Minimalizacja sumarycznej ilości zużytego zasobu w problemie szeregowania zadań o dynamicznych modelach terminów dostępności

ZESZYTY N A U K O W E PO LITEC H N IK I ŚLĄSKIEJ Seria: A U T O M A T Y K A z. 129

2000 Nr kol. 1474

Adam JA N IA K , P iotr SŁONIŃSK I Politechnika W rocławska

M I N I M A L I Z A C J A S U M A R Y C Z N E J I L O Ś C I Z U Ż Y T E G O Z A S O B U W P R O B L E M I E S Z E R E G O W A N I A Z A D A Ń O D Y N A M I C Z N Y C H M O D E L A C H T E R M I N Ó W D O S T Ę P N O Ś C I

S t r e s z c z e n ie . W pracy zaprezentowano rozwiązanie problem u m inim alizacji su ­ m arycznej ilości zu żytego zasobu przy dynam icznych (różniczkowych) m odelach term inów dostępn ości zadań oraz przy ograniczeniu na czas zakończenia w ykony­

w ania w szystk ich zadań. W ykazano szereg istotnych w łasności rozważanego pro­

blem u (m iędzy innym i dotyczących p ostaci funkcji rozdziału zasobu ). Bazując na udow odnionych w łasnościach podano konstrukcję algorytm u szeregow ania zadań na m aszyn ie krytycznej oraz przydział zasobu do term inów dostępn ości zadań, który zap ew n ia zakończenie w ykonywania zadań w u stalonym czasie m inim alizu­

jąc ilość zu żytego na ten cel zasobu.

M I N I M I Z A T I O N O F T O T A L A M O U N T O F R E S O U R C E C O N S U M E D I N T H E S C H E D U L I N G P R O B L E M W I T H D Y N A M I C M O D E L S O F R E L E A S E D A T E S

S u m m a r y . T h e aim o f this contribution is to present a solu tion o f th e problem o f m inim izing total am ount of resource consum ed in the resource allocation and scheduling problem w ith dynam ic (differential) m odels o f job release d ates. T h e­

re is also constraint set on the tim e o f finishing processing o f all th e jobs in th is problem . M any im portant properties o f th is problem have b een proven (e.g. th ose concerning th e character o f th e resource allocation fun ction ). T h e presented sche­

d uling algorithm is based on th e properties proven in this paper. T here are also given som e generalizations o f the considered problem.

1. W s t ę p

K lasyczna teoria szeregow ania zadań zakłada, że zarówno term iny d ostępn ości, jak i czasy w ykonyw ania zadań są stałe. Term in dostępn ości zadania m oże być interpreto­

wany jako p ew ien w stęp ny proces, którego czas trw ania determ inuje m om ent gotow ości

180 A. Janiak,P. Słoniński

zadania do właściw ej obróbki na m aszynie krytycznej. W naszej pracy proponujem y przy­

jęcie dynam icznego (różniczkowego) m odelu term inów dostępności zadań. M odel ten, w odniesieniu do czasów w ykonywania zadań, został wprowadzony przez Burkova [1] oraz wykorzystyw any m iędzy innym i w badaniach Janiaka [3], W ęglarza [6], Józefowskiej [5], Przysady [2]. Stan w spom nianego w stępnego procesu jest opisany równaniem różniczko­

wym , które określa prędkość zm iany tego procesu w zależności od ilości przydzielonego zasobu ciągłego. Po zakończeniu procesu przygotowawczego (realizowanego na równo­

ległych m aszynach) zadania są wykonywane kolejno (w edług ustalonej perm utacji) na pojedynczej m aszynie krytycznej. Czas właściwej obróbki zadań na m aszynie krytycznej jest sta ły i znany a p rio ri.

M odele dynam iczne m ają bardzo szerokie zastosow anie w opisyw aniu i interpretacji procesów przem ysłow ych (np. .podgrzewanie wlewków hutniczych w piecach w głębnych) i inform atycznych (np. proces przygotowywania anim acji i renderowania obrazów w pro­

gram ach C A D ).

W naszej pracy prezentujem y rozwiązanie problemu m inim alizacji sum arycznej ilości zużytego zasobu przy dynam icznych modelach term inów dostępności zadań oraz przy ograniczeniu na czas- zakończenia wykonywania w szystkich zadań.

