z. 121 Transport 2018
Piotr Woźnica, Krzysztof Zboiński
Politechnika Warszawska, Wydział TransportuKOLEJOWE KRZYWE PRZEJŚCIOWE,
A DUŻE PROMIENIE ŁUKU KOŁOWEGO
Rękopis dostarczono: kwiecień 2018
Streszczenie: Niniejsza praca dotyczy optymalizacji kształtu kolejowych krzywych przejściowych (KP). Jako krzywą przejściową autorzy pracy przyjęli wielomian stopnia 9. i 11. W pracy zastosowano także dwie wartości promienia łuku kołowego: 3000 m i 4000 m. W optymalizacji kształtu krzywych przejściowych wykorzystano model 2-osiowego pojazdu szynowego. Jako funkcję celu przyjęto znormalizowaną po długości drogi wartość całki z wartości bezwzględnej zmiany przyspieszenia kątowego nadwozia pojazdu. W pracy przedstawiono wyniki optymalizacji kształtu kolejowych krzywych przejściowych – typy krzywizn optymalnych krzywych przejściowych oraz przebiegi dynamiczne – przemieszczenia i przyspieszenia tak poprzeczne, jak i pionowe środka masy nadwozia.
Słowa kluczowe: kolejowe krzywe przejściowe, dynamika pojazdów szynowych, symulacja
1. WSTĘP
Kolejowe krzywe przejściowe (KP) jest to tematyka, którą zajmują się badacze zarówno w Polsce, jak i poza jej granicami. W ostatnich latach obserwuje się pewien wzrost liczby publikacji dotyczących krzywych przejściowych wykorzystywanych w kolejnictwie, np. [3], [4], jak i drogownictwie, np. [1]. Zwrócić należy uwagę na fakt, że znacząca liczba prac dotycząca zagadnienia KP kolejowych pochodzi z krajów Dalekiego Wschodu, np. [5], [8].
Przyczynkiem do niniejszej pracy były wcześniejsze prace autorów niniejszego artykułu. W poprzednich swoich pracach przedmiotem badań ich autorów była ocena właściwości dynamicznych kolejowych wielomianowych krzywych przejściowych stopni głównie nieparzystych, np. [7], [9]. Badania wykonane miały zawsze charakter zaplanowanych testów numerycznych. Wykonywano je za pomocą programu do symulacji ruchu 2-osiowego pojazdu szynowego, opisano szczegółowo np. w [10], i połączonego z biblioteczną procedurą optymalizacyjną. Zastosowanie podejścia proponowanego przez autorów artykułu prowadziło do wyników innych (np. [9]) niż wyniki otrzymywane tradycyjnymi metodami inżynierskimi.
2. CEL PRACY
Celem niniejszej pracy była optymalizacja kształtu kolejowych wielomianowych KP stopnia 9. i 11. z wykorzystaniem modelu 2-osiowego pojazdu szynowego (autorstwa jednego z autorów artykułu), dużych promieni łuków kołowych R=3000 m i 4000 m oraz kryterium dynamicznego. W pracy jej autorzy dążyli do tego, aby minimalizować wartości przyjętej funkcji celu. 2-osiowy model został wybrany dlatego, gdyż, w porównaniu z modelem wagonu 4-osiowego, charakteryzuje się dużo mniejszymi czasami obliczeń.
W pracy wykorzystano następujące kryterium oceny krzywych przejściowych:
(2.1) gdzie:
LC – długość drogi uwzględnianej w obliczeniu funkcji celu,
M – przyspieszenie kątowe nadwozia wokół osi x. Indeks b oznacza nadwozie pojazdu.
Każda pojedyncza symulacja wchodząca w skład procesu optymalizacji polegała na przejeździe pojazdu szynowego po trasie składającej się z:
- toru prostego TP (długość – 50 m), - KP (długość – l0),
- łuku kołowego ŁK (długość – 100 m).
W efekcie otrzymywano wyniki symulacji ruchu pojazdu po trasach zawierających: tor prosty, łuk kołowy oraz optymalne kształty krzywych ze względu na wielkości dynamiczne układu dotyczące oddziaływań na pojazd i pasażera.
