Wpływ wybranych struktur zależności na ryzyko ruiny ubezpieczyciela - analiza symulacyjna

Pełen tekst

(1)Zeszyty Naukowe nr 797. Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie. 2008. Stanisław Wanat Katedra Statystyki. Wpływ wybranych struktur zależności na ryzyko ruiny ubezpieczyciela – analiza symulacyjna 1. Wprowadzenie W ubezpieczeniach przy budowie większości modeli pojawia się problem wyznaczenia rozkładu zagregowanego ryzyka. Agregacji może podlegać wysokość szkód (przypisanych np. polisom, portfelom ubezpieczeń, liniom biznesu – grupom ubezpieczeń) oraz czynniki ryzyka ubezpieczeniowego, rynkowego, kredytowego i operacyjnego. Jako modele ryzyka przyjmuje się zmienne losowe, problem ten sprowadza się więc do wyznaczenia rozkładu sumy zmiennych losowych, który odgrywa kluczową rolę w zarządzaniu ryzykiem zakładu ubezpieczeń. Rozkład ten jest podstawą wyznaczenia składki ubezpieczeniowej, oceny funduszu nadwyżkowego określonej linii biznesu, oceny funduszu nadwyżkowego całego zakładu ubezpieczeń, oceny wypłacalności zakładu, oceny prawdopodobieństwa ruiny zakładu itp. Jeżeli jesteśmy zainteresowani określeniem ryzyka na średnim poziomie, czyli jako miarę ryzyka przyjmujemy wartość oczekiwaną, wówczas wystarczy zsumować wartości oczekiwane odpowiednich zmiennych losowych. Najczęściej jednak chcemy zmierzyć ryzyko bardziej precyzyjnie, np. przez określenie parametrów zmienności otrzymanej w wyniku agregacji zmiennej losowej, lub przedstawić możliwie jak najpełniej przez określenie rozkładu tej zmiennej losowej. Wiąże się to z rozstrzygnięciem podstawowej kwestii: czy poszczególne elementy ryzyka są niezależne, czy też są zależne. Bardzo często w praktyce zakłada się, że są one niezależne. Wynika to przeważnie z możliwości zastosowania prost-.

(2) 110. Stanisław Wanat. szego aparatu matematycznego do wyznaczenia rozkładu zagregowanego ryzyka, czy to na drodze analitycznej, czy symulacyjnej. W wielu jednak sytuacjach takie założenie jest nie do przyjęcia. W ostatnich latach problemowi uwzględniania zależności w modelowaniu ryzyka w ubezpieczeniach poświęcono bardzo dużo artykułów naukowych. Autorzy proponują w nich m.in. następujące narzędzia służące do modelowania struktury zależności1: analizę połączeń (copula analysis), wykorzystanie metody wspólnej zmiennej mieszającej (np. common mixture models, extended common Poisson mixture models), modele z niezależnymi komponentami (component models), modele z funkcją zniekształcającą (distortion methods), frailty models. W pracach A.W. Marshalla i J. Olkina [1967, 1988], S. Kocherlakoty i K. Kocherlakoty [1992] oraz S. Wanga [1998] przedstawiono np. metody konstrukcji struktury zależności. Z kolei R.S. Ambagaspitiya [1998, 1999] rozważał rozkład i funkcję tworzącą momenty zmiennej losowej będącej sumą zależnych szkód, a w publikacji [Cossette i Marceau 2000] przedstawiono dwa dyskretne modele ryzyka uwzględniające zależność między liniami biznesu oraz wpływ zależności na prawdopodobieństwo ruiny w skończonym horyzoncie czasowym. W artykule przedstawiono pewien sposób uwzględnienia wybranej struktury zależności między liczbą szkód generowanych przez dwie linie biznesu w modelu opisującym fundusz nadwyżkowy, a następnie przeanalizowano jej wpływ na prawdopodobieństwo ruiny ubezpieczyciela. Wykorzystany model matematyczny, opisujący najistotniejsze zależności i relacje między zmiennymi wpływającymi na wysokość funduszu nadwyżkowego, jest uogólnieniem modelu przedstawionego w pracy N. Savellego [2003]2 na dwie linie biznesu z uwzględnieniem zależności między szkodami generowanymi przez te linie. Skorelowanie między liniami uzyskuje się przez wprowadzenie struktury zależności między liczbą szkód generowanych w poszczególnych liniach biznesu. Jako narzędzie do modelowania zależności wykorzystuje się common shock model oraz thinning-dependence structure. Wpływ przyjęcia określonej struktury zależności na prawdopodobieństwo ruiny ze względu na złożone relacje i zależności między zmiennymi uwzględnionymi w modelu jest badany z wykorzystaniem metody symulacyjnej. W pracy przedstawiono wykorzystane narzędzia modelowania zależności, tj. common shock model oraz thinning-dependence structure, model symulacyjny uwzględniający zależność między liniami biznesu oraz wyniki analizy symula-. 1. Wymienione metody są omówione wraz z podaniem literatury w [Papież i Wanat 2006].. Zastosowanie tego modelu do analizy ryzyka ruiny ubezpieczyciela na drodze symulacyjnej przedstawiono w pracy [Wanat 2005]. 2.

(3) Wpływ wybranych struktur zależności na ryzyko…. 111. cyjnej prawdopodobieństwa ruiny w zależności od przyjętej struktury zależności między rozważanymi liniami biznesu. 2. Metody modelowania zależności wykorzystane w badaniu symulacyjnym W prezentowanym modelu zależność między wysokością zagregowanych szkód generowanych przez dwie linie biznesu modeluje się, wprowadzając strukturę zależności między liczbą tych szkód. Do tego celu wykorzystuje się common shock model i thinning-dependence structure oraz połączenie obydwu metod. Te sposoby modelowania zależności są zaliczane do modeli z niezależnymi komponentami (component models), w których zakłada się, że ryzyko może być opisywane za pomocą rozkładów nieskończenie podzielnych, czyli jako sumy niezależnych zmiennych losowych należących do tej samej rodziny. Jeżeli zatem Ni, i = 1, …, n, oznacza zmienną losową opisującą liczbę szkód generowanych przez i-tą linię biznesu, to każdą z nich można przedstawić w następujący sposób: N1 = N11 + N12 + … + N1k …. N n = N n1 + N n 2 + … + N nk. (1). gdzie zmienne Ni1, …, Nik, i = 1, …, n, należą do tej samej rodziny rozkładów. Funkcja tworząca wektora N1, …, Nn jest postaci: k. PN1 , …, N n = ∏ QN1l , …, N nl . (2). l =1. gdzie: QNi1, …, N , l = 1, …, k – funkcja tworząca l-tego komponentu. ik. Można wykazać (por. [Wang 1998]), że:. k. cov N i , N j = ∑ cov N il , N jl . (. Common shock model. ). l =1. (. ). (3). Wykorzystany w analizie common shock model otrzymuje się z (1), zakładając, że zmienne Ni są sumą dwóch niezależnych komponentów:. Ni = N0 + Ni1, i = 1, …, n. takich, że zmienne Xi1 są niezależne.. (4).