D alsza część pracy jest zorganizowana następująco. R ozdział 2 zawiera dokładne sfor­

m ułowanie rozważanego problemu. W rozdziale 3 podano szereg istotnych w łasn ości roz­

ważanego problem u wraz z ich dowodam i. A lgorytm w yznaczania kolejności w ykonyw ania zadań znajduje się w rozdziale 4, a uwagi końcowe i m ożliwości uogólnień zo sta ły zawarte w rozdziale 5.

2 . S f o r m u ło w a n ie p r o b le m u

D any jest zbiór n niepodzielnych zadań J = { 1 , 2 , . . . , n } . Każde zadanie j 6 J przed zasadniczym wykonaniem musi byc poddane pewnem u w stępnem u procesowi p rzygoto­

wawczemu. D łu gość jego trwania może być interpretow ana jako term in dostępn ości tego zadania.

W spom niany w stępny proces przygotowawczy jest realizowany na rów noległych m a­

szynach poprzedzających m aszynę krytyczną, n atom iast zasadnicze w ykonanie każdego

M inimalizacja sum arycznej ilości. 181

zadania odbyw a się sekw encyjnie na pojedynczej m aszynie krytycznej.

Czas trw ania procesu przygotowawczego (term in dostępn ości na m aszynie krytycznej) jest dynam icznie zależny od ilości przydzielonego zasobu, n atom iast czas zasadniczego wykonywania zad an ia j n a pojedynczej m aszynie jest sta ły i w ynosi p j jed nostek cza­

su [ j = 1,2,

Przyjm ujem y następu jący dynam iczny m odel term inu dostępn ości zadania j :

= /jM * ) ) . *5(0) = 0, ( j = 1 ,2 n ) (1)

gdzie:

• x rj( t ) - stan w stęp nego procesu determ inującego term in dostępn ości zad an ia j w chwili i, x rj (0) = 0 jest stanem początkow ym tego procesu;

• Uj(t) - ilość zasobu przydzielona do term inu dostępności zadania j w chwili i;

• fj(- ) - funkcja w klęsła, d odatnia, ciągła, niem alejąca, sp ełn iająca warunek M 0) = o.

Każde zadanie j m usi osiągn ąć w w yniku w spom nianego w stępnego procesu zada­

ny stan końcowy i j . D opiero wówczas stanie się d ostępne do obróbki na rozpatrywanej maszynie. Innym i słow y zachodzi następująca zależność:

JQ* /¿ fa jW ) d t = x rj} { j = l , 2 , . . . , n ) . (2)

W łaściw e w ykonyw anie zadania j na rozpatrywanej m aszynie, trw ające p j jed nostek czasu, m ożna rozpocząć po doprowadzeniu terminu dostępności zadania j do stanu koń­

cowego Xj.

Ponadto zadane je st ograniczenie na term in zakończenia w ykonyw ania w szystkich za­

dań, które oznaczam y C . Przez r j oznaczam y (nieznany a priori) term in dostępn ości zadania j .

D la ustalonej kolejności wykonyw ania zadań przez rozdział zasobu b ędziem y rozum ieli odcinkami ciągłą, nieujem ną funkcję wektorową:

u = u (t) = [tii(i), u 2{ t ) , . . . , u n(i)]. (3)

182 A. Janiak,P. Słoniński

Zadane m ogą być również technologiczne ograniczenia kolejnościowe -< pom iędzy zada­

niami. Zbiór w szystkich dopuszczalnych kolejności z wykonywania zadań oznaczam y Z.

D la rozpatryw anego tutaj problemu (zapisanego w notacji trójpolowej [4])

1 I '- 'iijM = f j { uj { t ))>óźmax ^ X /

J 0

Q = J 2 i 1 “ *(*) d t ■ (5)

j = i •/0

Sformułowany problem (4) je st skomplikowanym problem em optym alizacji dynam icznej (m odele term inów dostępności zadań) i optym alizacji dyskretnej (szeregowanie zadań).

W następnych punktach wykażem y szereg w łasności rozpatrywanego problem u. W łasn o­

ści te w ykorzystam y n astępn ie do skonstruowania przybliżonego algorytm u znajdow ania kolejności w ykonyw ania zadań i rozdziału zasobu.

Z rozważań przeprowadzonych w rozdziale 9 książki [4] wynika, że rozpatryw any tutaj problem jest co najm niej tak trudny, jak N P-trudny problem badany we w spom nianej książce.

