Metoda Laplace'a obliczania wyznaczników

Metoda Laplace'a obliczania

wyznaczników

Autorzy:

Agnieszka Kowalik

Metoda Laplace'a obliczania wyznaczników

Metoda Laplace'a obliczania wyznaczników

Autor: Agnieszka Kowalik

DEFINICJA

Definicja 1: Dopełnienie algebraiczne

Definicja 1: Dopełnienie algebraiczne

Niech będzie macierzą kwadratową stopnia , gdzie . Niech będzie podmacierzą stopnia powstałą z macierzy poprzez skreślenie -tego wiersza i -tej kolumny. Liczbę

nazywamy dopełnieniem algebraicznymdopełnieniem algebraicznym elementu macierzy .

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Przykład 1:

Niech będzie macierzą stopnia postaci

Obliczymy dopełnienie algebraiczne elementu . Skreślamy zatem drugi wiersz i trzecią kolumnę macierzy , otrzymując macierz

Wyznacznik macierzy jest równy , zatem dopełnienie algebraiczne elementu wynosi .

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 1: Rozwinięcia Laplace'a wyznacznika

Rozwinięcia Laplace'a wyznacznika

Niech będzie macierzą stopnia , gdzie .

1. Dla dowolnej, ustalonej liczby , gdzie , wyznacznik macierzy jest równy Powyższą równość nazywamy rozwinięciem Laplace'a względem rozwinięciem Laplace'a względem -tego wiersza-tego wiersza. 2. Dla dowolnej, ustalonej liczby , gdzie , wyznacznik macierzy jest równy

Powyższą równość nazywamy rozwinięciem Laplace'a względem rozwinięciem Laplace'a względem -tej kolumny-tej kolumny.

Warto zwrócić uwagę, że zgodnie z powyższym twierdzeniem, wyznacznik macierzy jest równy rozwinięciu Laplace'a względem dowolnie

dowolnie wybranego wiersza bądź kolumny macierzy, podczas gdy definicja indukcyjna nakazuje wykonać rozwinięcie względem konkretnej (w tym przypadku pierwszej) kolumny macierzy.

A = ( )

a

ij

n

n ≥ 2

A

ij

n − 1

A

i

j

= (−1

det

D

ij

)

i+j

A

ij

a

ij

A

A

3

A =

⎛

.

⎝

⎜

−1

2

1

2

0

1

13

−3

4

⎞

⎠

⎟

a

23

A

= (

) .

A

23

−1

₁

2

₁

A

23

−3

a

23

= (−1

⋅ (−3) = 3

D

23

)

2+3

A = ( )

a

ij

n

n ≥ 2

i

1 ≤ i ≤ n

A

detA =

∑

n

.

k=1

a

ik

D

ik

i

j

1 ≤ j ≤ n

A

detA =

∑

n

.

k=1

a

kj

D

kj

j

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Przykład 2:

Obliczymy wyznacznik macierzy

Zauważmy, że w trzeciej kolumnie macierzy mamy dwa zera, zatem wygodnie będzie obliczać wyznacznik, wykorzystując rozwinięcie Laplace'a względem tej właśnie kolumny.

Niejednokrotnie przy obliczaniu wyznacznika wygodnie jest daną macierz przekształcić, stosując operacje nie mające wpływu na jej wyznacznik (zob.: twierdzenie Własności wyznacznika macierzy).

PRZYKŁAD

Przykład 3:

Przykład 3:

Obliczymy wyznacznik macierzy

Łatwo zauważyć, że mnożąc pierwszy wiersz przez , a następnie dodając go do drugiego wiersza, otrzymamy w drugim wierszu dwa zera, co znacznie uprości rachunki. Mamy zatem:

Stosujemy następnie rozwinięcie Laplace'a względem drugiego wiersza, otrzymując

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko

A =

.

⎛

⎝

⎜

⎜

⎜

1

−1

2

−2

−2

4

−1

1

0

1

0

2

3

−2

3

0

⎞

⎠

⎟

⎟

⎟

detA = 0 ⋅

D

13

+ 1 ⋅

D

23

+ 0 ⋅

D

33

+ 2 ⋅

D

43

=

= 0 + 1 ⋅ (−1

)

2+3

⋅

∣

+ 0 + 2 ⋅ (−1

⋅

=

∣

∣

∣

1

2

−2

−2

−1

1

3

3

0

∣

∣

∣

∣

)

4+3

∣

∣

∣

∣

1

−1

2

−2

4

−1

3

−2

3

∣

∣

∣

∣

= −(0 + 6 + 12 − (6 + 3 + 0)) − 2 ⋅ (12 + 3 + 8 − (24 + 2 + 6)) =

= −(18 − 9) − 2 ⋅ (23 − 32) = −9 + 18 = 9.

A =

.

⎛

⎝

⎜

⎜

⎜

1

2

−2

3

−1

−3

5

2

3

1

−6

−1

−2

−4

3

1

⎞

⎠

⎟

⎟

⎟

−2

=

=

.

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1

2

−2

3

−1

−3

5

2

3

1

−6

−1

−2

−4

3

1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

w

1

w

2

w

3

w

4

→

→

→

→

w

1

− 2

w

2

w

1

w

3

w

4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1

0

−2

3

−1

−1

5

2

3

−5

−6

−1

−2

0

3

1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

detA = (−1) ⋅

∣

+ (−5) ⋅

=

∣

∣

∣

1

−2

−3

3

−6

1

2

−3

1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1

−2

−3

1

−5

2

2

−3

1

∣

∣

∣

∣

= −1 ⋅ (−6 − 4 + 27 − (36 − 3 − 6)) − 5 ⋅ (−5 − 8 + 9 − (30 − 6 − 2)) = 140.

na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 04:50:31

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=219209c31cb4637fd80b6ef0811b6ac0