(4) Stanisław Wanat. 112. Wówczas funkcja tworząca ma postać (por. [Wang 1998]):. PN1 , …, N n ( s1 , …, sn ) = E (s1 , …, sn ) oraz. (. N0. E s1N11, …, snN n1 . ). cov N i , N j = var ( N 0 ) . (5) (6). Przy tych założeniach jedynym źródłem zależności między rodzajami ryzyka jest oddziaływanie wspólnej zmiennej N0 (tzw. shock variable). Opisany model można uogólnić na dowolny wymiar k > 2 (por np. [Lindskog i McNeil 2001]). Ma on szerokie zastosowanie w teorii niezawodności. Thinning-dependence structure Ta metoda uwzględniania zależności między liniami biznesu w modelach ryzyka ubezpieczyciela została zaproponowana w pracy K.C. Yuena i G. Wanga [2002]. U jej podstaw leży założenie, że wypadek ubezpieczeniowy wywołujący szkodę w jednej linii biznesu może również powodować szkody w kilku innych. Przyjmuje się zatem, że na proces generujący szkody w określonej linii biznesu mają wpływ nie tylko źródła ryzyka charakterystyczne dla niej, ale także (z pewnym prawdopodobieństwem) ryzyko charakterystyczne dla innych linii. W związku z tym dla każdej linii określa się szkody główne, których źródłem jest ryzyko związane z daną linią biznesu, i szkody pośrednie wiążące się z realizacją ryzyka charakterystycznego dla innej linii. Niech Nii oznacza liczbę szkód głównych w i-tej linii biznesu, a Nki – liczbę szkód pośrednich związanych ze szkodami głównymi z k-tej linii (k � i). Jeżeli przyjmiemy, że zmienna Nii, i = 1, …, n, ma rozkład Poissona z parametrem λi oraz że prawdopodobieństwo wygenerowania przez szkodę główną w linii k szkody pośredniej w linii i wynosi pki (0 < pki < 1, pii = 1), to zmienna Nki ma rozkład Poissona z parametrem λi pki. Przyjmując, że. n ~ N i = ∑ N ki k =1. (7). oznacza liczbę szkód w i-tej linii biznesu, oraz oznaczając przez Xi(j) wysokość j-tej szkody w i-tej linii biznesu, zagregowane szkody w tej linii wynoszą. N. i ~ Yi = ∑ Xi( j ) ,. j =1. zagregowane szkody ubezpieczyciela są zatem równe. (8).

(5) Wpływ wybranych struktur zależności na ryzyko…. 113. ~ N. n i ~ n ~ Y = ∑ Yi = ∑ ∑ Xij , i =1. (9). i =1 j =1. Zakładając, że: – Nii (i = 1, …, n) są niezależne, – Nki / Nkk są parami niezależne dla k ≠ i, – Xi(j) są parami niezależne dla każdego i oraz j, – Xi(j) są niezależne od Ni, – Xi(j), j = 1, 2, …, mają taki sam rozkład o dystrybuancie Fi, można udowodnić (por. [Yuen i Wang 2002]), że zmienna (9) ma złożony rozkład Poissona, który da się przedstawić jako. ~. ~ N ~ Y = ∑ Z ( j ) ,. (10). j =1. ~ ~ ~ gdzie N ma rozkład Poissona z parametrem λ = λ1 + … + λ n, zmienne Z ( j ), j = = 1, 2, …, są natomiast niezależne i mają taki sam rozkład o dystrybuancie będącej średnią ważoną dystrybuant Fi i ich splotów. 3. Opis modelu symulacyjnego W prezentowanym modelu zastosowano sposób modelowania funduszu nadwyżkowego jednej linii biznesu [Daykin, Pentikäinen i Pesonen 1994, Savelli 2003] do modelowania funduszu nadwyżkowego ubezpieczyciela posiadającego dwie linie biznesu generujące zależne szkody. W modelu zakłada się stałą wartość podstawowych czynników ryzyka ekonomicznego, inwestycyjnego i biznesowego, tzn. przyjmuje się, że: stopa inflacji i oraz stopa zysku j są stałe, a liczba szkód (w obu liniach biznesu) z okresu na okres wzrasta o stały współczynnik g. Fundusz nadwyżkowy U(t) na koniec roku t jest wówczas określony równaniem (por. [Savelli 2003]):. 1 2. U (t ) = (1 + j ) U (t − 1) + ( B(t ) − Y (t ) − E (t )) ⋅ (1 + j ) ,. gdzie: B(t) – składka brutto, Y(t) – zagregowane szkody, E(t) – koszty, j – roczna stopa zwrotu (zakłada się, że jest stała i wolna od ryzyka).. (11). Wielkości B(t), Y(t), E(t) odnoszą się do dwóch linii biznesu (dotyczą ubezpieczyciela)..

