Index of /rozprawy2/11384

Pełen tekst

(1)Praca doktorska. Maciej Chodyń. Uogólniony Zbiór Penrose’a w analizie strukturalnej kwazikryształów dekagonalnych. Opiekun: prof. dr hab. Janusz Wolny Opiekun pomocniczy: dr inż. Paweł Kuczera. Kraków, Wrzesień 2018.

(2) Oświadczenie autora rozprawy: Oświadczam, świadomy odpowiedzialności karnej za poświadczenie nieprawdy, że niniejszą pracę doktorską wykonałem osobiście i samodzielnie, oraz nie korzystałem ze źródeł innych niż wymienione w pracy.. Oświadczenie promotora: Niniejsza rozprawa jest gotowa do oceny przez recenzentów.. str. 2.

(3) Serdeczne podziękowania dla Pana Profesora Janusza Wolnego za pomoc, wielką cierpliwość i długie dyskusje bez których ta praca by nie powstała.. Szczere podziękowania dla Pana Dr Pawła Kuczery za poświęcony czas, szczególnie za ogromne wsparcie w analizie napotkanych problemów i trudności oraz za bezcenną pomoc w ich rozwiązywaniu.. Podziękowania dla Ireneusza Bugańskiego i Radosława Strzałki za dyskusje i cenne uwagi.. str. 3.

(4) str. 4.

(5) Spis treści Wstęp 1. Jednowymiarowe kwazikryształu 1.1. Ciąg Fibonacciego 1.2. Metoda Cut-and-Project 1.3. Przestrzeń odwrotna 1.4. Obraz dyfrakcyjny 1.5. Metoda statystyczna (metoda średniej komórki elementarnej) 2. Zbiór Penrose’a 2.1. Przestrzeń prosta 2.2. Przestrzeń odwrotna 2.3. Średnia komórka elementarna 2.4. Baza wektora falowego w przestrzeni rzeczywistej 2.5. Czynnik Strukturalny nieudekorowanego zbioru Penrose’a 3. Uogólniony zbiór Penrose’a 4. Czynnik Strukturalny dowolnie dekorowanego uogólnionego zbioru Penrsoe’a 5. Udokładnianie struktury kwazikryształów dekagonalnych z wykorzystaniem uogólnionego zbioru Penrose’a. 6. Przegląd dotychczasowych wyników badań 7. Udokładnienie struktury Al-Cu-Rh 8. Wnioski Bibliografia. str. 5.

(6) str. 6.

(7) Wstęp Klasyczna krystalografia od początku swojego istnienia była rozwijana w oparciu o założenie, że kryształ musi być periodyczną strukturą o dyskretnej symetrii translacyjnej zbudowaną z komórek elementarnych. Takie założenie wymuszało ograniczenia w elementach symetrii, w szczególności w osiach obrotu, dopuszczalne były tylko osie 2-,3-,4- i 6-krotne. Próba zastosowania innych osi obrotu kończyła się nakładaniem na siebie komórek elementarnych, albo pustymi przestrzeniami, których nie dało się w żaden sposób zapełnić. W trójwymiarowym przypadku symetria translacyjna dawała 32 możliwe grupy punktowe, 230 grup przestrzennych i 14 sieci Bravaisa pogrupowanych w 7 układach krystalograficznych. Kwazikryształy zostały po raz pierwszy zaobserwowane w 1982 roku przez Dana Shechtmana (Shechtman D., Blech I., Gratias D., Cahn J. W., 1984). Ich odkrycie wywołało wielkie zaskoczenie ponieważ po raz pierwszy zaobserwowano obraz dyfrakcyjny z ostrymi pikami dyfrakcyjnymi, który posiadał zakazaną, 10-krotną symetrię. Ostre piki dyfrakcyjne dowodziły istnienia uporządkowania dalekiego zasięgu, równocześnie 10-krotna symetria zaprzeczała istnieniu dyskretnej symetrii translacyjnej. W efekcie odkrycie kwazikryształów spowodowało, że Międzynarodowa Unia Krystalograficzna zmieniła definicję kryształu, na "dowolne ciało stałe posiadające zasadniczo dyskretny obraz dyfrakcyjny". Ze względu na wymiar przestrzeni można podzielić kwazikryształy na ikozaedryczne, będące aperiodyczne we wszystkich trzech wymiarach, oraz osiowe, będące aperiodyczne w dwóch wymiarach, podczas gdy w trzecim wymiarze są periodyczne. Brak. dyskretnej symetrii translacyjnej komplikuje. proces. udokładniania. struktury,. standardowe metody opisu, tj. wyróżnienie sieci i komórki elementarnej nie dają dobrych rezultatów. W większości przypadków trzeba założyć a priori konkretny tiling (istnieje polski odpowiednik słowa - parkietaż, jest on jednak stosunkowo rzadko używany), a następnie dokonać pełnego udokładnienia w ramach tak wybranego modelu. Drugą trudnością jest obliczanie czynnika strukturalnego. Istnieją dwie główne metody obliczania czynnika strukturalnego. Pierwsza, zwana podejściem wyżej wymiarowym, albo cut-and-project (De Wolff P. M., 1974) (Janssen T., 1986) (Janssen T., 1991) jest oparta o założenie, że kwazikryształy są strukturami regularnymi (periodycznymi) w wyżej wymiarowej przestrzeni, 4- lub 5-wymiarowej dla kwazikryształów osiowych, oraz 6-wymiarowej dla kwazikryształów str. 7.

(8) ikozaedrycznych. Według tego podejścia obserwowany przez nas kwazikryształ jest rzutem pewnego wycinka (tzw. paska rzutowania) wyżej wymiarowej periodycznej struktury na przestrzeń fizyczną. Poza przestrzenią fizyczna istnieje jeszcze przestrzeń do niej prostopadła, rzut struktury spod paska rzutowania na przestrzeń prostopadłą tworzy powierzchnie atomowe. Podczas rzutowania wyżej wymiarowej przestrzeni punkty należące do powierzchni atomowej tworzą w przestrzeni rzeczywistej kwazikryształ. Druga metoda, tzw. metoda średniej komórki elementarnej (Wolny J., 1998) (Kozakowski B., Wolny J., 2010), jest to podejście statystyczne bazujące na analizie rozkładu prawdopodobieństwa otrzymanego w wyniku rzutowania struktury aperiodycznej na periodyczną sieć. Główną zaletą metody średniej komórki elementarnej jest możliwość prowadzenia obliczeń tylko i wyłącznie w trójwymiarowej przestrzeni fizycznej, bez konieczności odwoływania się do przestrzeni wielowymiarowych. Obie te metody można łatwo zobrazować wykorzystując jako przykład jednowymiarowy kwazikryształ - Ciąg Fibonacciego. Zbiór Penrose'a (Penrose R., 1974) jest najpopularniejszym modelem używanym do opisu kwazikryształów dekagonalnych. Jest on zbudowany z dwóch rodzajów rombów pokrywających płaszczyznę w sposób aperiodyczny. Dodatkowo zbiór ten ma lokalne symetrie 5-krotne, a jego obraz dyfrakcyjny posiada symetrię 10-krotną. W przypadku Zbioru Penrose'a powierzchnia atomowa jest trójwymiarową bryłą. Ponieważ jednak rzutowane punkty przecinają się z nią tylko na konkretnych wysokościach możemy zastąpić trójwymiarową powierzchnię dwuwymiarowymi figurami, w przypadku zbioru Penrsoe’a tymi figurami będą cztery pięciokąty. Uogólniony zbiór Penrose'a jest rozszerzeniem zbioru Penrose'a (Pavlovitch A., Kleman M., 1987) (Ishihara K. N., Yamamoto A., 1988). Jest on zbudowany z tych samych dwóch rodzajów rombów, jednak posiada dodatkowy parametr, który odpowiada za ułożenie rombów w tworzonym tilingu. Parametr ten jest związany z przesunięciem trójwymiarowej powierzchni atomowej, w wyniku którego rzutowane na powierzchnie atomową punkty przecinają ją na innych wysokościach. Powoduje to, że powierzcie atomowa, zamiast czterech pięciokątów, tworzą dwa pięciokąty oraz trzy dziesięciokąty, których kształt zależy od wartości parametru przesunięcia. Dzięki temu uogólniony Zbiór Penrose’a nie jest jednym ściśle określonym tilingiem, a nieskończoną rodziną tilingów o różnym uporządkowaniu dalekiego zasięgu.. str. 8.

(9) Do wyznaczenia i udokładnienia struktury kwazikryształu potrzebne są dane z dyfrakcji rentgenowskiej, oraz odpowiedni model teoretyczny pozwalający na poprawny opis struktury. Jednym z takich modeli jest zbiór Penrose’a, pozwala on na udokładnienie struktur kwazikryształów dekagonalnych z dobrymi rezultatami. Ponieważ zbiór Penrose’a jest jednym, szczególnym, przypadkiem uogólnionego zbioru Penrose’a, pojawiło się pytanie, czy nie dałoby się uzyskać lepszych wyników stosując uogólniony zbiór Penrose’a. Zastosowanie uogólnionego Zbioru Penrose'a pozwala na uniknięcie konieczności wyboru konkretnego tilingu, zamiast tego może zostać on dopasowany w procesie udokładniania struktury. W celu przetestowania takiego modelu konieczne było wyprowadzenie od podstaw wzoru na czynnik strukturalny dowolnie dekorowanego uogólnionego zbioru Penrose’a. O ile do utworzenia uogólnionego Zbioru Penrose'a wykorzystano podejście wyżej wymiarowe, to do dalszych obliczeń została wykorzystana metoda średniej komórki elementarnej. Wyprowadzony metodą średniej komórki elementarnej wzór na czynnik strukturalny został przetestowany poprzez porównanie z wynikami otrzymanymi metoda cut-and-project. Dodatkowo sprawdzono czy uzyskany wzór daje poprawne wyniki po sprowadzeniu uogólnionego zbioru Penrose’a do „zwykłego” zbioru Penrose’a. Na koniec zastosowano nowy model do udokładnienia struktury Al-Cu-Rh w oparciu o dane dyfrakcyjne. Motywacja badań i cel pracy Analiza strukturalna kwazikryształów dekagonalnych jest wciąż sporym wyzwaniem, pomimo wielu lat badań wyniki udokładniania struktur są gorsze niż dla struktur periodycznych. Jednym z problemów jest określenie uporządkowania dalekiego zasięgu, tj. konkretnego tilingu struktury. Współczesne mikroskopy elektronowe są pomocne, jednak nawet najwyższej jakości zdjęcia przedstawiają jedynie mały fragment, nie pozwalając na jednoznaczne określenie całej struktury. Dwie główne metody wykorzystywane w procesie udokładniania struktury to analiza wyżej wymiarowa (De Wolff P. M., 1974) (Janssen T., 1986) (Janssen T., 1991) (Takakura H., Yamamoto A., Tsai A. P., 2001) (Cervellino A., Haibac T., Steurer W., 2002) i metoda średniej komórki elementarnej (Wolny J., 1998) (Kozakowski B., Wolny J., 2010). Obie te metody cechuje wspólny problem, pierwszym krokiem jest założenie konkretnego rodzaju. tilingu.. Większość. (jeśli. nie. wszystkie). modele. struktur. kwazikryształów. dekagonalnych są oparte o tzw. Penrose Mutual Local Derivability class (PLMD) (Baake M., str. 9.

(10) Schlottmann M., Jarvis P. D., 1991), do których należą np. pięciokątny lub rombowy zbiór Penrose’a. Ich uporządkowanie dalekiego zasięgu jest takie same, struktura opisana jednym rodzajem tilingu może być sprowadzona do innego. Rombowy zbiór Penrose’a został z powodzeniem wykorzystany do udokładnienia metodą średniej komórki elementarnej kilku różnych struktur kwazikryształów dekagonalnych (Kuczera P., Wolny J., Fleischer F., Steurer W., 2011) (Kuczera P., Wolny J., Steurer W., 2012). Pojawia się jednak pytanie czy wykorzystany tiling rzeczywiście najlepiej opisuje uporządkowanie dalekiego zasięgu, być może wyjście poza PMLD pozwoliłoby na otrzymanie lepszych wyników. Uogólniony zbiór Penrose’a (Pavlovitch A., Kleman M., 1987) (Ishihara K. N., Yamamoto A., 1988) nie należy do PMLD. Nie jest to też pojedynczy tiling, lecz nieskończony zbiór różnych tilingów, w których ułożenie jednostek strukturalnych jest uzależnione od jednego parametru. Własności uogólnionego zbioru Penrose’a były już wcześniej badane (np. (Jaric M. V., 1986)), nigdy jednak nie próbowano go wykorzystać jako modelu do opisu rzeczywistych struktur kwazikrystalicznych. Celem tej pracy jest wyprowadzenie czynnika strukturalnego dla dowolnie dekorowane uogólnionego zbioru Penrose’a, a następnie próba zastosowania go w procesie udokładniania struktury. Zależność ułożenia tilingu od parametru pozwoli dopasować uporządkowanie dalekiego zasięgu w procesie udokładniania struktury, oraz sprawdzić czy zbiór Penrose’a jest rzeczywiście najlepszym modelem do opisu kwazikryształów dekagonalnych.. str. 10.

