1 Elementy logiki, klasyczny rachunek zda«
1. Okre±l warto±¢ logiczn¡ poni»szych zda« dla wszystkich mo»liwych warto±ciowa« zmien-nych zdaniowych.
(a) ∼p ⇒ p ; (b) (p ⇔ q) ∨ p ; (c) (p ∨ ∼q) ∧ p ; (d) ∼(p ∨ ∼q) ⇒ r . 2. Okre±l warto±¢ logiczn¡ zda«:
(a) Je±li 2 + 2 = 4, to 2 + 4 = 8. (b) Je±li 2 + 2 = 4, to 2 + 4 = 6. (c) Je±li 2 + 2 = 5, to 2 + 4 = 8. (d) Je±li 2 + 2 = 5, to 2 + 4 = 6.
3. Zaªó»my, ze kto± stwierdza: Kocham Barbar¦ lub Joann¦ oraz Je±li kocham Barbar¦, to kocham Joann¦. Czy wynika z tego, ze kocha Joann¦?
4. Zaªó»my, ze kto± zapytany, czy z tego, ze kocha Barbar¦ wynika, ze kocha Joann¦, odpowiada: Je±li to prawda, to kocham Barbar¦. Czy wynika z tego, ze kocha Barbar¦? Czy wynika z tego, ze kocha Joann¦?
5. Co mo»na wywnioskowa¢ z nast¦puj¡cych zda«:
(a) Adam zna co najmniej jeden spo±ród j¦zyków: angielski, niemiecki i rosyjski. (b) Je±li zna angielski, lecz nie zna niemieckiego, to zna rosyjski.
(c) Zna jednocze±nie niemiecki i rosyjski albo nie zna »adnego z nich. (d) Je±li zna niemiecki, to zna równie» angielski.
6. Wyka», »e poni»sze zdania s¡ tautologiami.
(a) p ∨ ∼p ; (b) ∼(p ∧ ∼p) ; (c) (∼p ⇒ 0) ⇒ p ;
(d) (p ∧ q) ⇒ p ; (e) p ⇒ (p ∨ q) ; (f) [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) ; (g) ∼(p ∨ q) ⇔ (∼p ∧ ∼q) ; (h) ∼(p ∧ q) ⇔ (∼p ∨ ∼q) ;
(i) [p ∧ (q ∨ r)] ⇔ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)]; (j) [p ∨ (q ∧ r)] ⇔ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)]. 7. Zbadaj metod¡ nie wprost, czy poni»sze zdania s¡ tautologiami.
(a) ((p ∨ q)∧ ∼p) ⇒ q ; (b) ∼(p ∧ q) ⇒ p ;
(c) p ⇒ (∼p ∨ q) ; (d) ((p ∨ q) ∧ (p ⇒ q)) ⇒ (r ⇒ q) ; (e) ∼((p ⇒ q) ∧ (q∧ ∼p)) ; (f) (p ⇒ q) ⇔ (∼q ⇒∼p) .
8. Znajd¹ zdania, w których wyst¦puj¡ tylko operatory ∼ i ∨, logicznie równowa»ne nast¦pu-j¡cym:
(a) p ⇒ q ; (b) p ∧ q ; (c) p ⇔ q ; (d) (p ∧ q) ⇒ (∼q ∧ r) .
9. Wykorzystuj¡c znane tautologie (np. z poprzednich zada«) oraz stosuj¡c zasady podsta-wiania, uzasadnij, »e poni»sze zdania s¡ tautologiami.
