Metoda Sił

(1)

Rysowanie wykresów sił wewnętrznych

w ramach statycznie niewyznaczalnych

(2)

Zadanie: Narysuj wykresy sił N, T, M. Zadanie rozwiąż metodą sił.

q =6kN/m P=20kN M =24kNm EJ EJ EJ _EJ 2 4 2 2 dr in_ż. Hanna Weber

(3)

Określenie stopnia statycznej niewyznaczalności : q =6kN/m P=20kN M =24kNm EJ EJ EJ _EJ 2 4 2 2

2

3

1

6

3 =

−

=

−

=

_r _P s

l

(4)

Schemat podstawowy statycznie wyznaczalny:

X1

X2

(5)

Wykres X1=1 X =11 2 4 4 1 2 2 4 4 2 2 2 M₁

(6)

Wykres X2=1 X =12 2 4 4 1 1/4 1/4 2 4 4 1 M₂ 1

(7)

Wykres od obciążenia zewnętrznego: 2 4 4 12 M₀ 12 24 100 36 12 48 48 [kNm] q =6kN/m P=20kN M =24kNm 4 2 2 2 H =18kN_B B C A H =38kN 4 A V =36kN A A M =100kNm

(8)

Całkowanie wykresów: 2 4 4 1 M₂ 1 2 4 4 12 M₀ 12 24 100 36 12 48 48 [kNm] 2 4 4 2 2 2 M₁ EI EI 3 56 2 4 2 2 3 2 2 2 2 1 1 11  =      ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = δ 21 12 4 1 2 1 4 2 1 δ δ  = − =      ⋅ ⋅ ⋅ − = EI EI EI EI 3 8 1 3 2 4 1 2 1 1 3 2 4 1 2 1 1 22  =      ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = δ dr in_ż. Hanna Weber

(9)

Całkowanie wykresów: 2 4 4 1 M₂ 1 1/2 2 4 4 12 M₀ 12 24 100 36 12 48 48 [kNm] 2 4 4 2 2 2 M₁ 2 EI EI EI EI 260 2 24 2 100 2 2 1 2 12 2 24 2 2 1 2 2 1 2 8 2 6 3 2 2 3 2 2 12 2 1 1 2 10 =       + ⋅ ⋅ +       − ⋅ ⋅ +       ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = δ dr in_ż. Hanna Weber

(10)

Całkowanie wykresów: 2 4 2 1 M₂ 1 1/2 _1/2 2 2 4 2 12 M₀ 12 24 100 36 12 48 48 [kNm] 2 2 4 4 2 2 2 M₁ 2 EI EI EI EI EI 3 208 1 3 1 2 1 3 2 2 36 2 1 1 48 3 1 12 3 2 2 2 1 2 1 1 24 3 1 100 3 2 2 1 2 1 1 100 3 1 24 3 2 2 2 1 2 1 24 3 2 12 3 1 2 2 1 2 1 1 20 − =       ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +       ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +       ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −             ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −       ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = δ dr in_ż. Hanna Weber

(11)

Układ równań kanonicznych metody sił dla schematu dwukrotnie statycznie

niewyznaczalnego:    = + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅ 0 0 20 2 22 1 21 10 2 12 1 11 δ δ δ δ δ δ X X X X kNm X kN X EI X EI X EI EI X EI X EI 52 , 7 32 , 12 0 3 208 3 8 4 0 260 4 3 56 2 1 2 1 2 1 = − = ↓       = − ⋅ + ⋅ − = + ⋅ − ⋅ dr in_ż. Hanna Weber

(12)

Tworzenie ostatecznego wykresu momentów: 2 4 4 1 M₂ 1 1/2 2 4 4 12 M₀ 12 100 36 12 48 48 [kNm] 24 2 4 4 2 2 2 M₁ 2 36,64 36,64 4,4 67,84 48 48 15,76 39,76 7,52 M [kNm] 0 2 2 1 1 i i i i M X M X M M = ⋅ + ⋅ +

(13)

36,64 36,64 4,4 67,84 48 48 15,76 39,76 7,52 M [kNm] q =6kN/m P=20kN M =24kNm 2 4 2 2 36,64 36,64 48 48 7,52 67,84 36,64 36,64 48 48

(14)

q =6kN/m P=20kN M =24kNm 2 4 2 2 36,64 36,64 48 48 7,52 67,84 36,64 36,64 48 48 12,32 24,32 24 36,12 16,12 16,12 16,12 dr in_ż. Hanna Weber

(15)

q =6kN/m P=20kN M =24kNm 2 4 2 2 36,64 36,64 48 48 7,52 67,84 36,64 36,64 48 48 12,32 24,32 24 36,12 16,12 16,12 16,12 24,32 ₂₄ dr in_ż. Hanna Weber

