6.2. WYRAśENIE WYMIERNE
WyraŜenie wymierne wyraŜa się wzorem
)
(
)
(
x
P
x
W
y
=
, gdzie
W
(x
)
i
P
(x
)
są wielomianami
i
P
(x
)
nie jest wielomianem zerowym.
Dziedziną wyraŜenia wymiernego jest zbiór
D
=
{
x
:
P
(
x
)
≠
0
}
Przykład 6.2.1 Określ dziedzinę wyraŜenia wymiernego:
a)
3
2
2−
+
x
x
x
Rozwiązanie
Komentarz
ZałoŜenie:
2
x
−
3
≠
0
Kreska ułamkowa oznacza dzielenie. PoniewaŜ nie dzielimy przez zero , zatem mianownik musi być róŜny od zera.2
3
2
:
/
3
2
≠
≠
x
x
∈
2
3
\
:
x
R
D
Rozwiązując załoŜenie otrzymujemy dziedzinę wyraŜenia wymiernego .
Dziedziną wyraŜenia wymiernego są wszystkie liczby rzeczywiste za wyjątkiem miejsc zerowych
mianownika.
b)
x
x
x
3
2
2+
+
Rozwiązanie
Komentarz
ZałoŜenie:
x
2+
3
x
≠
0
Mianownik nie moŜe być zerem.0
;
3
;
1
=
=
=
b
c
a
9
0
1
4
3
2−
⋅
⋅
=
=
∆
3
2
6
1
2
9
3
1=
−
−
=
⋅
−
−
=
x
0
2
0
1
2
9
3
2⋅
=
=
+
−
=
x
D
:
x
∈
R
\
{
−
3
,
0
}
Aby rozwiązać załoŜenie obliczamy miejsca zerowe mianownika korzystając ze wzorów:
c
a
b
−
⋅
⋅
=
∆
24
a
b
x
a
b
x
2
;
2
2 1=
−
−
∆
=
−
+
∆
Dziedziną wyraŜenia wymiernego są wszystkie liczby rzeczywiste za wyjątkiem miejsc zerowych
Przykład 6.2.2. Oblicz wartości wyraŜenia wymiernego
9
3
2
2−
−
x
x
dla
x
=
−
1
i
x
=
3
.
Rozwiązanie
Komentarz
( )
( )
8
5
9
1
3
2
9
1
1
3
2
2−
=
−
+
=
−
−
−
⋅
−
Obliczamy wartość wyraŜenia wymiernego dlax
=
−
1
0
7
9
3
3
3
2
2−
=
−
⋅
−
- sprzecznośćWartość wyraŜenia dla
x
=
3
nie istnieje.Obliczamy wartość wyraŜenia wymiernego dla
x
=
3
3
nie naleŜy do dziedziny wyraŜeniawymiernego
9
3
2
2−
−
x
x
.
Skracanie wyraŜenia wymiernego polega na podzieleniu licznika i mianownika przez takie
samo wyraŜenia róŜne od zera.
Przykład 6.2.3. Skróć wyraŜenie wymierne:
a)
35
15
x
x
Rozwiązanie
Komentarz
x
x
x
x3
5
15
5 : / 3=
WyraŜenie wymierne skracamy przez
5
x
b)
9
6
3
2 2 3+
−
−
x
x
x
x
Rozwiązanie
Komentarz
Aby skrócić dane wyraŜenie wymierne musimy rozłoŜyć na czynniki mianownik i licznik.
(
3
)
3
2 2 3−
x
=
x
x
−
x
Rozkładając licznikx
3−
3x
2wyciągamy czynnik 2x
przed nawias.(
)
2 2 2 23
3
3
2
9
6
+
=
−
⋅
⋅
+
=
−
−
x
x
x
x
x
Rozkładając mianownikx
2−
6
x
+
9
stosujemy wzór skróconego mnoŜenia(
)
2 2 22
ab
b
a
b
a
−
=
−
+
(
)
(
3
)
(
)
3
3
9
6
3
2 3 : / 2 2 2 2 3−
=
−
−
=
+
−
−
−x
x
x
x
x
x
x
x
x
x WyraŜenie9
6
3
2 2 3+
−
−
x
x
x
x
skracamy przezx
−
3
c)
1
2
3
2 3 2+
+
+
+
+
x
x
x
x
x
Rozwiązanie
Komentarz
Aby skrócić dane wyraŜenie wymierne musimy rozłoŜyć na czynniki mianownik i licznik.
2
3
2+
+
x
x
2
;
3
;
1
=
=
=
b
c
a
1
2
1
4
3
2−
⋅
⋅
=
=
∆
1
2
1
3
2
2
1
3
2 1−
=
+
−
=
−
=
−
−
=
x
x
(
2
)(
1
)
2
3
2+
+
=
+
+
x
x
x
x
Rozkładając licznik2
3
2+
+
x
x
korzystamy z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej. Obliczmy miejsca zerowe wyraŜenia2
3
2+
+
x
x
korzystając ze wzorówc
a
b
−
⋅
⋅
=
∆
24
a
b
x
a
b
x
2
;
2
2 1=
−
−
∆
=
−
+
∆
PoniewaŜ∆
>
0
, to zapisując wyraŜenie2
3
2+
+
x
x
w postaci iloczynowej stosujemy wzóra
(
x
−
x
1)(
x
−
x
2)
1
2 3+
x
+
x
+
x
= =x
2(
x
+
1
) (
+
1
x
+
1
) (
=
x
+
1
)
( )
x
2+
1
Rozkładając mianownikx
3+
x
2+
x
+
1
stosujemy metodę grupowania wyrazów. WyraŜeniax
2+
1
nie moŜna rozłoŜyć na czynniki liniowe, poniewaŜ0
4
1
1
4
0
2−
⋅
⋅
=
−
<
=
∆
(
)(
)
(
)
( )
( )
1
2
1
1
1
2
1
2
3
2 1 : / 2 2 3 2+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x WyraŜenie1
2
3
2 3 2+
+
+
+
+
x
x
x
x
x
skracamy przezx
+
1
Rozszerzanie wyraŜenia wymiernego polega na pomnoŜeniu licznika i mianownika przez
takie samo wyraŜenia róŜne od zera.