3 . W ła s n o ś c i p r o b le m u

Poniżej udow odnim y bardzo istotny z punktu w idzenia uproszczenia obliczeń fakt, któ­

ry pozw ala na zastąp ien ie zm iennego w czasie przydziału zasobu do term inu dostępności przydziałem sta ły m w czasie.

T w ie r d z e n i e 1. Jeżeli w przedziale [0, r; ] istn ie je zm ien n y w czasie p rzy d zia ł zasobu U j[t) do term in u d ostępn ości zadan ia j , to istn ie je w ty m przedziale rów n ow ażn y mu (w sen sie fu n kcji celu) sta ły w czasie p rzy d zia ł ń j(t) = Uj (j = 1 , 2 , . . . , n ).

D o w ó d . Niech u_,(f) oznacza zm ien n y w czasie p rzy d zia ł zasobu dla term in u dostęp­

n ości zad a n ia j . W ów czas m ożna go za stą p ić sta ły m w czasie p rzy d zia łe m zasobu, który m ożna obliczyć następująco:

JP u A t) d t .

,

“j - ; , t e [o.rj], 0 = 1 ) 2 , . . . , n ). (6) Ti

Minim alizacja sum arycznej ilości. 183

W ykażem y teraz, że obliczony w ten sposób sta ły w czasie rozd zia ł zasobu n ie w p łyn ie na wartos'ć fu n kcji celu. N iech za te m Q' ozn acza w a rto ść fu n kcji celu, w k tó re j zm ie n n y w czasie p rzy d zia ł zasobu zastąpion o p rzy d zia łe m sta ły m w czasie. W ów czas m am y:

Q ‘ =

S?=1

= Ę

•

(7)

= E " =i ^ = E U J j ' « A t) d t i Q .

Z rów nania (7 ) w ynika, że w a rto ść fun kcji celu nie uległa zm ian ie, a w ięc tw ierd zen ie je s t

prawdziwe. ■

W dalszych rozważaniach sta ły przydział zasobu iij(i) = Uj do term inu dostępn ości zadania j będziem y oznaczali przez Uj.

Zauważmy, że p od czas dokonywania przekształceń w równaniu (7) otrzym aliśm y bar­

dzo prostą (i w ygodn ą d la prowadzenia obliczeń) p ostać funkcji celu:

<2 = X > r rj , (8)

j=i

w której u j je st sta ły m w czasie przydziałem zasobu obliczonym na p od staw ie (6), a r,- jest terminem dostępności zadania j .

Poniżej udow odnim y jeszcze jed n ą isto tn ą w łasność, która m ówi, iż wartość funkcji celu w rozważanym problem ie jest m inim alna, gdy zadania są wykonywane jedno po dru­

gim bez przerw m iędzy nim i. W ykażem y prawdziwość tego tw ierdzenia przy założeniu , że funkcje m odeli term inów dostępności są funkcjami pierw iastkow ym i o d odatnich w sp ó ł­

czynnikach. T w ierd zenie to je st prawdziwe d la dowolnych w klęsłych i rosnących funkcji m odeli term inów d ostępn ości, ale dowód d la tego przypadku jest znacznie d łu ższy i bar­

dziej skomplikowany.

T w ie r d z e n i e 2 . W rozpatryw an ym problem ie (Ą) fun kcja celu Q m a w a r to ść m in i­

malną w tedy i tylko w tedy, gdy zadan ia są w ykonyw ane jedn o po drugim bez przerw .

D o w ó d . B e z str a ty ogólności m ożem y rozw ażyć dwa sąsiedn ie zadan ia j i j + 1, ( i = 1 , 2 , . . . , n — 1). W ykażem y, że ilość zasobu w ym agan a do osiągn ięcia p r z e z te rm in dostępności za d a n ia j sw ojego stanu końcowego ż j j e s t m n iejsza w przypadku, gdy w y ­ konywanie zad a n ia j rozpoczyna się w chwili r) (r) + Pj — r j +1), n iż w przypadku, gdy w ykonywanie zad a n ia j rozpoczyna się w chwili r3- (r j + p j < rJ+1).