(16)

q =6kN/m P=20kN M =24kNm 2 4 2 2 36,64 36,64 48 48 7,52 67,84 36,64 36,64 48 48 12,32 24,32 24 36,12 16,12 16,12 16,12 24,32 ₂₄ 48,32 dr in_ż. Hanna Weber

(17)

q =6kN/m P=20kN M =24kNm 2 4 2 2 36,64 36,64 48 48 7,52 67,84 36,64 36,64 48 48 12,32 24,32 24 36,12 16,12 16,12 16,12 24,32 ₂₄ 48,32 48,32 dr in_ż. Hanna Weber

(18)

q =6kN/m P=20kN M =24kNm 2 4 2 2 36,64 36,64 48 48 7,52 67,84 36,64 36,64 48 48 12,32 24,32 24 36,12 16,12 16,12 16,12 24,32 ₂₄ 48,32 48,32 48,32 dr in_ż. Hanna Weber

(19)

q =6kN/m P=20kN M =24kNm 2 4 2 2 36,64 36,64 48 48 7,52 67,84 36,64 36,64 48 48 12,32 24,32 24 36,12 16,12 16,12 16,12 24,32 ₂₄ 48,32 48,32 48,32 dr in_ż. Hanna Weber

(20)

q =6kN/m P=20kN M =24kNm 2 4 2 2 36,64 36,64 48 48 7,52 67,84 36,64 36,64 48 48 12,32 24,32 24 36,12 16,12 16,12 16,12 24,32 ₂₄ 48,32 48,32 48,32 16,12 dr in_ż. Hanna Weber

(21)

q =6kN/m P=20kN M =24kNm 2 4 2 2 36,64 36,64 48 48 7,52 67,84 36,64 36,64 48 48 12,32 24,32 24 36,12 16,12 16,12 16,12 24,32 ₂₄ 48,32 48,32 48,32 16,12 dr in_ż. Hanna Weber

(22)

q =6kN/m P=20kN M =24kNm 2 4 2 2 36,64 36,64 48 48 7,52 67,84 36,64 36,64 48 48 12,32 24,32 24 36,12 16,12 16,12 16,12 24,32 ₂₄ 48,32 48,32 48,32 16,12 16,12 dr in_ż. Hanna Weber

(23)

q =6kN/m P=20kN M =24kNm 2 4 2 2 36,64 36,64 48 48 7,52 67,84 36,64 36,64 48 48 12,32 24,32 24 36,12 16,12 16,12 16,12 24,32 ₂₄ 48,32 48,32 48,32 16,12 16,12 16,12 dr in_ż. Hanna Weber

(24)

q =6kN/m P=20kN M =24kNm 2 4 2 2 36,64 36,64 48 48 7,52 67,84 36,64 36,64 48 48 12,32 24,32 24 36,12 16,12 16,12 16,12 24,32 ₂₄ 48,32 48,32 48,32 16,12 16,12 16,12 16,12 dr in_ż. Hanna Weber

(25)

q =6kN/m P=20kN M =24kNm 2 4 2 2 36,64 36,64 48 48 7,52 67,84 36,64 36,64 48 48 12,32 24,32 24 36,12 16,12 16,12 16,12 24,32 ₂₄ 48,32 48,32 48,32 16,12 16,12 16,12 16,12 16,12 dr in_ż. Hanna Weber

(26)

q =6kN/m P=20kN M =24kNm 2 4 2 2 36,64 36,64 48 48 7,52 67,84 36,64 36,64 48 48 12,32 24,32 24 36,12 16,12 16,12 16,12 24,32 ₂₄ 48,32 48,32 48,32 16,12 16,12 16,12 16,12 16,12 16,12 dr in_ż. Hanna Weber

(27)

q =6kN/m P=20kN M =24kNm 2 4 2 2 36,64 36,64 48 48 7,52 67,84 36,64 36,64 48 48 12,32 24,32 24 36,12 16,12 16,12 16,12 24,32 ₂₄ 48,32 48,32 48,32 16,12 16,12 16,12 16,12 16,12 16,12 12,32 24,22 -T [kN] + 24 + + 36,12 36,12 16,12 16,12 -16,12 16,12

(28)

q =6kN/m P=20kN M =24kNm 2 4 2 2 36,64 36,64 48 48 7,52 67,84 36,64 36,64 48 48 12,32 24,32 24 36,12 16,12 16,12 16,12 24,32 ₂₄ 48,32 48,32 48,32 16,12 16,12 16,12 16,12 16,12 16,12 N [kN] 48,32 48,32 -+ 16,12 16,12

(29)

