Heurystyczna procedura szeregowania zadań w systemie maszyn równoległych przy ograniczonej dostępności zasobów

Pełen tekst

(1)HEURYSTYCZNA PROCEDURA SZEREGOWANIA ZADA W SYSTEMIE MASZYN RÓWNOLEGŁYCH PRZY OGRANICZONEJ DOSTPNOCI ZASOBÓW ZBIGNIEW BUCHALSKI Politechnika Wrocławska. Streszczenie Celem artykułu jest prezentacja rezultatów badaĔ problemu czasowo-optymalnego szeregowania zadaĔ i rozdziału zasobów w systemie maszyn równoległych. System ten posiada m równoległych maszyn, na których naleĪy wykonaü n zadaĔ. Zakładamy, Īe wszystkie zadania są niezaleĪne i liczba zadaĔ jest wiĊksza od liczby maszyn. Zakładamy ponadto, Īe wystĊpuje stałoĞü przydziału zasobów do maszyn podczas wykonywania całego zbioru zadaĔ. Dla zadanej funkcji czasu realizacji zadaĔ sformułowano model matematyczny problemu. PoniewaĪ problem ten naleĪy do klasy problemów NP-zupełnych zaproponowano pewien algorytm heurystyczny dla rozwiązania postawionego problemu. Zaprezentowano rezultaty eksperymentów obliczeniowych wykonanych na bazie podanego w pracy algorytmu heurystycznego. Słowa kluczowe: systemy maszyn równoległych, szeregowanie zada, rozdział zasobów, algorytmy heurystyczne. 1. Wprowadzenie Rozwój równoległych systemów przetwarzania informacji pocignł za sob intensywny rozwój problematyki szeregowania zada i rozdziału zasobów. Szczególnego znaczenia nabiera problem minimalizacji długoci uszeregowania zada na maszynach. Zadania optymalizacji zarówno dyskretnej, jak i cigłej nale do klasy problemów bardzo trudnych zarówno z teoretycznego, jak i obliczeniowego punktu widzenia i najczciej nale do klasy problemów NP-zupełnych, a wic s do skomplikowane. Przy rozwizywaniu tych problemów wystpuj istotne trudnoci natury obliczeniowej. Pojawiaj si bardzo trudne zagadnienia rozstrzygnicia złoonoci obliczeniowej rozpatrywanych problemów. Rozstrzygnicia te s istotne z punktu widzenia konstrukcji efektywnych obliczeniowo algorytmów rozwizujcych te problemy [1, 2, 4, 5, 6, 12, 13, 14, 15, 19, 21]. Wyniki teorii złoonoci obliczeniowej oraz rozmiar problemów praktycznych w sposób jednoznaczny eliminuj z rozwaa algorytmy dokładne, pozostawiajc do zastosowania praktycznego jedynie algorytmy heurystyczne umoliwiajce rozwizanie postawionych problemów w krótkim czasie z zadowalajca dokładnoci. Fakt ten jest typowy dla tej klasy problemów optymalizacji dyskretnej i w przypadku, kiedy zaley nam na krótkim czasie oblicze, jedynym podejciem jest zastosowanie algorytmów heurystycznych. Badania nad algorytmami heurystycznymi, dostarczajcymi rozwiza zagadnie, w których zastosowanie metod dokładnych jest nieefektywne lub wrcz niemoliwe, stanowi jedn z najszybciej rozwijajcych si gałzi nauki [7, 8, 16, 17, 18, 20, 22, 23]. Celem niniejszej pracy jest znalezienie takiego uszeregowania n niezalenych niepodzielnych zada na m maszynach pracujcych równolegle oraz takiego przydziału zasobu podzielnego w sposób cigły do tych maszyn, aby minimalizowa czas Tzak zakoczenia wykonywania.