(6) Stanisław Wanat. 114. Przyjmując, że składka brutto zawiera następujące składniki:. B(t) = P(t) + θP(t) + cB(t). (12). gdzie: P(t) = E(Y(t)) – składka netto, θP(t) – dodatek bezpieczeństwa, cB(t) – dodatek na koszty, równanie (11) jest następujące:. 1 2. U (t ) = (1 + j )U (t − 1) + (1 + θ ) P (t ) − Y (t ) ⋅ (1 + j ) .. (13). W modelu zakłada się roczny wzrost składki brutto B(t) uwzględniający stałą stopę inflacji i oraz realną stałą stopę wzrostu g:. B(t) = (1 + i) (1 + g)B(t + 1). (14). Ze wzoru (13) wynika, że w rozważanym modelu zasadniczą rolę będzie odgrywać sposób modelowania wysokości zagregowanych szkód Y(t). Zgodnie z założeniem są one sumą zagregowanych szkód (w okresie t) z dwóch zależnych linii biznesu. Wysokość Y(t) będzie modelowana z uwzględnieniem określonej struktury zależności między liczbą szkód pochodzących z pierwszej i drugiej linii. Narzędziem służącym do jej wprowadzenia będzie połączenie metod common shock model oraz thinning-dependence structure. W modelowaniu liczby szkód dla danej linii biznesu zostaną zatem uwzględnione następujące komponenty: – ryzyko charakterystyczne dla tej linii, – wpływ ryzyka z drugiej linii (w postaci szkód pośrednich), – wpływ wspólnego ryzyka na dwie linie jednocześnie (tzw. wspólny szok). W związku z tym liczba wypadków w i-tej linii biznesu (i = 1, 2) wynosi (w poniższych rozważaniach zakłada się ustalony okres, w związku z tym w celu uproszczenia zapisu pominięto t): ~ N i = N i + N c ,. (15). ~ gdzie N i jest określone wzorem (7), Nc oznacza natomiast liczbę szkód związanych z oddziaływaniem wspólnego ryzyka (wspólnego szoku). Wysokość szkód dla i-tej linii jest równa:. Ni. ~ Ni. Nc. j =1. j =1. j =1. Yi = ∑ Xi( j ) = ∑ Xi( j ) + ∑ Xi' ( j ). (16).

(7) Wpływ wybranych struktur zależności na ryzyko…. 115. gdzie Xi( j) oraz X'i ( j) są niezależnymi zmiennymi losowymi o takim samym rozkładzie i opisują wysokość pojedynczych szkód. Wtedy zagregowane szkody wynoszą:. 2. ~ N1. i =1. j =1. Y =∑, Yi = ∑. ,. X1( j ). ~ N2. Nc. j =1. j =1. + ∑ X2( j ) + ∑ W ( j ) . (17). przy czym W (j) = X'1 (j) + X'2(j). Można pokazać, że zmienna Y ma złożony rozkład Poissona, dający się wyrazić w następujący sposób: NY. Y = ∑ Z ( j ). (18). j =1. gdzie N Y ma rozkład Poissona z parametrem λ = λ1 + λ2 + λ c. Z (j), j = 1, 2, …, są natomiast niezależnymi zmiennymi losowymi o takim samym rozkładzie, którego funkcja tworząca momenty wynosi: M Z ( s ) = a1 M 1 ( s ) + a2 M 2 ( s ) + a3 M 1 ( s ) M 2 ( s ) . gdzie:. a1 =. λ1 (1 − p12 ) λ (1 − p21 ) λ p + λ 2 p21 + λ c. , a2 = 2 , a3 = 1 12 λ λ λ. (19) (20). a Mi(s), i = 1, 2, oznacza funkcję tworzącą momenty Xi(i). Łatwo pokazać, że: 2. E ( N i ) = D 2 ( N i ) = ∑ pki λ k + λ c . (21). cov ( N1 , N 2 ) = p12 λ1 + p21λ 2 + λ c . (22). k =1. 2. ∑ pki λ k + λ c. D 2 (Yi ) =. ( D ( X ) + ( E ( X )) ). (23). cov (Y1 , Y2 ) = E ( X1 ) E ( X2 ) ( p12 λ1 + p21λ 2 + λ c ) . (24). k =1. 2. i. i. 2. Obserwując liczbę szkód w czasie, można zauważyć, że oprócz zmian czysto losowych mogą one charakteryzować się pewnym trendem lub cyklicznością. Jest to wynikiem wzrostu portfela ubezpieczeń. W związku z tym proponuje się (zob. np. [Daykin, Pentikäinen i Pesonen 1994, s. 278–282]), aby parametr rozkładu Poissona zmieniał się w czasie, przy czym zmiany te mogą być określone.

(8) Stanisław Wanat. 116. za pomocą deterministycznej funkcji zależnej od t lub procesu stochastycznego. W rozważanym modelu przyjęto zależność deterministyczną postaci:. t. λ (t ) = λ (0 ) (1 + g ) . (25). Przeprowadzając symulację funduszu nadwyżkowego na kolejne okresy, oprócz długookresowych zmian w liczbie szkód należy uwzględnić także inflację wysokości roszczeń. W związku z tym w modelu przyjmuje się, że zmienne losowe Xi(j) są przeskalowane indeksem inflacji I(t). Wysokość pojedynczej szkody w okresie t jest zatem modelowana za pomocą zmiennych:. Xi( j ) (t ) = I (t ) Xi( j ) ( 0 ) , i = 1, 2. (26). gdzie I(t) = (1 + i)t, a Xi(j)(0) określa wysokość i-tej szkody w okresie wyjściowym t = 0. Podsumowując: zagregowane szkody w okresie t są modelowane za pomocą złożonego rozkładu Poissona postaci:. Y (t ) =. NY ( t ). ∑. j =1. Z ( j ) (t ) . (27). gdzie N Y (t) ma rozkład Poissona z parametrem danym wzorem (25), Z ( j)(t) jest natomiast zmienną losową postaci (19), wyznaczoną na podstawie zmiennych wyrażonych wzorem (26). Ponieważ dla funkcji tworzącej moment prawdziwa jest własność: Ma+bX(s) = = easM X(bs), można wykazać, że:. m1 ( Z (t )) = I (t )m1 ( Z (0 )), m2 ( Z (t )) = I 2 (t )m2 ( Z (0 )), m3 ( Z (t )) = I 3 (t )m3 ( Z (0 )). (28). gdzie mν(·) oznacza moment zwykły rzędu ν odpowiedniej zmiennej losowej. Podstawowe charakterystyki zmiennej zagregowanych szkód (27) są zatem następujące:. E (Y (t )) = λ (t )m1 ( Z (t )) = λ (t ) I (t )m1 ( Z (0 )) . (29). D 2 (Y (t )) = λ (t )m2 ( Z (t )) = λ(t ) I 2 (t )m2 ( Z (0 )) . (30). γ (Y (t )) =. m3 (Y (0 )) 3 2. ( m2 ( Z (0))) ⋅ ( λ(t )). gdzie γ(·) oznacza współczynnik asymetrii.. 1 2. (31).