(11) 1. Jednowymiarowe kwazikryształy 1.1. Ciąg Fibonacciego Ciąg Fibonacciego jest ciągiem, w którym każdy kolejny wyraz jest sumą dwóch poprzednich: 𝑎. =𝑎. (1). +𝑎. Powyższy wzór można wykorzystać do stworzenia jednowymiarowego kwazikryształu. W tym celu zastąpmy liczby dwoma rodzajami odcinków S – krótkim i L – długim, oraz przyjmiemy następujące wartości dwóch pierwszych elementów: 𝑎 = 𝑆 i 𝑎 = 𝐿. Węzły tak powstałej kwazisieci będą znajdować się na końcach tych odcinków (rys. 1.1).. Rys. 1.1 Tworzenie Ciągu Fibonacciego. Kropki oznaczają węzły sieci. Długość odcinka S przyjmujemy za jednostkową, podczas gdy długość odcinka L będzie równa stosunkowi ilości długich odcinków do ilości krótkich 𝑋 ≡. . Ponieważ wartość tego. stosunku praktycznie nie zależy od n dla 𝑛 → ∞ to (Senechal M., 1995) (2). 𝑋 =𝑋. W każdym kolejnym kroku długości odcinków zmieniają się według następującej reguły 𝑆 → 𝐿 oraz 𝐿 → 𝐿𝑆 𝑁 𝑁 +𝑁 = 𝑁 𝑁 1 𝑋. (4). 1 + √5 ≡ 𝜏 ≈ 1,618 5. (5). 𝑋 =1+. 𝐿=𝑋=. (3). str. 11.

(12) Obliczenie transformaty Fouriera dla tak stworzonego ciągu daje następujący obraz dyfrakcyjny:. I. k Rys. 1.2 Numerycznie obliczony obraz dyfrakcyjny dla 10000 węzłów sieci Ciągu FIbonacciego.. str. 12.

(13) 1.2. Metoda cut-and-project Główną ideą tej metody jest potraktowanie kwazikryształu jako wielowymiarowego układu regularnego, z którego w przestrzeni fizycznej obserwujemy jedynie pewien podzbiór. Ciąg Fibonacciego jest wygodnym przykładem do zaprezentowania tej metody, ponieważ w przeciwieństwie do innych rodzajów kwazikryształów wyżej wymiarowa przestrzeń ma tylko dwa wymiary.. Rys. 1.3 Generacja Ciągu Fibonacciego. Układ xy na rys. 1.3 związany jest z regularną dwuwymiarową siecią o stałej A, położenie dowolnego punktu można zapisać jako 𝑟 = 𝑟 , 𝑟. = 𝐴(𝑥, 𝑦), 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍. Drugi układ (𝑟∥ , 𝑟 ). jest obrócony o pewien kąt 𝛼. Zbudowany jest on z dwóch przestrzeni: 𝑟∥ przestrzeni rzeczywistej (fizycznej), w której będzie obserwowany ciąg Fibonacciego, oraz 𝑟 przestrzeni prostopadłej do przestrzeni fizycznej, której w rzeczywistości się nie obserwuje. Położenie punktów w układzie (𝑟∥ , 𝑟 ) możemy wyrazić poprzez współrzędne (𝑥, 𝑦) w następujący sposób: 𝑟∥ = 𝑥𝐴cos𝛼 + 𝑦𝐴sin𝛼 𝑟 = −𝑥𝐴sin𝛼 + 𝑦𝐴cos𝛼. (6). Ciąg Fibonacciego jest rzutem dwuwymiarowej sieci regularnej pod pewnym kątem. Obszar, z którego rzutowane punkty utworzą strukturę nazywamy paskiem rzutowania i dobieramy go tak by zawierał w sobie całą dwuwymiarową komórkę elementarną, w tym przypadku opisaną przez: wierzchołki (0,0), (-1,0), (-1,1), (0,1). str. 13.

(14) W przypadku tak dobranego paska rzutowania gwarantujemy istnienie co najwyżej dwóch różnych długości rzutów. . Rzut odcinka poziomego: 𝑟∥ = 𝐴cos𝛼. . Rzut odcinka pionowego: 𝑟∥ = 𝐴sin𝛼. Jeśli chcemy wygenerować ciąg Fibonacciego to rzuty muszą spełniać następujące warunki: 𝐴sin𝛼 = 1. i. 𝐴cos𝛼 = 𝜏. Pozwala to uprościć równania do postaci: 𝑟∥ = 𝑥𝜏 + 𝑦 𝑟 = −𝑥 + 𝑦𝜏. (7). Możemy dzięki temu wyznaczyć też stałą sieci, która wynosi: 𝐴 = √1 + 𝜏 2 ≈ 1,902 1. Kąt wyznaczamy korzystając z zależności 𝛼 = arctg ≈ 31,7° Mając powyższe dane możemy obliczyć szerokość paska rzutowania 𝑇 = 𝜏 2 1.3. Przestrzeń odwrotna Metodę cut-and-project można zastosować także do opisu obrazu dyfrakcyjnego, obserwowany obraz będzie rzutem wielowymiarowego wzoru dyfrakcyjnego na oś przestrzeni odwrotnej związanej z przestrzenią fizyczną. Sieć odwrotna do sieci regularnej o stałej 𝐴 jest także siecią regularną, ale o stałej sieci. . Położenie pików dyfrakcyjnych można opisać. wektorem falowym 𝐾 = 𝑘 ,𝑘. =. 2𝜋 ℎ ,ℎ 𝐴. (8). Analogicznie jak w przestrzeni rzeczywistej definiujemy nowy układ współrzędnych, w którym jedna z osi będzie stanowić fizyczną oś przestrzeni odwrotnej 𝑘∥ a druga będzie prostopadłą składową przestrzeni odwrotnej 𝑘 : 𝑘∥ = ℎ 𝐾cos𝛼 + ℎ 𝐾sin𝛼 𝑘 = −ℎ 𝐾sin𝛼 + ℎ 𝐾cos𝛼. str. 14. (9).

(15) Ponieważ dla ciągu Fibonacciego zachodzi: 𝐴sin𝛼 = 1. 𝐴cos𝛼 = 𝜏. 𝐾=. Współrzędne nowej przestrzeni przekształcają się do: 2𝜋 𝜏ℎ + ℎ 𝐴 2𝜋 𝑘 = −ℎ + 𝜏ℎ 𝐴 𝑘∥ =. 2𝜋 𝜏ℎ + ℎ 𝜏 +1 2𝜋 = −ℎ + 𝜏ℎ 𝜏 +1. =. (10). 1.4. Obraz dyfrakcyjny Natężenie piku dyfrakcyjnego dla danego 𝑘 obliczymy korzystając ze wzoru 𝐼~|𝐹|2 gdzie F jest czynnikiem strukturalnym:. (𝑓 ) exp 𝑖𝑘∥ (𝑟∥ ). 𝐹(𝑘∥ ) =. (11). gdzie (𝑟∥ ) to położenie j-tego atomu ciągu Fibonacciego w przestrzeni fizycznej, a (𝑓 ) to jego czynnik atomowy Ponieważ dla piku zachodzi: exp[𝑖𝑲 ∙ 𝒓] = 1 oraz 𝑲 ∙ 𝒓 = 𝑘∥ 𝑟∥ + 𝑘 𝑟 exp[𝑖𝑘∥ 𝑟∥ ] = exp[−𝑖𝑘 𝑟 ]. (12). Jeśli dodatkowo założymy tylko jeden rodzaj atomów w naszym kwazikrysztale to czynnik strukturalny przyjmie postać:. exp −𝑖𝑘 (𝑟 ). 𝐹 (𝑘∥ ) = 𝑓. (13). W takiej postaci sumowanie we wzorze odbywa się po ograniczonym zbiorze wartości, 𝑟 może przyjmować jedynie wartości należące do paska rzutowania, a rzuty punktów na przestrzeń prostopadłą tworzą rozkład ciągły, dlatego możemy sumowanie zastąpić całką. Liczbę atomów w pasku rzutowania zajmujących pozycje w przedziale (𝑟 ; 𝑟 + ∆𝑟 ) określa funkcja gęstości (Wolny J., 1998) 𝑃(𝑟 ) =. 1 2. str. 15.

(16) 𝐹 (𝑘∥ ) = 𝑓. (14). 𝑃 (𝑟 )exp(−𝑖𝑘 𝑟 ) d𝑟. 𝐹 (𝑘∥ ) = 𝑓 1 𝜏. (15). exp(−𝑖𝑘 𝑟 ) d𝑟. Obliczamy tę całkę: 1 exp(−𝑖𝑘 𝑟 ) 𝐹(𝑘∥ ) = 𝑓 𝜏 −𝑖𝑘. 𝑘 𝜏 = 𝑓 exp −𝑖 2. 𝑘 𝜏 2 𝑘 𝜏 2. sin. (16). Natężenie piku będzie wobec tego wynosiło:. 𝐼 (𝑘∥ )~ 𝐹 ∗ (𝑘∥ )𝐹 (𝑘∥ ) = 𝑓. sin. 𝑘 𝜏 2 𝑘 𝜏 2. (17). Natężenie zależy tylko i wyłącznie od wartości składowych prostopadłych do przestrzeni fizycznej. 1.5. Metoda Statystyczna (metoda średniej komórki elementarnej) Z powodu braku periodyczności w ułożeniu atomów w kwazikrysztale nie można użyć znanych z krystalografii metod do ich opisu, np. komórki elementarnej czy sieci. Obraz dyfrakcyjny kwazikryształów wykazuje ostre piki, to spowodowało pojawienie się pytania o możliwość opisu tego obrazu przy użyciu regularnej sieci. Ideą metody statystycznej jest narzucenie sieci odniesienia na strukturę aperiodyczną, a następnie określenia położeń atomów względem tej sieci w następujący sposób: 𝑥 =𝑎 𝜆+𝑢. (18). gdzie 𝑥 jest położenie j-tego atomu, 𝑎 – numerem węzła od początku układu, 𝑢 – odległością j-tego atomu od węzła sieci odniesienia, może ona przyjmować wartości tylko z przedziału [0, 𝜆]. Metoda średniej komórki elementarnej pozwala nam wymusić periodyczność na dowolnej strukturze, nawet takiej która nie jest periodyczna lub uporządkowana.. str. 16.

(17) Żeby otrzymać interesujący nas rozkład dla ciągu Fibonacciego musimy wszystkie jego punkty zrzutować na sieć referencyjną. W praktyce dobre wyniki numerycznee otrzymuje się już dla kilkudziesięciu tysięcy punktów.. Sieć referencyjna 1 ((k0). Dowolna struktura. Sieć referencyjna 2 ((q0). Rys. 1.4 Określanie położenia punktów arbitralnie wybranej sieci względem sieci referencyjnych. Wartość stałej sieci odniesienia obliczamy korzystając ze z wzoru: 𝜆=. 2𝜋 𝑘. (19). gdzie k jest wybranym przez nas wektorem rozpraszania. W celu otrzymania niejednostajnego rozkładu wybrana przez nas wartość stałej sieci referencyjnej (wielkości komórki elementarnej) powinna odpowiadać położeniu piku dyfrakcyjnego w przestrzeni odwrotnej, otrzymamy wtedy rozkład prostokątny (rys. 1.5 i 1.6). Kształt rozkładu nie jest przypadkowy, jest on rzutem powierzchni atomowej wzdłuż kierunku prostopadłego do wybranego przez nas wektora falowego (rys. 1.7). Szerokość rozkładu dana jest wzorem (Wolny J., 1998): 1998) 𝑢=−. 𝑘 𝜏 𝑘∥. (20). Przedstawione na rys. 1.7 7 rzutowanie jest wykonywane dla wektora falowego o indeksach (1,1), co daje szerokość rozkładu równą: równą 𝑢=−. 𝑘 (1,1) −1 + 𝜏 1 𝜏 = 𝜏 = − ≈ −0,62 𝑘∥ (1,1) 𝜏+1 𝜏. Zaprezentowane wyniki na rys. 1.5 i 1.6 zostały policzone autorskim programem (rys. 1.8). str. 17.

