15. Ś

Wykład 15

Środek masy,

ruch obrotowy bryły sztywnej,

moment bezwładności

Bryła sztywna to ciało złożone z cząstek (punktów materialnych), które nie mogą się względem siebie przemieszczać. Siły utrzymujące punkty w stałych odległościach są siłami wewnętrznymi bryły sztywnej.

zbiór punktów materialnych utrzymujących stałą odległość między sobą

Bryła sztywna

Deformująca się piłka nie jest bryłą sztywną!

Kij uderzający piłkę jest bryłą sztywną!

Środek masy układu cząstek

x ^y

z

środek masy

https://studyingphysics.wordpress.com/2012/10/30/center-of-mass/

r !

= m

!

r

+ m

!

r

+…+ m

! r

m

+ m

+…+ m

= 1

M m

! r

i=1

∑

x_c = m₁x₁+ m₂x₂ +…+ m_nx_n

m₁ + m₂ +…+ m_n = 1

M m_ix_i

i=1

∑

y_c = m₁y₁ + m₂y₂ +…+ m_ny_n

m₁ + m₂ +…+ m_n = 1

M m_iy_i

i=1

∑

z_c = m₁z₁ + m₂z₂ +…+ m_nz_n

m₁ + m₂ +…+ m_n = 1

M m_iz_i

i=1

∑

Środek masy układu cząstek - przykład

https://brilliant.org/practice/calculating-center-of-mass-of-point-masses/

l l

l z

= 0

(0,0)

(l,0) (

l,

l)

x

= m ⋅0 + m⋅ 1

2 l + m⋅l

3m = 1

2 l

y

= m ⋅0 + m⋅ 3

2 l + m⋅0

3m = 3

6 l

r !

= 1

2 lˆx + 3

6 lˆy

r

Halliday, Resnick, Walker, Principles of physics

ŚM

Środek masy ciał rozciągłych

Sears annd Zemansky’s, University Physics with Modern Physics

x_c = 1

M Δm_ix_i

i=1

∑

1

M

∫

Obiekty symetryczne o jednorodnie rozłożonej masie:

y_c = 1

M Δm_iy_i

i=1

∑

1

M

∫

z_c = 1

M Δm_iz_i

i=1

∑

1

M

∫

Przepis jak wyznaczyć (całki objętościowe):

dzielimy ciało na małe elementy Δm_i i sumujemy po nich

Ruch środka masy

(na przykładzie układu n punktów materialnych)

r !

== 1

M m

! r

i=1

∑

Prędkość środka masy:

v !

= d ! r

dt = 1

M m

d ! r

i=1

dt

∑

⁼ _M ^{1 m}

^{v !}

∑

⁼ _M ^{1 p !}

pęd środka masy jest równy wypadkowemu pędowi układu:

p !

= M !

v

= m

! v

i=1

∑

F !

zew

= d ! p

dt = M d ! v

dt = M ! a

Środek masy ciała lub układu ciał to punkt, który porusza się tak, jakby była w nim

skupiona cała masa układu, a wszystkie siły zewnętrzne były przyłożone w tym właśnie punkcie.

Ruch środka masy

Niezależnie od tego jak bardzo skomplikowany jest byłby ruch elementów układu, środek masy zachowuje się w sposób przewidywalny.

D.C. Giancoli, Physics for Scientists & Engineers

Ruch środka masy

Niezależnie od tego jak bardzo skomplikowany jest byłby ruch elementów układu, środek masy zachowuje się w sposób przewidywalny.

https://slideplayer.com/slide/7542403/

Ruch środka masy

Niezależnie od tego jak bardzo skomplikowany jest byłby ruch elementów układu, środek masy zachowuje się w sposób przewidywalny.

https://slideplayer.com/slide/7542403/

Ruch bryły sztywnej

https://en.wikipedia.org/wiki/Rolling

ruch bryły = ruch postępowy + ruch obrotowy

W ruchu postępowym (translacyjnym) bryłę możemy traktować jak punkt materialny (środek masy).

