1 Liczby rzeczywiste

M

P

K

W ^YKŁAD 7: S ^TRUKTURY T OPOLOGICZNE

KOGNITYWISTYKAUAM, 2016–2017 JERZYPOGONOWSKI

Zakład Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl

Topologiajest stosunkowo młod ˛a dyscyplin ˛a matematyczn ˛a. Wyrosła z uogól- nie´n rozwa˙za´n geometrycznych, uwzgl˛edniaj ˛acych potrzeby analizy matematycz- nej. Bada ona – ogólnie rozumiane – przestrzenie, w których stosownie okre-

´slone s ˛a takie poj˛ecia, jak np.: otoczenie, blisko´s´c, odległo´s´c, spójno´s´c, zwarto´s´c, punkt skupienia, zbie˙zno´s´c i wiele innych. Bada równie˙z własno´sci takich prze- strzeni, które s ˛a zachowywane przez przekształcenia na nich okre´slone. Ustala za- tem, m.in., jakie przekształcenia zachowuj ˛a blisko´s´c, kształt, poło˙zenie, itd.

Ze wzgl˛edu na usługowy charakter tego kursu oraz jego ograniczone ramy cza- sowe nie mo˙zemy opowiedzie´c dokładniej o badaniach topologicznych, cho´c jeste-

´smy przekonani, ˙ze poj˛ecia topologii (ogólnej, algebraicznej, ró˙zniczkowej) z pew- no´sci ˛a znajd ˛a owocne zastosowania w naukach kognitywnych. W niniejszym wy- kładzie skupimy uwag˛e na pewnych szczególnych przestrzeniach topologicznych, a mianowicie przestrzeniach metrycznych (tj. takich, w których okre´sli´c mo˙zna po- j˛ecie odległo´sci) oraz zupełnych (tj. takich przestrzeniach, które – mówi ˛ac na razie intuicyjnie – wraz z ka˙zdym ci ˛agiem elementów przestrzeni, które s ˛a „coraz bli˙z- sze sobie” zawieraj ˛a te˙z „punkt graniczny” tego ci ˛agu). Za wzorcowy przykład takich przestrzeni słu˙zy´c b˛ed ˛a produkty kartezja´nskie Rⁿ (n 6 1), a wi˛ec m.in.

prosta liczbowa R, płaszczyzna kartezja´nska R²i przestrze´n trójwymiarowa R³. Na poprzednim wykładzie podano dwie definicje (Dedekinda i Cantora) zbioru R wszystkich liczb rzeczywistych, rozumianego jako zbiór uporz ˛adkowany w spo- sób ci ˛agły, z okre´slonymi w nim operacjami arytmetycznymi, a wi˛ec wyposa˙zo- nego równie˙z w pewn ˛a struktur˛e algebraiczn ˛a. Obecnie rozwa˙zymy kolejn ˛a struk- tur˛e w tym zbiorze, a mianowicie struktur˛e topologiczn ˛a, zwi ˛azan ˛a z wymienio- nymi na pocz ˛atku poj˛eciami. Dla ich dobrego rozumienia niezb˛edne jest wcze-

´sniejsze oswojenie si˛e z ci ˛agamiliczb rzeczywistych.

1 Liczby rzeczywiste

Na poprzednim wykładzie podano dwa sposoby konstrukcji liczb rzeczywistych (metod ˛a Dedekinda i metod ˛a Cantora). Mo˙zliwe jest równie˙z inne podej´scie, a mianowicie scharakteryzowanie tych liczb metod ˛a aksjomatyczn ˛a.

W podej´sciu tym charakteryzujemy uporz ˛adkowan ˛a struktur˛e algebraiczn ˛a (R, 6, +, ·, 0, 1)

poprzez nast˛epuj ˛ace aksjomaty:

1. (R, +, ·, 0, 1) jest ciałem, czyli spełnione s ˛a nast˛epuj ˛ace warunki:

(a) R ma co najmniej dwa elementy

(b) działanie + (dodawanie) jest ł ˛aczne i przemienne (c) działanie · (mno˙zenie) jest ł ˛aczne i przemienne (d) mno˙zenie jest rozdzielne wzgl˛edem dodawania (e) 0 jest elementem neutralnym dodawania

(f) 1 jest elementem neutralnym mno˙zenia

2. 6 jest porz ˛adkiem liniowym zbioru R, który jest zgodny z działaniami aryt- metycznymi w R, czyli takim, ˙ze:

(a) je´sli x> y, to x + z > y + z (b) je´sli x > 0 oraz y > 0, to x · y > 0.

3. Porz ˛adek6 jest ci ˛agły, czyli ka˙zdy ograniczony z góry (równowa˙znie: ogra- niczony z dołu) podzbiór zbioru R ma kres górny (odpowiednio: kres dolny).

Powy˙zsze aksjomaty nie gwarantuj ˛a jeszcze, ˙ze istnieje taka struktura. Mo˙zna jednak wykaza´c, ˙ze obie konstrukcje liczb rzeczywistych – Dedekinda oraz Can- tora – spełniaj ˛a powy˙zsze aksjomaty.

W pliku zawieraj ˛acym szczegółowe omówienie planu wykładów (umieszczo- nym na stronie wykładów) wspomnieli´smy o liczbach rzeczywistych Hoborskiego, które odpowiadaj ˛a temu wyobra˙zeniu o liczbach rzeczywistych, które populary- zowane jest przez szkoł˛e. Równie˙z tak okre´slone liczby rzeczywiste spełniaj ˛a po- wy˙zsze aksjomaty.

Ostatni z wymienionych wy˙zej aksjomatów nazywany jest aksjomatem ci ˛agło-

´sci(Dedekinda).

UWAGI.

1. Mo˙zna udowodni´c, ˙ze istnieje – z dokładno´sci ˛a do izomorfizmu – jedna struktura, spełniaj ˛aca powy˙zsze aksjomaty. Tak wi˛ec, ró˙zne konstrukcje liczb rzeczywistych ukazuj ˛a ich ró˙zne aspekty.

2. Dla liczb rzeczywistych zachodzi aksjomat Archimedesa: je´sli x > 0 oraz x < y, to istnieje liczba naturalna n taka, ˙ze suma x + x + . . . + x (x wyst˛epuje n razy w tej sumie) spełnia warunek: y < n · x. Własno´s´c ta wyklucza istnienie w zbiorze R wielko´sci niesko´nczenie małych.

3. Inn ˛a (od powy˙zszej) aksjomatyk˛e dla liczb rzeczywistych podał w 1936 roku Alfred Tarski. Udowodnił on równie˙z pewne wa˙zne fakty metamatematyczne dotycz ˛ace tej struktury.

4. By´c mo˙ze ci ze słuchaczy, którzy s ˛a zwolennikami Jednego i Jedynie Słusz- nego Pogl ˛adu na Wszystko poczuli si˛e zniecierpliwieni faktem, ˙ze oto na kilka sposobów konstruujemy liczby rzeczywiste, a w dodatku jeszcze po- dajemy ich charakterystyk˛e aksjomatyczn ˛a. To niepotrzebna niecierpliwo´s´c.

Wykazanie, ˙ze ró˙zne sposoby charakterystyki jakiego´s obiektu prowadz ˛a do tego samego wyniku jest niezwykle wa˙zne pod wzgl˛edem poznawczym.

5. Nale˙zy te˙z pami˛eta´c, ˙ze ka˙zda liczba rzeczywista jest w istocie obiektem infi- nitarnym: do jej okre´slenia potrzeba niesko´nczenie wielu liczb wymiernych, w ka˙zdej z rozwa˙zanych konstrukcji. We wszystkich praktycznych zasto- sowaniach (obliczeniach) wykorzystujemy jedynie sko´nczone przybli˙zenia liczb rzeczywistych.

6. Ile jest liczb rzeczywistych? Podali´smy wcze´sniej argumentacj˛e za tym, ˙ze nie jest ich tyle samo co liczb naturalnych (ani te˙z tyle samo co liczb wy- miernych). Jak niesko´nczono´s´c zbioru liczb rzeczywistych ma si˛e do nie- sko´nczono´sci zbioru liczb naturalnych? To niezwykle wa˙zne pytanie otrzy- mało zaskakuj ˛ac ˛a odpowied´z: nie wiadomo. Dokładniej, problem usytuowa- nia liczby elementów zbioru wszystkich liczb rzeczywistych na skali nie- sko´nczonych liczb kardynalnych (zob. wykład 5) nie daje si˛e rozstrzygn ˛a´c na gruncie obecnie przyjmowanych aksjomatów teorii mnogo´sci (któr ˛a do´s´c powszechnie uwa˙za si˛e za podstaw˛e całej matematyki). Hipoteza, ˙ze moc kontinuum (liczba elementów zbioru wszystkich liczb rzeczywistych) jest nast˛epn ˛amoc ˛a niesko´nczon ˛a, po mocy zbioru wszystkich liczb naturalnych („najmniejszej” niesko´nczono´sci) jest niezale˙zna od aksjomatów teorii mno- go´sci i nazywa si˛e hipotez ˛a kontinuum.

7. Do poszczególnych liczb rzeczywistych mamy, by tak rzec, ró˙zny dost˛ep po- znawczy. „Najłatwiejsze” s ˛a liczby wymierne (a wi˛ec w szczególno´sci liczby

naturalne i całkowite). Nieco bardziej skomplikowane s ˛a liczby algebraiczne (pierwiastki wielomianów): obejmuj ˛a one oczywi´scie liczby wymierne, ale tak˙ze – stosunkowo „proste” liczby niewymierne. O wiele bardziej „tajem- nicze” s ˛a liczby przest˛epne, czyli te liczby rzeczywiste, które nie s ˛a algebra- iczne. Bada si˛e te˙z inne aspekty owej dost˛epno´sci – np. liczby obliczalne.

8. Słuchacze zechc ˛a trzyma´c w pami˛eci fakt, ˙ze liczby (w szczególno´sci: liczby rzeczywiste) to nie to samo, co ich reprezentacje (w ustalonej bazie). No- tacje: dziesi˛etna, dwójkowa, szesnastkowa, itp. to wła´snie jedynie sposoby reprezentacjiliczb. To, ˙ze dana liczba ma w jednej reprezentacji posta´c do´s´c regularn ˛a, a w innej posta´c wygl ˛adaj ˛ac ˛a na chaotyczn ˛a, całkowicie losow ˛a jest niezwykle ciekawym problemem badawczym. Warto o tym przypomi- na´c tym wszystkim, którzy łatwowiernie polegaj ˛a na wró˙zeniu z liczb, znaj- dowaniu „tajemniczych” regularno´sci np. w ´swi˛etych ksi˛egach, których tek- sty poddaje si˛e stosownemu kodowaniu (zawsze przecie˙z dokonywanemu w wybranej bazie). Ewentualnie powa˙znie zainteresowani t ˛a problematyk ˛a słuchacze zechc ˛a samodzielnie poszuka´c informacji o liczbach normalnych.

