Symetrie/liczby kwantowe III

Liczby kwantowe

● symetria CP

● izospin

Symetria CP

●

Transformacja CP jest złożeniem transformacji inwersji przestrzennej P

oraz transformacji sprzężenia ładunkowego C

●

Oddziaływania silne i elektromagnetyczne zachowują

parzystość przestrzenną P i parzystość ładunkową C

●

Eksperyment : w oddz. słabych zarówno C, jak i P są silnie niezachowane !!

●

1957

odkrycie niezachowania parzystości P w oddziaływaniach słabych

doświadczenie pani C. S. Wu et al . ( asymetria kątowa w rozkładzie elektronów z rozpadu spolaryzowanych jąder kobaltu )

●

połączona operacja CP przekształca lewoskrętne neutrino w obserwowane

prawoskrętne antyneutrino - oczekiwano, że symetria względem CP

jest zachowana w oddziaływaniach słabych

●

1964 Fitch & Cronin et al. , odkrycie łamania symetrii względem CP

( słabe rozpady neutralnych mezonów K

₎

Skrętność ( helicity )

Skrętność neutrin

|

p

||

s

|

s

p

r

r

r

r ⋅

=

λ

Zgodnie z równaniem Diraca dla cząstek bezmasowych

( lub ultrarelatywistycznych )

skrętność

λ =

± 1

Eksperyment : obserwuje się jedynie stany neutrin

z rzutem spinu na kierunek

ruchu S

= – ½ ħ , czyli

ze skrętnością

λ

= – 1

. Natomiast

antyneutrina mają

skrętność

λ

= + 1

.

ν

p

_ν

p

S

S

–

Skrętność - znormalizowana wartość rzutu spinu cząstki (s)

na kierunek jej pędu (p) ( kierunek ruchu )

Stany helicity (stany o określonej skrętności) – kwantyzacja spinu względem kierunku ruchu cząstki

lewoskrętne neutrino prawoskrętne antyneutrino

Skrętność neutrin uwidacznia się w słabych rozpadach mezonów

π

l

ν

Stosunek rozgałęzień dla rozpadów

π

→ e +

ν

i

π

→

µ

+

ν ,

byłby większy od jedności gdyby neutrino nie było lewoskrętne

spin pionu = 0) Zasada zachowania momentu pędu →

spin dodatnio naładowanego leptonu skierowany przeciwnie do spinu neutrina

→

l

antyleptonu oczekiwalibyśmy prawoskrętności

● rozpad na nierelatywistyczne miony

µ

– dozwolone stany prawo i lewoskrętne

Układ spoczynkowy pionu : orientacja spinów / pędów leptonu

i neutrina w rozpadzie pionu

π

_{→ l}

₊

ν

,

π¯ → l¯ + ν

l = e,

µ

–

m

m

m

Jak (anty)neutrina zachowują się przy operacji przestrzennej inwersji współrzędnych ( P ), sprzężenia ładunkowego ( C ) i transformacji CP

prawoskrętne antyneutrino

ν

ν

־

ν

־

● Operacja sprzężenia ładunkowego przeprowadza lewoskrętne neutrino ν_Lw lewoskrętne antyneutrino ν_L,

C |

ν

> = |

ν

־

> - takiego stanu nie obserwuje się w przyrodzie !

● Operacja inwersji współrzędnych przeprowadza lewoskrętne neutrino ν_Lw prawoskrętne neutrino ν_R,

P |

ν

> = |

ν

> - takiego stanu nie obserwuje się w przyrodzie !