3. TYP KRZYWEJ PRZEJŚCIOWEJ PRZYJĘTY
W BADANIACH
Krzywą przejściową stopnia n (n=9 i 11) przyjętą w badaniach przestawiono w postaci następującego równania: , l l A l l A ... l l A l l A l l A l l A R 1 y 1 0 3 3 2 0 4 4 5 n 0 3 n 3 n 4 n 0 2 n 2 n 3 n 0 1 n 1 n 2 n 0 n n ¸¸¹ · ¨¨© § (3.1)
Oznaczenia we wzorze (3.1), a także funkcje: - krzywizny krzywej k,
- rampy przechyłkowej h,
- pochylenia rampy przechyłkowej i
W pracy, jako krzywe przejściowe przyjęto, jak wspomniano, wielomiany stopnia 9. i 11. Stopnie te przyjęto dlatego, gdyż takie (wysokie) stopnie, jako najlepsze, wskazały prace [7] i [9]. Miało to jednak głębszy sens tylko, gdy w obu przypadkach przyjęto maksymalną dopuszczalną liczbę wyrazów wielomianu, tj. odpowiednio 7 i 9. Oznaczało to w praktyce odrzucenie zaawansowanych warunków brzegowych, bo tylko krzywe nie spełniające tych warunków mogą posiadać wymienione liczby wyrazów. Znalezione w pracach [7] i [9] krzywe optymalne miały właściwości lepsze od krzywych wzorcowych [5] dla danego stopnia, a także od powszechnie stosowanej w kolejnictwie paraboli 3. stopnia. Krzywe te łączyły niejako właściwości paraboli 3. stopnia oraz krzywych wzorcowych danych stopni.
4. MODEL POJAZDU I SCHEMAT OPROGRAMOWANIA
PRZYJĘTY W BADANIACH
Jak wspomniano, w badaniach wykorzystano jeden model wagonu 2-osiowego z jednym stopniem usprężynowania. Model ten wykorzystywany był w wielu poprzednich pracach autorów i, jak wspomniano, jest szczegółowo opisany np. w [10]. Jak każdy wagon tego rodzaju posiada on nadwozie (pudło) połączone z dwoma zestawami kołowymi za pomocą elementów sprężysto – tłumiących. Struktura modelu i jego parametry swoim zakresem odpowiadają typowemu 2-osiowemu wagonowi rzeczywistemu.
Schemat działania oprogramowania, którym się posłużono, przedstawiono szczegółowo także np. w [10]. Zawiera on dwie pętle iteracyjne. Pierwsza jest pętla całkowania równań (symulacji). Była ona przerywana, gdy długość llim, będąca długością bieżącą drogi,
osiągnęła założoną wartość. Drugą zaś jest pętla procesu optymalizacji. Była ona przerywana, gdy liczba iteracji osiągnęła wartość ilim. Wartość ta oznaczała, że ilim
symulacji musi zostać wykonanych, aby proces optymalizacyjny został zakończony. Jeśli optymalne rozwiązanie zostało znalezione wcześniej (i<ilim), wtedy proces
optymalizacyjny został automatycznie zakończony.
5. PRZYJĘTE WARUNKI OPTYMALIZACJI
Tradycyjnie, minimalne długości l0 krzywych przejściowych przyjmowane w pracy
wynikały z dwu warunków [2], dotyczących nieprzekroczenia: maksymalnej wartości prędkości podnoszenia się koła po rampie przechyłkowej fdop i maksymalnej wartości
niezrównoważonego przyspieszenia poprzecznego ψdop. W każdym procesie optymalizacji
zakładano stałą (niezmienną) długość KP, którą wyznaczano dla KP wzorcowej według metody pokazanej w pracy [5]. Do obliczeń przyjęto również, jak wspomniano, wartości promienia łuku kołowego R=3000 m i 4000 m.
W badaniach, jak poprzednio (np. [9]), wykorzystano dwie KP początkowe stopnia 9. oraz 11. Obie KP, charakteryzowane współrzędną y, przedstawiono poniżej:
¸¸¹ · ¨¨© § 4 0 6 5 0 7 6 0 8 7 0 9 l l 6 7 l l 2 l l 4 5 l l 18 5 R 1 y , (5.1) ¸¸¹ · ¨¨© § 5 0 7 6 0 8 7 0 9 8 0 10 9 0 11 l l 3 l l 2 15 l l 2 15 l l 2 7 l l 11 7 R 1 y . (5.2)
Na funkcje krzywizny krzywej przejściowej nałożono podstawowy warunek, jaki musi spełniać funkcja krzywizny w punktach początkowym i końcowym, tj. k(0)=0 i k(l0)= 1/R
[6]. Analogiczny warunek spełnia też rampa przechyłkowa, tzn. h(0)= 0 i h(l0)=H.