Natomiast ci ze słuchaczy, którzy znajduj ˛a upodobanie w magii liczb mog ˛a samodzielnie poszuka´c informacji o numerologii, kabale, gematrii, notari- konie, temurze, itp.

2 Ci ˛ agi rzeczywiste

Ci ˛agi rzeczywiste(ci ˛agi o wyrazach, b˛ed ˛acych liczbami rzeczywistymi) to funkcje ze zbioru N+w zbiór R. Wyrazy ci ˛agu rzeczywistego mog ˛a by´c tworzone wedle ja- kiego´s ogólnego prawidła, ale mog ˛a te˙z nie wykazywa´c ˙zadnej dostrzeganej przez umysł prawidłowo´sci. Czasem wygodnie jest numerowa´c wyrazy ci ˛agu poczynaj ˛ac od 0, a nie od 1.

Słuchacze znaj ˛a ze szkoły dwa rodzaje ci ˛agów, w których wyst˛epuj ˛a pewne regularno´sci: arytmetyczny i geometryczny, na wykładzie czwartym poznali´smy te˙z ci ˛ag harmoniczny oraz ci ˛ag Fibonacciego.

1. Ci ˛ag arytmetyczny. Okre´slony warunkami rekurencyjnymi: a1 = a oraz an = an−1+ d dla n > 2. Ogólny wzór na n-ty wyraz ci ˛agu ma posta´c:

a_n= a + (n − 1) · d

2. Ci ˛ag geometryczny. Okre´slony warunkami rekurencyjnymi: a1 = a · x oraz a_n= a_n−1· x. Ogólny wzór na n-ty wyraz ci ˛agu ma posta´c: a_n= a · xⁿ 3. Ci ˛ag harmoniczny. a_n= ¹_n.

4. Ci ˛ag Fibonacciego. Okre´slony warunkami rekurencyjnymi: a1 = a2 = 1 oraz a_n+2= a_n+ a_n+1.

5. Ci ˛ag liczb pierwszych. Wszystkie liczby pierwsze mo˙zemy ustawi´c w ci ˛ag.

Nie podajemy ogólnego wzoru na n-ty wyraz tego ci ˛agu, cho´c znane s ˛a nie- które wyst˛epuj ˛ace w nim regularno´sci.

Przypomnijmy podane w wykładzie czwartym poj˛ecia: ci ˛agu ograniczonego oraz ci ˛agu monotonicznego.

Ci ˛ag (an)_n∈N+nazywamy ograniczonym, je´sli istnieje liczba naturalna M taka,

˙ze dla wszystkich n ∈ N+zachodzi: |an| 6 M.

Ci ˛ag (a_n)_n∈N+ nazywamy:

1. rosn ˛acym, gdy a1 < a₂< a₃ < . . . 2. malej ˛acym, gdy a₁ > a₂> a₃ > . . . 3. niemalej ˛acym, gdy a1 6 a26 a3 6 . . . 4. nierosn ˛acym, gdy a1 > a2> a3 > . . .

Ci ˛agi, spełniaj ˛ace który´s z powy˙zszych warunków nazywamy monotonicznymi.

Te, które spełniaj ˛a który´s z pierwszych dwóch powy˙zszych warunków nazywamy

´sci´sle monotonicznymi.

Z wykładu czwartego wiemy te˙z, ˙ze ci ˛ag an = (1 + _n¹)ⁿ jest rosn ˛acy oraz ograniczony, czego dowodzimy wykorzystuj ˛ac wzór dwumianowy

(x + y)ⁿ=

n

X

k=0

n k

 x^ky^n−k

oraz nierówno´s´c n!> 2ⁿ⁻¹ (któr ˛a z kolei uzasadniamy rozumowaniem przez in- dukcj˛e matematyczn ˛a).

Zasad˛e indukcji matematycznej mo˙zemy wykorzysta´c tak˙ze w dowodzie bar- dzo u˙zytecznej nierówno´s´cci Bernoulliego, która ustala, ˙ze dla d > −1 mamy:

(1 + d)ⁿ > 1 + n · d. Wida´c bowiem, ˙ze nierówno´s´c ta zachodzi dla pierwszej liczby z rozwa˙zanego zakresu, czyli dla 1. Przypu´s´cmy, ˙ze zachodzi dla liczby k (zało˙zenie indukcyjne):

(1 + d)^k> 1 + k · d.

Trzeba pokaza´c, ˙ze zachodzi te˙z dla liczby k + 1. Mamy:

(1 + d)^k+1 = (1 + d)^k· (1 + d) > (1 + k · d) · (1 + d) > 1 + (k + 1) · d.

Wykazali´smy zatem, ˙ze rozwa˙zana nierówno´s´c zachodzi tak˙ze dla k + 1. Na mocy zasady indukcji matematycznej, rozwa˙zana nierówno´s´c zachodzi dla ka˙zdej dodat- niej liczby naturalnej.

Zach˛ecamy słuchaczy do samodzielnego udowodnienia (równie˙z posługuj ˛ac si˛e zasad ˛a indukcji matematycznej) zachodz ˛acej dla dowolnej d > 0 nierówno´sci:

(1 + d)ⁿ> 1 + n · d + 1

2· n · (n − 1) · d².

Je´sli (an) jest ci ˛agiem rzeczywistym, a (ki) dowolnym rosn ˛acym ci ˛agiem liczb naturalnych, to ci ˛ag (a_ki) nazywamy podci ˛agiemci ˛agu (an). Dla przykładu, je´sli (a_n) jest ci ˛agiem rzeczywistym, to (a_2n+1) jest jego podci ˛agiem.

2.1 Ci ˛agi zbie˙zne

Mówimy, ˙ze ci ˛ag (an) jest zbie˙zny do liczby g ∈ R, gdy dla ka˙zdej liczby rze- czywistej ε > 0 istnieje liczba naturalna N taka, ˙ze dla ka˙zdej n > N zachodzi nierówno´s´c:

|a_n− g| < ε.

Je´sli (an) jest zbie˙zny do g, to liczb˛e g nazywamy granic ˛a ci ˛agu (an). Mówimy te˙z w takim przypadku, ˙ze ci ˛ag (an) d ˛a˙zydo g i stosujemy zapis: an → g przy n → ∞ lub zapis lim

n→∞a_n= g.

Ci ˛ag, który nie jest zbie˙zny, nazywamy rozbie˙znym. Tak wi˛ec, rozbie˙zne s ˛a te ci ˛agi, które nie s ˛a zbie˙zne do ˙zadnej granicy.

UWAGI.

1. Po raz pierwszy napotkali´smy poj˛ecie, które okre´slane jest nie tylko poprzez własno´sci algebraiczne (arytmetyczne) i porz ˛adkowe, ale tak˙ze przez for- malny odpowiednik blisko´sci, a wi˛ec poj˛ecie topologiczne.

2. Zbie˙zno´s´c ci ˛agu (an) do liczby g, jego granicy, oznacza zatem, ˙ze w dowol- nie małym otoczeniu liczby g znajduj ˛a si˛e wszystkie, oprócz ewentualnie sko´nczonej ich liczby, wyrazy tego ci ˛agu. Otoczenie liczby jest tu rozumiane jako przedział otwarty, do którego ta liczba nale˙zy.

3. Mawia si˛e te˙z, ˙ze ci ˛ag (a_n) jest zbie˙zny do liczby g, gdy prawie wszyst- kiejego wyrazy znajduj ˛a si˛e w dowolnie małym otoczeniu liczby g. Nale˙zy jednak pami˛eta´c, ˙ze termin prawie wszystkie ma w tym kontek´scie ´sci´sle ustalone znaczenie: prawie wszystkie oznacza wszystkie, oprócz sko´nczonej ich liczby.

4. Nale˙zy pami˛eta´c, ˙ze wyra˙zenie ci ˛ag d ˛a˙zy do granicyjest tylko sposobem mó- wienia. Znaczenie tego wyra˙zenia podaje przytoczona wy˙zej definicja. Wy- st˛epuj ˛a w niej jedynie terminy arytmetyczne i porz ˛adkowe. Wszelkie skoja- rzenia z ruchem maj ˛a w tym kontek´scie jedynie walor intuicyjny.

5. Ka˙zdy ci ˛ag zbie˙zny jest ograniczony. Je´sli bowiem lim

n→∞a_n= g, to istnieje N taka, ˙ze |an− g| < 1 dla wszystkich n > N . Z tego oraz z faktu, ˙ze

|a_n| − |g| 6 |an − g| wynika, ˙ze dla wszystkich n > N mamy: |an| <

|g| + 1. Je´sli we´zmiemy teraz M = max{|a₁|, |a₂|, . . . , |a_N|, |g| + 1}, to otrzymujemy: |an| 6 M dla wszystkich n > N.

PRZYKŁADY.

1. Ka˙zdy ci ˛ag stały an= a jest zbie˙zny. Jego granic ˛a jest liczba a.

2. Ci ˛ag an= 1 +_n¹ jest zbie˙zny. Jego granic ˛a jest liczba 1. Istotnie, jakkolwiek mał ˛a we´zmiemy liczb˛e rzeczywist ˛a ε > 0, to wszystkie wyrazy tego ci ˛agu o wska´znikach n takich, ˙ze n > ¹_ε znajd ˛a si˛e w przedziale otwartym (1 − varepsilon, 1 + ε).

3. Ci ˛ag an= _n¹ jest zbie˙zny. Jego granic ˛a jest liczba 0.

4. Ci ˛ag an = (−1)ⁿnie jest zbie˙zny. Zauwa˙zmy, ˙ze jest to ci ˛ag ograniczony.

Mamy bowiem: a2k = 1 oraz a2k−1= −1, dla wszystkich k > 1.

5. Ci ˛ag an = (−2)ⁿ nie jest zbie˙zny. Zauwa˙zmy, ˙ze nie jest to ci ˛ag ograni- czony.

6. Ci ˛ag a_n = √ⁿ

a (a > 0) jest zbie˙zny. Jego granic ˛a jest liczba 1. Dowód tego faktu znajd ˛a słuchacze np. w podr˛eczniku Musielak, Musielak 2004, na stronie 31.