5 połączona operacja CP przekształca lewoskrętne neutrino w prawoskrętne antyneutrino

Niezachowanie parzystości w rozpadzie β

●

1956 T. Lee & C. Yang

teoretyczna analiza dostępnych w tym okresie danych doświadczalnych, obserwacja dwóch kanałów rozpadu mezonów K+ _:

K+ _(JP _{= 0־) , K}+ _→

π

π

π

π

π־

hipoteza, że oddziaływania słabe nie zachowują parzystości P

parzystości przestrzennej w oddziaływaniach słabych

●

1957 eksperyment C. S. Wu

pomiar rozkładów kątowych elektronów z rozpadu

β

jąder kobaltu

60

_{Co →}

_{Ni* + e־ +}

ν

־

Eksperyment C. S. Wu et al. (1957) – asymetria kątowa w rozkładzie elektronów

Eksperyment C. S. Wu

pomiar rozkładów kątowych elektronów z rozpadu

β

jąder kobaltu

60

_{Co →}

_{Ni* + e־ +}

ν

־

▼ próbka 60_{Co umieszczona w silnym polu magnetycznym, T = 0.01 K}

momenty magnetyczne µ i spiny jąder ustawione równolegle do pola magnetycznego

▼ Analiza rozkładów kątowych elektronów względem kierunku spinu jąder 60_Co

Topologia rys. b jest lustrzanym odbiciem reakcji na rys. a

dzialanie operatora P ( przypomnienie ) :

r → –r, p → –p

wektory aksjalne

L = r ×p → L,

σ → σ , µ→ µ

a

)

b

)

Przy zachowaniu parzystości P

→

60_{Co ~ momentu magnetycznego jądra}

µ

Doświadczenie – asymetria kątowa w rozkładzie elektronów

elektrony najchętniej emitowane w kierunu przeciwnym do spinu rozpadającego się jądra

7

Amplitudy prawdopodobieństwa procesów będących odbiciem lustrzanym

nie są sobie równe – łamanie parzystości przestrzennej w rozpadzie

β

Zachowanie składowej z momentu pędu układu :

●

Eksperyment C. S. Wu

:

spolaryzowane jądro kobaltu o spinie s = 5 ulega

rozpadowi

β

na wzbudzone jądro niklu o spinie s = 4 ,

_{Co →}

_{Ni* + e־ +}

ν

e

●

spin jądra

_{Ni* mniejszy o 1 od spinu jądra}

_Co

para e־

ν

unosi całkowity moment pędu = 1

־

־

9

●

Eksperyment C. S. Wu

:

spolaryzowane jądro kobaltu o spinie s = 5 ulega

rozpadowi

β

na wzbudzone jądro niklu o spinie s = 4 ,

_{Co →}

_{Ni* + e־ +}

ν

e

●

spin jądra

_{Ni* mniejszy o 1 od spinu jądra}

_Co

para e־

ν

unosi całkowity moment pędu = 1

jest lewoskrętny, a antyneutrino jest prawoskrętne

(taka topologia realizuje się w przyrodzie )

reakcja b) jest odbiciem lustrzanym procesu a)

elektron jest prawoskrętny,

ν

maksymalne naruszenie parzystości P

β

(prawoskrętne neutrino w stanie końcowym)

naruszenie parzystości C

־

־

־

a)

b)

c)

d)

Przy założeniu symetrii CP w rozpadach słabych,

z taką samą częstością jak proces a

zachodziłby rozpad antykobaltu w procesie d, otrzymany z reakcji a w wyniku

Odkrycie niezachowania CP

1980

nagroda Nobla dla Fitcha i Cronina

za odkrycie niezachowania CP

K

₂

0

_→

π

+

π־ ≈ 0.2%

( K

_{≡ K}

)

V. L. Fitch R. Turlay J. W. Cronin J.H.Christenson

Odkrycie, że

neutralne kaony z długim czasem życia

rozpadające się zwykle na 3 piony mające CP = – 1,

rozpadają się także na 2 piony

rozpad naładowanego kaonu

K

_{→ µ}

_{+ ν}

µ

● 1947 Odkrycie cząstek dziwnych

C. Butler & G. Rochester,

Nature 160 (1947) 855

rozpad

neutralnego

kaonu

K

_→

π

₊

π¯

K

µ

Pierwsze

długożyciowe ” cząstki V ”

z prom. kosmicznego zarejestrowane

w komorze mgłowej. Wkrótce w eksp. akceleratorowych stwierdzono, że

są

produkowane tylko w parach

nowa liczba kwantowa

dziwność

(1953).