(2) 272. POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZĄDZANIA WIEDZĄ Seria: Studia i Materiały, nr 31, 2010. wszystkich zada. Sposób wykonania zada okrela niezbdna do tego ilo zasobu. Tematyka ta poruszana ju była we wczeniejszych pracach autora [9, 10, 11]. W artykule zaprezentowanono algorytm heurystyczny wyznaczajcy czasowo-optymalne szeregowanie n zada niezalenych niepodzielnych i ograniczonej liczby jednostek zasobu nieodnawialnego podzielnego w sposób cigły do m maszyn pracujcych równolegle. Przedstawiono wyniki bada numerycznych przeprowadzonych na algorytmie dla losowo generowanych danych. 2. Sformułowanie zagadnienia Rozpatrzmy system maszyn połczonych równolegle przedstawiony na poniszym rysunku:. Rys. 1. System maszyn równoległych ródło: Opracowanie własne. Na system maszyn równoległych nakładamy nastpujce załoenia: (I) posiada m rónych maszyn M = {1, 2,..., k,..., m}, na których naley wykona n niezalenych zada Z = {1, 2,..., i,..., n}, (II) zadanie moe by wykonywane na dowolnej maszynie i w trakcie jego wykonywania nie moe by przerywane, (III) liczba zada do wykonania jest wiksza od liczby maszyn n > m, (IV) realizacja kadego z zada na maszynach musi nastpowa niezwłocznie po zakoczeniu wykonywania poprzedniego zadania lub nastpi w chwili zerowej, gdy zadanie realizowane jest jako pierwsze na jednej z maszyn. Niech N oznacza globaln ilo zasobów nieodnawialnych, a przez uk oznaczmy t cz zasobów, które zostan przydzielone k-tej maszynie w trakcie wykonywania zada uszeregowanych na tej maszynie. Ograniczenie dotyczce zasobów jest nastpujce: m. u k =1. k. ≤ N , uk ≥ 0, 1 ≤ k ≤ m..

(3) Zbigniew Buchalski Heurystyczna procedura szeregowania zadaĔ w systemie maszyn równoległych przy ograniczonej dostĊpnoĞci zasobów. 273. Czas wykonywania i-tego zadania na k-tej maszynie okrelony jest przez nastpujc funkcj Ti(uk, k): b Ti (u k , k ) = a ik + ik , u k ∈ {1,2,..., N }, 1 ≤ k ≤ m, 1 ≤ i ≤ n. (1) uk Parametry aik > 0 i bik > 0 charakteryzuj i-te zadanie i k-t maszyn. Naley znale takie uszeregowanie zada na maszynach i taki przydział ograniczonych zasobów do maszyn równoległych, aby minimalizowa czas zakoczenia wykonania całego zbioru zada Tzak. 3. Model matematyczny zagadnienia. Jeeli oznaczymy przez Zk ⊂ Z zbiór zada uszeregowanych na k-tej maszynie, to Tzak znajdziemy rozwizujc nastpujcy problem minimalizacyjny:. . max

(4) Ti (u k , k ) . Z1 , Z 2 ,..., Z m 1≤ k ≤ m. i∈Z k. u1 ,u 2 ,...,u m Ograniczenia nałoone na rozwizanie tego problemu s nastpujce: T zak =. min. (2). m. • Z r ∩ Z s = φ ; r , s = 1,2,..., m, r ≠ s,. Z. k. = Z,. k =1 m. •. u. k. ≤ N,. k =1. • u1, u2, ..., um – całkowite dodatnie. Ograniczenie (III) powoduje, e problem do rozwizania jest do skomplikowany. Przyjmiemy zatem najpierw, e zasoby nieodnawialne u1, u2, ..., um s cigłe. Przy tym załoeniu wyznaczymy rozwizanie optymalne, a nastpnie zaokrglimy otrzymane wartoci zasobów uk do najbliszych liczb naturalnych (krok 16 algorytmu heurystycznego w punkcie 4). Uwzgldniajc t relaksacj minimalny czas Tzak zakoczenia wykonywania zbioru zada Z przez system maszyn równoległych znajdziemy rozwizujc nastpujcy problem minimalizacji dyskretno-cigłej:. . T zak = min max

(5) Ti ' (u k , k ) (3) Z1 , Z 2 ,..., Z m 1≤ k ≤ m. i∈Z k. u1 ,u 2 ,...,u m przy nastpujcych ograniczeniach:. m. • Z r ∩ Z s = φ ; r ,s = 1,2,..., m,. r ≠ s,. Z. k. = Z,. k =1 m. •. u. k. ≤ N ; u k ≥ 0, k = 1,2,..., m,. k =1. gdzie: Ti ' : [0, N ]× {1,2,.., m} → R jest rozszerzeniem nastpujcej funkcji Ti : {1,2,..., N }× {1,2,.., m} → R + i okrelone jest przez funkcj: +.