7. Ci ˛ag an = √ⁿ

n jest zbie˙zny. Jego granic ˛a jest liczba 1. Dowód tego faktu znajd ˛a słuchacze np. w podr˛eczniku Musielak, Musielak 2004, na stronie 31.

Udowodnimy, dla przykładu, ˙ze ci ˛ag geometryczny an = xⁿ jest zbie˙zny do 0 dla |x| < 1, jest zbie˙zny do 1 dla x = 1 oraz jest rozbie˙zny dla wszystkich pozostałych x, czyli dla |x| > 1 lub x = −1. Rozpatrzymy trzy przypadki:

1. Załó˙zmy, ˙ze |x| < 1. Wtedy istnieje dokładnie jedna liczba d > 0 taka, ˙ze

|x| = _1+d¹ . Na mocy udowodnionej przed chwil ˛a nierówno´sci Bernoulliego mamy:

|a_n| = |x|ⁿ= 1

(1 + d)ⁿ < 1 1 + n · d.

Poniewa˙z ułamek _1+n·d¹ zmniejsza si˛e wraz ze wzrostem n, wi˛ec dla do- wolnie małej liczby rzeczywistej ε > 0 istnieje taka liczba naturalna N , ˙ze

1

1+n·d < ε zachodzi dla wszystkich n > N . Tak wi˛ec, w tym przypadku

n→∞lim an= 0.

2. Je´sli x = 1, to ci ˛ag an jest stały, je´sli jednak x = −1, to ci ˛ag an jest roz- bie˙zny, gdy˙z wszystkie jego wyrazy o wska´znikach parzystych równe s ˛a 1, a wszystkie wyrazy o wska´znikach nieparzystych równe s ˛a −1.

3. Wreszcie, gdy |x| > 1, to x = 1+d dla pewnej d > 0. Znowu wykorzystamy nierówno´s´c Bernoulliego:

|a_n| = (1 + d)ⁿ> 1 + n · d,

a to oznacza, ˙ze ci ˛ag (an) nie jest ograniczony, a wi˛ec nie jest zbie˙zny.

Ze wzgl˛edu na usługowy charakter tego kursu nie mo˙zemy po´swi˛eci´c zbyt wiele miejsca na bardziej szczegółowe omówienie własno´sci ci ˛agów liczb rzeczy- wistych. Wyliczymy zatem tylko niektóre z nich, zach˛ecaj ˛ac zainteresowanych słu- chaczy do zadumy nad nimi oraz próby zmierzenia si˛e z wykazaniem, ˙ze podane fakty istotnie maj ˛a miejsce.

WYBRANE WŁASNO ´SCI.

1. W ci ˛agu zbie˙znym mo˙zna pomin ˛a´c, doł ˛aczy´c lub zmieni´c sko´nczon ˛aliczb˛e jego wyrazów, a pozostanie on zbie˙zny do tej samej granicy.

2. Je´sli dokonamy dowolnej permutacji indeksów wyrazów ci ˛agu zbie˙znego, to taki ci ˛ag o przestawionych wyrazach pozostaje zbie˙zny do tej samej granicy.

3. Podci ˛ag ci ˛agu zbie˙znego jest zbie˙zny do tej samej granicy.

4. Je´sli ci ˛agi (an) oraz (bn) s ˛a zbie˙zne oraz dla pewnej m zachodzi an 6 bn

dla wszystkich n > m, to lim

n→∞a_n6 lim

n→∞b_n.

5. TWIERDZENIE O TRZECH CI ˛AGACH. Je´sli ci ˛agi (an) oraz (b_n) s ˛a zbie˙zne do tej samej granicy g oraz istnieje m taka, ˙ze an6 cn6 bndla wszystkich n > m, to ci ˛ag (cn) tak˙ze jest zbie˙zny do g.

6. Ka˙zdy ci ˛ag monotoniczny i ograniczony jest zbie˙zny. Przy tym, je´sli (a_n) jest niemalej ˛acy, to lim

n→∞an = sup

n

an, natomiast gdy (an) jest nierosn ˛acy, to lim

n→∞an = inf

n an. Je´sli bowiem (an) jest niemalej ˛acy i ograniczony, to istnieje kres górny zbioru jego wyrazów: s = sup

n

an. Chcemy pokaza´c, ˙ze ci ˛ag (an) jest zbie˙zny do granicy s.

(a) Niech ε > 0. Z definicji kresu górnego wynika (na mocy nietrudnego rachunku: zob. np. Musielak, Musielak 2004, strona 15), ˙ze istnieje liczba naturalna N taka, i˙z s < aN + ε.

(b) Natomiast dla ka˙zdej n > N mamy an> aN, a zatem s < an+ ε dla wszystkich n > N .

(c) Mamy wi˛ec: an> s − ε dla n > N .

(d) Poniewa˙z an6 s dla wszystkich n, wi˛ec oczywi´scie tak˙ze an< s + ε.

(e) Ł ˛acznie daje to: s − ε < an< s + ε dla n > N , czyli |an− s| < ε. To oznacza, ˙ze ci ˛ag (an) jest zbie˙zny do granicy s.

Podobnie pokazujemy, ˙ze nierosn ˛acy ci ˛ag ograniczony jest zbie˙zny.

7. Ci ˛ag an = (1 +_n¹)ⁿjest, jak ju˙z wiemy, rosn ˛acy i ograniczony. Jest zatem zbie˙zny. Jego granic˛e oznaczamy symbolem e:

e = lim

n→∞(1 + 1 n)ⁿ.

Jest to jedna z najwa˙zniejszych stałych matematycznych. Liczba e ≈ 2, 71828 . . . jest liczb ˛a przest˛epn ˛a.

TWIERDZENIEASCOLIEGO. Niech [an, bn] b˛edzie zst˛epuj ˛acym ci ˛agiem przedzia- łów domkni˛etych liczb rzeczywistych (czyli[a_i+1, b_i+1] ⊂ [a_i, b_i] dla wszystkich i ∈ N+). Niech ponadto lim

n→∞(b_n− a_n) = 0. Wtedy istnieje dokładnie jedna liczba rzeczywistax ∈ R taka, ˙ze x ∈ [an, bn] dla wszystkich n ∈ N+.

Inaczej mówi ˛ac, cz˛e´s´c wspólna (iloczyn) zst˛epuj ˛acego ci ˛agu przedziałów do- mkni˛etych w zbiorze liczb rzeczywistych o długo´sciach tych przedziałów d ˛a˙z ˛acych do 0, zawiera dokładnie jeden element. Istotn ˛a rol˛e w dowodzie tego twierdzenia odgrywa własno´s´c ci ˛agło´sci porz ˛adku zbioru liczb rzeczywistych.

DOWÓD. Najpierw zauwa˙zmy, ˙ze ci ˛ag (an) jest niemalej ˛acy oraz ograniczony z góry przez ka˙zdy z wyrazów ci ˛agu (bn). Podobnie, ci ˛ag (bn) jest nierosn ˛acy oraz ograniczony z dołu przez ka˙zdy z wyrazów ci ˛agu (an). Tak wi˛ec, oba te ci ˛agi s ˛a zbie˙zne, a ponadto: lim

n→∞a_n= sup

n

a_noraz lim

n→∞b_n= inf

n b_n. Mamy dalej:

1. lim

n→∞an6 lim

n→∞bn, czyli sup

n

an6 inf

n bn. 2. Dla ka˙zdej m zachodzi nierówno´s´c:

0 6 inf

n b_n− sup

n

a_n6 bm− a_m.

3. Z zało˙zenia, lim

m→∞(bm− a_m) = 0.

4. Na mocy twierdzenia o trzech ci ˛agach otrzymujemy zatem sup

n

an= inf

n bn. Niech x oznacza t˛e wła´snie warto´s´c obu rozwa˙zanych kresów.

5. x ∈ [an, bn] dla wszystkich n, czyli x jest punktem wspólnym wszystkich rozwa˙zanych przedziałów.

6. Gdyby istniał punkt y 6= x taki, ˙ze y ∈ [an, bn] dla wszystkich n, to mieli- by´smy an6 y oraz y 6 bndla wszystkich n.

7. Na mocy pierwszej z tych nierówno´sci otrzymujemy: x = sup

n

an6 y.

8. Na mocy drugiej z tych nierówno´sci otrzymujemy: y6 inf

n bn= x.

9. Z tego wynika oczywi´scie, ˙ze y = x, a wi˛ec x jest jedynym punktem wspól- nym wszystkich przedziałów [an, b_n].

Na ci ˛agach zbie˙znych wykonywa´c mo˙zemy działania arytmetyczne, przy czym granice ci ˛agów otrzymanych w wyniku tych działa´n wyznaczone s ˛a przez granice ci ˛agów, na których działania wykonujemy, np. (przy zało˙zeniu, ˙ze istniej ˛a granice po prawej stronie równo´sci, istniej ˛a te˙z granice po jej lewej stronie):

1. lim

n→∞(an+ bn) = lim

n→∞an+ lim

n→∞bn

2. lim

n→∞(an− b_n) = lim

n→∞an− lim

n→∞bn

3. lim

n→∞(a_n· b_n) = lim

n→∞a_n· lim

n→∞b_n 4. lim

n→∞c · a_n= c · lim

n→∞a_ndla dowolnej c ∈ R.

W przypadku operacji dzielenia trzeba oczywi´scie przyj ˛a´c dodatkowe zało˙ze- nia:

1. Je´sli bn6= 0 oraz ci ˛ag (bn) jest zbie˙zny do granicy ró˙znej od zera, to zbie˙zny jest te˙z ci ˛ag (_b¹

n) i zachodzi:

n→∞lim 1 bn

= 1

n→∞lim bn

.

2. Je´sli ci ˛agi (an) oraz (bn) s ˛a zbie˙zne, bn6= 0 dla wszystkich n oraz lim

n→∞bn6=

0, to zbie˙zny jest te˙z ci ˛ag (^a_bⁿ

n) i zachodzi:

n→∞lim a_n b_n =

n→∞lim a_n

n→∞lim b_n.

Po´swi˛ecimy teraz chwil˛e uwagi ci ˛agom rozbie˙znym, rozwa˙zaj ˛ac ich ró˙zne ro- dzaje.

Mówimy, ˙ze ci ˛ag (an) jest rozbie˙zny do granicy niewła´sciwej +∞, gdy dla ka˙zdej liczby M > 0 istnieje liczba N taka, ˙ze dla wszystkich n > N zachodzi an> M . Piszemy wtedy lim

n→∞an= +∞ (albo, krócej, lim

n→∞an= ∞).