Sprawdzenie poprawności

otrzymanego wykresu momentów

―

z twierdzenia redukcyjnego

Twierdzenie redukcyjne

―

pozwala na obliczanie przemieszcze

ń

(30)

Wzór na obliczanie przemieszczeń

z zasady

prac wirtualnych :

∫

⋅ = s ds EI M M ₀ δ

∫

⋅ = s ds EI M M

δ Mo_{wyznaczalnych jak i statycznie niewyznaczalnych}żna stosować do układów statycznie

1. Twierdzenie redukcyjne

Aby obliczyć przemieszczenie w układzie statycznie niewyznaczalnym, mnożymy końcowy wykres momentów od obciążeń rzeczywistych,

otrzymany dla układu statycznie niewyznaczalnego - M,

przez wykres momentów od obciążenia wirtualnego postawionego na schemacie podstawowym .M₀

(31)

Wzór na obliczanie przemieszczeń

z zasady

prac wirtualnych :

∫

⋅ = s ds EI M M₀ δ

∫

⋅ = s ds EI M M

δ Mo_{wyznaczalnych jak i statycznie niewyznaczalnych}żna stosować do układów statycznie

2. Twierdzenie redukcyjne

Aby obliczyć przemieszczenie w układzie statycznie niewyznaczalnym, mnożymy wykres momentów od obciążeń rzeczywistych postawionych na schemacie podstawowym statycznie wyznaczalnym – M₀,

przez końcowy wykres momentów od obciążenia wirtualnego, otrzymany dla schematu statycznie niewyznaczalnego ._M

(32)

Sprawdzenie zadania z 1. Twierdzenia redukcyjnego 0 1 = ⋅ =

_∫

s ds EI M M δ 2 4 4 2 2 2 M₁ 2 36,64 36,64 4,4 67,84 48 48 15,76 39,76 7,52 M [kNm]

(33)

Sprawdzenie zadania z 1. Twierdzenia redukcyjnego       ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = 2 3 2 2 64 , 36 2 1 1 EI δ 2 4 4 2 2 2 M₁ 2 36,64 36,64 4,4 67,84 48 48 15,76 39,76 7,52 M [kNm]

(34)

Sprawdzenie zadania z 1. Twierdzenia redukcyjnego       ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = 2 2 1 2 8 2 6 3 2 2 3 2 2 64 , 36 2 1 1 2 EI δ 2 4 4 2 2 2 M₁ 2 36,64 36,64 4,4 67,84 48 48 15,76 39,76 7,52 M [kNm]

(35)

(36)

(37)

Sprawdzenie zadania z 1. Twierdzenia redukcyjnego             + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = 2 64 , 36 2 4 , 4 2 2 2 2 1 2 8 2 6 3 2 2 3 2 2 64 , 36 2 1 1 2 EI δ 2 4 4 2 2 2 M₁ 2 36,64 36,64 4,4 67,84 48 48 15,76 39,76 7,52 M [kNm]

(38)

Sprawdzenie zadania z 1. Twierdzenia redukcyjnego             + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = 2 64 , 36 2 4 , 4 2 2 2 2 1 2 8 2 6 3 2 2 3 2 2 64 , 36 2 1 1 2 EI δ 2 4 4 2 2 2 M₁ 2 36,64 36,64 4,4 67,84 48 48 15,76 39,76 7,52 M [kNm]

(39)

Sprawdzenie zadania z 1. Twierdzenia redukcyjnego +             + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = 2 64 , 36 2 4 , 4 2 2 2 2 1 2 8 2 6 3 2 2 3 2 2 64 , 36 2 1 1 2 EI δ 2 4 4 2 2 2 M₁ 2 36,64 36,64 4,4 67,84 48 48 15,76 39,76 7,52 M [kNm]

(40)

Sprawdzenie zadania z 1. Twierdzenia redukcyjnego 053 , 0 2 4 , 4 2 84 , 67 2 2 1 2 64 , 36 2 4 , 4 2 2 2 2 1 2 8 2 6 3 2 2 3 2 2 64 , 36 2 1 1 2 − =       − ⋅ ⋅ +             + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = EI EI δ 2 4 4 2 2 2 M₁ 2 36,64 36,64 4,4 67,84 48 48 15,76 39,76 7,52 M [kNm]

(41)

Sprawdzenie zadania z 1. Twierdzenia redukcyjnego 0 053 , 0 2 4 , 4 2 84 , 67 2 2 1 2 64 , 36 2 4 , 4 2 2 2 2 1 2 8 2 6 3 2 2 3 2 2 64 , 36 2 1 1 2 ≈ − =       − ⋅ ⋅ +             + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = EI EI δ 2 4 4 2 2 2 M₁ 2 36,64 36,64 4,4 67,84 48 48 15,76 39,76 7,52 M [kNm]