(6) 274. POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZĄDZANIA WIEDZĄ Seria: Studia i Materiały, nr 31, 2010. bik , u k ∈ [0, N ] , 1 ≤ k ≤ m, 1 ≤ i ≤ n. uk Do rozwizania postawionego problemu pomocny bdzie nastpujcy lemat: Lemat 1. Jeeli uk* , Z k* , k = 1,2,..., m s rozwizaniami optymalnymi zadania (3), to: Ti ' (u k , k ) = a ik +. (4). m. 3.. u. * k. = N ; uk* > 0, k : Z k* ≠ φ , k = 1,2,..., m;. k =1. u k* = 0, k : Z k* = φ , k = 1,2,..., m;. T (u , k ) = const; '. 4.. i. * k. k : Z k* ≠ φ , k = 1,2,..., m.. i∈Z k*. Warunek (i) w Lemacie 1 oznacza, e w przydziale czasowo-optymalnym zasobów i zada do maszyn wykorzystuje si wszystkie jednostki zasobów, a warunek (ii), e czasy pracy tych maszyn, na których wykonywane s jakie zadania, s identyczne. Zdefiniujmy funkcj F(Z1, Z2, ..., Zm) okrelon dla m zbiorów Z1, Z2, ..., Zm, dla których zachodzi ograniczenie (i) dla wzoru (3). Warto tej funkcji jest rozwizaniem nastpujcego układu równa:. bik. i∈ Z k. a ik + = F ( Z 1 , Z 2 , ... , Z m ); k : Z k ≠ ∅ , k = 1, 2 , ... , m. uk

(7) i∈ Z k (5). m. u k = N ; u k > 0 , k : Z k ≠ ∅ , k = 1, 2 , ... , m .. k =1 Wykorzystujc Lemat 1 oraz (5), zadanie (3) mona przedstawi w postaci: T zak = min F (Z 1 , Z 2 ,..., Z m ) , (6) Z1 , Z 2 ,..., Z m. przy ograniczeniach: Z r ∩ Z s = φ , r , s = 1,2,..., m, r ≠ s,. 1.. m. Z. 2. Jeeli. k =1 Z1* , Z 2* ,.., Z m* jest. k. = Z.. rozwizaniem zadania (6), to uk* , Z k* , k = 1,2,..., m , gdzie. bik. i∈Z k*. ; k : Z k* ≠ φ , 1 ≤ k ≤ m , aik uk* =

(8) F Z1* , Z 2* ,..., Z m* −. i∈Z k*. 0 ; k : Z k* = φ , 1 ≤ k ≤ m. (. jest rozwizaniem zadania (3).. ) . (7).

