Streszczenie w języku polskim
Rozprawa doktorska obejmuje opis metody kwadratur różniczkowych sterowanego rzędu, będącej modyfikacją metody kwadratur różniczkowych. Jest to autorska metoda numerycznej aproksymacji pochodnych umożliwiająca budowę schematów poszukiwania przybliżonych rozwiązań (w postaci dyskretnej) równań różniczkowych cząstkowych. We wstępie pracy została przedstawiona metoda KR oraz jej związek z zagadnieniem interpolacji wielomianowej Lagrange'a. Następnie zaprezentowana została definicja oraz procedura stosowania metody KRSR podczas rozwiązywania problemów dotyczących przewodzenia ciepła wraz z różnymi wariantami warunków brzegowych. Ważną właściwością metody jest możliwość doboru rozkładu rzędu aproksymacji w dziedzinie, który pozwala wpływać na poprawę dokładności przybliżenia. W celu opracowania kompleksowej analizy wpływu parametrów metody KRSR oraz różnej gęstości siatek dyskretnych na jej dokładność, metodę zastosowano do numerycznego wyznaczania pochodnych funkcji elementarnych, dla których możliwe jest znalezienie pochodnych. Wynikiem tych eksperymentów numerycznych jest bogate opracowanie zestawów parametrów metody KRSR dla różnych siatek przy których spodziewana dokładność jest najwyższa. W dalszej części pracy rozpatrywany jest model przewodzenia ciepła w nieskończonej płycie staliwnej. Uproszczenie modelu polegające na niezmienności parametrów termofizycznych wraz z temperaturą pozwala znaleźć rozwiązanie dokładne dla tego problemu. Weryfikacja rozwiązania przybliżonego uzyskanego metodami RS i KRSR dowodzi dużo wyższej dokładności metody KRSR. Dalsza analiza wyników modelowania umożliwia optymalizację schematu rozwiązania problemów dynamicznych przy użyciu kwadratur różniczkowych sterowanego rzędu. W pracy została przedstawiona metoda uwzględniania nieliniowości w równaniu Fouriera - Kirchhoffa w schemacie opartym na omawianej metodzie numerycznej. Parametry dotyczące przebiegu krzepnięcia nieskończonej płyty wykonanej ze stopu AZ91 w formie piaskowej zostały wyznaczone eksperymentalnie. Zaproponowany model krzepnięcia bardzo dobrze współpracuje z metodą KRSR. Wyniki obliczeń numerycznych zostały zweryfikowane eksperymentalnie. Zestawienie krzywych stygnięcia potwierdza wysoką dokładność obliczeń przeprowadzonych z wykorzystaniem metody KRSR. Niniejsza rozprawa stanowi kompleksowe opracowanie metody kwadratur różniczkowych sterowanego rzędu oraz sposobów stosowania jej w komputerowej symulacji procesów związanych z odlewnictwem.
Application of Differential Quadrature method in computer simulation of heat transfer and solidification processes.
The doctoral dissertation contains description of Rank Controlled Differential Quadrature (RCDQ) that is adjustment of Differential Quadrature (DQ). This is the original method for derivatives numerical approximation, which allow constructing computational schemes for Partial Differential Equations (PDE) approximate solutions. In the introduction the DQ is introduced and its relationships with Lagrange polynomial interpolation. Afterwards RCDQ is defined, additionally some procedures for application this method in heat transfer problems with various boundary conditions are given. Important feature of this method is possibility of choosing method approximation rank distribution in each grid node, which allows to influence on the method accuracy. In order to obtain more detailed analysis of method parameters, grid density and approximation accuracy the RCDQ method is applied to numerical differentiation of elementary function, for which exact derivatives can be found. As the result of those numerical experiments large collection of optimal method parameters for the grids of different nodes number is presented in the dissertation. Farther the infinite steel plate cooling/heating model is taken into account. Simplification of the model consisting of assuming that the thermo-physical parameters are constant with temperature, allow to find exact solution for this problem. Validation of numerical solutions found with RCDQ and Finite Differences (FD) methods shows clearly that RCDQ method gives solution of much higher accuracy. Additionally an analysis that allow to adapt optimal method parameters during numerical solution of dynamic problems is performed. Within the PhD thesis the method of taking into account nonlinear part of energy equation in numerical scheme that base on the RCDQ method is presented. Parameters that are connected with solidification process in mathematical model for AZ91 infinite plate in sand mould solidification were gathered during experiment. The proposed solidification model works very good with the RCDQ method. Numerical computation results are validated experimentally. Cooling curves comparison confirms high accuracy of approximate solutions obtained with RCDQ method. The doctoral dissertation provides a comprehensive description of Rank Controlled Differential Quadrature method and its application procedures in numerical simulation of the foundry processes.