(a) ∼((a ⇒ (b ∨ c)) ∧ ∼(a ⇒ (b ∨ c))) ; (b) [(∼(a ∨ b) ∨ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ ((a ∨ b) ⇒ r) ;
(c) [(x ∨ (y ⇔ z)) ∨ ∼(∼q∨ ∼r)] ⇔ ∼[∼((x ∨ (y ⇔ z)) ∨ q)∨ ∼((x ∨ (y ⇔ z)) ∨ r)] . 10. Dla jakich warto±ci n wyra»enie (. . . (((p ⇒ p) ⇒ p) ⇒ p) . . .) ⇒ p, w którym p wyst¦puje
2 11. Okre±lamy dwuargumentowy operator logiczny ⊕ przy pomocy tabelki:
p q p ⊕ q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Wyka», »e: (a) p ⊕ q ⇔ ∼(p ⇔ q) ; (b) (p ⊕ (q ⇒ r)) ⇒ ((p ⊕ q) ⇒ (p ⊕ r)) ; (c) p ⊕ (q ⊕ r) ⇔ (p ⊕ q) ⊕ r .
Operator ten nazywamy alternatyw¡ wykluczaj¡c¡ (ozn. te» XOR).
12. Zde niuj alternatyw¦ przy pomocy: (a) koniunkcji i negacji; (b) implikacji i negacji. 13. Wyka», »e ka»dy jednoargumentowy operator logiczny mo»na zde niowa¢ przy pomocy
operatorów ∼ i ∨.
14. Wyka», »e nie mo»na zde niowa¢ implikacji za pomoc¡ alternatywy i koniunkcji. 15. Okre±lamy dwuargumentowy operator logiczny | przy pomocy tabelki:
p q p | q 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Wyka», »e: (a) p | q ⇔ ∼(p ∧ q) ; (b) ∼p ⇔ p | p ; (c) p ∨ q ⇔ (p | p) | (q | q) .
Operator ten nazywamy dysjunkcj¡ (in. kresk¡ Sheera, niewspóªzachodzeniem, ozn. te» NAND).
16. (a) Wyka», »e wszystkie zdania logiczne zbudowane z pomoc¡ operatorów ∼, ∨, ∧, ⇒, ⇔ i ⊕ mo»na zapisa¢ u»ywaj¡c wyª¡cznie dysjunkcji.
(b) Znajd¹ inny operator dwuargumentowy o takim charakterze uniwersalno±ci jak dys-junkcja.
17. Uzasadnij nast¦puj¡ce reguªy dowodzenia: (a) p ⇒ q, p q ; (b) p ∨ q, ∼ p q ; (c) ∼ q ⇒∼ p, p q ; (d) p ⇔ q p ⇒ q; (e) p ⇒ ∼ p∼ p ; (f) p p ∨ q; (g) p ∧ q p ; (h) p ⇒ q, q ⇒ p p ⇔ q .
18. Wykorzystuj¡c co najwy»ej trzy reguªy dowodzenia, udowodnij nast¦puj¡ce twierdzenie: Zaªo»enia: (1) Je»eli A lub B, to C. (2) A i B.
Teza: C.
19. Oto (podany przez Euklidesa) dowód niesko«czono±ci zbioru liczb pierwszych.
Przypu±¢my, »e istnieje tylko sko«czenie wiele liczb pierwszych. Mo»emy je wi¦c wszystkie kolejno wypisa¢: p1 = 2 < p2 = 3 < p3 = 5 < p4= 7 < p5= 11 < . . . < pn−1< pn.
Utwórzmy liczb¦ q := p1 · p2· . . . · pn+ 1. Wówczas q > pn> 1 nie dzieli si¦ przez »adn¡
z liczb p1, . . . , pn. W takim razie q jest pierwsze.
Ale ci¡g p1 < . . . < pn zawieraª wszystkie liczby pierwsze. Nasze przypuszczenie, ze liczb
pierwszych jest sko«czenie wiele doprowadziªo nas do sprzeczno±ci. Zatem liczb pierwszych jest niesko«czenie wiele.
(a) Opisz logiczn¡ struktur¦ dowodu.
(b) Stosuj¡c podobne rozumowanie wyka», »e istniej¡ pewne dwie liczby pierwsze, które maja takich samych sze±¢ ostatnich cyfr rozwini¦cia dziesi¦tnego.
