Wyznacznik macierzy
Uwaga. Pojęcie wyznacznika macierzy (lub przekształcenia liniowego reprezentowanego przez macierz) definiuje się tylko dla macierzy kwadratowych.
Niech A=
[
a1,...,an]
będzie macierzą kwadratową o kolumnach a ,...,1 an.Def. (aksjomatyczna). Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A=
[
a1,...,an]
nazywamy funkcję[
n]
→ ∈K= ,..., det( ) :
det A a1 a A , (która danej macierzy kwadratowej przypisuje skalar)
spełniającą warunki:
1. det jest liniową funkcją każdej kolumny przy ustalonych pozostałych tzn.
[
a ,..., ak bk,...,an]
det[
a ,...,ak,...,an]
det[
a ,...,bk,...,an]
det 1 α +β =α 1 +β 1
2. det jest funkcją alternującą tzn.
jeśli dla ai =ajdla i≠j, to det
[
a1,...,ai,...,aj,...,an]
=03. det(I)=det
[
e1,...,en]
=1 ei– i-ta kolumna macierzy jednostkowej.Z powyższej aksjomatycznej definicji w wyznacznika wynika, że:
a) Jeżeli macierz ma zerową kolumnę, to jej wyznacznik jest równy 0 (wniosek z 1 dla α=β=0) b) Wyznacznik macierzy nie zmieni się, jeśli do danej kolumny dodamy liniową kombinację
pozostałych kolumn (wniosek z 1 i 2)
c) Wyznacznik zmienia znak, gdy zamienimy miejscami dowolne dwie kolumny d) Funkcja det jest jednoznacznie wyznaczona przez własności 1,2,3
Dow. c)
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[
j i n] [
j i n]
n i j i n
j i j j i
n j j i n
j i
a a a a a
a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a a
,..., ,..., ,..., det ,...,
,..., ,..., det
,..., ,..., ,...,
det ),...,
( ,..., ,...,
det
,..., ,..., ,...,
det ,...,
,..., ,..., det
1 1
1 1
1 1
−
=
−
=
=
− +
= +
− +
=
= +
=
Dow. d)
[ ]
n k k k P
k k k
k k k
k k k n k n
k n k
n k
k k k
n k
n k k
n k
k k n k
k n
n n
n
n
n n
n n
n n
a a a
a a a a
a a
,..., )
1 (
] ,..., , det[
,..., ,
det ,...,
, det
2 1 )
,..., , (
) ,..., , (
1 1 1
2 1 1
1 2 1
1 2
1
2 1 2
1
2 1
2 1
1 2
2 1 2
2 2 1 1
1
∑
∑∑ ∑
∑
∑
∑
∈
= = =
=
=
=
−
=
=
=
=
ε
e e e e
e e
a a
a L L
gdzie Pn oznacza zbiór wszystkich permutacji zbioru {1,2,….,n} (jest ich n!), a )
,..., ,
(k1 k2 kn
ε oznacza ilość inwersji permutacji (k1,k2,...,kn)
Uwaga. Wzór
[ ]
k k knP k k k
k k k
n n
n n
n a a ,...,a )
1 ( ,...,
,
det 1 2
) ,..., , (
) ,..., , ( 2
1 1 2
2 1
2
∑
1∈
−
= ε
a a
a stanowi tzw. permutacyjną
Wyjaśnienie
Def. Niech a1,...,an będzie skończonym ciągiem różnych liczb rzeczywistych. Para (ai,aj) tworzy inwersję jeżeli i<j i ai>aj
Przykład. Rozważmy ciąg (1,7,5,4). Ile jest inwersji w tym ciągu? Z danego ciągu można utworzyć 6 par bez zmiany porządku (C ) : (1,7), (1,5), (1,4), (7,5), (7,4), (5,4). Trzy ostatnie tworzą 42 inwersje.
Bezpośrednio z permutacyjnej definicji wyznacznika mamy
• det[a11]= a11
• 11 22 12 21
22 21
12
11 a a a a
a a
a
a = −
• 11 22 33 12 23 31 13 21 32 12 21 33 11 23 32 13 22 31
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a
a a a
−
−
− +
+
=
Reguła Sarrusa
23 22 21
13 12 11
31 31 31
23 22 21
13 12 11
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
=
Uwaga. Reguła Sarrusa stosuje się tylko do wyznaczników stopnia trzeciego Uwaga. Jako oznaczenie wyznacznika det A używa się również |A| .
Z permutacyjnej definicji wyznacznika i własności permutacji otrzymujemy
Tw. Wyznacznik macierzy jest równy wyznacznikowi macierzy transponowanej: det A =det AT .
Def Minorem elementu aij macierzy kwadratowej A=[ aij] nazywamy wyznacznik Mij utworzony a wyznacznika macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.