Podobnie, mówimy, ˙ze ci ˛ag (a_n) jest rozbie˙zny do granicy niewła´sciwej −∞, gdy dla ka˙zdej liczby M > 0 istnieje liczba N taka, ˙ze dla wszystkich n > N zachodzi an< −M . Piszemy wtedy lim

n→∞an= −∞.

UWAGI.

1. Mamy oczywi´scie: lim

n→∞n² = ∞ oraz lim

n→∞−n² = −∞.

2. Ka˙zdy ci ˛ag rozbie˙zny do granicy niewła´sciwej jest nieograniczony, ale ist- niej ˛a ci ˛agi nieograniczone bez granicy niewła´sciwej, np. an= (−1)ⁿ· n.

3. U˙zywamy tu symboli ∞ oraz −∞ jako u˙zytecznych w mówieniu o pewnych rodzajach rozbie˙zno´sci. Symbole te nie oznaczaj ˛a ˙zadnej liczby rzeczywi- stej.

4. Symboli tych u˙zywa si˛e te˙z dla zaznaczenia, ˙ze jaki´s zbiór A jest nieogra- niczony z góry (piszemy wtedy sup A = ∞) lub z dołu (piszemy wtedy inf A = −∞).

5. Zach˛ecamy zainteresowanych słuchaczy do zadumy nad tym, czy na ci ˛agach rozbie˙znych do granic niewła´sciwych te˙z mo˙zna wykonywa´c operacje aryt- metyczne (zob. np. Musielak, Musielak 2004, 40–41).

Ci ˛ag mo˙ze nie by´c zbie˙zny tak˙ze z tego powodu, ˙ze mo˙ze istnie´c kilka punktów (liczb), wokół których skupia si˛e niesko´nczenie wiele wyrazów ci ˛agu. Liczb˛e s nazywamy punktem skupienia ci ˛agu (a_n), gdy dla ka˙zdej liczby rzeczywistej ε > 0 oraz ka˙zdej liczby naturalnej N istnieje liczba naturalna n > N taka, ˙ze |an− s| <

ε.

UWAGI.

1. Je´sli lim

n→∞an= g, to oczywi´scie g jest (jedynym) punktem skupienia ci ˛agu (an).

2. Wprost z definicji wida´c, ˙ze je´sli s jest punktem skupienia ci ˛agu (an), to w dowolnym (dowolnie małym) otoczeniu punktu s znajduje si˛e niesko´nczenie wielewyrazów tego ci ˛agu.

3. Punktami skupienia ci ˛agu a_n= (−1)ⁿs ˛a liczby: 1 oraz −1. Te same liczby s ˛a punktami skupienia np. ci ˛agu an= (−1)ⁿ⁺¹+₂¹n.

4. Liczba s jest punktem skupienia ci ˛agu (an) dokładnie wtedy, gdy pewien podci ˛ag ci ˛agu (an) jest zbie˙zny do s.

Własno´sci topologiczne zbioru R cz˛e´sciowo charakteryzuje nast˛epuj ˛ace wa˙zne twierdzenie:

TWIERDZENIE BOLZANO-WEIERSTRASSA. Ka˙zdy ci ˛ag ograniczony posiada co najmniej jeden punkt skupienia.

DOWÓD. Załó˙zmy, ˙ze ci ˛ag (a_n) jest ograniczony. Tworzymy par˛e zbiorów (A, B) w sposób nast˛epuj ˛acy:

A = {x ∈ R : x 6 andla niesko´nczenie wielu n}

B = R − A.

1. Para (A, B) jest przekrojem Dedekinda zbioru R. Na mocy aksjomatu ci ˛a- gło´sci: albo w klasie A istnieje element najwi˛ekszy, albo w klasie B istnieje element najmniejszy. Niech s b˛edzie tym elementem. Poka˙zemy, ˙ze s jest (najwi˛ekszym) punktem skupienia ci ˛agu (an).

2. Dla dowolnej liczby rzeczywistej ε > 0 mamy: s −₂^ε ∈ A oraz s + ^ε₂ ∈ B.

3. Z definicji zbiorów A i B wynika, ˙ze: s − ^ε₂ 6 andla niesko´nczenie wielu n, za´s s +^ε₂ 6 andla co najwy˙zej sko´nczonej liczby indeksów n.

4. Tak wi˛ec, a_n < s + ^ε₂ dla wszystkich n poza sko´nczon ˛a ich liczb ˛a. W kon- sekwencji, dla niesko´nczenie wielu n mamy:

s − ε < s − ε

2 6 an< s + ε

2 < s + ε.

5. To z kolei oznacza, ˙ze |a_n− s| < ε dla niesko´nczenie wielu n. Tak wi˛ec, s jest punktem skupienia ci ˛agu (an).

6. Ponadto, jest to najwi˛ekszy punkt skupienia tego ci ˛agu. Gdyby bowiem dla pewnej ε > 0 punktem skupienia był s + 2 · ε, to, poniewa˙z s + ε ∈ B,

mieliby´smy s + ε < an tylko dla sko´nczonej liczby indeksów n, wbrew poczynionemu przypuszczeniu, ˙ze s + 2 · ε jest punktem skupienia ci ˛agu (a_n).

Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa mo˙zna te˙z udowodni´c, wykorzystuj ˛ac Twier- dzenie Ascoliego.

Najwi˛ekszy punkt skupienia ci ˛agu ograniczonego (an) nazywamy jego limes superiori oznaczamy lim sup

n→∞

an. Podobnie, najmniejszy punkt skupienia ci ˛agu ograniczonego (a_n) nazywamy jego limes inferior i oznaczamy lim inf

n→∞a_n. W konstrukcji zbioru liczb rzeczywistych metod ˛a Cantora wykorzystali´smy pewne szczególne ci ˛agi, nazywane tam ci ˛agami podstawowymi. U˙zywa si˛e te˙z na- st˛epuj ˛acej terminologii.

Mówimy, ˙ze ci ˛ag (a_n) spełnia warunek Cauchy’ego, gdy dla ka˙zdej liczby rze- czywistej ε > 0 istnieje liczba naturalna N taka, ˙ze dla wszystkich m > N oraz n > N zachodzi nierówno´s´c: |an− a_m| < ε. Tak wi˛ec, ci ˛ag spełnia warunek Cau- chy’ego, gdy – pocz ˛awszy od pewnego miejsca – wszystkie jego wyrazy s ˛a sobie dowolnie bliskie.

UWAGI.

1. Ka˙zdy ci ˛ag zbie˙zny spełnia warunek Cauchy’ego.

2. Ka˙zdy ci ˛ag Cauchy’ego jest ograniczony.

3. Ci ˛ag Cauchy’ego zawieraj ˛acy podci ˛ag zbie˙zny do pewnej liczby g jest zbie˙zny do g.

Dowody tych faktów znajd ˛a słuchacze np. w podr˛eczniku Musielak, Musielak 2004 (strona 46). Wynika z nich nast˛epuj ˛ace wa˙zne twierdzenie:

TWIERDZENIE CAUCHY’EGO. Ci ˛ag (a_n) jest zbie˙zny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego.

SZKIC DOWODU. Na mocy uwagi 1, wystarczy udowodni´c, ˙ze ka˙zdy ci ˛ag Cau- chy’ego (an) jest zbie˙zny. Na mocy uwagi 2, ci ˛ag (an) jest ograniczony. Na mocy twierdzenia Bolzano-Weierstrassa, ci ˛ag (an) ma co najmniej jeden punkt skupie- nia g. W konsekwencji, ci ˛ag (an) zawiera podci ˛ag zbie˙zny do g. Na mocy uwagi 3, ci ˛ag (a_n) jest zbie˙zny do g.

Wykorzystuj ˛ac charakterystyk˛e zbie˙zno´sci ci ˛agów z u˙zyciem warunku Cau- chy’ego mo˙zemy poprawnie zdefiniowa´c wiele wa˙znych konstrukcji dotycz ˛acych liczb rzeczywistych. Dla przykładu, pot˛ega o wykładniku rzeczywistym dowol- nej liczby rzeczywistej wykorzystuje wła´snie t˛e charakterystyk˛e. Je´sli mianowicie a > 0, a ∈ R, x ∈ R to a^xdefiniujemy jako granic˛e lim

n→∞a^xn, gdzie (xn) jest do- wolnym ci ˛agiem liczb wymiernych, zbie˙znym do x, czyli takim, ˙ze lim

n→∞x_n= x.

3 Szeregi liczbowe

Która z liczb: 1 oraz 0, 99999 . . . (czyli niesko´nczony ułamek okresowy 0, (9)) jest wi˛eksza?

Niech x = 0, 99999 . . . Wtedy:

1. 10x = 9, 9999 . . . 2. 10x − x = 9x 3. 9x = 9, 9999 . . . − x

4. 9x = 9, 9999 . . . − 0, 99999 . . . 5. 9x = 9

6. x = 1.

Tak wi˛ec, udowodnili´smy równo´s´c 1 = 0, 999999 . . . Dodajmy, ˙ze – trudno wła´sciwie powiedzie´c z jakiego powodu – niektórzy pozostaj ˛a nieprzekonani po- wy˙zszym (lub podobnym) dowodem.

Rozwini˛ecia dziesi˛etne liczb rzeczywistych (podobnie jak rozwini˛ecia w do- wolnej bazie) mog ˛a by´c – jak słuchacze pami˛etaj ˛a ze szkoły – sko´nczone, okre- sowe lub niesko´nczone. Liczby wymierne maj ˛a sko´nczone lub okresowe rozwi- ni˛ecia dziesi˛etne, liczby niewymierne maj ˛a niesko´nczone rozwini˛ecia dziesi˛etne.

Oznacza to, ˙ze liczb˛e niewymiern ˛a traktowa´c mo˙zemy jako niesko´nczon ˛a sum˛e ułamków, których mianowniki s ˛a kolejnymi pot˛egami liczby 10.

Jak radzimy sobie z całkiem ogólnymi niesko´nczonymi sumami liczb? Przede wszystkim, interesuje nas, kiedy takie niesko´nczone sumowanie daje wielko´s´c sko´n- czon ˛a.

Ka˙zdemu ci ˛agowi rzeczywistemu (an) przyporz ˛adkowa´c mo˙zna ci ˛ag sn =

n

P

k=1

a_k. Wyrazy tak okre´slonego ci ˛agu (sn) nazywamy sumami cz˛e´sciowymi (ci ˛agu (a_n)).

