31 -Z E S -Z Y T Y N A U K O W E W Y Ż S -Z E J S -Z K O Ł Y P E D A G O G IC -Z N E J W B Y D G O S Z C Z Y P r o b le m y M a te m a ty c z n e 1982 z .4 E u la lia G ra n d e W S P B y d g o s z c z S U R U N E T O P O L O G IE D 'O 'M A L L E Y
S o it (X , T ) un e s p a c e to p o lo g iq u e a v e c une m esu re f», fin ie, p o s itiv e e t co m p lè te , d é fin ie s u r un 6* - c o r p s M co n ten a n t T . U e x is t e ( [ 2 ] , T h . 2 2 .4 ) une a p p lica tio n >p sM— >ЪЛ te lle que
( 1 ) "P (a ) A , c ' e s t - a - d ire , ^ ( f A - - {4a; ) ( f ( A ) - A j ) - О ; ( 2 ) s l A - B , o n a -P (a ) - *P ( B ) : O ) - p ( ^ ) - 0 , f ( X ) - Xs ( 4 ) f ( A n B ) - f ( A ) n -p ( B ) : ( 5 ) s i A С B , on a -f ( A ) с e t l a fam ille T - I > P (A ) - NS A e M e t fj. ( n ) - о } e s t une t o p o lo g ie ( [ 2 ] ] , T h . 2 2 .5 ). T H E O R E M E 1. L a fa m ille T g - ^ A
€ T ^
> U ( a ) - /Л. (int^.A
o ù In t^,A d é s ig n e , com m e d 'h a b itu d e , l'in t é r ie u r (re la tiv e m e n ta l a t o p o lo g ie T ) d e l 'e n s e m b le A , e s t une to p o lo g ie . D É M O N S T R A T IO N . On v é r ifie fa c ile m e n t qu e 0 e t 2 e t X e T 2. S i A 2 , A g e T 2 , on a In t * r (A l Я A 2 ) . I n ^ A j^ П IntT A 2 e t p a r c o n s é q u e n t
32
-y U . ( ( A x o A 2 ) - I n t ^ ^ n A 2 ) ) -^ ( ( A t n A g ) - (ln t T A x n IntT A 2 ) ) ÿ
f j . { A % - lntT A x ) + ^ ( A g - IntT A g ) - O.
S o it m aintenant { A e j ( S d é s ig n a n t un e n s e m b le d 'i n d i c e s ) une fopü lle d 'e n s e m b le s d e 1ee A p o lo g ie T g . P u is q u e tou s l e s e n s e m b le s non v i d e s d e la t o p o lo g ie T g so n t d e m esu re y . p o s itiv e , i l e x is t e
d o n c une s u ite d é n o m b ra b le { A e С £ A ^ ^ te lle qu e
n s e s
S o it
O n a
Л ( .Va A» ' ^ A»J ‘ °'
• 6 0 nN -
U
A . - U A s s e s n r p - i U A . - IntT < U A . ) ) -s e S * s e S i l ( N U [ U A - IntT ( \J A ) ) £ n n s e s A t ( N ) + /Д.( \ J A - IntT ( { J A s ) ) * n n n n ^ (U
A s - U In *T A S ) * n n n n L <A . - ta ,T A . ) - ° n n nc e qui s ig n ifie qu e (J A e T _ e t l a d ém on stra tio n e s t a c h e v é e .
s e S 8
T H É O R È M E 2. L a fo n c tio n r é e lle ftX— * R e s t co n tin u e p a r ra p p o rt à l a t o p o lo g ie T 2 s i e t s eu lem en t s ' e l l e e s t co n tin u e p a r ra p p o rt à la to p o lo g ie T ^ e t l 'e n s e m b le d e s p o in ts d e d isc o n tin u ité d e l a fo n c tio n f p a r ra p p o rt à la t o p o lo g ie T e s t d e m esu re fx z é r o .
D É M O N S T R A T IO N . S i u n e fo n c tio n f:X >R e s t co n tin u e p a r ra p p o rt à la t o p o lo g ie T ^ e t s o n e n s e m b le d e s p o in ts d e d iscon tin u ité
re la tiv e m e n t à l a to p o lo g ie T e s t d e m e su re yu- z é r o , l 'e n s e m b le ,b ■ j X « X ; a с f ( x ) < b } a p p a rtie n t à la t o p o lo g ie T^ et E a
33
-A ( E a ) " E ï >•
q u e ls q u e s o ie n t le s n o m b res r é e l s a e t b te ls q u e a < b.
D 'a u t r e part, s u p p o s o n s q u 'u n e fo n c tio n ft X > R s o it co n ti n u e p a r ra p p o rt à l a to p o lo g ie T ^ . E lle e s t d o n c co n tin u e a u s s i p a r ra p p o rt à la t o p o lo g ie T j . P u is q u e l a m esu re e s t fin ie , l'e n s e m b le
B - j y e R i ( y ) e s t d e m e su re p o s i t i v e } k - <»
e s t d én o m b ra b le. S o it ( y kn ) (n - 1 ,2 ,^ . ) u n e su ite d e n o m b res d e l'e n s e m b le R -B te lle q u e *c“ ~ ° °
I
y k + l h “ y k 7 tI <
n
p ou r k “° *
î t 2' et lim y k ł t - - w e t lim y k - о о к P o s o n s X <Ю 1 “ ^ U IntT f_1 ( ( у к n у к+1 1 п -1 к — оо А К* п к + 1 * п e t re m a rq u o n s q u e yU ( X - Х х ) - Оe t q u e la fo n c tio n f e s t co n tin u e e n c h a q u e p oin t x e X ^ re la tiv e m e n t à l a to p o lo g ie T . C e la term ine l a d ém on stra tio n .
R E M A R Q U E . D a n s le c a s , ou X - R , p - e s t l a m esu re d e L e b e s g u e d a n s R , T e s t l a to p o lo g ie e u c lid ie n n e e t e s t l a to p o lo g ie d e d e n s ité , a lo r s e s t l a t o p o lo g ie a» e . in trod u ite e t e x a m in é e p a r О 'M a lle y d a n s s o n a r t ic le £ l 3 e t l e s th é o rè m e s 1 e t 2 » o n t d é jà - d é m o n tré s d a n s Q lJ .
34
-O U V R A G E S C IT E S :
[ 1 ] R . O 'M a l l e y : A p p r o x im a te ly d iffe r e n tia b le » fu n c tio n ». T h e r to p o lo g y . P a c i f i c M ath. J. 7 2 (1 9 7 7 ) , p. 2 0 7 -2 2 2 .
C 2 ] J. O x to b y : M e a su re a n d c a t e g o r y , S r in g e r - V e r la g , N e w Y o r k - H e id e lb e r g - B e r lin 197 1.
O P E W N E J T O P O L O GII О 'M A L L E Y ' А
S T R E S Z C Z E N I E
W tym a rty k u le u o g ó ln ia się m etodę k o n s tru k c ji to p o lo g ii a. e . w p r o w a d z o n e j p r z e z O 'M a l l e y ' a w [ 1 ] .