184 A. Janiak,P. Słoniński

Z ałóżm y, że w ykon yw an ie tych zadań na m aszyn ie kry tyc zn e j zaczyn a się odpowiednio w chwili Tj i Tj+1, p r z y czym r j + Pj < rj+ i (por. rys. 1). Z ałóżm y ponadto, że do term in u dostępn ości za d a n ia j p rzydzielon o (na podstaw ie tw. 1 sta łą w całym przed zia le [0, rj]

ilość zasobu Uj.

j j + 1

ri rj+ i t

R ys. 1. Przerwa m iedzy zadaniam i j i j + 1 Fig. 1. There is idle tim e between jobs j and j + 1

W arunek osiągn ięcia p rze z term in dostępn ości swojego stanu końcowego i j (u m o żli­

wiającego rozpoczęcie w ykonyw an ia zasadn iczej części zadan ia j na m aszyn ie k ry tyc zn e j) m ożna za p isa ć zgodnie z warunkiem (2) w n astępu jącej postaci:

J Q 1 fibh) dt = i).

S tą d po scałkow aniu o trzym u jem y zależność:

f j i u j ) • r;- = x rj, czyli Uj = / r 1 . (9)

M ożem y za te m obliczyć ilość zasobu koniecznego do osiągnięcia p rze z te rm in d o stęp n o ści zadan ia j sw ojego stan u końcowego i 1) w czasie r j:

R ozw ażm y tera z przypadek, w którym w ykonyw anie zadan ia j na m a szyn ie k ry ty c z­

n ej zaczyn a się o r;-+1 - r j - p j jedn ostek czasu p ó źn iej (a więc n ie m a p rze rw y m ięd zy w ykonyw an iem zadan ia j i j + 1 (por. rys. 2 )).

W tym 'przypadku rozpoczęcie wykonywania zadan ia j następu je w chwili r'j (r'- > rj ) , a do term in u do stęp n o ści tego zadan ia p rzydzielon o (na podstaw ie tw. 1) sta łą w przedziale [0 ,r'-] ilość zasobu u ).

N a podstaw ie analogicznych do przedstaw ionych rozw ażań obliczym y ilo ść zasobu ko­

n ieczną do osiągn ięcia p rze z te rm in dostępności zadan ia j w przedziale [0, r'] stan u koń-

M inim alizacja sum arycznej ilości. 185

j j + 1

r'j Tj + 1 t

R ys. 2. Zadania j i j + 1 wykonyw ane bez przerwy F ig. 2. There is no idle tim e betw een jobs j and j + 1

cowego z ) :

W arunek kon ieczn y i w ystarczający podany w tezie dowodzonego tw ierdzen ia m ożn a zapisać w p o sta c i n astępu jącej n ierów ności:

Uj ■ r5 > u'- • r'-, ( j = 1 ,2 n)

czyli:

(I0)

1F celu u proszczen ia dowodu n ierów ności (10) n asze rozw ażania za w ęzim y do klasy fu n kcji potęgowych f j ( u ) = , o,- ^ l , f ) j > 0 (funkcje te m ają bardzo szerokie za sto so w a n ia praktyczne w m odelow an iu i in terp reta cji procesów prze m ysło w y ch ). S tą d łatw o obliczyć postać fu n kcji odw rotnej f f l {v) = J, gdzie v n ależy do przeciw d zied zin y fu n kcji / ( • ) . N ierów ność (1 0 ) m o że m y za te m za p isa ć w n astępu jącej postaci:

Dzieląc obydw ie stro n y te j n ierów ności p rze z o trzym u jem y:

Q , - l

W

O statn ia n ierów n ość j e s t oczyw ista, p on iew aż r'j > r j. ■ Zauważmy, że na p od staw ie twierdzenia 2 m ożn a w yznaczyć term iny dostępn ości oraz optym alny p rzyd ział zasobu do term inów dostępności zadań w ustalonej perm utacji z € Z (por. rys. 3).

186 A. Janiak,P. Siemiński

R ys. 3. Zadania wykonywane jedno po drugim bez przerwy

Fig. 3. T h e jobs are processed one-by-one - no idle tim e betw een jobs

Z twierdzenia 2 wynika bowiem , że czas zakończenia wykonywania ostatn iego zadania wynosi C , a zatem term in dostępności poszczególnych zadań m ożna obliczyć ze wzoru:

n

rz (j) = ć — £ p Z(0-

<=>

N atom iast sta ły w czasie przydział zasobu do term inów dostępności zadań wynosi:

U*(i) ~ fz()0)

U)

\ p S i=jPz(j)

Zatem przy ustalonej kolejności wykonywania zadań m inim alna w artość funkcji celu w y­

nosi:

= E « . w ) • m d = E / z « ) • ( ć - E p z(o ) •

i = l j = 1 ¿ J 1=j P z ( i ) / \ i = ; )

4 . A lg o r y t m p r z y b liż o n y w y z n a c z a n ia k o le j n o ś c i w y k o n y w a n ia z a d a ń

W niniejszym rozdziale podam y przybliżony algorytm w yznaczania perm utacji w ykonyw ania zadań w rozważanym problem ie. W tym celu rozważymy w artości funkcji celu dla perm utacji różniących się kolejnością dwóch sąsiednich zadań. N a zakończenie podam y (zapisany w pseudo-Pascalu) algorytm przybliżony w yznaczania perm utacji w y­

konywania zadań.