(18) I. k. Rys. 1.5 Na górze obraz dyfrakcyjny ciągu Fibonacciego z zaznaczonym pikiem użytym do utworzenia średniej komórki elementarnej. Poniżej, histogram histogram położeń 10000 punktów ciągu Fibonacciego względem węzłów sieci odniesienia dla wektora falowego 𝑘∥ = stała sieci 𝜆 = 1 + szerokości. (𝜏 + 1),. ≈ 1,38.. Niezerowy rozkład jest ograniczony jedynie do fragmentu o. ≈ 0,62.. Transformata Fouriera takiego rozkładu jest niezerowa, w tym miejscu powstaje pik dyfrakcyjny.. str. 18. 2.

(19) I. k. Rys. 1.6 Na górze obraz dyfrakcyjny ciągu Fibonacciego z zaznaczonym wektorem falowym użytym do utworzenia średniej komórki elementarnej, elementarnej, dla którego nie występuje pik dyfrakcyjny. Poniżej, histogram istogram położeń 10000 punktów ciągu Fibonacciego względem węzłów sieci odniesienia niesienia dla wektora falowego 𝑘∥ = 10, stała sieci 𝜆 =. ≈ 0,63.. Rozkład wypełnia. jednostajnie całą średnią komórkę elementarną, jego transformata Fouriera jest równa zero, w tym miejscu nie występuje pik dyfrakcyjny.. str. 19.

(20) 𝑘(1,1). 𝑘⊥ (1,1). 𝑘∥ (1,1). Rys. 1.7 Rzut powierzchni atomowej na przestrzeń fizyczną. Cienkie czarne linie oznaczają wielowymiarowy układ kartezjański. Grubymi czarnymi jest oznaczony układ przestrzeni prostej rzeczywistej 𝑟∥ i prostopadłej 𝑟 , razem z nim pokrywają się oznaczone na niebiesko osie przestrzeni odwrotnej rzeczywistej 𝑘∥ i prostopadłej 𝑘 . Na zielono zaznaczono prostą będącą przedłużeniem wybranego wektora falowego 𝑘(1,1). Prostopadle do niego na jasno niebiesko oznaczono kierunek rzutowania powierzchni atomowej (oznaczona na czerwono, o długości 𝜏 ) na przestrzeń fizyczną, tworzący rozkład w średniej komórce elementarnej o szerokości .. str. 20.

(21) Rys. 1.8 Program do obliczania rozkładu ciągu Fibonacciego w średniej komórce elementarnej dla dowolnie wybranego wektora falowego.. str. 21.

(22) 2. Zbiór Penrose’a Zagadnienie aperiodycznego pokrycia płaszczyzny poprzedza odkrycie kwazikryształów o około 20 lat. W 1960 roku Hao Wang zadał pytanie czy istnieje zbiór elementów geometrycznych pozwalający na aperiodyczne pokrycie całej płaszczyzny. Pierwsze rozwiązanie składało się z ponad 20 tysięcy elementów, liczba ta szybko się zmniejszała w następnych latach. W 1974 roku Roger Penrose (Penrose R., 1974) zaprezentował swoje rozwiązanie składające się początkowo z czterech elementów, które następnie zostało zawężone do dwóch elementów: latawca i strzałki, lub alternatywnie wąskiego i szerokiego rombu, pokrycie takie wykazuje 5 lub 10-krotną symetrie. Oba wymienione wcześniej przykłady jednostek strukturalnych dwuelementowego zbioru Penrose’a zaprezentowano poniżej . „latawiec” i „strzałka”. . szeroki i wąski romb. gdzie 𝜃 =. 5. Niezależnie od wybranego zestawu elementów tworzących zbiór Penrose’a, płaszczyzna zostanie pokryta w dokładnie taki sam sposób, dwa przykłady takich pokryć z wykorzystaniem rożnych zestawów jednostek strukturalnych przedstawia rys. 2.1. Romby można złożyć poprzez odpowiednie podzielenie latawca i strzałki na trójkąty składowe rombów zbioru Penrose’a (rys. 2.2). Podane tu dwa przykłady nie są jedynymi zbiorami elementów pozwalającymi na stworzenie zbioru Penrose’a, innym przykładem jest np. zestaw złożony z pięciokąta, rombu i „łódki” (rys.2.3). Wszystkie te zbiory nalezą do tzw. Penrose Mutual Local Derivability Class (PMLD) (Baake M., Schlottmann M., Jarvis P. D., 1991), oznacza to, że obraz str. 22.

(23) dyfrakcyjny wszystkich struktur jest taki sam. Dzięki temu, że możemy swobodnie przechodzić od jednego tilingu do innego wybierając ten, który w danym wypadku jest najwygodniejszy (rys. 2.4).. Rys. 2.1 Zbiór Penrose’a zbudowany w oparciu o romby (po lewej) oraz latawiec i strzałkę (po prawej).. Rys.2.2 Podział latawca i strzałki na trójkąty składowe jednostek strukturalnych zbioru Penrose’a.. str. 23.

(24) Rys. 2.3 Tzw. Pięciokątny zbiór Penrose’a.. Rys. 2.4 Dwa różne Zbiory Penrose’a.. str. 24.

(25) Tilingiem który został wykorzystany przy wszystkich dalszych obliczeniach jest rombowy zbiór Penrose’a, poniżej podane zostaną niektóre z jego interesujących własności, oraz sposoby jego wygenerowania. Jedną z cech zbioru Penrose’a są tzw. reguły przylegania, wpierw dzielimy romby na trójkąty, trójkąty a następnie każdy z boków jest oznaczony strzałkami w sposób pokazany na rys. 2.5. Dopuszczalne zczalne jest tylko łączenie ze sobą boków o tej samej ilości i zwrocie strzałek. Sama informacja o strzałkach to jednak za mało by wygenerować zbiór Penrose’a, pojawią się defekty w postaci luk, albo uzyskana struktura nie będzie aperiodyczna. Problem ten nie znika nawet wtedy, gdy wiemy, że dozwolone jest tylko siedem (osiem)1 możliwych konfiguracji (Baake M., Grimm U., 2013) rombów (rys. 2.6).. Jest to spowodowane istnieniem więcej niż jednej możliwości dołączenia kolejnych rombów do już istniejącej struktury.. Rys. 2.5 Oznaczenie rombów użytych do tworzenia struktury Penrose’a Penrose’a.. Rys.2.6 Siedem (osiem)1 możliwych konfiguracji rombów tworzących zbiór Penrose’a. Gwiazda złożona z pięciu grubych rombów może być zbudowana na dwa sposoby (rys. 2.7) 2.7).. 1. Liczba możliwych konfiguracji rombów zależy od tego czy uwzględniamy reguły przylegania. Biorąc pod uwagę tylko sąsiedztwo punktu, istnieje siedem różnych konfiguracji rombów otaczających punkt. Jeśli uwzględnimy reguły przylegania liczba ta rośnie do ośm ośmiu iu ponieważ „gwiazdę” złożoną z pięciu grubych rombów można zbudować na dwa sposoby (rys 2.7). str. 25.

(26) Rys. 2.7 Reguły przylegania zbioru Penrose’a pozwalają utworzyć z pięciu grubych rombów „gwiazdę” na dwa sposoby. Inną z metod, z których można skorzystać, jest tzw. metoda inflacyjna. Polega ona na podziale trójkątów składowych (tzw. Trójkątów Robinsona) według następujących zasad (rys. 2.8). . 𝑡𝐿 → 𝑇𝐿 + 𝑡𝐿. . 𝑡𝑅 → 𝑇𝑅 + 𝑡𝑅. . 𝑇𝐿 → 𝑇𝑅 + 𝑡𝑅 + 𝑇𝐿. . 𝑇𝑅 → 𝑇𝑅 + 𝑡𝐿 + 𝑇𝐿. 𝑡𝐿. 𝑡𝑅. 𝑇𝐿. 𝑇𝑅. Rys. 2.8 Reguły podziału trójkątów składowych. Jeśli przyjmiemy, że długość boku rombu wynosi 1, to krótsza przekątna wąskiego rombu, będąca także podstawą trójkątów tR i tL ma długość , dla szerokiego rombu o długości boku równym 1 dłuższa przekątna ma długość τ. Wynika z tego, że wszystkie podziały zachodzą w miejscach gdzie bok dzieli się w stosunku 1: 𝜏, a każdy kolejny romb powstający w wyniku działania metody inflacyjnej ma τ razy mniejszą długość boku w kolejnym kroku. Gdy powtórzymy procedurę dzielenia nieskończoną ilość razy otrzymamy strukturę Penrose’a. Rys. 2.9 ilustruje działanie metody inflacyjnej na przykładzie kroków 0, 1, 4 i 7. str. 26.

(27) Rys. 2.9 Metoda inflacyjna tworzenia struktury Penrose’a. Stosunek ilości szerokich do wąskich rombów 𝑋 ≡. można wyliczyć korzystając z faktu, że. dla dużego n stosunek ten prawie nie ulega zmianie (Senechal M., 1995), a dla 𝑛 → ∞ otrzymujemy 𝑋 =𝑋. (21). Ponieważ w każdym kroku duży romb dzieli się na dwa duże romby i jeden mały, a mały romb na jeden mały i jeden duży, ich ilość w kolejnych krokach zmieni się w następujący sposób. 𝑁 2𝑁 + 𝑁 = 𝑁 𝑁 +𝑁 𝑋=. 1 + √5 =𝜏 5. (22). (23). Stosunek ilości szerokich do wąskich rombów wynosi τ i jest on taki sam jak stosunek ilości długich odcinków do krótkich dla ciągu Fibonacciego.. str. 27.

(28) Następstwem podziału inflacyjnego jest unikatowa własność skalowania rombowego zbioru Penrose’a. Przeskalowany tiling ma boki. 𝜏=. √. razy dłuższe, a jego położenia. wierzchołków pokrywają się z pewnym podzbiorem oryginalnego tilingu (rys. 2.10). Warto zwrócić uwagę, że po dwóch krokach odtworzona zostaje struktura bazowego tilingu, jest ona jednak odwrócona o kąt π. Po kolejnych dwóch podziałach uzyskamy przeskalowany tiling, zbudowany rombów o bokach 𝜏 razy dłuższych.. Rys. 2.10 Skalowania inflacyjne rombowego zbioru Penrose’a.. str. 28.

(29) 2.1. Przestrzeń prosta Innym ze sposobów tworzenia układu Penrose’a jest rzutowanie sieci regularnej w przestrzeni 5D na dwuwymiarową przestrzeń fizyczną korzystając z metody cut-and-project. Położenie każdego z punktów należącego do takiej sieci można przedstawić w postaci (24). 𝑟⃑ = 𝑎 𝑎 + 𝑎 𝑎 + 𝑎 𝑎 + 𝑎 𝑎 + 𝑎 𝑎. gdzie {𝑎 } są wersorami pięciowymiarowego układu kartezjańskiego, a współrzędne punktów przyjmują jedynie wartości całkowite. W tak zdefiniowanym układzie główna przekątna pięciowymiarowego „kubika” będzie osią pięciokrotnej symetrii. Podobnie jak dla ciągu Fibonacciego, by. utworzyć. strukturę. Penrose’a. musimy. dokonać. zmiany. układu. współrzędnych, nowy układ wybieramy tak by jego piąta oś była równoległa to głównej przekątnej, a pozostałe cztery zachowywały symetrie pięciokrotną.. 𝑥∥ = 𝐴. 2 [𝑐 , 𝑐 , 𝑐 , 𝑐 , 𝑐 ] 5. 𝑦∥ = 𝐴. 2 [𝑠 , 𝑠 , 𝑠 , 𝑠 , 𝑠 ] 5. 𝑥 =𝐴. 2 [𝑐 , 𝑐 , 𝑐 , 𝑐 , 𝑐 ] 5. 𝑦 =𝐴. 2 [𝑠 , 𝑠 , 𝑠 , 𝑠 , 𝑠 ] 5. 𝑧̂ = 𝐴. (25). 2 [1,1,1,1,1] 5. gdzie: A jest stałą sieci 5D, 2𝜋𝑗 5 2𝜋𝑗 𝑠 = sin 5. 𝑐 = cos. (26). str. 29.