Do opisu ruchu postępowego możemy stosować wszystkie zasady kinematyki i dynamiki słuszne dla punktu materialnego.

Opis czystego ruchu obrotowego wymaga wprowadzenia nowych

wielkości fizycznych.

Ruch obrotowy bryły sztywnej wokół stałej osi

https://www.picgifs.com/graphics/fan

https://www.picgifs.com/graphics/fan https://wifflegif.com/tags/97-animation-gifs?page=927

Będziemy rozważać tylko sytuacje, w których oś obrotu nie zmienia swojego kierunku.

https://www.reddit.com/r/physicsgifs/comments/2z195r/sliding_vs_rolling_moment_of_inertia_demo/

Wielkości kątowe – przesunięcie, prędkość i przyspieszenie

dysk rotujący wokół stałej osi przechodzącej przez jego środek

ω ^v

prędkość kątowa:

x

przesunięcie kątowe:

przyspieszenie kątowe:

[rad]

[rad/s]

[rad/s²]

Halliday, Resnick, Walker, Principles of physics

Wielkości kątowe są wygodne do opisu ruchu obrotowego bryły sztywnej, ponieważ nie zależą od odległości od stałej osi obrotu (są takie same dla wszystkich punktów ciała).

θ ^(t) = x(t) R

ω ^(t) = ! θ = v(t) R

ε ^(t) = ! ω = 1

R !v = a

(t)

R

Ruch translacyjny i obrotowy bryły sztywnej – porównanie równań

Ruch postępowy (translacyjny) Ruch obrotowy

• położenie, x

• prędkość liniowa, v = dx/dt

• przyspieszenie, a

= dv/dt

• masa, m

• energia kinetyczna, E

= ½ mv

• siła, F = ma

• pęd, p = mv

• kąt, θ

• prędkość kątowa, ω = dθ/dt

• przyspieszenie kątowe, ε = dω/dt

• xxxxx

• xxxxx

• xxxxx

• xxxxx

Analogia pomiędzy ruchem prostoliniowym a obrotem ciała wokół stałej osi

Obrót ciała dookoła ustalonej osi odpowiada formalnie ruchowi translacyjnemu ciała w ustalonym kierunku (czyli po linii prostej)….

Innymi słowy do opisu ruchu obrotowego jednostajnie zmiennego (ze stałym przyspieszeniem kątowym) możemy stosować te same wzory jak do opisu ruchu prostoliniowego jednostajnie przyspieszonego wzdłuż linii prostej, zamieniamy tylko wielkości liniowe na wielkości kątowe:

x = x

+ v

t + 1

2 a

t

v = v

+ a

t

θ = θ

+ ω

^t + 1

2 ε ^t

ω = ω

+ ε ^t

a

= const ε = const

Analogia pomiędzy ruchem prostoliniowym a obrotem ciała wokół stałej osi - przykład

R=

t = 5s

v⁰ = 0

H. C. Ohanian, J. T. Markert, Physics for Engineers and Scientists

Ile obrotów wykonało koło zamachowe w ciągu pierwszych 5 sekund ruchu? Jaką prędkość kątową osiągnęło w tym czasie?

ε = a

R = 1.7rad s

θ = 1

2 ε ^t

= 21 rad N = θ

2 π ^{≈ 3.3}

Liczba obrotów:

lina nie ślizga się (a_s= a)

ω = ε ^t = 8.5 rad s

Końcowa prędkość kątowa:

a = 0.6 m s

Wektorowa natura prędkości i przyspieszenia kątowego

!

v = !

ω × !

R !

a

= !

ε × ! R

D.C. Giancoli, Physics for Scientists & Engineers Fizyka dla szkół wyższych Tom 1 by OpenStax

!