(9) Zbigniew Buchalski Heurystyczna procedura szeregowania zadaĔ w systemie maszyn równoległych przy ograniczonej dostĊpnoĞci zasobów. 275. 4. Algorytm heurystyczny Maszyny wchodzce w skład systemu maszyn równoległych róni si pod wzgldem szybkoci wykonywania zada. Decyduje o tym ilo zasobów przydzielanych poszczególnym maszynom. Dlatego te k-ta maszyna bdzie tym szybsza im wicej zasobów uk jej przydzielono. Przedstawiony w pracy algorytm heurystyczny szereguje najpierw zadania na jednakowych maszynach, tj. takich, do których przydzielona została jednakowa liczba dostpnych zasobów N u k = , k = 1, 2, ... , m (kroki 4÷ ÷11). Po tym uszeregowaniu nastpuje zrónicowanie maszyn pod m wzgldem liczby przydzielonych im zasobów i sprawdzenie, czy skrócony został czas zakoczenia wykonywania wszystkich zada Tzak (kroki 12÷ ÷15).. Zakładamy, e maszyn najszybsz jest maszyna pierwsza ze zbioru M, a maszyn najwolniejsz jest maszyna m-ta. Miar szybkoci realizacji i-tego zadania przez k-t maszyn jest współczynnik zasobów β ; β > 1. Maszynie m-tej, czyli najwolniejszej przydzielamy um zasobów wg nastpujcej zalenoci: N um = m −1 (8) 1+ [(m − k ) ⋅ β ]. k =1. a pozostałym maszynom przydzielamy liczb zasobów wg wzoru: u k = (m − k ) ⋅ β ⋅ u m ; k = 1, 2, ... , m − 1 . (9) Algorytm heurystyczny wyznaczajcy czasowo-optymalne szeregowanie zada niezalenych na maszynach równoległych ma nastpujc posta: krok 1. Oblicz czasy wykonywania zada na poszczególnych maszynach. Ti (u k , k ) = a ik +. bik , i = 1, 2, ..., n, k = 1, 2, .., m dla losowo generowanych uk. N . m Uszereguj malejco zadania wg czasów ich trwania tworzc list L tych zada. Oblicz redni czas TĞr wykonywania zada przez kad z maszyn wg wzoru:. parametrów aik, bik oraz dla zadanej wartoci u k = krok 2. krok 3.. n. T (u , k ) i. TĞr = krok 4.. krok 5. krok 6.. k. i =1. m. ;. i ∈ Z , k ∈ M , uk =. N . m. Przydzielaj na przemian najdłusze i najkrótsze zadania z listy L do pierwszej wolnej maszyny, poczynajc od maszyny pierwszej do momentu, gdy suma czasów wykonywania zada przydzielonych tej maszynie nie przekroczy czasu TĞr a nastpnie usu te zadania z listy L. Jeeli s jeszcze maszyny, którym nie przydzielono adnych zada to wró do kroku 4. W przeciwnym wypadku przejd do kroku 6.. Przydzielaj kolejno najkrótsze zadania z listy L do kolejnych maszyn od pierwszej poczynajc a na m-tej koczc a nastpnie usu te zadania z listy L. Jeeli lista L si.

(10) 276. krok 7.. krok 8.. krok 9. krok 10.. krok 11.. krok 12. krok 13.. krok 14. krok 15. krok 16.. POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZĄDZANIA WIEDZĄ Seria: Studia i Materiały, nr 31, 2010. jeszcze nie wyczerpała to wykonaj krok 7. W przeciwnym wypadku przejd do kroku 8. Przydzielaj kolejno najkrótsze zadania z listy L do maszyn w odwrotnej kolejnoci ni w kroku 6, tzn. od m-tej poczynajc a na pierwszej koczc a nastpnie usu te zadania z listy L. Jeeli lista L si jeszcze nie wyczerpała to wró do kroku 6. W przeciwnym wypadku przejd do kroku 8. Oblicz czas zakoczenia wykonywania wszystkich zada Tzak dla uszeregowania zada N na maszynach utworzonego w krokach 4÷7 i dla u k = . m Oblicz sumaryczne czasy wykonywania zada uszeregowanych na poszczególnych maszynach. Usu najkrótsze zadanie z maszyny o najdłuszym sumarycznym czasie wykonywania zada i przydziel je do maszyny o najkrótszym sumarycznym czasie wykonywania zada. Oblicz czas zakoczenia wykonywania wszystkich zada Tzak po zamianie zada w kroku 10. Jeeli czas ten ulegnie skróceniu, to wró do kroku 9. W przeciwnym wypadku anuluj ostatnio wykonan czynno w kroku 10 i zakocz szeregowanie zada na maszynach. Dla zadanego współczynnika β przydziel zasoby uk, k = 1, 2, ..., m poszczególnym maszynom wyliczone z zalenoci (8) i (9). Dla uszeregowania zada na maszynach utworzonego w krokach 4÷11 i dla liczby zasobów uk przydzielonych maszynom w kroku 12 oblicz czas zakoczenia wykonywania wszystkich zada Tzak. Powtórz krok 12 i krok 13 dla nastpnych zwikszajcych si kolejno siedmiu wartoci współczynnika β. Po zakoczeniu tych prób przejd do kroku 15. Porównaj wartoci czasów zakoczenia wykonywania wszystkich zada Tzak z kolejnych prób i wybierz najkrótszy z tych czasów. Wyznacz dyskretne iloci zasobów uˆα ( k ) , k = 1, 2, ... , m według zalenoci:. uα ( k ) + 1; k = 1,2,..., ∆,. uˆα ( k ) =