(30) Po dalszych przekształceniach:. 𝑥∥ = 𝐴. 𝑦∥ = 𝐴. 2 𝐴 [𝑠 , 𝑠 , −𝑠 , −𝑠 , 0] = √𝜏 + 2[1, 𝜏 − 1,1 − 𝜏, −1,0] 5 √10. 𝑥 =𝐴. 𝑦 =𝐴. 2 𝐴 [𝑐 , 𝑐 , 𝑐 , 𝑐 , 1] = [𝜏 − 1, −𝜏, −𝜏, 𝜏 − 1,2] 5 √10. 2 𝐴 [𝑐 , 𝑐 , 𝑐 , 𝑐 , 1] = [−𝜏, 𝜏 − 1, 𝜏 − 1, −𝜏, 2] 5 √10. (27). 2 𝐴 [𝑠 , −𝑠 , 𝑠 , −𝑠 , 0] = √𝜏 + 2[𝜏 − 1, −1,1,1 − 𝜏, 0] 5 √10 𝑧̂ = 𝐴. 1 [1,1,1,1,1] 5. Przestrzeń zbudowana w oparciu o takie wektory można rozłożyć na dwie ortogonalne podprzestrzenie: 2D przestrzeń tzw. równoległą lub fizyczną zbudowaną za pomocą wersorów 𝑥∥ i 𝑦∥ oraz 3D przestrzeń prostopadłą do niej tworzoną przez wersory 𝑥 , 𝑦 i 𝑧̂ . Przy tak dobranych wersorach długości boków utworzonych rombów (czyli długość końca rzutu j-tego wersora od początku układu) będą wynosić:. 𝑎=𝐴. 2 𝑠 +𝑐 5. =𝐴. 2 5. (28). Ponieważ chcemy by boki naszych rombów miały długość jednostkową przyjmujemy, że. 𝐴=. 5 2. (29). Znając wersory przestrzeni 5D możemy je zrzutować na przestrzeń fizyczną (rys. 2.1.1) w celu otrzymania wersorów do zbudowania jednostek strukturalnych zbioru Penrose'a. Przykład konstrukcji grubego i cienkiego rombu przedstawia rys. 2.1.2, pozostałe dziewięć orientacji rombów można zbudować w analogiczny sposób w oparciu o pozostałe wersory lub ich inwersje.. str. 30.

(31) Rys. 2.1.1 Rzuty wersorów pięciowymiarowej przestrzeni na przestrzeń fizyczną.. Rys. 2.1.2 Konstrukcja grubego rombu "23" w oparciu o wersory bazowe 2 i 3 oraz, analogicznie, cienkiego rombu "14". Pasek rzutowania, dla struktury Penrose’a jest trójwymiarowy, wybieramy go tak by obejmował w całości jedną pięciowymiarową komórkę elementarną układu, np. [0,0,0,0,0]….[1,1,1,1,1]. Spośród 32 zrzutowanych wierzchołków tylko 22 będą ograniczały powierzchnie atomową, pozostałe 10 punktów znajduje się wewnątrz obszarów utworzonych przez te 22 wierzchołki. Łącząc wszystkie wierzchołki otrzymamy 3D bryłę zwaną triakontaedrem rombowym. W wyniku rzutowania przestrzeni 5D otrzymane wartości składowej 𝑧 mogą przyjmować jedynie całkowite wartości, co pozwala na przedstawienie str. 31.

(32) powierzchni atomowej w postaci czterech pięciokątów będących w płaszczyźnie 𝑥 𝑦 na wysokości 𝑧 = {1,2,3,4} oraz dwóch punktów o współrzędnych (0,0,0) i (0,0,5). Współrzędne ograniczające powierzchnie atomową (rys. 2.1.3): . 𝑧 = 0: (𝑥 , 𝑦 ) = (0,0). . 𝑧 = 1: (𝑥 , 𝑦 ) = (1,0),. . 𝑧 = 2: (𝑥 , 𝑦 ) =. . 𝑧 = 3: (𝑥 , 𝑦 ) =. ,. . 𝑧 = 4: (𝑥 , 𝑦 ) =. ,. . 𝑧 = 5: (𝑥 , 𝑦 ) = (0,0). , √. , √. √𝜏 + 2 , ,. ,. , (𝜏, 0), √𝜏 + 2 ,. √. ,. , √. ,. √. , , , √. , √. ,. , (−𝜏, 0), ,. ,. √. ,. √. ,. ,. , √. , ,. ,. ,. √. √. √𝜏 + 2 , (−1,0). Rys. 2.1.3 Kształt powierzchni atomowej dla struktury Penrose’a.. str. 32. √𝜏 + 2.

(33) Rombowy zbiór Penrose'a jest tworzony w wyniku rzutowania 5D przestrzeni regularnej na przestrzeń fizyczną poprzez "okno" złożone z powierzchni atomowych w przestrzeni prostopadłej. Innymi słowy, jedynie te punkty 5D przestrzeni, które podczas rzutowania mieszczą się wewnątrz powierzchni atomowych, zostają użyte do stworzenia struktury Penrose'a. Warto zwrócić uwagę, że punkty zrzutowane na przestrzeń fizyczną tworzą nieskończony dyskretny nieograniczony zbiór punktów (zbiór Penrose'a), istnieje minimalna odległość między sąsiednimi punktami. Te same punkty 5D przestrzeni, tworzą w przestrzeni prostopadłej nieskończony, dyskretny, ograniczony i zwarty zbiór punktów. Wszystkie punkty znajdują wewnątrz pięciokątów tworzących powierzchnie atomową. Punkty te nie nakładają się i dla dwóch dowolnie wybranych punktów zawsze istnieje punkt między nimi, pozwala to nam założyć, że w przestrzeni prostopadłej punkty te tworzą kwaziciągły rozkład. Od kształtu całej powierzchni atomowej bardziej interesujący jest rozkład konkretnych orientacji każdego z rombów na tych powierzchniach. Zauważmy, że punkty tworzące romb znajdują się na trzech kolejnych powierzchniach atomowych. Składowa 𝑧 liczona względem punktu A jest o 1 większa dla punktów B i C oraz o 2 większa dla punktu D. W przypadku zbioru Penrose'a powierzchnia 𝑧 = 0 jest punktem, romby można wtedy zbudować tylko w oparciu powierzchnie 1-3 i 2-4, daje to dwie rodziny rombów po 5 orientacji (rys 2.1.4). Dekoracje poszczególnych rombów mogą być takie same, jednak w ogólności nie jest to wymogiem. Kiedy dekoracja poszczególnych rodzin rombów jest różna powoduje to zmniejszenie symetrii struktury do pięciokrotnej. Na rys. 2.1.5 przedstawiono pojedynczy gruby romb w przestrzeni rzeczywistej i prostopadłej. Wyróżniony. został. też. punkt. A,. względem. którego. liczone. będą. rozkłady. prawdopodobieństwa. Warto zwrócić uwagę, że kształt grubego rombu w podprzestrzeni 𝑉 jest taki sam jak cienkiego rombu w podprzestrzeni 𝑉∥ (rys 2.1.5), dla cienkiego rombu zachodzi analogiczna zależność (rys. 2.1.6). Każda z krawędzi rombu może być przedstawiona jako rzut wektora 5D przestrzeni, współrzędne wektora są na rys 2.1.5.. str. 33.

(34) Rys. 2.1.4 Zbiór Penrose’a z zaznaczonymi rodzinami rombów. Na żółto romby z rodziny na powierzchniach atomowych 1-3, a na niebiesko z 2-4.. Rys. 2.1.5 Gruby romb "23" w przestrzeni fizycznej i odpowiadająca mu konstrukcja w przestrzeni prostopadłej, której rzut na płaszczyznę xy ma kształt cienkiego rombu.. Rys. 2.1.6 Cienki romb "14" w przestrzeni fizycznej i prostopadłej. str. 34.

(35) W celu znalezienia możliwego rozkładu prawdopodobieństwa danego rombu w danej orientacji umieszczamy punkt A na jednej z powierzchni atomowych. Punkt ten może zając jedynie takie położenia, które nie powodują wychodzenia pozostałych punktów poza odpowiadające im powierzchnie atomowe. Przykład takiej konstrukcji dla grubego rombu o orientacji przedstawionej na rys. 2.1.5 pokazano na rys 2.1.7 i 2.1.8. Poszukiwane rozkłady będą zawsze trójkątne dla zbioru Penrose’a. Warto zaznaczyć, że dla danej powierzchni atomowej, wystarczy znaleźć rozkład danego rodzaju rombu w jednej orientacji, pozostałe rozkłady można uzyskać poprzez rotacje. Obrót rombu w przestrzeni rzeczywistej o wielokrotność kąta 2𝜋/5 , powoduje dwa razy większą rotacje rozkładu w przestrzeni prostopadłej, o wielokrotność kąta 4𝜋/5. Rys. 2.1.7 Konstrukcja grubego rombu w przestrzeni prostopadłej. Na płaszczyźnie atomowej 𝑧 = 1 zaznaczono dopuszczalne położenia punktu A.. str. 35.

(36) Rys. 2.1.8 Alternatywna metoda otrzymywania dozwolonego rozkładu grubego rombu na powierzchni 𝑧 = 1. Najpierw wszystkie trzy powierzchnie biorące udział w tworzeniu rozkładu zostają zrzutowane na płaszczyznę xy. Następnie w celu wyznaczenia granic rozkładu przesuwamy rzut powierzchni 𝑧 = 2 o wektory AC i AB oraz rzut powierzchni 𝑧 = 3 o wektor AD. Fragment powierzchni na którym przekrywają się wszystkie przesunięte powierzchnie (zaznaczony na szaro) jest poszukiwanym rozkładem. Kolejną ważną cechą rombowego zbioru Penrose'a jest fakt, że każdy wygenerowany punkt pochodzi tylko i wyłącznie z jednej powierzchni atomowej. Następstwem tego są reguły przylegania rombów, różne rodzaje rombów w różnych konfiguracjach mogą mieć wspólną krawędź wtedy i tylko wtedy, jeśli ich wspólne wierzchołki pochodzą z tej samej powierzchni atomowej.. str. 36.

(37) 2.2. Przestrzeń odwrotna Przestrzenią odwrotną sieci regularnej jest również sieć regularna, o boku. . W przestrzeni. pięciowymiarowej możliwe położenia pików będą opisane za pomocą pięciu liczb ℎ w następujący sposób 𝑘 =. [ℎ , ℎ , ℎ , ℎ , ℎ ].. Wersory przestrzeni odwrotnej w bazie przestrzeni fizycznej i prostopadłej mają postać:. 𝐾. ∥. =. 2𝜋 2 [𝑐 , 𝑐 , 𝑐 , 𝑐 , 𝑐 ] 𝐴 5. 𝐾. ∥. =. 2𝜋 2 [𝑠 , 𝑠 , 𝑠 , 𝑠 , 𝑠 ] 𝐴 5. 𝐾. =. 2𝜋 2 [𝑐 , 𝑐 , 𝑐 , 𝑐 , 𝑐 ] 𝐴 5. 𝐾. =. 2𝜋 2 [𝑠 , 𝑠 , 𝑠 , 𝑠 , 𝑠 ] 𝐴 5. 𝐾. =. (30). 2𝜋 1 [1,1,1,1,1] 𝐴 5. Po przekształceniach wersory tego układu przyjmą postać:. 𝐾. 𝐾. ∥. =. 𝐾. 𝐾. =. ∥. =. 2𝜋 2 2𝜋 [𝑐 , 𝑐 , 𝑐 , 𝑐 , 1] = [𝜏 − 1, 𝜏, −𝜏, 𝜏 − 1,2] 𝐴 5 𝐴√10. 2𝜋 2 2𝜋 [𝑠 , 𝑠 , −𝑠 , −𝑠 , 0] = √𝜏 + 2[1, 𝜏 − 1,1 − 𝜏, −1,0] 𝐴 5 𝐴√10 =. 2𝜋 2 2𝜋 [𝑐 , 𝑐 , 𝑐 , 𝑐 , 1] = [−𝜏, 𝜏 − 1, 𝜏 − 1, −𝜏, 2] 𝐴 5 𝐴√10. (31). 2𝜋 2 2𝜋 [𝑠 , −𝑠 , 𝑠 , −𝑠 , 0] = √𝜏 + 2[𝜏 − 1, −1,1,1 − 1,0] 𝐴 5 𝐴√10 𝐾. =. 2𝜋 𝐴√5. [1,1,1,1,1]. str. 37.