(9) Wpływ wybranych struktur zależności na ryzyko…. 117. Ich znajomość pozwala na wykorzystanie algorytmu do symulacji zmiennej Y(t) w kolejnych okresach (zob. np. [Daykin, Pentikäinen i Pesonen 1994, s. 288]), obejmującego następujące czynności: – wyznaczenie parametru rozkładu Poissona opisującego liczbę roszczeń w okresie t oraz parametru określającego inflację – można tu zastosować podejście deterministyczne i stochastyczne; – wyznaczenie za pomocą wzorów (29–30) podstawowych charakterystyk zmiennej zagregowanych szkód Y(t); – wygenerowanie realizacji zmiennej Y(t); przy ustalonych parametrach określających liczbę roszczeń oraz inflację zmienna Y(t) ma złożony rozkład Poissona, można zatem zastosować WH-generator (generator Wilsona-Hilferty’ego, zob. np. [Daykin, Pentikäinen i Pesonen 1994, s. 144]). W dalszej części zamiast bezwzględnej wartości funduszu nadwyżkowego U(t) U (t ) jest rozważany wskaźnik u (t ) = , określający stosunek wartości funduszu B(t ) nadwyżkowego U(t) do składki brutto B(t). Otrzymuje się wtedy:. u (t ) = ru (t ) + w (1 + θ ) −. Y (t ). P (t ). (32). gdzie współczynniki r i w mają postać: 1+ j. 1 + ( i )(1 + g ). r=. 1− c w= (1 + j ) 2 1+ λ. (33). 1. (34). Po dokonaniu odpowiednich przeliczeń proces (32) można zapisać następująco (por. [Savelli 2003]):. t −1. t. Y (τ ) t − τ r. τ =1 P (τ ). u (t ) = r t u (0 ) + w (1 + θ ) ∑ r τ − ∑ τ =0. (35). a na podstawie (35) wykazać, że: E ( u (t )) =. u (0 ) + θwt , r t u (0 ) + θw. 1 − rt , 1− r. gdy r = 1 gdy r ≠ 1. (36).

(10) Stanisław Wanat. 118. w. D 2 ( u (t )) =. 2. 1 + VZ2. t. λ(0 ) (1 + g ). t,. gdy s = 1. 2t − 1 s w2 , gdy s ≠ 1 t λ(0 ) (1 + g ) 1 − s 2 1 + VZ2. (37). przy czym s2 = (1 + g)r 2, a V Z oznacza współczynnik zmienności zmiennej Z. Z (36) wynika, że gdy r = 1, wartość oczekiwana u(t) zależy liniowo od t, oraz gdy r < 1, to:. lim E ( u (t )) =. t →∞. 1. 1− c θ (1 + j ) 2 1+ θ 1− r. (38). czyli dąży do pewnej stałej wartości. Zależności (36) i (37) zostaną wykorzystane do sprawdzenia wyników symulacji. 4. Analiza symulacyjna wpływu zależności między liniami biznesu na prawdopodobieństwo ruiny Wykorzystując model (32), przeprowadzono analizę symulacyjną wpływu opisanych struktur zależności na prawdopodobieństwo ruiny ubezpieczyciela w skończonym czasie. Ruina jest rozumiana jako przyjęcie przez wskaźnik u(t) wartości ujemnej, prawdopodobieństwo ruiny w skończonym czasie t oznacza natomiast, że do zdarzenia tego dojdzie do momentu t włącznie. Będzie ono oznaczane przez ψ(t) i szacowane na podstawie metody przedstawionej w pracy C.D. Daykina, T. Pentikäinena i M. Pesonena [1994, rozdz. 13.1c]. W zależności od sposobu modelowania skorelowania między liniami biznesu do symulacji wykorzystano różne wersje modelu (32): – model A, w którym założono niezależność szkód generowanych przez poszczególne linie biznesu – w tym wypadku zagregowane szkody generowano na podstawie modelu (17), w którym p12 = p21 = 0 oraz λc = 0; – model B, w którym modelując liczbę szkód dla danej linii biznesu, uwzględniono ryzyko charakterystyczne dla tej linii oraz ryzyko wspólne, czyli do modelowania zależności między liniami wykorzystano common shock model, a szkody generowano na podstawie (17), gdzie p12 = p21 = 0, λc � 0; – model C, w którym modelując liczbę szkód dla danej linii biznesu, uwzględniono ryzyko charakterystyczne dla tej linii oraz wpływ ryzyka z drugiej linii (w postaci szkód pośrednich), czyli do modelowania zależności między liniami wykorzystano thinning-dependence structure, a szkody generowano na podstawie (17), gdzie p12 � 0, p21 � 0, λc = 0;.