(11). uα ( k ) k = ∆ + 1, ∆ + 2, ... , m, m. gdzie ∆ = N −. u oraz α jest tak permutacj elementów zbioru M = {1, 2, ..., m}, j. j =1. e uα (1) − uα (1) ≥ uα ( 2 ) − uα ( 2 ) ≥ ... ≥ uα ( m ) − uα ( m ) .. Jeeli istniej takie maszyny, którym przydzielono zerowe iloci zasobów, to przydziel kadej z tych maszyn po jednej jednostce zasobu pobierajc je z kolejnych maszyn poczynajc od maszyny, której przydzielono najwiksz ilo zasobów.. 5. Wyniki eksperymentów obliczeniowych. Na bazie przedstawionego w poprzednim punkcie pracy algorytmu heurystycznego przeprowadzono eksperymenty obliczeniowe. Algorytm wykonuje za kadym razem osiem prób znalezienia najlepszego, z punktu widzenia czasu realizacji zbioru zada, rozwizania. Po.

(12) Zbigniew Buchalski Heurystyczna procedura szeregowania zadaĔ w systemie maszyn równoległych przy ograniczonej dostĊpnoĞci zasobów. 277. wykonaniu serii prób z rónymi wartociami współczynnika podziału zasobów β, porównywane s ze sob czasy realizacji zbioru zada i wybierany jest najkrótszy z nich. Eksperymenty obliczeniowe przeprowadzono dla omiu zwikszajcych si kolejno wartoci współczynnika podziału zasobów β ze zbioru {3, 6, …, 24}. Parametry aik, bik, charakteryzujce i-te zadanie i k-t maszyn wylosowane zostały ze zbioru {5, 10, …, 50} przez generator o jednostajnym rozkładzie prawdopodobiestwa. Obliczenia przeprowadzono dla zadanej liczby zada n = 30, 60, 90, 120, liczby maszyn m = 3, 6, 9, 12, 15 oraz dla ograniczonej liczby zasobów N = 10.000. Dla kadej kombinacji n i m wygenerowano 40 instancji. Nastpnie dokonano analizy porównawczej zaproponowanego w pracy algorytmu heurystycznego ze znanym z literatury algorytmem LPT (Longest Processing Time) [3]. Rezultaty tej analizy zostały przedstawione w Tabeli 1. W Tabeli 1 wystpuj nastpujce wielkoci: n – liczba zada, m – liczba maszyn, TzakH – czas zakoczenia wykonywania wszystkich zada ze zbioru Z przy wykorzystaniu algorytmu heurystycznego, TzakLPT – czas zakoczenia wykonywania wszystkich zada ze zbioru Z przy wykorzystaniu algorytmu LPT, ∆ – rednia procentowa poprawa czasu T w stosunku do T : H. H. LPT. zak. LPT. ∆H =. SH LPT. S. zak. H. Tzak − Tzak ⋅ 100% TzakH. – redni czas oblicze dla algorytmu heurystycznego, – redni czas oblicze dla algorytmu LPT. Tabela 1. Wyniki analizy porównawczej algorytmu heurystycznego i algorytmu LPT n/m 30/3 60/3 90/3 120/3 30/6 60/6 90/6 120/6 30/9 60/9 90/9 120/9 30/12. Liczba instancji, dla których:. ∆H. SH. SLPT. TzakH < TzakLPT. TzakH = TzakLPT. TzakH > TzakLPT. %. sek. sek. 21 20 21 24 21 21 22 24 20 22 23 24 20. 1 2 2 1 2 3 2 2 2 0 3 4 1. 18 18 17 15 17 16 16 14 18 18 14 12 19. 1,9 2,5 3,1 3,8 2,0 2,6 3,5 4,5 2,2 2,8 3,3 4,2 2,3. 1,6 2,9 4,4 7,3 1,9 3,4 5,8 7,7 2,2 3,8 6,4 8,4 2,6. 1,4 2,6 3,9 6,3 1,7 2,9 4,5 6,8 2,0 3,4 5,7 6,9 2,1.