(38) Mając wektory bazowe nowego układu możemy zapisać jak będzie wyglądał dowolny wektor o indeksach ℎ w bazie przestrzeni równoległej (fizycznej) i prostopadłej 2𝜋. −ℎ −ℎ + 2ℎ + 𝜏(ℎ − ℎ − ℎ + ℎ ) 𝐴√10 2𝜋 𝑘 ∥ = [ℎ , ℎ , ℎ , ℎ , ℎ ] ∘ 𝐾 ∥ = √𝜏 + 2 ℎ −ℎ + ℎ − ℎ + 𝜏(ℎ − ℎ ) 𝐴√10 2𝜋 𝑘 = [ℎ , ℎ , ℎ , ℎ , ℎ ] ∘ 𝐾 = −ℎ −ℎ + 2ℎ + 𝜏(−ℎ + ℎ + ℎ − ℎ ) 𝐴√10 2𝜋 𝑘 = [ℎ , ℎ , ℎ , ℎ , ℎ ] ∘ 𝐾 = √𝜏 + 2 −ℎ −ℎ + ℎ + ℎ + 𝜏(ℎ − ℎ ) 𝐴√10 2𝜋 (ℎ + ℎ + ℎ + ℎ + ℎ ) 𝑘 = [ℎ , ℎ , ℎ , ℎ , ℎ ] ∘ 𝐾 = 𝐴√5 𝑘. ∥. = [ℎ , ℎ , ℎ , ℎ , ℎ ] ∘ 𝐾. ∥. =. (32). Powyższe pięć wektorów tworzy 5-wymiarowa przestrzeń odwrotną. Przestrzeń tą można rozbić na dwie prostopadłe do siebie podprzestrzenie: dwuwymiarową przestrzeń fizyczną (𝑘 ∥ , 𝑘 ∥ ) i trójwymiarową przestrzeń prostopadłą (𝑘 ⊥ , 𝑘 ⊥ , 𝑘 ⊥ ) Wiadomo (Baake M., Grimm U., 2013) (Jaric M. V., 1986), że do opisu dwuwymiarowego obrazu dyfrakcyjnego wystarczą 4 wektory, pozwoli nam to na zmniejszenie o jeden wymiaru przestrzeni odwrotnej. Rzut wektora [1,1,1,1,1] (oraz jego wielokrotności) na wszystkie osie przestrzeni odwrotnej, poza osią 𝐾 ⊥ , jest równy zero. Pozwala to zmodyfikować wartość wektora falowego o wielokrotność [1,1,1,1,1] nie zmieniając wartości wektora w przestrzeni fizycznej, w efekcie można sprowadzić jedną z wartości współrzędnych 5D do zera (zwykle przyjmuje się ℎ = 0). Wektory bazowe mają wtedy postać:. str. 38. ∥. = [ℎ , ℎ , ℎ , ℎ , ℎ = 0] ∘ 𝐾. 2𝜋. −ℎ −ℎ + 𝜏(ℎ − ℎ − ℎ + ℎ ) 𝐴√10 2𝜋 𝑘 ∥ = [ℎ , ℎ , ℎ , ℎ , ℎ = 0] ∘ 𝐾 ∥ = √𝜏 + 2 ℎ −ℎ + ℎ − ℎ + 𝜏(ℎ − ℎ ) 𝐴√10 2𝜋 𝑘 = [ℎ , ℎ , ℎ , ℎ , ℎ = 0] ∘ 𝐾 = −ℎ −ℎ + 𝜏(−ℎ + ℎ + ℎ − ℎ ) 𝐴√10 2𝜋 𝑘 = [ℎ , ℎ , ℎ , ℎ , ℎ = 0] ∘ 𝐾 = √𝜏 + 2 −ℎ −ℎ + ℎ + ℎ + 𝜏(ℎ − ℎ ) 𝐴√10 2𝜋 (ℎ + ℎ + ℎ + ℎ ) 𝑘 = [ℎ , ℎ , ℎ , ℎ , ℎ = 0] ∘ 𝐾 = 𝐴√5 𝑘. ∥. =. (33).

(39) 2.3. Średnia komórka elementarna O średniej komórce elementarnej wspomniano już wcześniej w rozdziale 1.5, metoda ta nie jest ograniczona tylko do jednowymiarowego przypadku, można zastosować ją do opisu zbioru Penrose’a. W tym wypadku narzucamy dwuwymiarowa sieć periodyczną na strukturę Penrose’a, a następnie określmy położenia atomów względem tej sieci w następujący sposób: 𝑥 =𝑎 𝜆 +𝑢. (34). 𝑦 =𝑎 𝜆 +𝑢 Gdzie 𝑥 , 𝑦. jest położeniem j-tego atomu, 𝑎. początku układu, 𝑢. ∈ [0, 𝜆 ] i 𝑢. 𝑢. i. 𝑢. i 𝑎. – numerem węzła w kierunku x i y od. – odległością j-tego atomu od węzła sieci odniesienia,. ∈ 0, 𝜆 .. Wartości stałej sieci odniesienia obliczamy korzystając z wzoru: 𝜆 =. 2𝜋 𝑘. 2𝜋 𝜆 = 𝑘. (35). gdzie 𝑘 i 𝑘 są dwoma dowolnie wybranymi przez nas wektorami falowymi. Tak samo jak w przypadku jednowymiarowym, wybór 𝑘 odpowiadający silnemu pikowi dyfrakcyjnemu da wyraźny, ograniczony tylko do pewnego obszaru, niezerowy rozkład prawdopodobieństwa wewnątrz średniej komórki elementarnej. Kształt tego rozkładu będzie odpowiadać kształtowi powierzchni atomowych (rys. 2.3.1), zaprezentowana komórka elementarna jest prostokątna, jednak w ogólności może ona przyjmować kształt dowolnego równoległoboku, jej kształt jest uzależniony od wybranych wektorów falowych. Wzajemne ułożenie pięciokątów może się zmieniać zależnie od wybranych wektorów falowych tworzących średnia komórkę elementarna (Kozakowski B., 2007). Rozkłady mogą mieć wyraźny kształt pięciokątów albo mogą się nakładać na siebie (rys. 2.3.2 i rys. 2.3.3). Zaprezentowane wyniki uzyskano autorskim programem pozwalającym na policzenie rozkładu w średniej komórce elementarnej utworzonej poprzez wybór dwóch dowolnych wektorów falowych (rys. 2.3.4).. str. 39.

(40) uy. ux Rys.2.3.1 Rozkład prawdopodobieństw w średniej komórce elementarnej zbudowanej za pomocą wektorów 𝑘 = [−1, −3, −3, −1] ≈ 0.62 i 𝑘 = [2,1, −1, −2] ≈ 0.73. Stałe sieci referencyjnej wynoszą odpowiednio 𝜆 ≈ 10.14 i 𝜆 ≈ 8.63. Na niebiesko zaznaczono rozkład cienkiego rombu, na czerwono rozkład grubego rombu, na żółto obszar przekrywania się obu rozkładów.. Rys.2.3.2 Po lewej obraz dyfrakcyjny zbioru Penrose’a z zaznaczonymi wektorami falowymi użytymi do utworzenia średniej komórki elementarnej. Po prawej histogram rozkładu 90000 punktów zbioru Penrose’a w prostokątnej średniej komórce elementarnej. str. 40.

(41) Rys.2.3.3 Histogramy dwóch przykładowych rozkładów prawdopodobieństw w nie prostokątnych średnich komórkach elementarnych.. str. 41.

(42) Rys. 2.3.4 Autorski program pozwalający na policzenie rozkładu lub w średniej komórce elementarnej zbudowanej w oparciu o dwa dowolnie wybrane wektory falowy. Wektory można zdefiniować poprzez podanie indeksów h, podanie współrzędnych, lub kliknięcie piku na obrazie dyfrakcyjnym.. str. 42.

(43) 2.4. Baza wektora falowego w przestrzeni rzeczywistej Metoda statystyczna opisuje strukturę za pomocą funkcji gęstości prawdopodobieństwa położeń atomów w średniej komórce elementarnej. Metoda ta staje się użyteczna w przypadku struktur nieperiodycznych, gdyż pozwala je opisać jako periodycznie rozłożony w przestrzeni zbiór średnich komórek elementarnych. Aby zastosować tą metodę dla zbioru Penrose’a trzeba wybrać odpowiednią sieć odniesienia, taką by transformata Fouriera z rozkładu prawdopodobieństwa mogła opisać pełny obraz dyfrakcyjny. W przypadku struktur periodycznych dobrym wyborem układu odniesienia dla wektora falowego opisującego położenie dowolnego piku dyfrakcyjnego w dwuwymiarowej przestrzenie jest baza zbudowana z wersorów (𝑘 , 0) i 0, 𝑘. . Pozwala to opisać dowolny. pik jako: 𝑘 = 𝑘 ,𝑘. = 𝑛(𝑘 , 0) + 𝑚 0, 𝑘. (36). gdzie n, m są liczbami całkowitymi. W przypadku kwazikryształów taki opis jest niewystarczający ze względu na nieperiodyczne ułożenie pików. Dowolne położenie piku jest wyrażone jako wielokrotność liczby wymiernej i niewymiernej τ, dlatego do pełnego opisu widma dyfrakcyjnego będziemy potrzebowali stworzyć bazę z czterech wektorów. Dwa pierwsze wektory 𝑞 i 𝑞 , będą rzutem na przestrzeń fizyczną dwóch dowolnych wersorów pięciowymiarowej przestrzeni kartezjańskiej, a dwa kolejne 𝑘 i 𝑘 będą τ razy od nich dłuższe. Niech: 2𝜋 [1,0,0,0,0] 𝐴 2𝜋 [0,0,0,1,0] 𝑞 = 𝐴 2𝜋 [0,0, −1, −1,0] 𝑘 = 𝐴 2𝜋 [−1, −1,0,0,0] 𝑘 = 𝐴 𝑞 =. (37). str. 43.

(44) Przyjmując 𝑛 , 𝑛 , 𝑚 , 𝑚 jako indeksy otrzymujemy: 2𝜋 [ℎ , ℎ , ℎ , ℎ , 0] = 𝐴. 2𝜋 (𝑛 [0,0, −1, −1,0] + 𝑚 [1,0,0,0,0] + 𝑛 [−1, −1,0,0,0] + 𝑚 [0,0,0,1,0]) = 𝐴. (38). Wtedy: ℎ = −𝑛 + 𝑚. 𝑛 = −ℎ. ℎ = −𝑛. 𝑛 = −ℎ. ℎ = −𝑛. 𝑚 =ℎ −ℎ. ℎ = −𝑛 + 𝑚. 𝑚 =ℎ −ℎ. Współrzędne dowolnego piku 𝑘 , 𝑘 𝑘 =. (39). (33) wyrażone w bazie (37) wynoszą:. (𝑚 + 𝑚 ) 2𝜋 (𝑛 + 𝑛 ) + 5 𝜏. (40). (𝑚 − 𝑚 ) 2𝜋 𝑘 = 𝜏√𝜏 + 2 (𝑛 − 𝑛 ) + 5 𝜏 W tej metodzie indeksowania wyróżnione są tylko dwa kierunki wzdłuż których wybieramy wektory podstawowe, pozwala to na wybór konkretnej średniej komórki elementarnej do dalszych obliczeń. Indeksów (𝒏, 𝒎) można też uzyć do zapisania wektorów falowych w przestrzeni prostopadłej: 𝑘 𝑘. 2𝜋 (𝑛 + 𝑛 ) 𝜏 − (𝑚 + 𝑚 ) 5 𝜏. 2𝜋 √𝜏 + 2 (𝑛 − 𝑛 ) − (𝑚 − 𝑚 ) 5 𝜏 𝜏 (𝑚 + 𝑚 ) 4√2𝜋 (𝑛 + 𝑛 ) − =− 5 2. =− 𝑘. str. 44. =. (41).