=
nn nj
n
in ij
i
n j
ij
a a
a
a a
a
a a
a M
L L
M O M O M
L L
M O M O M
L L
1 1
1 1
11
det
Def. Dopełnieniem algebraicznym elementu aij macierzy A=[ aij] nazywamy liczbę Aij=(-1)i+j Mij + +
+ + - - -
• n ij
j ij
ij a A
a
∑
=
=
1
]
det[ dla dowolnego i=1,...,n (rozwinięcie względem i-tego wiersza)
• n ij
i ij
ij a A
a
∑
=
=
1
]
det[ dla dowolnego j=1,...,n (rozwinięcie względem j-tej kolumny)
Dowód. (rozwinięcie względem j-tej kolumny)
ij ij n
i
j n i
i
nn j
n j n n
n j j
i j i i
n i j
i j i i
n j
j
in j
i j i i
ij i j
nn j
n j n n
in j
i j i i
n j
j
ij n
i n j
i
nn n
in i
n
ij
n i
nn n
in ij
i
n
nn nj
n
in ij
i
n j
M a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a
a a
a a
a
a a
a a
a
a a
a a
a
a a
a
a a
a
∑
∑
∑
∑
∑
= +
=
+
−
+ +
+
− + +
− +
−
−
−
−
+
− +
−
−
−
+
− +
− +
−
=
−
=
=
−
=
−
−
=
=
−
=
=
=
=
=
1 1
1 1 1
1 1
1 1 1 1
1
1 1
1 1 1 1
1
1 1
1 1 1 11
1 1 1
1 1
1 1 1
1 1 1
1 1
1 1 1 11
1 1 1
1 1
1 11
1
1 1
1 11
1 1
1 1
11
) 1 (
0 0 0 0 1
det )
1 ( ) 1 (
0 1 0 det )
1 ( 0
1 0 det
0 0 det
det det
O L
M O M M O M M
L L
L L
M O M M O M M
L L
L L
L L
M O M M O M M
L L
M O M M O M M
L L
L L
M O M O M
L L
M O M O M
L L
L L
M O M O M
L L
M O M O M
L L
L L
M O M O M
L L
M O M O M
L L
A
Przykład. Obliczyć wyznacznik
16 12 8 4
15 11 7 3
14 10 6 2
13 9 5 1
= 0
• bezpośrednio z tw. o rozwijaniu
• wykorzystując własności wyznacznika doprowadzić go najpierw do wygodniejszej postaci.
Tw. Cauchyego. Dla dowolnych macierzy kwadratowych A i B tego samego stopnia prawdziwa jest równość detAB=detA detB .
Dowód. Niech C=BA . Stąd
B A B
b b
b b b
b C
det det )
1 ( det
] ,..., det[
) 1 (
] ,..., det[
,..., det
det
) ,..., (
) ,..., ( 1
) ,..., (
1 ) ,..., ( 1
1 1
1
1 1
1
1
1 1
1
1 1
1
1 1
1
1 1
=
−
=
−
=
=
=
=
∑
∑
∑ ∑
∑ ∑
∈
∈
= =
= =
n n
n n
n n
n n
n
n n
n
n n
P k k
k k n k k P
k k
n k
k n k k
m k
n k
k k n k k n
k
n k
k n k k
k
a a a
a
a a a
a
ε
ε L
L
L L
Uwagi
• Dla macierzy blokowych prawdziwa jest równość
=
E 0
B A C 0
0 E C 0
B
A . Z twierdzenia
Cauchy’ego A C
C 0
B
A det det
det =
• pp
pp ip ii
p i
a a a
a a
a a
a
L
L L
M O M O M
L L
M O M O M
L L
11 1 1
11
0 0
det 0 =
Def. Macierz kwadratową nazywamy nieosobliwą jeżeli jej wyznacznik jest różny od 0.
Def Dla macierzy nieosobliwej A definiuje się macierz odwrotną A-1 czyli macierz spełniającą warunek A A-1= A-1 A=E
Def. Macierzą dołączoną AD macierzy A nazywamy transponowaną macierz jej dopełnień algebraicznych
Tw. A−1= det1AAD . Dowód poprzedzimy przykładami.
Przykład.
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
21 21
T 21
1
2 0 2 1
0 1 0
1 0 0
4 4 2
1 2 0
2 1 2
0 0 1
0 1 2
.
Własności macierzy odwrotnej
1. Macierz odwrotna jest wyznaczona jednoznacznie. Zbiór macierzy kwadratowych, nieosobliwych tego samego stopnia tworzy grupę z działaniem mnożenia macierzy.
Elementem neutralnym jest macierz jednostkowa E, natomiast elementem odwrotnym do macierzy (nieosobliwej) A jest macierz A-1.
2. (A−1)−1=A.
Dowód. A−1(A−1)−1=E / A AE A
AA−1( −1)−1=
Dowód. (AB)(B−1A−1)=A(BB−1)A−1=AA−1=E E B B B A A B AB A
B−1 −1)( )= −1( −1 ) = −1 = (
Dowód tw. A−1= det(1A)AD
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
=
=
=
A A
A AA
det 0
0
0 det
0
0 0
det
1 1 2
1 1 1
1
1 2 1
2 2 1
1 2
1 1 1
2 1 1
1 1
1 1
1 1
11
1 1
1 1
11
D
L M O M M
L L
L M O M
M
L L
L L
M O M O M
L L
M O M O M
M O M O M
L L
L L
L
M O M O O M
L L
L
M O M O O M
L L
L
n k
k nk k
n k
k nk n
k k nk
n k
nk k n
k k k n
k k k
n k
nk k n
k k k n
k k k
nn in
n
nj ij
j
n i
nn nj
n
in ij
i
n j
An a A
A a A a
A a A
a A
a
A a A
a A
a
A A
A
A A
A
A A
A
a a
a
a a
a
a a
a
Stąd AAD=det(A)E. Wobec tego A(det(1A)AD)=E.
Wyjaśnienie. Aby otrzymać element iloczynu AAD stojący w i-tym wierszu i w i-tej kolumnie mnożymy i-ty wiersz macierzy A przez i-tą kolumnę macierzy macierzy AD i otrzymujemy
) det(
1
= A
∑
= n kik ikA
a ( z tw. Laplace’a o rozwijaniu). Natomiast element iloczynu stojący w i-tym wierszu i w j-tej kolumnie otrzymujemy mnożąc i-ty wiersz macierzy A przez j-tą kolumnę macierzy macierzy AD i dostajemy 0
1
∑
== n k
jk ikA
a , gdyż otrzymana suma jest rozwinięciem wyznacznika macierzy A w której j-ty wiersz został zastąpiony i-tym wierszem (wyznacznik macierzy o dwóch jednakowych wierszach jest równy 0).