(13) 278. POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZĄDZANIA WIEDZĄ Seria: Studia i Materiały, nr 31, 2010. n/m. Liczba instancji, dla których:. ∆H. SH. SLPT. TzakH < TzakLPT. TzakH = TzakLPT. TzakH > TzakLPT. %. sek. sek. 21 23 25 21 24 25 28. 2 0 2 1 1 2 0. 17 17 13 18 15 13 12. 2,8 3,9 4,8 2,4 2,9 3,7 4,9. 4,5 6,5 9,4 2,8 4,9 7,8 9,9. 3,8 5,8 8,6 2,4 4,2 6,5 8,5. 60/12 90/12 120/12 30/15 60/15 90/15 120/15. ródło: Opracowanie własne. 6. Uwagi kocowe Przedstawione w poprzednim punkcie eksperymenty obliczeniowe wykazały, e jako szeregowania zada na równoległych maszynach na bazie zaproponowanego w pracy algorytmu heurystycznego uległa poprawie w stosunku do szeregowania za pomoc znanego z literatury H LPT algorytmu LPT. Kilkuprocentowa poprawa czasu T zak w stosunku do T zak moe by zacht do dalszych prac nad efektywnymi algorytmami heurystycznymi. Zastosowanie podanego w pracy algorytmu heurystycznego jest wskazane przede wszystkim dla systemów produkcyjnych o duej liczbie zada, gdy wówczas rednia procentowa poprawa ∆Ηjest najwiksza. Zaproponowany algorytm moe słuy zarówno do rozdziału operacji na stanowiska produkcyjne wyposaone w odpowiednie maszyny w dyskretnych systemach produkcyjnych, jak i do szeregowania programów w wieloprocesorowych systemach komputerowych. %LEOLRJUDILD [1] Bianco L.i in., Preemptive scheduling of multiprocessor tasks on the dedicated processors system subject to minimal lateness. Information Processing Letters, 46, 1993, pp. 109–113. [2] Bianco L. i in., Linear algorithms for preemtive scheduling of multiprocessor tasks subject to minimal lateness. Discrete Applied Mathematics, 72, 1997, pp. 25–46. [3] Błaewicz J. i in., Badania operacyjne dla informatyków, WNT, Warszawa 1983. [4] Błaewicz J. i in., Scheduling independent multiprocessor tasks before deadlines. Discrete Applied Mathematics 65 (1–3), 1996, pp. 81–96. [5] Błaewicz J. i in., Scheduling in Computer and Manufacturing Systems. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 1993. [6] Błaewicz J., Liu Z., Scheduling multiprocessor tasks with chain constraints. European Journal of Operational Research, 94, 1996, pp. 231–241. [7] Boctor F. F., A new and efficient heuristic for scheduling projects will resources restrictions and multiple execution model. European Journal of Operational Research, vol. 90, 1996, pp. 349–361. [8] Brah S.A., Loo L.L., Heuristics for scheduling in a flow shop with multiple processors, European Journal of Operational Research, Vol. 113, No. 1, 1999, pp. 113–122..