(11) Wpływ wybranych struktur zależności na ryzyko…. 119. – model D, w którym modelując liczbę szkód dla danej linii biznesu, uwzględniono ryzyko charakterystyczne dla tej linii, wpływ ryzyka z drugiej linii (w postaci szkód pośrednich) oraz ryzyko wspólne, czyli do modelowania zależności między liniami wykorzystano połączenie common shock model i thinning-dependence structure, a szkody generowano na podstawie (17), gdzie p12 � 0, p21 � 0, λc = 0. We wszystkich modelach wartości parametrów modelujących liczbę szkód, tzn. λ1, λ2, λ c, p12, p21, ustalono tak, aby w każdym z nich wartość oczekiwana zagregowanych szkód była taka sama (dla modelu A: λ1 = 500, λ2 = 700, p12 = p21 = = 0 oraz λc = 0; dla B: λ1 = 300, λ2 = 500, λc = 200, p12 = p21 = 0; dla C: λ1 = 300, λ2 = 500, λ c = 0, p12 = 0,6667, p21 = 0,40; dla D: λ1 = 125, λ2 = 437,5, λ c = 200, p12 = 0,50, p21 = 0,40). Wysokość pojedynczej szkody modelowano za pomocą rozkładu gamma G(α, β), którego funkcja gęstości ma postać:. f (x) =. βα α −1 − βx x e , α > 0, β > 0, x > 0 Γ (α ). (39). Dla pierwszej linii biznesu przyjęto, że X1(j) ~ G(0,9, 0,03), czyli średnia i wariancja wysokości pojedynczej szkody wynoszą odpowiednio 30 i 1000, a dla drugiej linii: X2(j) ~ G(0,2, 0,02), co oznacza średnią 10 i wariancję 500. Przy tych założeniach funkcja tworząca moment zmiennych Z(j) jest równa: 0, 03 M Z ( s ) = a1 ( 0, 03 − s ). 0,9. 0, 02 + a2 ( 0, 02 − s ). 0,2. 0, 03 + a1 ( 0, 03 − s ). 0,9. 0, 02 ( 0, 02 − s ). 0,2. (40). co oznacza, że odpowiednie momenty zwykłe zmiennej zagregowanych szkód w okresie t = 0 wynoszą:. m1 ( Z (0 )) = 30 a1 + 10 a2 + 40 a3 . (41). m2 ( Z (0 )) = 1900 a1 + 600 a2 + 3100 a3 . (42). m3 ( Z (0 )) = 1, 836667 ⋅ 10 5 a1 + 66000 a2 + 3, 606667 ⋅ 10 5 a3 . (43). We wszystkich modelach zakłada się stałą wartość podstawowych czynników ryzyka ekonomicznego, inwestycyjnego i biznesowego, tzn. przyjęto, że: i = 2%, j = 4%, oraz dla obu linii biznesu: g = 0,05, θ = 0,01, c = 0,2. Poniżej przedstawiono wyniki badania symulacyjnego zachowania się wskaźnika u(t) w latach t = 1, …, 50, uzyskane na podstawie 500 trajektorii procesów A–D. W tabelach 1–4 podano wartości oszacowanego prawdopodobieństwa ruiny oraz średniego czasu do ruiny i średniego czasu przeżycia w zależności od wartości początkowej u(t)..

(12) Stanisław Wanat. 120. Na rysunkach 1–4 przedstawiono natomiast (bardziej szczegółowo) wyniki symulacji w wypadku wartości początkowej u(0) = 0,15. W części a) podano charakterystykę każdego z modeli; w b) przedstawiono wybrane trajektorie oraz wartości: maksymalną, minimalną, średnią, kwantyl 0,10 i 0,90 wskaźnika w kolejnych latach; w c) zawarto liczbę trajektorii prowadzących do ruiny w danym roku oraz prawdopodobieństwo ruiny w skończonym okresie t lat; w d) porównano teoretyczną oraz uzyskaną na podstawie symulacji wartość średniej oraz odchylenia standardowego u(t) w kolejnych latach (wartości teoretyczne wyznaczono na podstawie wzorów (36) i (37)). Tabela 1. Wyniki badania symulacyjnego ryzyka ruiny w zależności od wartości początkowej wskaźnika u(t) – model A u(0). 1. Prawdopodobieństwo ruiny do roku:. 5. 10. 20. 0,010. 0,344. 0,594. 0,640. 0,668. 0,100. 0,008. 0,136. 0,206. 0,260. 0,006. 0,038. 0,066. 0,050. 0,082. 0,150. 0,000. 0,250. 0,000. 0,350. 0,000. 0,200 0,300 0,400. 0,000. 0,000. 0,000. 0,314. 0,388. 0,036. 0,092. 0,002. 0,130. 0,024. 0,044. 0,002. 0,014. 0,002. 0,006. 0,000. 0,002. 0,000. 0,432. 30. 0,672. 0,444 0,268 0,148. 0,074. 0,052. 40. 0,672. 0,446 0,270 0,150. 0,078. 0,054. 50. Średni czas Średni czas do ruiny przeżycia. 0,672. 2,804. 0,270. 7,504. 0,446 0,150. 24,269. 11,027. 24,896. 13,889. 25,260. 15,875. 25,419. 0,078. 13,256. 0,054. 0,026. 0,030. 0,030. 0,030. 14,200. 0,008. 0,010. 0,010. 0,010. 16,000. 0,016. 0,016. 0,016. 24,054. 5,238. 24,630 25,162. 25,362. 25,449. Źródło: opracowanie własne.. Tabela 2. Wyniki badania symulacyjnego ryzyka ruiny w zależności od wartości początkowej wskaźnika u(t) – model B u(0). 0,010 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400. 1. Prawdopodobieństwo ruiny do roku:. 5. 0,346 0,600 0,106 0,336 0,010 0,156 0,002 0,044 0,000 0,008 0,000 0,006 0,000 0,002 0,000 0,002 0,000 0,000. 10. 0,644 0,408 0,222 0,100 0,042 0,032 0,010 0,004 0,002. Źródło: opracowanie własne.. 20. 0,670 0,454 0,282 0,144 0,078 0,050 0,030 0,020 0,010. 30. 0,678 0,470 0,292 0,162 0,094 0,058 0,038 0,022 0,010. 40. 0,678 0,472 0,294 0,164 0,096 0,060 0,040 0,022 0,010. 50. 0,678 0,474 0,294 0,164 0,096 0,060 0,040 0,022 0,010. Średni czas Średni czas do ruiny przeżycia. 2,873 5,270 7,442 10,634 13,583 12,900 15,800 13,727 14,800. 23,990 24,166 24,545 24,853 25,068 25,246 25,312 25,399 25,451.