11

Cząstki dziwne produkują się z zachowaniem dziwnosci w oddziaływaniach silnych,

Niezachowanie CP

1964 Fitch & Cronin

niezachowujące dziwności nieleptonowe rozpady

neutralnych kaonów łamią symetrię CP

●

stowarzyszona produkcja cząstek dziwnych w zachowujących dziwność

oddziaływaniach silnych

π־

+ p→ Λ

_{+ K}

_,

π

_{+ p → K}

_{+ K}

_{+ p , K}

_{(498) = ds, K}

_{= ds , K}

_{(494) = us}

S 0 0 –1 +1 0 0 +1 –1 0

Λ

_{(1190) = uds}

neutralne kaony ( J

_{= 0־ ) K}

_{i K}

_{są stanami o dobrze określonej dziwności,}

stanowią parę cząstka – antycząstka, nie są stanami własnymi CP

●

Oddziaływania słabe

nie zachowują dziwności , nie ma zachowanych liczb kwantowych

odróżniających K

_{i K}

־

–

Stanami neutralnych kaonów o ustalonych masach i czasach życia

są stany o ustalonej parzystości CP.

(założenie – CP jest ścisłą symetrią oddz. słabych )

Te stany rozpadają się poprzez oddziaływania słabe.

–

־

־

–

●

Nie ma zachowanych liczb kwantowych odróżniających K

_{i K}

● Stanami rozpadającymi się w wyniku oddziaływań słabych są kombinacje

liniowe stanów K

_{i K}

_:

_{a| K}

_{> + b| K}

_>

( stany własne oddziaływań słabych o ustalonym CP )

● Niezachowanie dziwności powoduje

mieszanie K0 – K0

–

–

–

–

Neutralne kaony

stany o dobrze określonym CP, K

S

i K

, są kombinacjami liniowymi stanów K

i K

–

)

K

|

K

(|

2

1

K

|

)

K

|

K

(|

2

1

K

|

>

−

>

=

>

>

+

>

=

>

CP = +1

CP = –1

C | K

_{> = –| K}

_{> C | K}

_{> = – | K}

_>

P | K

_{> = –| K}

_{> P| K}

_{> = – | K}

_>

CP| K

_{> = | K}

_{> CP| K}

_{> = | K}

_>

Kwantowomechaniczne zjawisko oscylacji neutralnych kaonów : K

_K

–

–

–

–

–

–

–

który następnie znów przechodzi w K0 _…

Parzystość przestrzenna

●

parzystość cząstki posiadającej orbitalny moment pędu

l

●

parzystość jest multiplikatywną liczbą kwantową

parzystość układu cząstek jest równa iloczynowi parzystości wewnętrznych poszczególnych cząstek oraz parzystości związanej z ruchem orbitalnym np. dla dwóch cząstek

l

P_i– parzystość wewnętrzna cząstki i

P

= P

· P

· (–1)

P = P

(–1)

P

– parzystość wewnętrzna cząstki

( przypomnienie )

Rozpady neutralnych kaonów

Obserwowane eksperymentalnie 2 obojętne kaony to K

_{i K}

L0

, K

z różnymi czasami życia i kanałami rozpadu

CP | K

_{> → | K}

S0

> CP | K

> → – | K

>

CP( K

_{) = +1 CP( K}

L0

) = -1

zachowanie CP

dopuszczalne nieleptonowe kanały rozpadu to :

K

_{→ 2}

π,

_CP(

ππ

_{) = +1}

_K

L0

→ 3

π,

CP

(

πππ )

= -1

Rozpady na 2

π

:

π

π

_{־ ,}

π

π

_{( 2 bezspinowe cząstki, J}

₍

π

_{) = 0־ , C}

π0

= +1 )

P(

π

π

₎

_{= ( P}

π

)² (–1)

,

C(

π

π

)

= (

C

)² = 1² =

1, L – orbitalny moment pędu układu

π

π

układ spoczynkowy rozpadającej się cząstki ( kaonu ), zasada zachowania momentu pędu :

spin

spin

→

L = 0

CP (

π

π

) = (–1)