Słuchacze pami˛etaj ˛a ze szkoły, w jaki sposób obliczano sumy cz˛e´sciowe ci ˛agu geometrycznego a_n= xⁿ⁻¹(gdzie x 6= 1). Poniewa˙z s_n= 1+x+x²+. . .+xⁿ⁻¹, wi˛ec (mno˙z ˛ac obie strony tego równania przez 1 − x) mamy: (1 − x) · sn= 1 − xⁿ, co daje znany ze szkoły wzór: sn= ^1−x_1−xⁿ.

Je˙zeli ci ˛ag (s_n) sum cz˛e´sciowych ci ˛agu (a_n) jest zbie˙zny do liczby s, t˛e liczb˛e nazywamy sum ˛aszeregu niesko´nczonego

∞

P

n=1

an. Mówimy wtedy, ˙ze szereg

∞

P

n=1

an

jest zbie˙zny do liczby s oraz piszemy

∞

P

n=1

an= s. Szeregi, które nie s ˛a zbie˙zne na- zywamy rozbie˙znymi.

Je´sli szereg

∞

P

n=1

an jest zbie˙zny, to lim

n→∞an = 0. Zauwa˙zmy jednak, ˙ze nie musi by´c na odwrót: szereg harmoniczny

∞

P

n=1 1

n jest rozbie˙zny (co udowodnili´smy na poprzednim wykładzie, rozwa˙zaj ˛ac Mrówk˛e na linie), chocia˙z ci ˛ag harmoniczny an= _n¹ jest zbie˙zny do 0.

Szereg

∞

P

n=1

a_nnazywamy:

1. bezwzgl˛ednie zbie˙znym, gdy

∞

P

n=1

|a_n| jest zbie˙zny.

2. bezwarunkowo zbie˙znym, gdy dla dowolnej permutacji zbioru liczb natural- nych (czyli bijekcji przyporz ˛adkowuj ˛acej ka˙zdej liczbie naturalnej n jak ˛a´s liczb˛e naturaln ˛a kn) szereg

∞

P

n=1

a_knjest zbie˙zny.

3. warunkowo zbie˙znym, gdy jest on zbie˙zny, ale nie jest bezwzgl˛ednie zbie˙zny.

Na szeregach liczbowych mo˙zna wykonywa´c operacje arytmetyczne. Jest to problematyka chyba zbyt skomplikowana na potrzeby tego usługowego kursu. Za- interesowani słuchacze, którzy nie zra˙zaj ˛a si˛e takimi trudno´sciami, zechc ˛a zajrze´c do ksi ˛a˙zki Musielak, Musielak 2004, gdzie na stronach 51–98 w przejrzysty sposób omówiono t˛e problematyk˛e.

Oprócz szeregów liczbowych rozwa˙za si˛e tak˙ze iloczyny niesko´nczone, okre´sla poj˛ecie ich zbie˙zno´sci, podaje stosowne kryteria zbie˙zno´sci, itd.

UWAGI.

1. Ka˙zdy szereg bezwzgl˛ednie zbie˙zny jest zbie˙zny.

2. Szereg jest bezwarunkowo zbie˙zny dokładnie wtedy, gdy jest bezwzgl˛ednie zbie˙zny.

3. Warunkowa zbie˙zno´s´c szeregu jest do´s´c słab ˛a własno´sci ˛a. Zachodzi mia- nowicie TWIERDZENIE RIEMANNA, które głosi, ˙ze je´sli szereg

∞

P

n=1

a_njest warunkowo zbie˙zny, za´s s jest całkiem dowoln ˛a liczb ˛a rzeczywist ˛a, to ist- nieje taka permutacja wska´zników wyrazów tego szeregu, ˙ze

∞

P

n=1

a_kn = s.

Tak wi˛ec, w szeregach jedynie warunkowo zbie˙znych mo˙zna tak poprzesta- wia´c ich wyrazy (zmieni´c kolejno´s´c sumowania wyrazów), ˙ze jako sum˛e

szeregu otrzyma´c mo˙zna całkiem dowoln ˛a liczb˛e rzeczywist ˛a (a nawet +∞

lub −∞).

4 Przestrzenie metryczne

Znamy ju˙z przykłady struktur porz ˛adkowych oraz algebraicznych. Teraz poznamy struktury, które zwi ˛azane s ˛a z poj˛eciem odległo´sci oraz z poj˛eciami wobec niego pochodnymi. Jak widzieli´smy przed chwil ˛a, poj˛ecie zbie˙zno´sci jest wła´snie jednym z tego typu poj˛e´c.

4.1 Przestrzenie euklidesowe

Przez (rzeczywist ˛a) przestrze´n euklidesow ˛an-wymiarow ˛arozumiemy par˛e (Rⁿ, d), gdzie Rⁿ jest zbiorem wszystkich n-tek uporz ˛adkowanych elementów zbioru R, za´s d jest funkcj ˛a d : Rⁿ× Rⁿ→ R, okre´slon ˛a wzorem:

d(x, y) = v u u t

n

X

i=1

(xi− y_i)²

dla dowolnych x = (x₁, x₂, . . . , x_n) oraz y = (y₁, y₂, . . . , y_n) nale˙z ˛acych do Rⁿ. Funkcj˛e d nazywamy metryk ˛a(funkcj ˛a odległo´sci). Zamiast terminu metryka u˙zywa si˛e te˙z terminu funkcja odległo´sci, opatruj ˛ac te terminy okre´sleniem eukli- desowa.

UWAGI.

1. Dla n = 1 odległo´s´c d wyra˙zamy przez warto´s´c bezwzgl˛edn ˛a: d(x, y) =

|x − y|.

2. Dla n = 2 odległo´s´c d punktów x = (x1, x2) oraz y = (y1, y2) wyra˙zamy przez wzór: d(x, y) =p(x₁− y₁)²+ (x₂− y₂)².

3. Słuchacze bez trudu zauwa˙zaj ˛a rol˛e twierdzenia Pitagorasa w definicji me- tryki euklidesowej.

4. Odległo´s´c w przestrzeniach euklidesowych spełnia warunki:

(a) d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y (b) d(x, y) = d(y, x) (warunek symetrii)

(c) d(x, y)6 d(x, z) + d(z, y) (warunek trójk ˛ata).

Zbie˙zno´s´c ci ˛agów punktów przestrzeni euklidesowej okre´slamy w terminach metryki tej przestrzeni. Mówimy mianowicie, ˙ze ci ˛ag punktów (x_n) o wyrazach nale˙z ˛acych do Rⁿjest zbie˙zny do punktu x ∈ Rⁿwtedy i tylko wtedy, gdy

n→∞lim d(xn, x) = 0.

W interpretacji geometrycznej zbie˙zno´s´c ci ˛agu punktów przestrzeni euklide- sowej wyrazi´c mo˙zemy w terminach otocze´n punktów w tej przestrzeni. Owe oto- czenia reprezentowane s ˛a przez kule otwarte. Mówimy mianowicie, ˙ze K(x, ε) jest kul ˛a otwart ˛a o ´srodkux oraz promieniu ε, gdy:

K(x, ε) = {y ∈ Rⁿ: d(x, y) < ε}.

Ci ˛ag (xn) o wyrazach nale˙z ˛acych do Rⁿ jest zbie˙zny do punktu x ∈ Rⁿ wtedy i tylko wtedy, gdy w ka˙zdym otoczeniu punktu x (czyli w ka˙zdej kuli otwartej o dowolnie małym promieniu) znajduj ˛a si˛e wszystkie wyrazy ci ˛agu (x_n) oprócz co najwy˙zej sko´nczonej ich liczby.

4.2 Przestrzenie metryczne

Par˛e (X, d) nazywamy przestrzeni ˛a metryczn ˛a(a d nazywamy metryk ˛aw X), gdy X jest dowolnym zbiorem niepustym, za´s d jest dwuargumentow ˛a funkcj ˛a okre-

´slon ˛a na X i przyjmuj ˛ac ˛a nieujemne warto´sci rzeczywiste tak ˛a, ˙ze:

1. d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y 2. d(x, y) = d(y, x) (warunek symetrii)

3. d(x, y)6 d(x, z) + d(z, y) (warunek trójk ˛ata).

Zamiast terminu metryka u˙zywa si˛e te˙z terminu funkcja odległo´sci.

PRZYKŁADY.

1. Metryka euklidesowa. Nietrudno sprawdzi´c rachunkiem, ˙ze przestrze´n eukli- desowa (Rⁿ, d), jest przestrzeni ˛a metryczn ˛a. Słuchacze s ˛a doskonale oswo- jeni z własno´sciami metrycznymi tej przestrzeni dla n od 1 do 3.

2. Metryka taksówkowa. W zbiorze Rⁿ okre´sli´c mo˙zna wiele funkcji odle- gło´sci ró˙znych od metryki euklidesowej. Przez metryk˛e taksówkow ˛a (me- tryk˛e Manhattan) rozumiemy funkcj˛e d okre´slon ˛a nast˛epuj ˛aco dla dowol- nych x = (x1, x2, . . . , xn) oraz y = (y1, y2, . . . , yn):

d(x, y) =

n

X

k=1

|x_k− y_k|.

Dla n = 2 mamy zatem: d(x, y) = |x1− y₁| + |x₂− y₂|. Metryka ta opisuje poruszanie si˛e w mie´scie z prostok ˛atn ˛a siatk ˛a ulic, prowadz ˛acych jedynie np. ze wschodu na zachód oraz z południa na północ, przy zało˙zeniu, ˙ze poruszamy si˛e, dbaj ˛ac o to, aby znale´z´c mo˙zliwie najkrótsz ˛a drog˛e mi˛edzy dwoma punktami. Zauwa˙zmy, ˙ze (inaczej ni˙z w przypadku metryki eukli- desowej) w tej metryce istnieje wiele dróg mi˛edzy dwoma punktami, które maj ˛a tak ˛a sam ˛a długo´s´c w sensie metryki. Kule w tej metryce wygl ˛adaj ˛a inaczej ni˙z kule w metryce euklidesowej – czy słuchacze potrafi ˛a wyobrazi´c sobie kule, wyznaczone t ˛a metryk ˛a?

3. Metryka Czebyszewa. Innym przykładem metryki w Rⁿ jest odległo´s´c Cze- byszewa(metryka maksimum), zdefiniowana dla dowolnych x = (x1, x₂, . . . , x_n) oraz y = (y1, y2, . . . , yn) wzorem:

d(x, y) = max

k∈{1,2,...,n}|x_k− y_k|.