(13) Wpływ wybranych struktur zależności na ryzyko…. 121. a) charakterystyka modelu: b) przykładowe realizacje u(t) – struktura zależności: linie niezależne (model A) 0,8 0,7 – parametry: λ1 = 500, λ2 = 700 0,6 λc = 200, p12 = p21 = 0 0,5 – współczynnik korelacji ρ(N1(t), N2(t)) = 0 0,4 – współczynnik korelacji ρ(Y1(t), Y2(t)) = 0 0,3 u(t) – wartość początkowa: u(0) = 0,15 0,2 0,1 0 –0,1 0 –0,2 –0,3. 5. 10. 15. średnia. c) liczba trajektorii prowadzących do ruiny w danym roku oraz prawdopodobieństwo ruiny do roku t 14. prawd. ruiny. liczba ruin. 0,150. 10 8 6 4 2 0. 1. 5. 9. 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 t prawd. ruiny liczba ruin w roku t. 25. 30. t min. i maks.. 35. 40. 45. 50. kwantyle 10 i 90. d) teoretyczna oraz uzyskana na podstawie symulacji wartość oczekiwana i odchylenie standardowe procesu. 0,200. 12. 20. 0,300 0,250 0,200. 0,100. 0,150. 0,050. 0,100. 0,000. 0,050 0,000. 0. 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 t śred. sym. odch. sym. śred. teoret. odch. teoret.. Rys. 1. Wyniki symulacji wskaźnika u(t) za pomocą modelu A Źródło: opracowanie własne.. Tabela 3. Wyniki badania symulacyjnego ryzyka ruiny w zależności od wartości początkowej wskaźnika u(t) – model C u(0) 0,010 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400. 1 0,350 0,114 0,012 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000. Prawdopodobieństwo ruiny do roku: 5 10 20 30 40 0,602 0,652 0,682 0,688 0,688 0,344 0,418 0,472 0,486 0,488 0,170 0,238 0,292 0,304 0,306 0,052 0,112 0,162 0,176 0,178 0,010 0,052 0,090 0,106 0,108 0,006 0,032 0,056 0,068 0,072 0,002 0,018 0,036 0,044 0,046 0,002 0,004 0,022 0,026 0,028 0,000 0,002 0,014 0,016 0,016. Źródło: opracowanie własne.. 50 0,688 0,490 0,306 0,178 0,108 0,072 0,046 0,028 0,016. Średni czas Średni czas do ruiny przeżycia 2,936 5,278 7,235 10,225 12,796 13,861 14,609 16,571 16,000. 23,880 24,082 24,522 24,806 25,026 25,181 25,290 25,368 25,419.

(14) Stanisław Wanat. 122. a) charakterystyka modelu: – struktura zależności: common shock model (model B) – parametry: λ1 = 300, λ2 = 500 λc = 200, p12 = 0, p21 = 0 – współczynnik korelacji ρ(N1(t), N2(t)) = 0,338 – współczynnik korelacji ρ(Y1(t), Y2(t)) = 0,112 – wartość początkowa: u(0) = 0,15. b) przykładowe realizacje u(t) 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 u(t) 0,2 0,1 0 0 –0,1 –0,2 –0,3. 5. 10 15 20 25 30 35 40 45 50. średnia. c) liczba trajektorii prowadzących do ruiny w danym roku oraz prawdopodobieństwo ruiny do roku t. prawd. ruiny. 0,150 0,100 0,050 1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 t liczba ruin w roku t prawd. ruiny. kwantyle 10 i 90. d) teoretyczna oraz uzyskana na podstawie symulacji wartość oczekiwana i odchylenie standardowe procesu. 0,200. liczba ruin. 14 12 10 8 6 4 2 0. t min. i maks.. 0,000. 0,300 0,250 0,200 0,150 0,100 0,050 0,000. 0. 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 t śred. sym. odch. sym. śred. teoret. odch. teoret.. Rys. 2. Wyniki symulacji wskaźnika u(t) za pomocą modelu B Źródło: opracowanie własne.. Tabela 4. Wyniki badania symulacyjnego ryzyka ruiny w zależności od wartości początkowej wskaźnika u(t) – model D u(0) 0,010 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400. 1 0,354 0,114 0,014 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000. Prawdopodobieństwo ruiny do roku: 5 10 20 30 40 0,604 0,652 0,682 0,688 0,688 0,346 0,420 0,476 0,488 0,492 0,170 0,242 0,294 0,306 0,308 0,054 0,116 0,166 0,180 0,182 0,010 0,054 0,094 0,108 0,110 0,006 0,034 0,056 0,068 0,072 0,002 0,018 0,040 0,048 0,050 0,002 0,004 0,022 0,028 0,030 0,000 0,002 0,014 0,016 0,016. Źródło: opracowanie własne.. 50 0,688 0,492 0,308 0,182 0,110 0,072 0,050 0,030 0,016. Średni czas Średni czas do ruiny przeżycia 2,910 5,236 7,260 10,121 12,655 13,833 14,640 17,000 15,875. 23,903 24,065 24,510 24,794 25,019 25,181 25,267 25,355 25,419.

(15) Wpływ wybranych struktur zależności na ryzyko… a) charakterystyka modelu: – struktura zależności: thinning-dependence (model C) – parametry: λ1 = 300, λ2 = 500 λc = 0, p12 = 0,667, p21 = 0,400 – współczynnik korelacji ρ(N1(t), N2(t)) = 0,676 – współczynnik korelacji ρ(Y1(t), Y2(t)) = 0,190 – wartość początkowa: u(0) = 0,15. 123. b) przykładowe realizacje u(t) 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 u(t) 0,2 0,1 0 0 –0,1 –0,2 –0,3. 5. 10 15 20 25 30 35 40 45 50. średnia. 0,200. liczba ruin. prawd. ruiny. 0,150 0,100 0,050 1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 t liczba ruin w roku t prawd. ruiny. kwantyle 10 i 90. d) teoretyczna oraz uzyskana na podstawie symulacji wartość oczekiwana i odchylenie standardowe procesu. c) liczba trajektorii prowadzących do ruiny w danym roku oraz prawdopodobieństwo ruiny do roku t 14 12 10 8 6 4 2 0. t min. i maks.. 0,000. 0,300 0,250 0,200 0,150 0,100 0,050 0,000. 0. 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 t śred. sym. odch. sym. śred. teoret. odch. teoret.. Rys. 3. Wyniki symulacji wskaźnika u(t) za pomocą modelu C Źródło: opracowanie własne.. Analiza otrzymanego prawdopodobieństwa ruiny wskazuje (co jest oczywiste), że zależy ono od wartości początkowej badanego wskaźnika. Oprócz tego można zauważyć, że dla takiej samej wartości początkowej, przy tych samych parametrach charakteryzujących ryzyko ekonomiczne, inwestycyjne i biznesowe ubezpieczyciela oraz przy założeniu takiego samego poziomu średnich zagregowanych szkód oszacowane na podstawie każdego z modeli A–D prawdopodobieństwo ruiny jest inne. Wskazuje to na związek tego prawdopodobieństwa z wprowadzoną strukturą zależności. Analizując wyniki, można stwierdzić, że najmniejsze jest przy założeniu niezależnych linii biznesu. Wzrasta ono wraz ze wzrostem stopnia skorelowania między liniami. Wyniki wskazują na zależność: ψA(t) < ψB (t) < ψC < ψD, gdzie indeks dolny przy symbolu ψ oznacza model, na podstawie którego oszacowano prawdopodobieństwo ruiny (np. dla wartości początkowej 0,15 świadczą o tym wyniki przedstawione w tabeli 5 i na rys. 5)..