R

Energia kinetyczna ruchu obrotowego układu punktów materialnych

(punkty znajdują się w stałych odległościach od siebie)

Moment bezwładności układu n punktów:

I = m

i=1

∑

^r

! r

m

m

m

!

r

! r

!

v

! v

!

v

E

= 1

2 m

v

= 1

2 m

ω

^r

Energia kinetyczna

„i - tego” punktu:

E

= 1

2 ω

^m

^r

∑

moment bezwładności

I

Energia kinetyczna ruchu obrotowego ciała rozciągłego

Δm

ω

E

= 1

2 Δ ^m

^v

= 1

2 Δ ^m

ω

^r

Energia kinetyczna elementu Δm_i:

E

= 1

2 ω

Δ ^m

^r

∑

Energia kinetyczna całego ciała:

I

E

= 1

2 I

ω

• Moment bezwładności w ruchu obrotowym jest odpowiednikiem masy w ruchu translacyjnym

• Moment bezwładności jest miarą oporu na zmiany obrotów, podobnie jak masa jest miarą oporu na zmiany ruchu

• Moment bezwładności zależy od położenia osi obrotu

• Energia kinetyczna ruchu obrotowego nie jest nowym rodzajem energii (jest to po prostu suma energii kinetycznych wszystkich cząstek ciała w ruchu obrotowym)

Halliday, Resnick, Walker, Principles of physics

Moment bezwładności ciał rozciągłych – jak policzyć?

I = Δ ^m

^r

∑

^⇒

^{I = r} ∫

^dm

Δm

ω

Przepis jak wyznaczyć (całki objętościowe):

Halliday, Resnick, Walker, Principles of physics

Fizyka dla szkół wyższych Tom 1 by OpenStax

Twierdzenie Steinera

I

= I

+ mr

SM O

środek masy

Przykład: rotujący jednorodny cienki pręt o długości L i masie M

https://study.com/academy/lesson/the-parallel-axis-theorem-the-moment-of-inertia.html

obrót wokół osi

przechodzącej przez środek masy

SM

I

= 1

12 ML

obrót wokół osi

przechodzącej przez koniec pręta

SM

I

= 1

12 ML

+ M L 2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

= 1

3 ML

O

słuszne dla wszystkich osi równoległych do osi przechodzącej przez środek masy

Ruch translacyjny i obrotowy bryły sztywnej – porównanie równań

Ruch postępowy (translacyjny) Ruch obrotowy

• położenie, x

• prędkość liniowa, v = dx/dt

• przyspieszenie, a

= dv/dt

• masa, m

• energia kinetyczna, E

= ½ mv

• siła, F = ma

• pęd, p = mv

• kąt, θ

• prędkość kątowa, ω = dθ/dt

• przyspieszenie kątowe, ε = dω/dt

• moment bezwładności, I

• energia kinetyczna, E

= ½ Iω

• xxxxxx

• xxxxxx

Toczenie się bez poślizgu

prędkość w ruchu translacyjnym = prędkość w ruchu obrotowym

v v

A

B

C

v

ruch translacyjny ruch obrotowy

złożenie obydwu ruchów:

A

2v

B C

v v = 0

v v

A B

C

v = 0

Zasada zachowania energii

-kulka jest bryłą sztywną i należy uwzględnić energię kinetycznej ruchu obrotowego

r

h

Z jakiej wysokości h należy puścić kulkę, aby pokonała ona „pętlę śmierci” o promieniu R?

mgh = mg 2r ( ) ^{+ 1} ₂ ^mv

⇒ gh = 2gr + 1

2 gr ⇒ h = 5 2 r

v m

Gdy kulka się nie obraca:

Gdy kulka obraca się bez ślizgania

(tj. prędkość obracających się punktów na obwodzie kulki jest równa prędkości całej kulki w ruchu translacyjnym):

mgh= mg 2r

( )

2mv² + 1 2

2 5mR²

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

v² R²

⇒ gh = 2gr + 1

2 gr+1

5gr ⇒ h = 27 10r

R – promień kulki

T^S

Tracie statyczne nigdy nie wykonuje pracy!

Siła konserwatywna mg N

Siła zawsze prostopadła do

przesunięcia – nie wykonuje pracy!