(45) 2.5. Czynnik strukturalny nieudekorowanego zbioru Penrose'a W rozdziale 2.2 wyprowadzono (równanie (33)) pozycje pików dyfrakcyjnych w odwrotnej przestrzeni fizycznej, wynoszą one: 𝑘 𝑘. ∥. 2𝜋 −ℎ −ℎ + 𝜏 (ℎ − ℎ − ℎ + ℎ ) 5𝑎 2𝜋 = √𝜏 + 2 ℎ −ℎ + ℎ − ℎ + 𝜏(ℎ − ℎ ) 5𝑎 ∥. =. (42). Ich natężenie 𝐼 można policzyć przy pomocy czynnika strukturalnego 𝐹 za pomocą wzoru 𝐼 = |𝐹| . Czynnik strukturalny obliczamy wychodząc z jego definicji:. 𝐹 𝑘 ,𝑘. =. (43). 𝑒. A następnie korzystając z własności sieci odwrotnej w 5D, gdzie zachodzi zależność 𝑒. ∗. =1. zapisujemy: (44). 𝑘 ∥ 𝑥 + 𝑘 ∥ 𝑦 + 𝑘 ⊥ 𝑥⊥ + 𝑘 ⊥ 𝑦⊥ + 𝑘 ⊥ 𝑧⊥ = 2𝜋𝑛 𝑛 jest liczbą całkowitą. Po przekształceniu:. (45). 𝑘 ∥ 𝑥 + 𝑘 ∥ 𝑦 = − 𝑘 ⊥ 𝑥⊥ + 𝑘 ⊥ 𝑦⊥ + 𝑘 ⊥ 𝑧⊥ Pozwala to zapisać czynnik w postaci:. 𝐹 𝑘 ,𝑘. =. 𝑒. ⊥ ⊥. ⊥ ⊥. (46). ⊥ ⊥. Sumowanie przebiega po zbiorze ograniczonym brzegami powierzchni atomowej, przez co możemy zastąpić je całką. Ponieważ składowa 𝑧⊥ przyjmuje tylko cztery wartości możemy tę całkę przedstawić w postaci sumy czterech całek powierzchniowych:. 𝐹 𝑘 ,𝑘. =. 𝑒. ⊥ ⊥. 𝑘 ⊥ 𝑧⊥ =. 𝑃 (𝑥⊥ , 𝑦⊥ , 𝑧⊥ )𝑒. ⊥ ⊥. 2𝜋 (ℎ + ℎ + ℎ + ℎ )𝑧⊥ 5. ⊥ ⊥. 𝑑𝑥⊥ 𝑑𝑦⊥. (47). (48). str. 45.

(46) Iloczyn 𝑘 ⊥ 𝑧⊥ jest równy wielokrotności 0.4𝜋 i może przyjąć tylko 5 wartości: 0, 0.4𝜋, 0.8𝜋, 1.2𝜋 oraz 1.6𝜋 Jeśli zastąpimy rozkład prawdopodobieństwa stałą normalizacyjną C oraz przyjmiemy tylko jeden rodzaj atomów w układzie (ponieważ w naszym przykładzie rozważany jest nieudekorowany zbiór Penrose’a zawierający tylko jeden rodzaj atomów), otrzymamy:. 𝐹 𝑘 ,𝑘. = 𝐶𝑓. 𝑒. 𝑒. ⊥ ⊥. ⊥ ⊥. ⊥ ⊥. 𝑑𝑥⊥ 𝑑𝑦⊥. (49). Następnym krokiem jest obliczenie wartości całki po pięciokącie: 𝐽=. 𝑒. ⊥ ⊥. ⊥ ⊥. 𝑑𝑥⊥ 𝑑𝑦⊥. (50). Rys.2.4.1 Trójkąty wchodzące w skład pięciokątnej powierzchni atomowej. Jeśli podzielimy obszar pięciokąta na pięć identycznych trójkątów, obróconych względem siebie o 72o nie będziemy musieli wykonywać całki po całym pięciokącie. Wystarczy, że policzymy całkę po jednym trójkącie, następnie do otrzymanego wyniku podstawimy współrzędne pozostałych trójkątów, a całość zsumujemy.. 𝐽=. str. 46. 𝑒. ⊥ ⊥. ⊥ ⊥. 𝑑𝑥⊥ 𝑑𝑦⊥. (51).

(47) Rys. 2.4.2 Oznaczenia trójkąta użyte w obliczaniu jego transformaty Fouriera. Obliczamy w. transformatę. Fouriera. dowolnego Przez. (𝑥 ⊥ , 𝑦 ⊥ ), (𝑥 ⊥ , 𝑦 ⊥ ), (𝑥 ⊥ , 𝑦 ⊥ ).. trójkąta. wierzchołki. o. wierzchołkach. przeprowadzimy. proste. o współczynnikach kierunkowych i wyrazach wolnych zindeksowanych parą punktów przez które przechodzą (rys. 2.4.2) 𝑇= ⊥. ⊥ ⊥. ⊥ ⊥. 𝑑𝑥⊥ 𝑑𝑦⊥ =. ⊥. ⊥. =. 𝑒 ⊥. 𝑒. ⊥ ⊥. ⊥ ⊥. ⊥. 𝑑𝑥⊥ 𝑑𝑦⊥ +. ⊥. 𝑒 ⊥. ⊥ ⊥. ⊥ ⊥. 𝑑𝑥⊥ 𝑑𝑦⊥. ⊥. Pierwsza całka wynosi ⊥. ⊥. ⊥. 𝑒. ⊥ ⊥. ⊥ ⊥. 𝑑𝑥⊥ 𝑑𝑦⊥ =. 1 [𝐷 (𝐸 − 𝐸 ) − 𝐷 (𝐸 − 𝐸 )] 𝑘 ⊥. 𝑒. ⊥ ⊥. ⊥ ⊥. 𝑑𝑥⊥ 𝑑𝑦⊥ =. 1 [𝐷 (𝐸 − 𝐸 ) − 𝐷 (𝐸 − 𝐸 )] 𝑘 ⊥. ⊥. Druga całka wynosi ⊥. ⊥. ⊥. ⊥. str. 47.

(48) Gdzie: 𝐷 =. 1 𝑘 ⊥ + 𝑘 ⊥𝑎. 𝐸 =𝑒. ⊥. ⊥. ⊥. (52) ⊥. Wynik transformaty dla całego trójkąta przyjmuje ostatecznie postać: 𝑇=. 1 [𝐷 (𝐸 − 𝐸 ) + 𝐷 (𝐸 − 𝐸 ) − 𝐷 (𝐸 − 𝐸 )] 𝑘 ⊥. (53). Obliczony wzór na transformatę można zastosować do kolejnych trójkątów tworzących pięciokąt, warto jednak zauważyć, że wyraz −𝐷 (𝐸 − 𝐸 ) dla danego trójkąta będzie odpowiadał wyrazowi 𝐷 (𝐸 − 𝐸 ) kolejnego. Pozwala to uprościć wzór, a następnie przekształcić go do postaci pozwalającej na policzenie transformaty po dowolnej figurze płaskiej: 𝑇=. 1 𝑘 ⊥. 𝐷. 𝐸 −𝐸. (54). W podanym wzorze mogą pojawić się dwie granice, jedna dla 𝑘. ⊥. → 0 i druga, gdy 𝑘. ⊥. +. 𝑘 ⊥ 𝑎 → 0 . Wartości obu tych granic można jednak policzyć analitycznie. Przypadek 𝑘. ⊥. + 𝑘 ⊥ 𝑎 → 0 przekształcamy do postaci 𝑘. ⊥. → −. ⊥. ⊥. ⊥. ⊥. 𝑘 ⊥ , a następnie wyznaczamy. granicę: lim ⊥→. ⊥. ⊥. ⊥. ⊥. T= ⊥. 𝑖 𝑥⊥−𝑥⊥ 𝑒 𝑘 ⊥. ⊥ ⊥. ⊥. ⊥. ⊥. ⊥. ⊥. (55). Jeśli transformatę danej powierzchni atomowej oznaczymy przez 𝑇 to cały czynnik strukturalny będzie miał postać:. 𝐹 𝑘 ,𝑘. =. 𝑒. ⊥ ⊥. 𝑇. (56). ⊥. W efekcie powyższych obliczeń otrzymaliśmy wzór, który w sposób dokładny pozwala nam na obliczenie czynnika strukturalnego dla zadanego wektora falowego 𝑘 , 𝑘 numerycznego obliczania całek. str. 48. bez konieczności.

(49) 3. Uogólniony zbiór Penrose’a Podana w rozdziale 2.1 powierzchnia atomowa jest wynikiem arbitralnego wyboru paska rzutowania przechodzącego przez komórkę o współrzędnych [0,0,0,0,0]….[1,1,1,1,1], wybór innej komórki elementarnej w pięciu wymiarach spowoduje otrzymanie innych wartości współrzędnych 𝑥⊥ , 𝑦⊥ , 𝑧⊥ powierzchni atomowej. Sytuacja ta odpowiada przesunięciu paska rzutowania o wielokrotność długości stałej sieci pięciowymiarowej. Składowe 𝑧⊥ powierzchni atomowej nadal będą liczbami całkowitymi, a otrzymane powierzchnie atomowe będą miały kształt pięciokątów. Wynik rzutowania przestrzeni 5D na taką powierzchnie nie ulegnie zmianie, otrzymamy zbiór Penrose’a.. Rys. 3.1 Trójwymiarowa powierzchnia atomowa z zaznaczonymi dwuwymiarowymi powierzchniami atomowymi dla rożnych wartości współczynnika przesunięcia s. Powierzchnie atomowe po lewej odpowiadają standardowemu zbiorowi Penrose’a (𝑠 = 0). Pozostałe dwa przedstawiają powierzchnie atomowe dla uogólnionego zbioru Penrose’a, środkowy dla 𝑠 = 0.2 i prawy dla 𝑠 = 0.5 W przypadku przesunięcia paska rzutowania o ułamek długości stałej sieci wyżej wymiarowej, kształt trójwymiarowej powierzchni atomowej nie ulegnie zmianie, nadal będzie to triakontaedr rombowy. Kształt dwuwymiarowych powierzchni atomowych ulegnie zmianie, nowo powstałe powierzchnie będą miały kształt odpowiadający przekrojowi przez triakontaedr rombowy na wysokościach 𝑧⊥ + 𝑠.. W efekcie przesunięcia, trzy z czterech. powierzchni zmienią kształt na dziesięciokątny. Dodatkowo pojawi się nowa (piąta). str. 49.