(16) Stanisław Wanat. 124. a) charakterystyka modelu: – struktura zależności: połączenie thinning dependence oraz common shock model (model D) – parametry: λ1 = 125, λ2 = 437,5 λc = 200, p12 = 0,50, p21 = 0,40 – współczynnik korelacji ρ(N1(t), N2(t)) = 0,740 – współczynnik korelacji ρ(Y1(t), Y2(t)) = 0,246 – wartość początkowa: u(0) = 0,15. b) przykładowe realizacje u(t) 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 u(t) 0,2 0,1 0 0 –0,1 –0,2 –0,3. 5. 10 15 20 25 30 35 40 45 50. średnia. c) liczba trajektorii prowadzących do ruiny w danym roku oraz prawdopodobieństwo ruiny do roku t. 0,300. prawd. ruiny. 0,150 0,100 0,050 1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 t liczba ruin w roku t prawd. ruiny. kwantyle 10 i 90. d) teoretyczna oraz uzyskana na podstawie symulacji wartość oczekiwana i odchylenie standardowe procesu. 0,200. liczba ruin. 14 12 10 8 6 4 2 0. t min. i maks.. 0,250 0,200 0,150 0,100 0,050. 0,000. 0,000. 0. 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 t śred. sym. odch. sym. śred. teoret. odch. teoret.. Rys. 4. Wyniki symulacji wskaźnika u(t) za pomocą modelu D Źródło: opracowanie własne.. Tabela 5. Iloraz prawdopodobieństw ruiny oszacowanych na podstawie prezentowanych modeli dla u(0) = 0,15 i wybranych okresów t 5. 10. 20 30. 40 50. ψ B (t ) ψ A (t ). ψ C (t ) ψ A (t ). ψ D (t ) ψ A (t ). ψ C (t ) ψ B (t ). ψ D (t ) ψ B (t ). ψ D (t ) ψ C (t ). 1,087. 1,217. 1,261. 1,120. 1,160. 1,036. 1,216. 1,086. 1,213. 1,085. 1,222. 1,444. 1,500. 1,108. 1,246. 1,277. 1,093. 1,187. 1,213. 1,095. 1,093. Źródło: opracowanie własne.. 1,189. 1,187. 1,182. 1,125. 1,085. 1,227. 1,038. 1,153. 1,025. 1,110. 1,022. 1,111. 1,110. 1,023 1,022.

(17) Wpływ wybranych struktur zależności na ryzyko… 0,200 0,180 0,160 0,140 0,120 0,100. 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0. korelacja model C. 125. model D. model B. model A. 1. 0,080 0,060 0,040 0,020 0,000. ψ(1). ψ(5). ψ(10). ψ(20). model A. model B. ψ(30) model C. ψ(40). ψ(50). model D. Rys. 5. Prawdopodobieństwo ruiny dla wybranych horyzontów czasowych przy u(0) = 0,15 Źródło: opracowanie własne. 0,130. prawdopodobieństow ruiny. 0,125 0,120 0,115 0,110 0,105 0,100 0,095 0,300. 0,400. 0,500. 0,600. 0,700. współczynnik korelacji. 0,800. 0,900. Rys. 6. Prawdopodobieństwo ruiny dla u(0) = 0,15 i t = 10 w zależności od współczynnika korelacji między liczbą szkód generowanych przez linie biznesu (model D) Źródło: opracowanie własne.. W ramach tej samej struktury zależności, dobierając odpowiednio parametry, można modelować linie biznesu skorelowane w różnym stopniu. I podobnie jak wcześniej prawdopodobieństwo ruiny wzrasta wraz ze zwiększaniem się stopnia.

(18) 126. Stanisław Wanat. skorelowania. Dla mieszanej struktury wprowadzanej modelem typu D uzyskaną zależność przedstawiono na rys. 6. 5. Podsumowanie Przeprowadzone badanie symulacyjne pokazuje, że modelując ryzyko ruiny ubezpieczyciela prowadzącego działalność w ramach kilku linii biznesu (grup ubezpieczeń), należy uwzględniać zależność między szkodami generowanymi przez poszczególne linie. Przyjmowane bardzo często założenie niezależności, choć wygodne z powodu możliwości zastosowania prostszego aparatu matematycznego, jest przeważnie nieuzasadnione. Nie uwzględnia się wówczas tego, że ryzyko, na które jest narażony ubezpieczyciel, często charakteryzuje się współbieżnością w czasie. Znaczy to, że wiedza na temat jednego typu ryzyka może zostać wykorzystana do predykcji rezultatów (skutków) innego. Jeżeli straty związane z jednym rodzajem ryzyka wykazują tendencję wzrostową przy jednoczesnym powiększaniu się strat związanych z innymi (dodatnia korelacja), to przeważnie jest wymagany większy kapitał, niż gdyby te typy ryzyka były niezależne. Gdy natomiast są ujemnie skorelowane, tworzy się naturalne zabezpieczenie, co sprawia, że jest wymagany mniejszy kapitał. Przykładem jest ryzyko umieralności w ubezpieczeniach na życie i ubezpieczeniach emerytalnych (spadek umieralności wpływa na obniżenie kosztów w pierwszym rodzaju ubezpieczeń i podwyższenie ich w drugim). Współbieżność jest najczęściej związana z tym, że poszczególne rodzaje ryzyka ubezpieczeniowego są zależne od tych samych czynników. Można tutaj wskazać czynniki makroekonomiczne, np. inflację, zmiany kursów walutowych, stopę bezrobocia, stopę procentową, które mogą wpływać na wymogi kapitałowe wielu linii biznesu. Również katastrofy wywołują falę roszczeń z wielu linii biznesu. Zależność między rodzajami ryzyka już dawno została rozpoznana jako integralny czynnik wpływający na proces agregacji. W praktyce jednak rzadko podejmowano próby wprowadzenia struktury zależności do procesu agregacji ryzyka. Obecnie coraz częściej zwraca się uwagę na ten problem w kontekście wypłacalności ubezpieczycieli. W raporcie Międzynarodowego Stowarzyszenia Aktuarialnego (IAA) dotyczącym wypłacalności ubezpieczycieli (por. [IAA 2004]) stwierdza się, że ubezpieczyciel, budując wewnętrzny model ryzyka, musi odzwierciedlać w nim wszystkie istotne zależności. W modelu opartym na wskaźnikach w formule wykorzystanej do połączenia rodzajów ryzyka również muszą zostać uwzględnione istotne zależności. Na różnym poziomie agregacji zależność jest uwzględniana m.in. w następujących modelach wypłacalności (por. np. [CEA 2005]): NAIC (The National Association of Insurance Commissioners Capital Forecasting Model), USA; GDV (The 2002 Supervisory Model for German Insurance Undertakings), Niemcy; JR.