Z ałóżm y na początek, że zadania są w ykonywane w perm utacji z G Z. W ówczas, na p odstaw ie poprzednich twierdzeń i spostrzeżeń, w artość funkcji celu wynosi:

n

Q ( z ) = E u*o) • Mj)>

j=i

gdzie uz(j) oznacza sta ły w czasie przydział zasobu dla zadania j w perm utacji z, a r z<j) oznacza term in dostępn ości zadania j w perm utacji z.

M inimalizacja sum arycznej ilości. 187

Rozważm y teraz perm utację z' otrzym aną z perm utacji z przez zam ian ę m iejscam i zadań k i k + 1 (k — 1 , 2 , , n — 1). Formalnie konstrukcję tę opisuje następu jąca zależność:

z '(j ) = z CO (j = l , k + 2 t . . . , ń ) , z '{k ) = z ( k + l ) ,

z '(k + 1) = z (k).

Fig. 4. Swapping the jobs k and k + 1

Wówczas wartość funkcji celu wynosi:

Q ( z 0 - £ uź '(j)' rź'0)!

j= i przy czym:

r i'0 ) = rz(i) Uź'(j) ~ u*(j) Ponadto z rys. 4 wynika, że:

= r.z (k )i

_

U z '(* ) - / z ( * + l ) ^ r . (l)

(U)

(12)

■(‘) ) ’ ri'(k+l) = r z(fc) + P z ( * + 1 ) ,

<'(*+D = £ (* ) !*+.)) •

Aby sprawdzić, która perm utacja (z' czy z) od pow iad a m niejszej w artości funkcji celu,

188 A. Janiak,P. Słoniński

w ystarczy zbadać znak różnicy Q{ z ) — Q (z'):

Q ( z) - Q (z') =

— Y f j= 1 u z { j ) ■ r * (j ) ~ ^ -1= 1 u 'z'(j) ' r z ' U ) =

= [ ] C j = i ^ z ( j ) ■ T z ( j ) + u x (k) • ^ z ( t ) + v - z ( k + 1) ■ r z ( l:+ l) "H Z )j=A :+2 u z (j) ' *”* 0 ')] —

—

(13)

i , i , (12)

— u z {k) ' r z (k) + U z ( k + 1) • r z ( k + l ) ~ u z ' ( k) ‘ T z ' ( k) ~ U z '(* + 1 ) ' r z '(J t+ l) —

/ - w ( S s O ' r z ( A ) + ^ + i ) ( S K > ) ' rz(fc+i)] ~

•C(I+1) ) ■ T*W ~ /«[*) ( s w ^ w d ) ' ( rz(fc) + P*(*+1)) ’ gdzie — Ó X)t=fc Pz(i) 1 , 2 , , n).

Ze wzoru (13) wynika, że obliczenie wartości wyrażenia Q( z ) — Q ( z') w ym aga wyko­

nania elem entarnych operacji arytm etycznych (zakładając, że potrafim y łatw o w yzn aczyć postać funkcji f f 1( •)). Jeśli Q( z ) - Q (z') > 0, to oznacza, że perm utacja z' od pow ia­

da mniejszej wartości funkcji celu, a zatem celowa jest zam iana zadań na pozycjach k i k + 1. P ow yższa obserw acja-stanow i podstaw ę konstrukcji przybliżonego algorytm u 1 w yznaczania kolejności w ykonywania zadań.

A l g o r y t m 1 . P rzybliżon y algorytm w yzn aczan ia kolejności w ykonyw an ia za d a ń dla problem u (Ą).