Na płaszczy´znie metryka ta opisuje np. liczb˛e ruchów króla szachowego, które musi on wykona´c, aby przej´s´c z jednego pola szachownicy na inne. W tej metryce kule równie˙z wygl ˛adaj ˛a inaczej ni˙z kule w metryce euklidesowej – czy słuchacze potrafi ˛a wyobrazi´c sobie kule, wyznaczone t ˛a metryk ˛a?

4. Metryka trywialna. W ka˙zdym zbiorze mo˙zna okre´sli´c metryk˛e w do´s´c ba- nalny sposób: d(x, y) = 1, gdy x 6= y oraz d(x, y) = 0, gdy x = y. Tak rozumiana metryka nie dostarcza jednak ˙zadnej informacji na temat struk- tury zbioru, na którym jest okre´slona.

5. Praktycznym problemem jest ustalanie najkrótszej drogi, gdy poruszamy si˛e w terenie z ró˙znorakimi utrudnieniami (np. przedzielonym rzek ˛a, urozma- iconym górami) lub, powiedzmy, w labiryncie lub w sieci kolejowej. Opra- cowano wiele propozycji, opisuj ˛acych matematycznie takie sytuacje.

6. Funkcje odległo´sci wprowadza´c mo˙zna tak˙ze na zbiorach, których elementy maj ˛a zło˙zon ˛a struktur˛e (s ˛a np. ci ˛agami lub funkcjami). By´c mo˙ze, słuchacze spotkaj ˛a pó´zniej np. odległo´s´c Hamminga, okre´slon ˛a dla ci ˛agów.

7. W terminach wyj´sciowej metryki definiowa´c mo˙zna dalsze poj˛ecia metryczne, np. charakteryzowa´c odległo´s´c elementu od zbioru, lub odległo´s´c mi˛edzy zbiorami elementów.

8. Przestrzeniami metrycznymi s ˛a np.:

(a) Zbiór wszystkich rzeczywistych ci ˛agów zbie˙znych.

(b) Zbiór wszystkich rzeczywistych ci ˛agów ograniczonych.

(c) Zbiór wszystkich rzeczywistych ci ˛agów zbie˙znych do zera.

Metryk˛e w ka˙zdym z powy˙zszych przypadków okre´slamy tak samo dla do- wolnych ci ˛agów x = (x_n) oraz y = (y_n) z rozwa˙zanego zbioru:

d(x, y) = sup

n

|x_n− y_n|.

4.3 Zbiory w przestrzeniach metrycznych

Zbie˙zno´s´c ci ˛agów w dowolnej przestrzeni metrycznej (X, d) okre´slamy analogicz- nie, jak czynili´smy to dla przestrzeni euklidesowych. Mówimy mianowicie, ˙ze ci ˛ag punktów (x_n) przestrzeni metrycznej (X, d) jest zbie˙zny do punktu x ∈ X wtedy i tylko wtedy, gdy lim

n→∞d(x_n, x) = 0. Piszemy w takim przypadku lim

n→∞x_n= x.

Poj˛ecia kuli otwartej K(x, r) oraz kuli domkni˛etej K(x, r) (o ´srodku w punkcie x oraz promieniu r) definiujemy w naturalny sposób:

1. K(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r}

2. K(x, r) = {y ∈ X : d(x, y)6 r}.

Zbie˙zno´s´c ci ˛agów w przestrzeni metrycznej charakteryzowa´c mo˙zemy, jak w przypadku przestrzeni euklidesowej, poprzez otoczenia, czyli kule otwarte. Zach˛e- camy słuchaczy do samodzielnego sformułowania stosownego okre´slenia.

Granica zbie˙znego ci ˛agu elementów przestrzeni metrycznej jest wyznaczona jednoznacznie, czyli ci ˛ag w takiej przestrzeni nie mo˙ze by´c zbie˙zny do dwóch ró˙znych granic.

Zbiór A ⊆ X punktów przestrzeni metrycznej (X, d) jest ograniczony, gdy

„mie´sci si˛e w cało´sci w pewnej kuli”, czyli gdy istnieje kula K(x, r) taka, ˙ze A ⊆ K(x, r). W szczególno´sci, ci ˛ag (x_n) punktów przestrzeni metrycznej (X, d) jest ograniczony, gdy zbiór wszystkich jego wyrazów jest ograniczony. Łatwo wy- kaza´c, ˙ze ka˙zdy ci ˛ag zbie˙zny w przestrzeni metrycznej jest w niej ograniczony.

Mówimy, ˙ze ci ˛ag (x_n) punktów przestrzeni metrycznej (X, d) jest ci ˛agiem Cauchy’ego (spełnia warunek Cauchy’ego), gdy dla ka˙zdej liczby rzeczywistej ε > 0 istnieje liczba naturalna N taka, ˙ze dla wszystkich m > N oraz n > N zachodzi nierówno´s´c d(x_m, x_n) < ε. Tak wi˛ec, wyrazy ci ˛agów Cauchy’ego w przestrzeni metrycznej staj ˛a si˛e, od pewnego miejsca, dowolnie bliskie sobie (w sensie rozwa˙zanej metryki).

UWAGI.

1. Ka˙zdy ci ˛ag zbie˙zny spełnia warunek Cauchy’ego.

2. Ka˙zdy ci ˛ag Cauchy’ego jest ograniczony.

3. Ka˙zdy ci ˛ag Cauchy’ego, który zawiera podci ˛ag zbie˙zny do jakiego´s punktu te˙z jest zbie˙zny do tego punktu.

4. Nie w ka˙zdej przestrzeni metrycznej ci ˛ag Cauchy’ego musi by´c zbie˙zny.

Za przykład niech słu˙zy zbiór wszystkich liczb wymiernych, traktowany jako przestrze´n metryczna (z odległo´sci ˛a wyznaczon ˛a przez warto´s´c bez- wzgl˛edn ˛a). W tej przestrzeni istniej ˛a ci ˛agi o wyrazach wymiernych, speł- niaj ˛ace warunek Cauchy’ego, które nie maj ˛a granicy wymiernej: pomy´slmy np. o coraz dokładniejszych przybli˙zeniach wymiernych jakiej´s liczby nie- wymiernej(np.√

2 lub π).

Przestrze´n metryczna (X, d) jest zupełna, gdy ka˙zdy ci ˛ag Cauchy’ego elemen- tów tej przestrzeni jest zbie˙zny do elementu tej przestrzeni.

PRZYKŁADY.

1. Przestrze´n wszystkich liczb wymiernych (z metryk ˛a d(x, y) = |x − y|) nie jest zupełna.

2. Przestrzenie euklidesowe Rⁿs ˛a zupełne. Dla n = 1 wynika to bezpo´srednio z faktu, ˙ze R spełnia aksjomat ci ˛agło´sci. Dla pozostałych n dowód zupełno-

´sci Rⁿotrzymujemy z tego, ˙ze zbie˙zno´s´c i spełnianie warunku Cauchy’ego dla tych przestrzeni daje si˛e wyrazi´c przez zbie˙zno´s´c i spełnianie warunku Cauchy’ego dla ich „współrz˛ednych”, z których ka˙zda jest zbiorem R.

3. Czy twory geometryczne, takie jak prosta, płaszczyzna, przestrze´n trójwy- miarowas ˛a przestrzeniami zupełnymi? Odpowied´z jest twierdz ˛aca, gdy twory te reprezentujemy za pomoc ˛a struktur arytmetycznych:

(a) prosta: R (b) płaszczyzna: R²

(c) przestrze´n trójwymiarowa: R³.

Przy takiej reprezentacji, system geometrii (np. w aksjomatycznym opisie Hilberta) ma własno´s´c kategoryczno´sci: istnieje tylko jeden (z dokładno´sci ˛a do izomorfizmu) model tego systemu. Istotn ˛a rol˛e w dowodzie tego stwier- dzenia odgrywa aksjomat ci ˛agło´sci.

4. Dociekliwi słuchacze mog ˛a jednak odwa˙znie zapyta´c: czy aksjomat ci ˛agło-

´sci jest niezb˛edny do uprawiania geometrii? To ´swietne pytanie, mo˙ze ono wywoła´c istn ˛a lawin˛e dalszych wa˙znych pyta´n, dla przykładu nast˛epuj ˛acych

(które tylko anonsujemy, gdy˙z ich szersze komentowanie wykracza poza ramy tego kursu):

(a) ´Swiat monitora. Stworzenia (obrazki) poruszaj ˛ace si˛e na monitorach komputerowych składaj ˛a si˛e z pojedynczych pikseli. Jakkolwiek wielki i wyrafinowanie rozdzielczy byłby monitor, to liczba tych pikseli jest sko´nczona. Tak wi˛ec, geometria ´swiata przedstawianego na monitorze komputerowym obywa si˛e bez aksjomatu ci ˛agło´sci.

(b) Ci ˛agło´s´c a g˛esto´s´c. Czy do uprawiania geometrii wystarczy g˛esty zbiór punktów, np. zbiór wszystkich liczb wymiernych? A mo˙ze wystarczy uzupełni´c ten zbiór o wybrane liczby niewymierne, np. liczby alge- braiczne, m.in. aby upora´c si˛e z niewspółmierno´sci ˛a boku kwadratu jednostkowego i jego przek ˛atnej? Zach˛ecamy do refleksji.

(c) Przestrze´n fizyczna. Czy przestrze´n fizyczna jest ci ˛agła czy dyskretna?

Słuchacze zechc ˛a zauwa˙zy´c, ˙ze nie jest to pytanie matematyczne i uzy- skanie na nie odpowiedzi – o ile w ogóle byłoby mo˙zliwe – le˙zy poza domen ˛a matematyki. Czy poszukuj ˛ac coraz mniejszych składników materii dotrzemy w ko´ncu do najmniejszych takich składników? Czy mo˙zliwy jest dowód, ˙ze Wszech´swiat jest niesko´nczenie wielki?

(d) Przestrze´n percepcyjna. Jak ˛a geometri ˛a rz ˛adz ˛a si˛e nasze (oraz innych Stworze´n) reprezentacje ´swiata fizycznego? Ludzkie reprezentacje geo- metryczne zwi ˛azane s ˛a głównie ze wzrokiem oraz dotykiem. Wiele Stworze´n bazuje swoje reprezentacje np. na w˛echu. Słuchacze z pew- no´sci ˛a dyskutowa´c b˛ed ˛a znany problem nauk kognitywnych: Jak to jest by´c nietoperzem?