(19) Wpływ wybranych struktur zależności na ryzyko…. 127. (Riskbased Jukka Rantala Model, model opracowywany przez CEA – Comité Européen des Assurances). Z kolei w opublikowanych przez APRA (Australian Prudential Regulation Authority) nowych standardach dotyczących wyceny zobowiązań i wypłacalności ubezpieczycieli majątkowych w Australii stwierdza się, że całkowity margines bezpieczeństwa nie jest sumą marginesów poszczególnych linii biznesu, ponieważ nie są one doskonale skorelowane. Również w ramach projektu Wypłacalność II proponuje się, aby wymogi kapitałowe wyznaczać osobno dla każdego rodzaju ryzyka, a następnie agregować je z uwzględnieniem zależności między typami ryzyka (por. np. [CEIOPS 2006]). Proponuje się, aby proces agregacji przebiegał na dwóch poziomach: między różnymi rodzajami ryzyka i w obrębie ustalonego typu ryzyka. We wszystkich wymienionych modelach przyjmuje się liniową strukturę zależności między rodzajami ryzyka. Takie założenie może jednak prowadzić do błędnych oszacowań wymogów kapitałowych, szczególnie gdy ryzyko nie ma normalnego rozkładu, podlega rozkładom silnie asymetrycznym czy też wykazuje zależności nieliniowe. Wymaga to zastosowania alternatywnych metod modelowania struktury zależności. Przykład takiej metody został zaprezentowany w niniejszym artykule. Zastosowanie jej w praktyce wymaga ustalenia jej wszystkich parametrów. Zagadnienie to będzie przedmiotem dalszych badań. Literatura Ambagaspitiya R.S. [1998]. On the Distribution of a Sum of Correlated Aggregate Claims, Insurance: Mathematics and Economics, 23. Ambagaspitiya R.S. [1999]. On the Distributions of Two Classes of Correlated Aggregate Claims, Insurance: Mathematics and Economics, 24. CEA [2005], Solvency Assessment Models Compared Essential Groundwork for the Solvency II Project, Comité Européen des Assurances (CEA) and Mercer Oliver Wyman Limited, www.cea.assur.org. CEIOPS [2006], Quantitative Impact Study 2, Technical Specification, www.ceiops.org. Cossette H., Marceau E. [2000], The discrete-time risk model with correlated classes of business, Insurance: Mathematics and Economics, 26. Daykin C.D., Pentikäinen T., Pesonen M. [1994], Practical Risk Theory for Actuaries, Chapman & Hall, London. IAA [2004], A Global Framework for Insurer Solvency Assessment, A Report by the Solvency Assessment Working Party of the IAA, www.actuaries.org. Kocherlakota S., Kocherlakota K. [1992], Bivariate Discrete Distributions, Marcel Dekker, New York. Lindskog F., McNeil A.J. [2001], Common Poisson Shock Models: Applications to Insurance and Credit Risk Modelling, ETHZ Zurich. Marshall A.W., Olkin I. [1967], A Multivariate Exponential Distribution, „Journal of the American Statistical Association”, 62. Marshall A.W., Olkin I. [1988], Families of Multivariate Distributions, „Journal of the American Statistical Association”, 83..

(20) 128. Stanisław Wanat. Papież M. Wanat S. [2006], Wybrane metody analizy i modelowania zależnych zmiennych losowych wykorzystywanych w ubezpieczeniach, Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie, nr 726, Kraków. Savelli N. [2003], A Risk Theoretical Model for Assessing Solvency Profile of a General Insurer, XXXIV ASTIN Colloquium, Berlin, 24–27 August. Wanat S. [2005], Modelowanie funduszu nadwyżkowego w ubezpieczeniach majątkowych [w:] Inwestycje finansowe i ubezpieczenia – tendencje światowe a polski rynek, Prace Naukowe Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu, nr 1088, t. 2. Wang S. [1998], Aggregation of Correlated Risk Portfolios: Models and Algorithms, Proceedings of the 1998 Casualty Actuarial Society, vol. LXXXV. Yuen K.C., Wang G. [2002], Comparing Two Models with Dependent Classes of Business, ARCH, Society of Actuaries. The Impact of Selected Dependence Structures on the Risk of an Insurer’s Ruin – a Simulation Analysis In this article, the author presents a certain method of “introducing” a selected dependence structure into a model describing a surplus fund of an insurer operating within two lines of business. Next, the author analyses its impact on the probability of ruin. In the presented model, correlation between the lines is obtained by introducing a dependence structure between the number of generated claims in each line of business. The author uses the common shock model and the thinning dependence structure as tools for modelling the dependence. Due to the complex relationships and dependencies between the model’s variables, the impact of a given dependence structure on the probability of ruin is tested using a simulation method..

(21)