(50) powierzchnia w kształcie pięciokąta, powstająca z punktu w „zwykłym” zbiorze Penrose’a (rys. 3.1, 𝑧⊥ = 1). 𝑧 =1 (1,0) ∙ 𝑠. 𝜏 𝛼 − ,− 2 𝜏. 𝑧 =2 1+. 𝑧 =3. 𝑠 , −𝑠𝛼 2𝜏. 𝜏 𝑠 + , 𝛼 − 𝑠𝛼 2 2𝜏. 𝑠 , 𝑠𝛼 2𝜏. 𝜏 𝑠 + , −𝛼 + 𝑠𝛼 2 2𝜏. 1+. 𝑧 =4 𝑠𝜏 𝛼 ,𝑠 2 𝜏. (−1,0) ∙ (1 − 𝑠). 𝑠𝜏 𝛼 , −𝑠 2 𝜏. 𝜏 𝛼 ,− ∙ (1 − 𝑠) 2 𝜏. 𝜏−. 𝜏−. 𝑧 =5. ∙𝑠 𝜏 𝛼 − , ∙𝑠 2 𝜏. 1 + 𝑠, 𝛼 2𝜏. 𝜏 𝑠𝜏 𝛼 − ,𝛼 + 𝑠 2 2 𝜏. 1 𝑠 + , 𝜏𝛼 − 𝑠𝛼 2 2𝜏. 1 ,𝛼 ∙ 𝑠 2𝜏. 1 + 𝑠, −𝛼 2𝜏. 𝜏 𝑠𝜏 𝛼 − , −𝛼 − 𝑠 2 2 𝜏. 1 𝑠 + , −𝜏𝛼 + 𝑠𝛼 2 2𝜏. 1 , −𝛼 ∙ 𝑠 2𝜏. 1 𝑠𝜏 𝛼 − ,𝛼 + 𝑠 2𝜏 2 𝜏. 1 − + 𝑠, −𝜏𝛼 2. 1 𝑠𝜏 𝛼 − , 𝜏𝛼 − 𝑠 2 2 𝜏. 1 𝑠𝜏 𝛼 − , −𝛼 − 𝑠 2𝜏 2 𝜏. 1 − + 𝑠, 𝜏𝛼 2. 1 𝑠𝜏 𝛼 − , −𝜏𝛼 + 𝑠 2 2 𝜏. 𝜏 𝑠 𝛼 − + , + 𝑠𝛼 2 2𝜏 𝜏. 1 𝑠𝜏 𝛼 − − , −𝜏𝛼 + 𝑠 2 2 𝜏. 𝜏 𝑠 𝛼 − + , − − 𝑠𝛼 2 2𝜏 𝜏. 1 𝑠𝜏 𝛼 − − , 𝜏𝛼 − 𝑠 2 2 𝜏. 𝜏 𝑠𝜏 𝛼 𝛼 − − , −𝑠 2 2 𝜏 𝜏 𝜏 𝑠𝜏 𝛼 𝛼 − − ,− + 𝑠 2 2 𝜏 𝜏. −𝜏 +. −𝜏 +. 𝑠 , 𝑠𝛼 2𝜏. 𝑠 , −𝑠𝛼 2𝜏. −. −. −. −. 𝜏 𝛼 , ∙ (1 − 𝑠) 2 𝜏 −. −. 1 , 𝛼 ∙ (1 − 𝑠) 2𝜏 1 , 𝛼 ∙ (1 − 𝑠) 2𝜏. 𝜏 + 𝑠, 𝛼 2. 𝜏 + 𝑠, −𝛼 2. 𝜏 𝑠 + , 𝛼 − 𝑠𝛼 2 2𝜏. 𝜏 𝑠 + , −𝛼 + 𝑠𝛼 2 2𝜏. Tab.1 Współrzędne powierzchni atomowych GPT, 𝛼 jest stałą i wynosi ona 𝛼 =. √. W wyniku rzutowania pięciowymiarowej struktury regularnej na przesunięte powierzchnie atomowe otrzymamy uogólniony zbiór Penrose’a (GPT) (rys. 3.2). Jednostki strukturalne z których jest zbudowany uogólniony zbiór Penrose’a są takie same jak w „zwykłym” zbiorze Penrsoe’a. Pozycje pików dyfrakcyjnych takiego zbioru nie zmieniają się, jednak ich czynniki strukturalne oraz natężenia będą inne. Reguły przylegania takiego zbioru ulegną zmianie (rys. 3.3), co spowoduje że istniejące siedem podstawowych konfiguracji rombów (rys. 3.4) okaże się niewystarczające do pełnego opisu pokrycia powierzchni, pojawią się nowe konfiguracje (rys. 3.5). Ilość i rodzaje nowych konfiguracji zalezą od wartości parametru przesunięcia powierzchni atomowych. str. 50.

(51) Rys. 3.2 GPT dla powierzchni atomowej przesuniętej o 𝑠 = 0.2 i 𝑠 = 0.5. Rys. 3.3 Próba zastosowania reguł przylegania zbioru Penrose’a do uogólnionego zbioru Penrose’a. Brakuje zasad łącznia rombów nowej powierzchni, a zastosowanie istniejących reguł tez nie daje p poprawnych rezultatów.. Rys. 3.4 Możliwe kombinacje rombów w zbiorze Penrose’a. Penrose’a str. 51.

(52) Rys. 3.5 Przykładowe nowe konfiguracje rombów w uogólnionym zbiorze Penrose’a. Penrose’a Procedura znajdowania rozkładów prawdopodobieństwa rombów na powierzchniach atomowych jest identyczna jak w przypadku zbioru Penrose’a. Romb w przestrzeni odwrotnej nadal jest zbudowany w oparciu o trzy powierzchnie atomowe. Tym ym razem możemy go zbudować na powierzchniach 11-3, 2-4 i 3-5, w zwykłym zbiorze iorze Penrose’a jedna z tych powierzchni była punktem. Zamiast dwóch różnych rodzin rombów będziemy mieli trzy (rys. 3.6). Nadal poszukujemy takich położeń wierzchołka A rombu (rys. 3. 3.7) na powierzchni atomowej, które nie powodują wyjścia pozostałych wierzchołków z odpowiadających im powierzchni. W przypadku zbioru Penrose’a poszukiwany rozkład był zawsze trójkątny. W uogólnionym zbiorze Penrsose’a kształt powierzchni 2, 2, 3 i 4 uległ w wyniku przesunięcia zmianie z pięciokątnego na dziesięciokątny. Efektem tego trójkątny rozkład zostaje zachowany tylko w przypadku rombów z powierzchni 1 1-3 i 3-5, 5, ponieważ tylko w tych przypadkach jedna z powierzchni atomowych jest nadal pięciokątna. Dla rombów z powierzchni 2-4 kształt rozkładów będzie sześciokątny (rys. 3.8). Pozostałe orientacje wyznaczamy naczamy poprzez rotacje znanego rozkładu. Współrzędne wierzchołków rozkładów prawdopodobieństwa wybranych rombów na powierzchniach atomowych w funkcji przesunięcia s zostały przedstawione w tab.2. Warto zwrócić uwagę, że wyprowadzone rozkłady rombów w uogólnionym zbiorze Penrose’a redukują się do rozkładów zbioru Penrose’a gdy 𝑠 = 0. Rozkład ozkład rombu z powierzchni 11-3 zmienia się w punkt, a kształt rozkładu 2-4 staje się trójkątny. Zmiana kształtu powierzchni atomowych oraz rozkładów rombów będzie również widoczna w rozkładach prawdopodobieństwa w średniej komórce elementarnej (rys. 3.9 i rys. 3.10)). str. 52.

(53) Rys. 3.6 Uogólnione zbiory Penrose’a, przesuniecie s=0.2 (lewy) i s=0.5 (prawy) z zaznaczonymi rodzinami rombów. Na zielono romby z rodziny na powierzchniach atomowych 1-3, na żółto z 2-4 i na niebiesko z 3-5.. Rys. 3.7 Gruby romb "23" i cienki romb „14” użyte podczas wyznaczania rozkładów prawdopodobieństwa na powierzchniach atomowych i w średniej komórce elementarnej. str. 53.

(54) Rys. 3.8 Procedura otrzymywania rozkładów prawdopodobieństwa położenia grubego rombu „23”. Rysunek po lewej przedstawia rozkład dla zbioru Penrose’a, a prawy dla uogólnionego zbioru Penrose’a. Kształt rozkładu jest zależny od parametru przesunięcia, poprzez zmianę kształtu powierzchni atomowych.. uy. ux Rys. 3.9 Rozkład prawdopodobieństw struktury o przesunięciu 𝑠 = 0.2 w średniej komórce elementarnej zbudowanej za pomocą wektorów 𝑘 = [−1, −3, −3, −1] ≈ 0.62 i 𝑘 = [2,1, −1, −2] ≈ 0.73. Stałe sieci wynoszą odpowiednio 𝜆 ≈ 10.14 i 𝜆 ≈ 8.63. Na niebiesko zaznaczono rozkład cienkiego rombu „14”, na czerwono rozkład grubego rombu „23”, na żółto obszar przekrywania się obu rozkładów.. str. 54.

(55) uy. ux Rys. 3.10 Rozkład prawdopodobieństw struktury o przesunięciu 𝑠 = 0.5 w średniej komórce elementarnej zbudowanej za pomocą wektorów 𝑘 = [−1, −3, −3, −1] ≈ 0.62 i 𝑘 = [2,1, −1, −2] ≈ 0.73. Stałe sieci wynoszą odpowiednio 𝜆 ≈ 10.14 i 𝜆 ≈ 8.63. Na niebiesko zaznaczono rozkład cienkiego rombu „14”, na czerwono rozkład grubego rombu „23”, na żółto obszar przekrywania się obu rozkładów.. str. 55.

(56) Gruby Romb „23”. Cienki romb „14”. (s, 0). (s, 0). 𝑠𝜏 𝑠𝛼 , 2 𝜏. 𝑠 , 𝑠𝛼 2𝜏. 𝑠𝜏 𝑠𝛼 ,− 2 𝜏. 𝑠 , −𝑠𝛼 2𝜏. 𝜏 𝑠𝜏 𝛼 𝛼 − − , −𝑠 2 2 𝜏 𝜏. 1 𝑠 + , 𝛼 − 𝑠𝛼 2𝜏 2𝜏. 𝜏 𝛼 − + 𝑠, 2 𝜏. 1 + 𝑠, 𝛼 2𝜏. −. 𝑧 =1. −. 1− 𝑧 =2 1−. 𝑧 =3. 𝑠𝜏 𝑠𝛼 , 2 𝜏. 1+. 𝑠𝜏 𝑠𝛼 ,− 2 𝜏. 1+. 𝑠 , 𝑠𝛼 2𝜏. 𝑠 , −𝑠𝛼 2𝜏. 𝜏 𝛼 − + 𝑠, − 2 𝜏. 1 + 𝑠, −𝛼 2𝜏. 𝜏 𝑠𝜏 𝛼 𝛼 − − ,− + 𝑠 2 2 𝜏 𝜏. 1 𝑠 + , −𝛼 + 𝑠𝛼 2𝜏 2𝜏. (−𝜏 + 𝑠, 0). 1 + 𝑠, 0 𝜏. 1−. 𝜏 𝑠𝜏 𝛼 𝑠𝛼 − ,− + 2 2 𝜏 𝜏. 𝜏 𝑠 + , −𝛼 + 𝑠𝛼 2 2𝜏. 𝜏 𝑠𝜏 𝛼 𝑠𝛼 1− − , − 2 2 𝜏 𝜏. 𝜏 𝑠 + , 𝛼 − 𝑠𝛼 2 2𝜏. Tab.2 Współrzędne (𝑥⊥ , 𝑦⊥ ) rozkładów prawdopodobieństwa w funkcji przesunięcia powierzchni atomowych 𝑠 , policzone dla wybranej orientacji grubego „23” i cienkiego „14” rombu (rys. 3.6). Parametr 𝛼 jest stałą i wynosi ona 𝛼 =. √. . Dla 𝑠 = 0 rozkład na. 𝑧 = 1 staję się punktem, a rozkład na 𝑧 = 1 trójkątem, co odpowiada rozkładom rombów zbioru Penrose’a. str. 56.

(57) 4. Czynnik strukturalny dowolnie dekorowanego uogólnionego zbioru Penrsoe'a Czynnik strukturalny dla pustego zbioru Penrose’a został policzony w rozdziale 2.5. Wyprowadzony wzór jest jednak nie wystarczający na potrzeby udokładniania rzeczywistej struktury, ponieważ nie uwzględnia on na przykład: różnych rodzajów atomów, istnienia dekoracji, czy współczynników Debye’a-Wallera. O ile wzór na czynnik strukturalny dowolnie dekorowanego zbioru Penrose’a był już wcześniej znany (Kozakowski B., Wolny J., 2010), to czynnik strukturalny dla dowolnie dekorowanego uogólnionego zbioru Penrose’a został wyprowadzony na potrzeby tej pracy (Chodyń M., Kuczera P., Wolny J., 2015). Dla dowolnie udekorowanego uogólnionego zbioru Penrose’a możemy zapisać gęstość elektronową jako splot gęstości elektronowych kwazisieci i jednostek strukturalnych:. 𝜌. =. 𝜌. ć ,. ∗𝜌. .. (57). ,. { , }. Sumowanie odbywa się po dwóch rodzajach rombów (L i S, suma po T), pogrupowanych w trzy różne rodziny (suma po f), a każdy z rombów w każdej rodzinie występującej w GPT ma pięć różnych orientacji (suma po 𝜃). Mając te informacje, możemy opisać gęstość elektronową dowolnie udekorowanego uogólnionego zbioru Penrose’a jako splot podsieci wybranego rodzaju rombu, z wybranej rodziny w konkretnej orientacji 𝜌 wewnątrz tego konkretnego rombu 𝜌. .. , i gęstości elektronowej. ć ,. . Warto zwrócić uwagę, że dekoracja każdego. ,. rombu w danej rodzinie jest taka sama, ale odwrócona odpowiednio dla każdej orientacji. Czynnik strukturalny jest transformatą Fouriera (FT) gęstości elektronowej, a transformata splotu jest iloczynem transformat:. 𝐹𝑇(𝜌. )=. 𝐹𝑇(𝜌. ć ,. ) ∙ 𝐹𝑇(𝜌. . ,. ). (58). { , }. Transformata Fouriera z gęstości elektronowej wewnątrz danego rombu jest zwykłą sumą czynników eksponencjalnych, dokładnie tak samo jak w przypadku periodycznego kryształu. ,. 𝐹𝑇 𝜌. . ,. =. 𝑝 𝑓 exp 𝑖𝐤 𝐧,𝐦 𝐫. (59). str. 57.