(e) Koszmar sennej pogoni i struktury niearchimedesowe. Przedstawiane s ˛a raporty ze snów, w których zdarza nam si˛e goni´c kogo´s, nie mo- g ˛ac go (jej) dogoni´c, mimo ˙ze biegniemy coraz szybciej. Zachowujemy si˛e wi˛ec w takim ´snie tak, jakby nie zachodził aksjomat Archimedesa, który gwarantuje, ˙ze dodaj ˛ac do siebie odpowiednio wiele razy do- woln ˛a wielko´s´c, przekroczymy zawsze inn ˛a, z góry podan ˛a wielko´s´c.

Czy˙zby´smy byli zdolni obcowa´c w snach z wielko´sciami niesko´ncze- nie małymioraz niesko´nczenie wielkimi? Słuchacze ewentualnie zain- teresowani tym problemem zechc ˛a samodzielnie znale´z´c informacje na temat liczb hiperrzeczywistych.

(f) Które metryki s ˛a „naturalne”?Odległo´s´c mi˛edzy liczbami rzeczywi- stymi okre´slali´smy w terminach warto´sci bezwzgl˛ednej. Czy jaka´s inna funkcja liczbowa mogłaby równie dobrze opisywa´c – jako´s rozumian ˛a

– odległo´s´c mi˛edzy punktami przestrzeni? Czy rozs ˛adne mo˙ze by´c trak- towanie jako bliskich tych liczb, powiedzmy, naturalnych, które s ˛a po- dobnie zbudowane: np. s ˛a podzielne przez pot˛eg˛e jakiej´s liczby pierw- szej? Słuchacze ewentualnie zainteresowani tym problemem zechc ˛a sa- modzielnie znale´z´c informacje na temat liczb p-adycznych.

(g) Powierzchnia sfery. Sfera (dwuwymiarowa) jest „zanurzona” w prze- strzeni euklidesowej R³, jest jej podprzestrzeni ˛a. Mo˙zemy wi˛ec wy- korzysta´c własno´sci metryczne R³ w opisie sfery. Wyobra´zmy sobie jednak ow ˛a sfer˛e jako twór sam w sobie: pomy´slmy o mieszka´ncach ta- kiego Wszech´swiata, który jest sfer ˛a. Czy mieszka´ncy takiego Wszech-

´swiata (kleksy ˙zyj ˛ace na sferze, inteligentne, a jak˙ze) maj ˛a mo˙zliwo´s´c przekonania si˛e, ˙ze ich Wszech´swiat ma struktur˛e sfery? Czy mog ˛a ustali´c, ˙ze ten Wszech´swiat nie ma granic, ale jest ograniczony? Albo:

czy mog ˛a ustali´c, ˙ze ich Wszech´swiat jest wsz˛edzie tak samo „wypu- kły”? Słuchacze ewentualnie zainteresowani tymi problemami zechc ˛a samodzielnie znale´z´c informacje na temat np.: geometrii eliptycznej, sfery Riemanna, krzywizny Gaussa, itd.

(h) Przestrzenie z „dziurami”. Podobne pytania zada´c mo˙zna dla całego szeregu innego rodzaju przestrzeni, np. torusa, precelka, sfery z wie- loma „r ˛aczkami”, itd. Czy mo˙zna w jaki´s naturalny sposób poklasy- fikowa´ctakie przestrzenie? Czy mieszka´ncy takich przestrzeni mog ˛a jako´s – np. odbywaj ˛ac podró˙ze, albo dokonuj ˛ac obserwacji – ustali´c ich struktur˛e? Słuchacze ewentualnie zainteresowani tymi problemami zechc ˛a samodzielnie znale´z´c informacje na temat topologii algebraicz- nej.

(i) Przestrzenie „zap˛etlone”. Nie tylko marynarze potrafi ˛a stwierdzi´c, ˙ze okr ˛ag ró˙zni si˛e, zarówno kształtem, jak i poło˙zeniem w przestrzeni od solidnie zasupłanego w˛ezła. Jak ró˙zni ˛a si˛e od siebie w˛ezły? Czy mo˙zna poklasyfikowa´c w˛ezły? Ile jest mo˙zliwo´sci zaplatania warkoczy? Słu- chacze ewentualnie zainteresowani tymi problemami zechc ˛a samodziel- nie znale´z´c informacje na temat teorii w˛ezłów.

(j) Metryka a najkrótsza droga. Widzieli´smy – na przykładzie metryki tak- sówkowej – ˙ze w pewnych przestrzeniach metrycznych mi˛edzy dowol- nymi dwoma punktami mo˙ze istnie´c wiele dróg o tej samej długo´sci.

Pami˛etamy te˙z, ˙ze na płaszczy´znie najkrótsza (w metryce euklideso- wej) droga mi˛edzy dwoma punktami wyznaczona jest przez długo´s´c odcinka, którego ko´ncami s ˛a te punkty. Wła´sciciele linii lotniczych nie maj ˛a te˙z kłopotów (oprócz, oczywi´scie, utrudnie´n natury politycz- nej) z ustalaniem najkrótszej drogi ł ˛acz ˛acej dwa lotniska na kuli ziem-

skiej, traktowanej jako – w przybli˙zeniu – sfera dwuwymiarowa. Te fakty skłaniaj ˛a do ró˙znorakich refleksji: czym jest linia prosta? (w da- nej przestrzeni), czym jest najkrótsza droga? (w danej przestrzeni), czy metryka przestrzeni mo˙ze by´c lokalnie inna w poszczególnych jej punk- tach?itp. Słuchacze ewentualnie zainteresowani tymi problemami ze- chc ˛a samodzielnie znale´z´c informacje na temat geodetyk, rozmaito´sci riemannowskich, geometrii ró˙zniczkowej, itd.

(k) Czy przestrzenie musz ˛a by´c zbiorami punktów?Rozwa˙zane w systemie geometrii Euklidesa punkty, proste i płaszczyzny s ˛a tworami wysoce abstrakcyjnymi. Czy mo˙zliwe jest oparcie rozwa˙za´n geometrycznych i topologicznych na kolektywnym rozumieniu poj˛ecia zbioru, czyli trak- towaniu zbiorów jako pewnych cało´sci, zło˙zonych z cz˛e´sci, a nie dys- trybutywnie– jak czynimy to w teorii mnogo´sci – jako cało´sci, zło˙zo- nych z elementów? Czy mo˙zna np. wyj´s´c od poj˛ecia obszaru, traktuj ˛ac punktyjako obiekty graniczne ci ˛agów obszarów zst˛epuj ˛acych? Słucha- cze ewentualnie zainteresowani tymi problemami zechc ˛a samodzielnie znale´z´c informacje na temat mereotopologii.

Wielce ˙załujemy, ˙ze ograniczone ramy czasowe tego kursu i jego usługowy jedynie charakter zmuszaj ˛a nas do milczenia na te frapuj ˛ace tematy. Zdajemy sobie oczywi´scie spraw˛e, ˙ze podane wy˙zej przykładowe pytania sformuło- wane były w sposób do´s´c naiwny.

Ka˙zda liczba rzeczywista jest granic ˛a ci ˛agu liczb wymiernych. Ka˙zdy punkt w przestrzeni euklidesowej Rⁿtak˙ze jest granic ˛a ci ˛agu punktów o wszystkich współ- rz˛ednych wymiernych. Tak wi˛ec liczby wymierne s ˛a w bardzo szczególny sposób

„usytuowane” w zbiorze liczb rzeczywistych. Nasuwa to pomysł rozwa˙zenia od- powiedników tej sytuacji w dowolnych przestrzeniach metrycznych.

Mówimy, ˙ze zbiór A jest g˛esty w przestrzeni metrycznej (X, d), gdy ka˙zdy punkt zbioru X jest granic ˛a zbie˙znego ci ˛agu punktów (xn) nale˙z ˛acych do zbioru A. Przestrze´n metryczn ˛a (X, d) nazywamy o´srodkow ˛a, gdy istnieje w niej co naj- wy˙zej przeliczalny zbiór g˛esty (nazywany wtedy o´srodkiem tej przestrzeni).

W my´sl tej definicji ka˙zda przestrze´n euklidesowa Rⁿjest o´srodkowa, a o´srod- kiem jest w tym przypadku zbiór Qⁿ. Przestrze´n wszystkich ci ˛agów rzeczywistych zbie˙znych z metryk ˛a podan ˛a wy˙zej dla tej przestrzeni nie jest o´srodkowa.

Słuchacze s ˛a dobrze oswojeni z poj˛eciami: przedziału otwartego oraz domkni˛e- tego zbioru liczb rzeczywistych. Maj ˛a te˙z zapewne dobre intuicje geometryczne, dotycz ˛ace tego, co to znaczy, ˙ze jaki´s punkt znajduje si˛e we wn˛etrzu danej figury lub na jej brzegu. Z tymi intuicjami zwi ˛azane s ˛a m.in. nast˛epuj ˛ace poj˛ecia.

1. Punkt x nazywamy punktem wewn˛etrznym zbioru A w przestrzeni metrycz- nej (X, d) gdy istnieje liczba rzeczywista r > 0 taka, ˙ze K(x, r) ⊆ A. Zbiór wszystkich punktów wewn˛etrznych zbioru A oznaczamy przez int(A) i na- zywamy wn˛etrzem zbioru A.

2. Punkt x nazywamy punktem skupienia zbioru A w przestrzeni metrycznej (X, d), gdy x jest granic ˛a co najmniej jednego ci ˛agu (xn) ró˙znych od x punktów przestrzeni (X, d). Te punkty zbioru A, które nie s ˛a jego punktami skupienia nazywamy punktami izolowanymi zbioru A.

3. Te zbiory A, które s ˛a równe swojemu wn˛etrzu, nazywamy zbiorami otwar- tymi. Tak wi˛ec, zbiór otwarty składa si˛e z samych punktów wewn˛etrznych.

4. Te zbiory A, które zawieraj ˛a wszystkie swoje punkty skupienia, nazywamy zbiorami domkni˛etymi.

5. Domkni˛eciem zbioru A nazywamy sum˛e zbioru A oraz zbioru wszystkich jego punktów skupienia. Domkni˛ecie A oznaczamy przez cl(A). Innym cz˛e- sto u˙zywanym oznaczeniem domkni˛ecia zbioru A jest A.