Przykład 6.2.4. Rozszerz wyraŜenie wymierne tak, aby otrzymać wyraŜenie o wskazanym
mianowniku:
a)
26
2
3
x
x
x
−
=
Rozwiązanie
Komentarz
(
)
2 2 3 /6
9
3
3
2
3
3
2
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x−
=
⋅
⋅
−
=
−
⋅Aby w mianowniku zamiast
2
x
otrzymać6x
2, wyraŜeniex
x
2
3
−
b)
24
2
2
x
x
x
−
=
−
Rozwiązanie
Komentarz
(
x
)(
x
)
x
=
−
+
−
2
2
4
2 Aby zauwaŜyć przez ile musimy rozszerzyć wyraŜeniex
x
−
2
2
, mianownik4
−
x
2rozkładamy na czynniki korzystając ze wzoru skróconego mnoŜeniaa
2−
b
2=
(
a
−
b
)(
a
+
b
)
(
)
(
)
(
)(
)
2 2 2 /4
2
4
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x−
+
=
+
−
+
=
−
⋅ +Aby w mianowniku zamiast
2
−
x
otrzymać 24
−
x
, wyraŜeniex
x
−
2
2
musimy rozszerzyć przez2
+
x
.Przykład 6.2.5. Rozszerz wyraŜenia wymierne tak, aby miały jak najprostszy wspólny
mianownik.
a)
1
3
+
x
x
i
2
2
−
+
x
x
Rozwiązanie
Komentarz
(
)
(
)
(
)(
)
2
6
3
2
1
2
3
1
3
2 2 2 /−
−
−
=
−
+
−
=
+
⋅ −x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x( )
(
)(
)
(
)(
)
2
2
3
1
2
1
2
2
2
2 2 1 /−
−
+
+
=
+
−
+
+
=
−
+
+ ⋅x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xNajmniejszym wspólnym mianownikiem obu wyraŜeń jest
(
x
+
1
)(
x
−
2
)
. Dlatego wyraŜenie1
3
+
x
x
rozszerzamy przez
(
x
−
2
)
, natomiast wyraŜenie2
2
−
+
x
x
przez(
x
+
1
)
b)
x
x
3
3
2−
i
9
6
25
x
x
x
+
−
Rozwiązanie
Komentarz
Aby znaleźć najmniejszy wspólny mianownik danych wyraŜeń, ich mianowniki musimy rozłoŜyć ma czynniki
(
x
)
x
(
x
)
x
x
x
2−
3
=
−
−
+
3
=
−
3
−
Rozkładając mianownikx
2−
3
x
wyciągamy czynnik−
x
przed nawias.(
)
2 2 2 23
2
3
3
6
9
−
x
+
x
=
−
⋅
⋅
x
+
x
=
−
x
Rozkładając mianownik9
−
6
x
+
x
2 stosujemy wzór skróconego mnoŜenia(
a
−
b
)
2=
a
2−
2
ab
+
b
2(
)
(
)
(
(
)(
)
)
(
)
2 3 / 23
3
9
3
3
3
3
3
3
3
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x−
−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
=
−
⋅ − Najmniejszym wspólnym mianownikiem obu wyraŜeń jest(
)
23
x
x
−
−
. Dlatego wyraŜeniex
x
3
3
2−
rozszerzamy przez(
3
−
x
)
,(
)
( )
(
) ( )
( )
(
)
2 2 2 / 2 23
5
3
5
3
5
6
9
5
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x−
−
−
=
−
⋅
−
−
⋅
=
−
=
+
−
⋅− natomiast wyraŜenie9
6
25
x
x
x
+
−
przez−
x
ĆWICZENIA
Ćwiczenie 6.2.1. (1pkt.) Określ dziedzinę wyraŜenia:
2
2
5
3
2−
−
x
x
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie dziedziny wyraŜenia .
1
Ćwiczenie 6.2.2. (2pkt.) Dla jakich wartości parametrów a, b dziedziną wyraŜenia
b
ax
x
x
+
+
−
22
jest zbiór
R
/
{ }
2
,
3
.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 UłoŜenia układu równań z niewiadomymi
a, b .
1
2 Podanie
a, b.
1
Ćwiczenie 6.2.3. (2pkt.) Oblicz wartość wyraŜenia
9
6
8
2
2 2+
+
−
x
x
x
dlax
=
−
2
.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie wartości wyraŜenia dla
x
=
−
2
.
1
Ćwiczenie 6.2.4. (3pkt.) Skróć wyraŜenie
12
3
4
4
2 2−
+
+
x
x
x
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 RozłoŜenie licznika na czynniki.
1
2 RozłoŜenie mianownika na czynniki.1
3 Podanie wyraŜenia po skróceniu.1
Ćwiczenie 6.2.5. (2pkt.) Rozszerz wyraŜenie wymierne tak, aby otrzymać wyraŜenie
wskazanym liczniku:
x
x
x
x
=
+
+
22
1
2
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 RozłoŜenie licznika