(58) Gdzie 𝑛. ,. jeśli numerem atomu dekorującego jednostkę strukturalną 𝑇 , , 𝐫. jest pozycją. (w przestrzeni prostopadłej) danego atomu w danej jednostce strukturalnej względem wierzchołka A (rys. 4.1). 𝐤 𝐧,𝐦 jest wektorem sieci odwrotnej zapisanego w bazie średniej komórki elementarnej z wykorzystaniem indeksów (𝐧, 𝐦) (40): 𝑘 =. (𝑚 + 𝑚 ) 2𝜋 (𝑛 + 𝑛 ) + 5 𝜏. (𝑚 − 𝑚 ) 2𝜋 𝑘 = 𝜏√𝜏 + 2 (𝑛 − 𝑛 ) + 5 𝜏. (60). 𝑓 jest atomowym czynnikiem rozpraszania danego atomu, 𝑝 jest ułamkiem określającym jaka część atomu znajduje się wewnątrz jednostki strukturalnej, 𝑝 = 1 dla atomów wewnątrz rombów, 𝑝 = 0.5 na krawędziach i 𝑝 =. dla atomów w wierzchołkach, gdzie 𝜑 jest kątem. pomiędzy krawędziami tworzacymi wierzchołek rombu.. Rys. 4.1 Względne położenia atomów dekorujących romby. Transformatę Fouriera podsieci zapisujemy jako:. 𝐹𝑇(𝜌. 𝐫. ć ,. )=. exp 𝑖𝑘𝐫. (61). jest położeniem w przestrzeni fizycznej j-tego punktu A reprezentującego romb 𝑇 .. Skorzystamy z równania (45): 𝑘 𝑥 + 𝑘 𝑦 = − 𝑘 ⊥ 𝑥⊥ + 𝑘 ⊥ 𝑦⊥ + 𝑘 ⊥ 𝑧⊥. str. 58. (62).

(59) Podstawimy teraz do niego wartości wektorów falowych w notacji średniej komórki elementarnej, (40) i (41): 𝑘 =. (𝑚 + 𝑚 ) 2𝜋 (𝑛 + 𝑛 ) + =𝑘 5 𝜏. (𝑛 + 𝑛 ) +. (𝑚 + 𝑚 ) 𝜏. (𝑚 − 𝑚 ) (𝑚 − 𝑚 ) 2𝜋 𝜏√𝜏 + 2 (𝑛 − 𝑛 ) + = 𝑘 (𝑛 − 𝑛 ) + 5 𝜏 𝜏 (𝑛 + 𝑛 ) 2𝜋 (𝑛 + 𝑛 ) 𝑘 = 𝜏 − (𝑚 + 𝑚 ) = 𝑘 − (𝑚 + 𝑚 ) 5 𝜏 𝜏. 𝑘 =. 𝑘. (63). (𝑛 − 𝑛 ) 2𝜋 √𝜏 + 2 (𝑛 − 𝑛 ) − (𝑚 − 𝑚 ) = 𝑘 − (𝑚 − 𝑚 ) 5 𝜏 𝜏 𝜏 (𝑚 + 𝑚 ) (𝑚 + 𝑚 ) 4√2𝜋 (𝑛 + 𝑛 ) − (𝑛 + 𝑛 ) − =− =𝑘 5 2 2. =− 𝑘. Po podstawieniu otrzymujemy: (𝑛 + 𝑛 ) +. (𝑚 + 𝑚 ) 𝑘 𝜏 =− −. 𝑥 + (𝑛 − 𝑛 ) +. (𝑛 + 𝑛 ) − (𝑚 + 𝑚 ) 𝑘 𝜏. (𝑛 − 𝑛 ) − (𝑚 − 𝑚 ) 𝑘 𝜏. (𝑚 − 𝑚 ) 𝑘 𝑦= 𝜏 (64). 𝑥⊥ 𝑦⊥ − (𝑛 + 𝑛 ) −. (𝑚 + 𝑚 ) 𝑘 2. 𝑧⊥. Położenia 𝑥 i 𝑦 wyrazimy poprzez rozkład w średniej komórce elementarnej: 𝑥=𝑁 𝜆. +𝑢 =𝑀 𝜆. +𝑣. 𝑦=𝑁 𝜆. +𝑢 =𝑀 𝜆. +𝑣. (65). Gdzie 𝜆 oznaczają długość boku średniej komórki elementarnej zbudowanej w oparciu o wektor falowy k: 𝜆. =. i 𝜆. =. , a 𝜆 są długościami boku średniej komórki. elementarnej zbudowanej za pomocą wektora modulacji 𝑞 będącego τ razy krótszy od 𝑘: 𝜆. =𝜏. i 𝜆. =𝜏. , liczby 𝑁 i 𝑀 są liczbami całkowitymi. Zanim podstawmy (65) do. (64) zwróćmy uwagę, że: (𝑛 + 𝑛 )𝑘. 𝑥 = (𝑛 + 𝑛 ) 𝑘 (𝑁 𝜆 = (𝑛 + 𝑛 )𝑘 𝑁. + 𝑢 ) = (𝑛 + 𝑛 )𝑘 𝑁 𝜆. + (𝑛 + 𝑛 )𝑘 𝑢. 2𝜋 + (𝑛 + 𝑛 )𝑘 𝑢 𝑘. str. 59.

(60) Całe to wyrażenie jest w eksponencie, zaznaczony na czerwono składnik jest całkowitą wielokrotnością 2𝜋, oraz exp(𝑖2𝜋𝑙) = 1, 𝑙 ∈ 𝑍. Analogiczne równania można napisać dla pozostałych składników, wszystkie wykładniki eksponent zawierające 𝑁 i 𝑀 będą zawsze całkowitą wielokrotnością 2𝜋, przez to można je pominąć w dalszych rozważaniach. Mając to na uwadze możemy napisać: (𝑛 + 𝑛 )𝑢 +. (𝑚 + 𝑚 ) 𝑣 𝑘 𝜏. = (𝑛 + 𝑛 ) − + (𝑛 − 𝑛 ) −. + (𝑛 − 𝑛 ) 𝑢 +. 𝑘. 𝑥⊥ 𝜏. 𝑘. 𝑧⊥ + (𝑚 + 𝑚 ) 𝑘. −𝑘. 𝑦⊥. (𝑚 − 𝑚 ) 𝑣 𝜏. + ( 𝑚 − 𝑚 )𝑘. 𝑦⊥. 𝑧⊥ => 𝑢 = −. 𝑘 𝜏𝑘. 𝜏. 𝑘. =. 𝑥⊥ +. 𝑘. 𝑧⊥ 2. (66). Stąd wyznaczamy: 𝑢 𝑘. =−. 𝑘. 𝑥⊥ 𝜏. +𝑘. 𝑣 =. 𝜏𝑘 𝑘. 𝑥⊥ +. 𝜏𝑘 2𝑘. 𝑘 𝜏𝑘. 𝑦⊥. 𝑢 =−. 𝑣 =. 𝜏𝑘 𝑘. 𝑥⊥ −. 𝑘 𝑘. 𝑧⊥. 𝑧⊥. 𝑦⊥. Wprowadźmy nowe zmienne: 𝑢. =𝑢 +. 𝑣 =𝑣 −. 𝑘 𝑘. 𝑧⊥ = −. 𝜏𝑘 2𝑘. 𝑧⊥ =. 𝑘 𝜏𝑘. 𝜏𝑘 𝑘. 𝑥⊥. 𝑥⊥. Dzieląc stronami otrzymujemy zależności: 𝑣 = −𝜏 𝑢 Możemy teraz zapisać:. str. 60. i 𝑣 = −𝜏 𝑢. (67).

(61) 𝑘 𝑥 + 𝑘 𝑦 = (𝑛 + 𝑛 ) 𝑢 +. (𝑚 + 𝑚 ) 𝑣 𝑘 𝜏 𝑘 𝑘. = (𝑛 + 𝑛 ) 𝑢. −. + (𝑛 − 𝑛 )𝑢 +. (𝑚 − 𝑚 ) 𝑣 𝜏. 𝑧⊥ +. + (𝑛 − 𝑛 )𝑢 +. (𝑚 − 𝑚 ) 𝑣 𝜏. (𝑚 + 𝑚 ) 𝜏𝑘 𝑣 + 𝜏 2𝑘. 𝑧⊥. 𝑘. 𝑘. 𝑘. Korzystając z równania (67) otrzymujemy: 𝑘 𝑥 + 𝑘 𝑦 = 𝑘 𝑢 [(𝑛 + 𝑛 ) + 𝜏(𝑚 + 𝑚 )] + 𝑘 𝑢 [(𝑛 − 𝑛 ) − 𝜏(𝑚 − 𝑚 )] +𝑘. 𝑧⊥ −(𝑛 + 𝑛 ) +. (𝑚 + 𝑚 ) 2. Zdefiniujmy: 𝜑 (𝑧 ) = 𝑘. 𝑧⊥ −(𝑛 + 𝑛 ) +. (𝑚 + 𝑚 ) 4√2𝜋 1 (𝑛 + 𝑛 ) − (𝑚 + 𝑚 ) 𝑧 = 2 5 2. 𝜅 = 𝑘 [(𝑛 + 𝑛 ) − 𝜏(𝑚 + 𝑚 )] = 𝜅 = 𝑘 [(𝑛 − 𝑛 ) − 𝜏(𝑚 − 𝑚 )] =. 2𝜋 [(𝑛 + 𝑛 ) − 𝜏(𝑚 + 𝑚 )] 5. (68). 2𝜋 𝜏√𝜏 + 2[(𝑛 − 𝑛 ) − 𝜏(𝑚 − 𝑚 )] 5. Wtedy: 𝑘 𝑥 + 𝑘 𝑦 = 𝜅 𝑢 + 𝜅 𝑢 + 𝜑 (𝑧 ) Uzyskane wyniki podstawiamy do równania (61) uwzględniając, że sumowanie przebiega po zbiorze ograniczonym średnią komórką, przez co sumę można zastąpić całką: 𝐹𝑇(𝜌. ć ,. ) = exp[𝑖𝜑(𝑧 )]. exp 𝑖 𝛋𝐧,𝐦 ⋅ 𝐮 d𝐮. (69). ,. Całka jest wykonywana po rozkładzie prawdopodobieństwa wierzchołka A danego rombu 𝑇 , , w średniej komórce elementarnej. Rozkład ten jest otrzymywany w wyniku rzutowania 𝐮 = −𝜏. 𝐫. rozkładu rombu na powierzchniach atomowych na przestrzeń fizyczną.. Współrzędne dystrybucji oraz ich zależność znajdują się w tab.2. O ile w przypadku zbioru Penrose’a mieliśmy do czynienia z trójkątnym rozkładem prawdopodobieństwa, to w przypadku uogólnionego zbioru Penrose’a rozkład ten może przyjmować kształt sześciokąta. Warto zwrócić uwagę, że wartość 𝑧 może przyjąć tylko wartości 1, 2 lub 3, zależnie od tego str. 61.

(62) której rodzinie rombów odpowiada. Czynnik strukturalny jest zależny od parametru przesunięcia s. Parametr ten pojawia się w formule we współrzędnych rozkładów prawdopodobieństwa, podanych w tab.2. Uzyskany wzór na czynnik strukturalny uogólnionego zbioru Penrose’a dla przesunięcia 𝑠 = 0 redukuje się do znanego wcześniej rozwiązania dla „zwykłego” zbioru Penrose’a, będącego szczególnym przypadkiem zaprezentowanego tu uogólnienia. Całkę z równania (69) liczy się dokładnie tak samo jak to pokazano w rozdziale 2.5. Pozwala to uniknąć konieczności numerycznego liczenia całki, otrzymany wzór analityczny można bezpośrednio zaimplementować w algorytmie.. str. 62.