_{= + 1}

CP (

π

π

_{) = + 1}

Rozpady neutralnych kaonów

:

π

π

π

,

π

π־π

( 3 bezspinowe cząstki )

Rozpady na 3

π

L

– orbitalny moment pędu wybranej pary pionów w ich

układzie środka masy

L

– kręt 3-go pionu względem środka masy pary

ππ

w układzie spoczynkowym kaonu

Całkowity moment pędu

L = L

+ L

= spin ( kaonu ) = 0

L

= L

P( 3

π

)

= P

³

(–1)

_(–1)

_{= (–1)³ =}

_–1

_,

_{C( 3}

π

₎

_{= (C}

π0

)³ =

1

P(

π

π־π

_{) = –1}

_{analogicznie jak dla układu 3}

π

C(

π

π־π

₎

_{= C}

π0

· C(

π

π־

) =

(-1)

wartość L

można wyznaczyć eksperymentalnie badając rozkłady kątowe

naładowanych pionów →

L

= 0

CP(

π

π־π

_{) = (–}

₁

₎

π

_(π

₎

π

_(π

₎

π

(π

₎

L

L

CP (

π

π

π

) = – 1

CP (

π

π־π

_{) = – 1}

Niezachowanie CP

Rozpady hadronowe neutralnych kaonów zachodzą poprzez stany własne oddziaływań słabych z określonym CP

Eksperyment :

K

_,

τ

_{= 0.89 × 10}

_s,

_{stosunek rozgałęzień (branching ratio)}

K

_→

π

π

B = 0.31 CP = +1

K

_→

π

π־

B = 0.69 CP = +1

K

_,

τ

_{= 0.53 × 10}

_s

_–

i dlatego K_L0 _{ma dłuższy czas życia niż K} S0

K

_→

π

π

π

_{B = 0.21 CP = –1}

K

_→

π

π־π

_{B = 0.13 CP = –1}

Dominujacym kanałem rozpadu dla K

_{jest rozpad półleptonowy K}

L0

→

π l ν

(–)

Obserwacja bardzo rzadkich rozpadów K

_→

π

π

_{־ ,}

π

π

_{( B rzędu 10־³ )}

Transformacja parzystości połączona z operacją sprzężenia ładunkowego

nie jest ścisłą symetrią przyrody !!

Izospin

●

Koncepcja niezależności ładunkowej sił jądrowych

▼ Badania struktury jąder atomowych ( jądra zwierciadlane)

▼ Oddziaływania silne protonów i neutronów z pionami

niezależność silnych oddziaływań od tego, czy uczestniczy w nich

proton lub neutron ,

π

π

●

1932 Heisenberg

proton i neutron są dwoma stanami wewnętrznymi tej samej cząstki, nukleonu

■

izospin I = ½

■

I

=

½

■

Izospin

: wektor w 3–wymiarowej abstrakcyjnej przestrzeni izospinowej o kartezjańskich

współrzędnych

I

, I

, I

Zachowanie izospinu I i I

obrotów w przestrzeni izospinowej.

Stany własne cząstek oddziałujacych silnie można opisać wartościami własnymi

operatora Ǐ²

I(I + 1)

I może przyjmować wartości połówkowe lub całkowite

operatora Ǐ

dla danego I wartości I

=

–

I ,

–I +1, … I– 1, I

Izospin

Niezmienniczość oddziaływań silnych względem obrotów w przestrzeni izospinu

Przybliżone prawo zachowanie izospinu I i jego trzeciej składowej I

■

Oddziaływania silne zachowują I oraz I

( nie rozróżniaja m-dzy p i n )

■

Oddziaływania elektromagnetyczne zachowują I

elektrycznego wyróżnia oś I₃ w przestrzeni izospinowej)

,

natomiast nie zachowują I

(ładunek pozwala rozróżnić m-dzy p i n)

■

Oddz. słabe nie zachowują I i I

Niezmienniczość izospinowa oddz. silnych dotyczy także cząstek dziwnych. Oddz. silne cząstek dziwnych i niedziwnych są ”identyczne” z dokładnością do efektów wynikających z ich różnych mas.