1 z := „dowolna perm utacja ze zbioru Z”

2 fo r

i :=

...,

3 f o r k := 1 , 2 , . . . , t d o

4 z' : = [ z ( l ) , . . . , z ( f c - l ) , . ' . : , z ( & + l),z(A:),z(fc + 2 ) , . . . , z( n) ] 5 i f z' 6 Z t h e n

6 i f Q( z ) - Q (z') > 0 t h e n z := z' 7 z* := z

W kroku 1 n astępu je inicjalizacja algorytm u p o p rzez wybranie ze zbioru Z dow olnej perm u ta cji dopu szczalnej. W kroku \ utw orzona zo sta je perm u tacja z'. J eśli p erm u ta cja z'je s t dopu szczalna (krok 5) oraz odpowiada m n iejszej w artości fu n kcji celu n iż p erm u ta cja z (krok 6), to ta p erm u ta cja j e s t używana do dalszych obliczeń. P ętle 2 i 3 ste ru ją kolejną zam ian ą zadań w rozpatryw anych perm utacjach. Z łożon ość tego algorytm u w yn o si 0 ( n 2 • g( n) ) , gdzie g( n) j e s t zło żo n o ścią obliczania funkcji f f l {-).

M inim alizacja sum arycznej ilości. 189

Po zakończeniu działan ia powyższego algorytm u otrzym ujem y perm utację z*, która odpowiada sem ioptym alnej wartości funkcji celu d la rozw ażanego problem u, tj.

5. U w a g i k o ń c o w e i u o g ó ln ie n ia

G odnym uwagi uogólnieniem rozważanego problem u jest rozważenie problem u od ­ wrotnego do (4). P onad to, rozpatrywany w niniejszej pracy problem m ożn a u ogólnić na przypadek, gdy ilość zasobu d ostępn a do rozdysponowania w danej chwili jest ograniczo­

na. Istotnym rozszerzeniem tego problemu m oże być także przyjęcie dowolnych (nie tylko wklęsłych) funkcji m odeli term inów dostępności.

LITER A TU R A

1. Burkov W .N .: Sterow anie optym alne w kompleksach operacji, IF A C , 5:46-57, 1965.

2. Janiak A ., P rzysad a J.: M inim alizacja nieterm inow ości w ykonania zadań na równo­

ległych m aszynach, Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, s. A utom atyka, z. 117, G liwice 1996, str. 8 5 -9 7 .

3. Janiak A.: D ok ład n e i przybliżone algorytm y szeregowania zadań i rozdziału zasobów w dyskretnych procesach przem ysłowych, M onografie 8 7 /2 0 , Politechnika W rocławska, In stytu t C ybernetyki Technicznej, 1991.

4. Janiak A.: W ybrane problem y i algorytm y szeregowania zadań i rozdziału zasobów , P roblem y w spółczesn ej nauki, Teoria i zastosow ania, Informatyka, Akadem icka O ficy­

na W yd aw n icza PL J, W arszawa, 1999.

5. Józefowska J.: D yskretn o-ciągłe problem y szeregowania zadań, Rozpraw y nr 318, W y­

daw nictw o P olitechniki Poznańskiej, Poznań, 1997.

6. W ęglarz J.: M ultiprocessor Scheduling w ith M em ory A llocation - A D eterm inistic Approach, IE E E T ran sactions on C om puters, C -29(8):703-709, A ugu st 1980.

n

Q (z ) — ■ r=_0')j

gdzie

190 A. Janiak,P. Słoniński

Recenzent: Prof. dr inż. T . Puchałka

A b s t r a c t

In this paper we present a solution o f th e problem o f m inim izing to ta l am ount of resource consum ed in th e resource allocation and scheduling problem w ith d ynam ic (dif­

ferential) m odels o f job release dates. T he considered problem is a very hard dynam ic optim ization problem (because of the m odels of release dates) and sta tic op tim ization problem (because o f th e scheduling). T h e dynam ic m odels are often m et in m any com ­ puter ap plications (e.g. preparing of anim ations and picture rendering in th e Com puter Aided Design program s) as well as in industrial ones.

Before a job is ready for processing on the critical m achine it m ust undergo in itial tre­

atm ent on parallel m achines. T he length o f this initial treatm ent can be considered as the release d ate and is d ynam ically dependent on th e am ount o f resource consum ed. T h e processing tim e o f each job on the critical m achine is constant and known a priori. There is also a constraint set on the tim e of finishing processing of all th e jobs in this problem .

M any im portan t properties o f this problem have been proven (e.g. those concerning th e character o f th e resource allocation function). T h e presented scheduling algorithm is based on the properties proven in this paper. There are also given som e generalizations of the considered problem.