHHH  noi<a3biBaeT cyniecTBOBaHne conpHH<eHHH  Me>Kfly npoflonbHWM H  6OKOBŁ IM flBiOKeH H JiMU  cpio3enfl>Ka BepToJieia B npocTpaHCTBe H  conpH wenH H  mewny HBHH<eHHHMH  pa3jnraH bix sjieMeHTOB BepToneTa: 4)j03enH H ta, JionacTeft H ecyujero BHHTa, Jio n acien pyjt esoro BHHTa.  3 T O yK33WBaeT Ha HafloSnoCTb BKJiioqeHHJi B 3a-KOHbi ynpaBJieH H a BepToneioM napaiweTpoB Bcex flBH H <eH H H  4)iO3ejiJia<aj a Taione paccMOTpeHHe B03-MOWHOCTH  BKjnO^eHHH  B 3TH  3aK0HbI napaMBTpOB yrjlOBOrO flBH WCH H H  H ecym

ero BHHTa. IIpeACTaBaTeMaTł raecKafł  MOAenb MO>KeT Sbnh HCnojrt3OBaHa ir p n pa3pa6oTice cnocoSoB 3amHTLi OT  B H 6 -nepeflaBaeMbix c H ecym ero BHHTa Ha t|)i03ejiH>K.

S u m m a r y

COU PLIN G S BETWEEN  TH REE- D IM EN SION AL MOTION S OF  A H ELICOP TER I N  T H E STEAD Y RECTILIN EAR H ORIZON TAL F LI G H T

Analysis of the mathematical modelling effects and machine computation results shows existence of couplings between fuselage longitudinal and lateral motions and couplings between motions of th e different helicopter elements: fuselage, main rotor blades, tail rotor blades. It implicates the need for

158 K. JAN KOWSKI, J. MARYN IAK

including all fuselage states in each control channel of the helicopter stabilization system. It seems to be interesting to consider th e possibility of including rotor states in the control channels. Mathematical model presented here can be useful in the engineering development of main rotor — fuselage coupled vibration absorbers.