Związek m-dzy ładunkiem elektrycznym

Q

, trzecią składową izospinu

I

,

liczbą barionową

B

oraz dziwnością

S

Q = I

+ ( B + S ) / 2 = I

+ Y / 2

Y = B + S

Izospin

●

m

≈ m

→

Symetria izospinowa

oddziaływań silnych jest symetrią przypadkową

wynikajacą

z przypadkowej równości mas najlżejszych kwarków

●

kwarki u i d – dwa stany tej samej cząstki

●

niezmienniczość oddz. silnych dla zamiany u ↔ d

niezmienniczość względem obrotów w abstrakcyjnej przestrzeni izospinu

kwark

u I = ½ , I

= + ½ ; u I = ½, I

= – ½

kwark

d I = ½ , I

= – ½ ; d I = ½ , I

= + ½

pozostałe kwarki I = 0

–

–

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

)

x

(

d

)

x

(

u

)

x

(

ψ

izospin I, I

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

d

u

U

'

d

'

u

Izospin

■

Symetrii izospinowej podlegaja wszystkie stany mezonowe i barionowe,

które są połączone przekształceniem polegającym na zamianie kwarków u i d.

■

Znajac skład kwarkowy hadronu można wyznaczyć jego izospin.

np.

najlżejszy mezon, pion, występuje w trzech stanach ładunkowych (

π

_,

π

_{, π}

₎

które stanowią jedną cząstkę ze względu na oddz. silne.

1

I

,

u

d

;

0

I

,

)

u

u

d

d

(

2

1

;

1

I

,

d

u

−

=

=

=

−

=

+

=

=

_π

_π

π

■

Symetria izospinowa grupuje hadrony w

multiplety izospinowe o krotności 2I +1

I = ½

nukleony : proton

I = 1

piony :

π

π־

_,

π

I = 3/2

bariony

∆

_{, ∆}

_{, - ½ >}

_{, ∆}

Izospin

Stany izospinowe układu 2 nukleonów

Stan trypletowy o izospinie I = 1, symetryczny względem zamiany nukleonów 1 ↔ 2 :

| 1, 1 > = p(1)p(2) ,

p – funkcja falowa protonu

| 1, 0 > = 1/√2 [ p(1)n(2) + n(1)p(2) ] , n – funkcja falowa neutronu

| 1, -1 > = n(1)n(2) ,

Stan singletowy o izospinie I = 0,

1 ↔ 2

| 0, 0 > = 1/√2 [ p(1)n(2) – n(1)p(2) ]

Pełna funkcja falowa układu 2 nukleonów :

ψ

( pełna ) =

φ

( przestrzeń ) ·

α

( spin ) ·

χ

( izospin ) ,

( dla układu nierelatywistycznego orbitalny i spinowy moment pędu można kwantować niezależnie )

23

Deuteron ( układ proton – neutron ) – pełna funkcja falowa antysymetryczna

spin 1,

α −

φ

–

–1)

nukleonów, nukleony w deuteronie w stanie

l

l

χ

1) p + p →

π

+ d

| ½ ,+½ > | ½ ,+½ > | 1, 1>|0, 0>

reakcja opisana amplitudą

A ( I = 1, I

= +1 → I = 1, I

= +1 )

stan początkowy i końcowy reakcji

I = 1, I

= +1

2)

p + n →

π

+ d

| ½ ,+½ >| ½, -½> |1,0>|0,0> = 1/√2 |1,0> + 1/√2 |0,0>

stan końcowy reakcji

I = 1, I

= 0

stan początkowy reakcji – superpozycja stanu

I = 0

I = 1, I

= 0

reakcja opisana amplitudą :

1/√2 [ A ( I = 1, I

0 → I = 1, I

= 0 ) + A ( I = 0 → I = 1, I

= 0 ) ]

amplituda = 0, ze względu na zachowanie izospinu

Ze względu na niezmienniczość względem obrotów w przestrzeni izospinu

A ( I = 1, I

= +1 → I = 1, I

= +1 ) = A ( I = 1, I

= 0 → I = 1, I

= 0 )