Rozdzia VII – Czstki i fale

(1)

VII. CZĄSTKI I FALE

VII.1. POSTULAT DE BROGLIE'A (1924)

De Broglie wysunął postulat fal materii – tzn. małym cząstkom przypisał fale. Światło wykazuje zjawisko dyfrakcyjne.

Rys.VII.1.Światło padające na przeszkodę D ze szczeliną o szerokości d. Na ekranie E widać obraz szczeliny. Gdy d jest znacznie dłuższa od λ to obserwujemy dyfrakcję.

(2)

Promieniowanie elektromagnetyczne ma charakter dualny.

Hipoteza:

Być może cząstki zachowują sie jak fale – fale materii (de Broglie'a). De Broglie przypisał falą długość i częstość.

λ₌h p (VII.1.1) gdzie: p – pęd cząstki f ₌ E h (VII.1.2) (λ, f) – wielkości falowe

(p, E) – wielkości korpuskularne (cząstkowe)

E2_{= c}2p2_{ m}₀2c4 (VII.1.3) De Broglie przypisał cząstce falę opisaną funkcją (4):

Ψ_{x ,t = exp}

[

−i  Et−p x

ℏ

]

(VII.1.4)

VII.2. DOŚWIADCZALNA WERYFIKACJA HIPOTEZY

W optyce efekty dyfrakcyjne obserwujemy, gdy λ ≥ d, gdzie d to średnica przeszkody. Dyfrakcja fal materii powinna być obserwowana przy podobnych warunkach.

a) Obiekt makroskopowy – cząstki kurzu o promieniu r i gęstości ρ, poruszające się z prędkością v r=10−6 _m ρ= 10 g cm3



Ag= 10,5 g cm3



(3)

v= 1m

s  p = mv bo v ≪ c p= mv = 3₄ r3ρv≃ 4⋅10−11 g⋅cm_s

Ze wzoru (VII.1.1) otrzymujemy, że:

 = h p≃ 1,6⋅10 −16_cm Ponieważ r₁H _{≃ 10}−8_cm _{, to:}  ≪ r1H Wniosek:

Fal de Broglie'a nie możemy obserwować dla cząstek takich jak cząstka kurzu. b) Elektrony o energii Ek, poruszające się z prędkością v.

Ek = 10eV , v  1 %c Ek = 1 2mv 2 = p2 2m , stąd: p=

_

2mE_k≈1,7⋅10−19g⋅cm s

Z wzoru (VII.1.1) możemy obliczyć, że długość fali λ jest równa:

 = h

p≈4⋅10 −8_cm

czyli  ≥ r1H

A zatem gdybyśmy rozpraszali elektrony na atomach, byłby spełniony warunek dyfrakcyjny.

(4)

Potwierdzenia hipotezy de Broglie'a można szukać rozpraszając elektrony na ciałach krystalicznych. Są to różnego rodzaju minerały, metale. Atomy są w nich uporządkowane w regularny sposób.

Doświadczenie Davisona- Germera (1927)

Rys.VII.3. Schematyczne przedstawienie zjawiska rozpraszania elektronów na sieci krystalicznej. D – detektor, K – katoda, a – odległość pomiędzy atomami w sieci (jest charakterystyczna dla danej sieci krystalicznej).

Rys.VII.4.

Doświadczenia potwierdziły prawdziwość hipotezy de Broglie'a

Otrzymano liczbowe wartości długości fali materii λfm i energii kinetycznej Ek: fm=

h

(5)

Warunek dyfrakcji dla fal (warunek Bragga):

n = dsin  , n=1,2,3 ,... (VII.2.2) Z powyższego wzoru można obliczyć, że długość fali λ1 wynosi:

1= 1,65 Å

A zatem jak widać z (VII.2.1) i otrzymanego wyniku dla λ1:



1

=

~1%



fm

Podobne doświadczenie do przeprowadzonego przez Davisona i Germera wykonał Thomson. Różnica była taka, że badał promieniowanie po przejściu przez próbkę (a nie odbite) – obrazy dyfrakcyjne w transmisji.

W ten sposób została jednoznacznie potwierdzona słuszność hipotezy de Broglie'a. Na jej podstawie można dokonać interpretacji drugiego postulatu Bohra.

VII.3. INTERPRETACJA REGUŁY KWANTOWANIA BOHRA (L=nħ)

L₌df mvr _{= pr} (VII.3.1) gdy r prostopadłe do v

p= h

 (VII.3.2)

Z zależności (VII.3.1) i (VII.3.2) wynika, że:

L₌ hr

 (VII.3.3)

L_{= n ℏ} (VII.3.4)

(6)

hr

 = n ℏ (VII.3.5)

2 rn= n , n= 1,2 ,3 ,.... (VII.3.6)

Z (VII.3.6) wzoru wynika, że na n-tej orbicie mieści się n długości fali λ.

Rys.VII.5. Czwarta orbita – 4 długości fali. W interpretacji de Broglie'a elektronowi na orbicie odpowiada fala stojąca.

VII.4. ZASADA NIEOZNACZONOŚCI HEISENBERGA (1927)

Zasada nieoznaczoności:

– mówi o tym, że niepewność zawsze będzie częścią każdego przewidywania dokonanego przez naukę. Dla niektórych problemów nie da się dokładnie wyliczyć, co się stanie w przyszłości.

– jest kuriozalna z punktu widzenia fizyki klasycznej – stosuje się do mechaniki kwantowej

– postuluje, że istnieje granica poznawalności

– dotyczy wielkości komplementarnych, czyli wielkości, które nie komutują ze sobą (ich komutator jest różny od 0, patrz: IX.3).

Przykłady zasady nieoznaczoności dla różnych par komplementarnych: a) położenie r= x , y , z i pęd p= px, py, pz

(7)

r⋅ p ≥

ℏ

₂

(VII.4.1) Zapis skalarny:  x⋅ px≥ ℏ 2 (VII.4.2a)  y⋅ py≥ ℏ₂ (VII.4.2b)  z⋅ pz≥ ℏ₂ (VII.4.2c)

Wzory (VII.4.1) i (VII.4.2a,b,c) to zasada nieoznaczoności Heisenberga zastosowana do wektorów położenia i pędu.

∆ x – dokładność określenia położenia

∆ p – dokładność określenia pędu We współrzędnych kartezjańskich otrzymujemy:

 x ≥ ℏ

2 px (VII.4.3a)

Oraz we współrzędnych biegunowych:

⋅ L ≥ ћ

(VII.4.3b)

b) Energia E i czas t

Zasada nieoznaczoności Heisenberga dla tej pary komplementarnej wyraża wzór (VII.4.4):

 E⋅t ≥ ħ

(VII.4.4)

(8)

mniejsze tym mniej dokładnie poznajemy energię tego stanu. Nazywamy to rozmyciem stanu.