6. Brzegiem zbioru A nazywamy zbiór cl(A) − int(A). Brzeg zbioru A ozna- czamy zwykle przez f r(A).

Mo˙ze warto w tym momencie wspomnie´c, ˙ze powy˙zsze poj˛ecia wprowadzi´c mo˙zna nie tylko dla przestrzeni metrycznych (w szczególno´sci: euklidesowych), ale tak˙ze dla całkiem ogólnych przestrzeni topologicznych, w których blisko´s´c, otoczenie i podobne poj˛ecia scharakteryzowane s ˛a stosownymi warunkami, nie- koniecznie odwołuj ˛acymi si˛e do metryki. Takie ogólne przestrzenie okre´sla si˛e na ró˙zne sposoby, np. definiuj ˛ac rodziny otocze´n dla ka˙zdego punktu, albo rozwa˙zaj ˛ac operator domkni˛ecia (lub alternatywnie, operator wn˛etrza), spełniaj ˛acy stosowne warunki formalne. Przechodz ˛ac na tego rodzaju wy˙zszy stopie´n ogólno´sci uzy- skujemy niesłychane bogactwo zastosowa´n rozwa˙zanych poj˛e´c topologicznych, co po´swiadcza historia matematyki ostatniego stulecia.

PRZYKŁADY.

1. Punktami wewn˛etrznymi przedziału [a, b] w zbiorze liczb rzeczywistych s ˛a wszystkie punkty przedziału otwartego (a, b).

2. Punktami wewn˛etrznymi przedziału (a, b) w zbiorze liczb rzeczywistych s ˛a wszystkie punkty tego przedziału.

3. Mamy oczywi´scie: cl((a, b)) = [a, b] oraz cl([a, b]) = [a, b].

4. Ponadto: int([a, b]) = (a, b) oraz int((a, b)) = (a, b).

5. Mamy równie˙z: f r((a, b)) = f r([a, b]) = {a, b}.

6. Ka˙zda kula otwarta w przestrzeni metrycznej (X, d) jest zbiorem otwartym w tej przestrzeni.

7. Ka˙zda kula domkni˛eta w przestrzeni metrycznej (X, d) jest zbiorem do- mkni˛etym w tej przestrzeni.

8. Rozwa˙zmy zbiór {_n¹ : n ∈ N} jako podzbiór przestrzeni metrycznej (eukli- desowej) R. Jego (jedynym) punktem skupienia jest 0. Zauwa˙zmy, ˙ze 0 nie jest elementem tego zbioru. Wszystkie punkty rozwa˙zanego zbioru s ˛a jego punktami izolowanymi.

9. Ka˙zda liczba rzeczywista jest punktem skupienia zbioru R.

10. Ka˙zda liczba rzeczywista jest punktem skupienia zbioru wszystkich liczb wymiernych.

11. Zauwa˙zmy, ˙ze ka˙zdy przedział (−_n¹,¹_n) jest zbiorem otwartym w przestrzeni euklidesowej R. Iloczyn tych wszystkich przedziałów to zbiór jednoelemen- towy {0}, który nie jest zbiorem otwartym w R.

12. Zauwa˙zmy, ˙ze ka˙zdy przedział [_n¹, 1] jest zbiorem domkni˛etym w przestrzeni euklidesowej R. Suma tych wszystkich przedziałów to przedział (0, 1], który nie jest zbiorem domkni˛etym w R.

Wspomnimy jeszcze o wybranych własno´sciach zbiorów otwartych i domkni˛e- tych, które dotycz ˛a przestrzeni metrycznych (a wi˛ec w szczególno´sci, przestrzeni euklidesowych), ale które przysługuj ˛a te˙z takim zbiorom w całkiem ogólnych prze- strzeniach topologicznych:

1. Zbiór pusty ∅ oraz cała przestrze´n X s ˛a zbiorami jednocze´snie otwartymi i domkni˛etymi w przestrzeni metrycznej (X, d).

2. Dowolny zbiór sko´nczony jest domkni˛ety w ka˙zdej przestrzeni metrycznej (X, d).

3. Dopełnienie X − A zbioru otwartego A w przestrzeni metrycznej (X, d) jest zbiorem domkni˛etym w tej przestrzeni.

4. Dopełnienie X − A zbioru domkni˛etego A w przestrzeni metrycznej (X, d) jest zbiorem otwartym w tej przestrzeni.

5. Suma dowolnej rodziny zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (X, d) jest zbiorem otwartym w tej przestrzeni.

6. Przekrój sko´nczonej liczby zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (X, d) jest zbiorem otwartym w tej przestrzeni.

7. Iloczyn dowolnej rodziny zbiorów domkni˛etych w przestrzeni metrycznej (X, d) jest zbiorem domkni˛etym w tej przestrzeni.

8. Suma sko´nczonej liczby zbiorów domkni˛etych w przestrzeni metrycznej (X, d) jest zbiorem domkni˛etym w tej przestrzeni.

4.4 Zwarto´s´c i spójno´s´c

Te dwie własno´sci zbiorów maj ˛a do´s´c intuicyjn ˛a interpretacj˛e, zarówno w przy- padku przestrzeni metrycznych (a wi˛ec w szczególno´sci, przestrzeni euklideso- wych), jak te˙z w przypadku ogólniejszych przestrzeni. Dla słuchaczy tego kursu wystarczy ich rozumienie w omawianym tu przypadku przestrzeni metrycznych.

Zbiór A w przestrzeni metrycznej (X, d) nazywamy zwartym, gdy ka˙zdy ci ˛ag (x_n) jego punktów zawiera podci ˛ag zbie˙zny do pewnego punktu x ∈ A. Tak wi˛ec, zbiór A nie jest zwarty w (X, d), gdy istnieje co najmniej jeden ci ˛ag jego elemen- tów, który nie ma ˙zadnego punktu skupienia nale˙z ˛acego do A.

Przestrze´n metryczn ˛a (X, d) nazywamy zwart ˛a, gdy cały zbiór X jest zwarty w tej przestrzeni.

PRZYKŁADY.

1. Ka˙zdy przedział domkni˛ety w przestrzeni euklidesowej R jest zwarty.

2. Ka˙zdy zbiór sko´nczony jest zwarty w dowolnej przestrzeni metrycznej.

3. Zbiór R nie jest zwarty w przestrzeni euklidesowej R. Dla przykładu, ci ˛ag an= n nie zawiera ˙zadnego podci ˛agu zbie˙znego do jakiej´s liczby rzeczywi- stej. Tak wi˛ec, przestrze´n euklidesowa R nie jest zwarta.

4. Zbiór wszystkich ci ˛agów maj ˛acych dokładnie jeden wyraz równy 1, a wszyst- kie pozostałe wyrazy równe 0 nie jest zwarty w przestrzeni metrycznej wszyst- kich ci ˛agów zbie˙znych do zera (z metryk ˛a okre´slon ˛a w stosownym punkcie powy˙zej).

Wspomniane wcze´sniej twierdzenie Bolzano-Weierstrassa ma nast˛epuj ˛ac ˛a wer- sj˛e w odniesieniu do przestrzeni euklidesowych Rⁿ:

Je˙zeli zbiór A ⊆ Rⁿ jest ograniczony i domkni˛ety, to ka˙zdy ci ˛ag (x_n) punktów tego zbioru zawiera podci ˛ag (x_mn) zbie˙zny do jakie- go´s punktu zbioru A.

Dowód tego twierdzenia znajd ˛a zainteresowani słuchacze np. w podr˛eczniku Musielak, Musielak 2004 (strona 109).

Własno´s´c zwarto´sci w przestrzeniach metrycznych charakteryzowa´c mo˙zna z wykorzystaniem poj˛ecia pokrycia zbioru. Mówimy, ˙ze rodzina A zbiorów otwar- tych w przestrzeni metrycznej (X, d) jest pokryciem zbioru A, gdy A ⊆ S A.

Zachodzi nast˛epuj ˛ace twierdzenie, którego dowód znajd ˛a zainteresowani słucha- cze np. w podr˛eczniku Musielak, Musielak 2004 (strona 112):

TWIERDZENIE BORELA. Ka˙zde pokrycie zbioru zwartego A w przestrzeni me- trycznej(X, d) zawiera podpokrycie sko´nczone zbioru A, czyli pokrycie zbioru A sko´nczon ˛a rodzin ˛a zbiorów nale˙z ˛acych do wyj´sciowego pokrycia.

Dla dowolnych przestrzeni metrycznych (a wi˛ec nie tylko euklidesowych) za- chodzi te˙z nast˛epuj ˛ace twierdzenie:

TWIERDZENIE. Ka˙zdy zbiór zwarty w przestrzeni metrycznej (X, d) jest domkni˛ety i ograniczony w tej przestrzeni.

SZKIC DOWODU. Niech A b˛edzie zbiorem zwartym w przestrzeni metrycznej (X, d). Trzeba pokaza´c, ˙ze A jest: 1) domkni˛ety oraz 2) ograniczony.

1. We´zmy dowolny ci ˛ag (xn) elementów zbioru A, który jest zbie˙zny do ele- mentu x ∈ X. Aby udowodni´c, ˙ze A jest domkni˛ety, trzeba pokaza´c, ˙ze x ∈ A. Na mocy zwarto´sci A, ci ˛ag (xn) zawiera podci ˛ag (xmn) zbie˙zny do jakiego´s y ∈ A. Z definicji zbie˙zno´sci ci ˛agu w przestrzeni metrycznej musi zachodzi´c lim

n→∞x_mn = x. Poniewa˙z ci ˛ag nie mo˙ze by´c zbie˙zny do dwóch ró˙znych granic, wi˛ec x = y, a w konsekwencji x ∈ A.

2. Rozumujemy nie wprost. Przypu´s´cmy, ˙ze A nie jest ograniczony. Oznacza to, ˙ze w A mo˙zna wybra´c ci ˛ag punktów tak, ˙ze odległo´s´c mi˛edzy dowolnymi dwoma wyrazami tego ci ˛agu jest niemniejsza od 1. Wtedy jednak ˙zaden pod- ci ˛ag takiego ci ˛agu nie mo˙ze spełnia´c warunku Cauchy’ego, a zatem zbiór A nie jest zwarty, co daje sprzeczno´s´c z zało˙zeniem twierdzenia i ko´nczy do- wód nie wprost.

Na mocy powy˙zszych faktów otrzymujemy bardzo wa˙zn ˛a charakterystyk˛e zbio- rów zwartych w przestrzeniach euklidesowych:

ZbiórA ⊆ Rⁿ jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domkni˛ety i ograniczony.