W rozprawie badamy ε-złożoność problemów początkowych równań różniczkowych zwyczajnych rzędu k. Zakładamy, że funkcja prawej strony należy do klasy funkcji r-krotnie różniczkowalnych oraz że zależy od wartości funkcji rozwiązania i jej pochodnej aż do rzędu q < k. Rozważamy trzy modele obliczeń: deterministyczny (z infor-macją standardową i liniową), randomizacyjny i kwantowy.
We wszystkich trzech modelach konstruujemy optymalne (lub prawie optymalne) algorytmy dostosowane do problemów rzęduk, bez trans-formacji do układu równań rzędu pierwszego. Analiza tych algorytmów pozwala na podanie górnych oczacowań na złożoność obliczeniową. Pokazujemy, że w modelu deterministycznym z informacją standar-dową ε-złożoność wynosi Θ(1/ε)1/r. Ograniczenia górne i dolne są ścisłe i są niezależne od k.
W przypadku informacji liniowej dowodzimy, że górne oszacowanie na złożoność obliczeniową jest rzędu (1/ε)1/(r+k−q), a oszacowanie dolne jest rzędu(1/ε)1/(r+k). W porównaniu z informacją standardową, uzy-skujemy przyśpieszenie, które wynosi co najmniej 1 dla q = k − 1, a które może być nawet k dla q = 0. Oszacowania górne i dolne w tym modelu są ścisłe jedynie dla przypadku q = 0. Dla pozostałych wartości q problem ścisłości oszacowań górnego i dolnego pozostaje problemem otwartym.
Dla modelu randomizacyjnym i kwantowym pokazujemy, że ε-złożoność zależy od parametru regularności klasyr, ale jest niezależne od rzędu równaniak. Dowodzimy (pomijając czynniki logarytmiczne i dowolnie małe stałe w wykłądniku), że złożoność obliczeniowa w tych modelach wynosi Θ(1/ε)1/(r+κ), gdzie κ = 1/2 w przypadku rando-mizacyjnym oraz κ = 1 w przypadku kwantowym.
Można zauważyć, że w porównaniu z algorytmami deterministycz-nymi z informacją standardową, stosując algorytmy randomizacyjne lub kwantowe można uzyskać przyśpieszenie odpowiednio o 1/2 i o 1.
”Complexity of initial-value problems for ordinary differential equ-ations of higher orders”
We study the ε-complexity of initial-value problems for ordinary dif-ferential equations of order k. We assume that the right-hand side function belongs to the class r times differentialble functions and de-pends on the solution function and its derivatives up to the q < k order. We consider three settings: deterministic with standard and linear information, randomized and quantum one.
In the all settings we construct optimal (or almost optimal) algorithms adjusted to scalar equations of higher order, without passing to sys-tems of first order equations. The analysis of these algorithms allows us to establish upper complexity bounds.
We show, that in the deterministic worst-case setting with the stan-dard information the complexity bounds are Θ(1/ε)1/r. The upper and the lower bounds are matching and are independent of k. In the linear information case we prove that the upper complexity bound is of order (1/ε)1/(r+k−q), and the lower complexity bound is of order (1/ε)1/(r+k). In comparison to the standard information, there is the
speed-up at least by 1 for q = k − 1. The speed-up can be even by k for q = 0. The complexity bounds matches only for q = 0. For other values of q, the gap remains an open problem.
For the randomized and quantum settings, we show, that the ε-complexity depends on the regularity of the right-hand side function, but it is independent of the order of equation. We prove that (neglec-ting the logarithmic factors and arbitrarily small positive constant in the exponent) the complexity bounds are Θ(1/ε)1/(r+κ), where κ = 1/2 in the randomized and κ = 1 in the quantum setting.
One may notice that, the speed-up of the randomized and quantum algorithms over the deterministic one with standard information is by 1/2 and by 1, respectively.