(14) Zbigniew Buchalski Heurystyczna procedura szeregowania zadaĔ w systemie maszyn równoległych przy ograniczonej dostĊpnoĞci zasobów. 279. [9] Buchalski Z., Szeregowanie zadaĔ na róĪnych maszynach równoległych z razdziałem ograniczonych zasobów. Zeszyty Naukowe Politechniki lskiej, Automatyka, No. 1389, Gliwice, 1998, pp. 77–84. [10] Buchalski Z., A Program Scheduling Heuristic Algorithm in Multiprocessing Computer System with Limited Memory Pages. Polish Journal of Environmental Studies, Vol. 15, No. 4C, 2006, pp. 26–29. [11] Buchalski Z., Minimising the Total Processing Time for the Tasks Scheduling on the Parallel Machines System. Proc. of the 12th IEEE International Conference on Methods and Models in Automation and Robotics, Domek S., Kaszyski R. (Eds.), Midzyzdroje, Poland, MMAR 2006, 28–31 August 2006, pp. 1081–1084. [12] Cheng J., Karuno Y., Kise H., A shifting bottleneck approach for a parallel-machine flowshop scheduling problem, Journal of the Operational Reasearch Society of Japan, Vol. 44, No. 2, 2001, pp. 140–156. [13] Gupta J.N.D., Hariri A.M.A., Potts C.N., Scheduling a two-stage hybrid flow shop with parallel machines at the first stage, Annals of Operations Research, Vol. 69, No. 0, 1997, pp. 171–191. [14] Hoogeveen J.A., Lenstra J.K., Veltman B., Preemptive scheduling in a two-stage multiprocessor flow shop in NP-hard, European Journal of Operational Research, Vol. 89, No.1, 1996, pp. 172–175. [15] Janiak A., Kovalyov M., Single machine scheduling subject to deadlines and resources dependent processing times. European Journal of Operational Research, vol. 94, 1996, pp. 284–291. [16] Józefowska J. i in., Discrete-continuous scheduling to minimize maximum lateness, Proceedings of the Fourth International Symposium on Methods and Models in Automation and Robotics MMAR’97, Midzyzdroje, Poland, 1997, pp. 947–952. [17] Józefowska J. i in., Local search metaheuristics for discrete-continuous scheduling problems, European Journal of Operational Research, 107, 1998, pp. 354–370. [18] Józefowska J., Wglarz J., Discrete-continous scheduling problems – mean completion time result, European Journal of Operational Research, vol. 94, No. 2, 1996, pp. 302–310. [19] Józefowska J., Wglarz J., On a methodology for discrete-continous scheduling, European Journal of Operational Research, Vol. 107, No. 2, 1998, pp. 338–353. [20] Ng C.T. i in., Group Scheduling with controllable setup and processing times: minimizing total weighted completion time, Ann. Oper. Res., 133, 2005, pp. 163–174. [21] Nowicki E., Smutnicki C., The flow shop with parallel machines. A Tabu search approach. European Journal of Operational Research, 106, 1998, pp. 226–253. [22] Santos D.L., J.L., Deal D.E., An evaluation of sequencing heuristics in flow shops with multiple processors, Computers and Industrial Engineering, Vol. 30, No. 4, 1996, pp. 681–691. [23] Wglarz J., Multiprocessor scheduling with memory allocation – a deterministic approach. IEEE Trans. Comput., C-29, 1980, pp. 703–710..

(15) 280. POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZĄDZANIA WIEDZĄ Seria: Studia i Materiały, nr 31, 2010. HEURISTIC PROCEDURE OF TASK SCHEDULING IN PARALLEL MACHINE SYSTEM WITH LIMITED RESOURCE ACCESS Summary The aim of the paper is to present results of research on the problem of timeoptimal tasks scheduling and resources allocation in parallel machines system. We consider system having m parallel machines. This system can execute n tasks. We assume that all n tasks are independent and number of tasks is greater than number of machines. We also assume that is constancy of resources allocation in execution time all tasks set. For some tasks processing time function the mathematical model of this problem is formulated. Because our problem belongs to the class of NP-complete problems we propose an heuristic algorithm for solution of this problem. Some results of executed numerical experiments for basis of proposed heuristic algorithm are presented. Keywords: parallel machines systems, task scheduling, resources allocation, heuristic algorithms. Zbigniew Buchalski Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Wydział Elektroniki Politechnika Wrocławska ul. Janiszewskigo 11/17, 50-372 Wrocław e-mail: zbigniew.buchalski@pwr.wroc.pl.

(16)