Dodatkowo, w przypadkach, gdzie optymalną KP nie była parabola 3. stopnia, jako KP początkową wykorzystano wspomnianą parabolę 3. stopnia.
Tradycyjnie na wyniki z poszczególnych procesów optymalizacji kształtu KP składały się: optymalne współczynniki wielomianu, wartości funkcji celu, graficzna reprezentacja krzywej i dynamika środka masy nadwozia.
Generalnie każda KP uzyskana w pracy miała krzywiznę (rampę przechyłkową), która mogła zostać zakwalifikowana do jednej z 5 grup. Te 5 grup (typów) jest następujących: 1) typ 1 – krzywizna w praktyce jest bardzo podobna do krzywizny KP wzorcowej 9. i 11.
stopnia ([5]),
2) typ 2 – krzywizna ma kształt pośredni pomiędzy krzywizną KP wzorcowej 9. i 11. stopnia, a parabolą 3. stopnia ([5]),
3) typ 3 – krzywizna quasi-liniowa, bardzo zbliżona do krzywizny paraboli 3. stopnia, 4) typ 4 – krzywizna ma wklęsły charakter, jest ostra (4a) lub ma ciągłość typu G1 (4b) na
początku KP i zawsze ostra na końcu KP,
5) typ 5 – krzywizna ma wypukły charakter na całej długości KP.
Krzywizny wszystkich typów (dla l0=142,15 m i R=600 m) przedstawiono na rys. 5.1.
6. WYNIKI OPTYMALIZACJI KSZTAŁTU KRZYWYCH
PRZEJŚCIOWYCH
Celem niniejszego rozdziału jest pokazanie wyników badań dotyczących optymalizacji kształtu KP z wykorzystaniem opisanego modelu pojazdu i kryterium FC1. Tradycyjnie na
wyniki z poszczególnych procesów optymalizacji kształtu KP składały się: optymalne współczynniki wielomianu, wartości funkcji celu, graficzna reprezentacja krzywej i krzywizny oraz przemieszczenia i przyspieszenia (poprzeczne, pionowe, kątowe) środka masy nadwozia.
W niniejszej pracy prezentacje wyników optymalizacji ograniczono do pokazania: - typów krzywizn optymalnych krzywych przejściowych,
- wartości funkcji celu,
- przebiegów dynamicznych – przemieszczeń i przyspieszeń środka masy nadwozia pojazdu.
W tabelach 1 i 2 dla każdego promienia łuku kołowego i przyjętych: - niezrównoważonego przyspieszenia poprzecznego alim,
- prędkości pojazdu v, - przechyłki H, - stopnia wielomianu n
przedstawiono wyniki optymalizacji – typy krzywizn optymalnych KP otrzymanych podczas optymalizacji kształtu. W 14 na 16 przypadków optymalna KP miała liniową krzywiznę (typ 3), a tylko w 2 przypadkach krzywiznę typu 2. Zwrócić zatem należy uwagę na fakt, że dla dużego zakresu długości KP, przy przyjętym kryterium optymalizacyjnym, parabola 3. stopnia jawi się jako KP o dobrych właściwościach dynamicznych. Tabela 1 Wyniki optymalizacji – R=3000 m alim [m/s2] v [m/s] H [mm] n l0 [m] FC1 1. -0,6 29,10 135 9 153,45 2 11 172,57 3 2. -0,3 29,40 90 9 103,35 3 11 116,23 3 3. 0 31,30 50 9 61,13 3 11 68,74 3 4. 0,15 30,66 25 9 29,94 3 11 33,67 3 Tabela 2 Wyniki optymalizacji – R=4000 m alim [m/s2 ] v [m/s] H [mm] n l0 [m] FC1 1. -0,6 29,45 125 9 143,79 2 11 161,71 3 2. -0,3 29,85 80 9 93,28 3 11 104,90 3 3. 0 30,24 35 9 41,34 3 11 46,49 3 4. 0,15 33,50 20 9 26,17 3 11 29,43 3
W niniejszym rozdziale autorzy przedstawili wybrane wyniki badań w postaci charakterystyk dynamicznych dla jednego procesu optymalizacji krzywych przejściowych 9. stopnia (tabela 1, przypadek nr 4, v=30,66 m/s, l0=29,94 m). Na rysunkach 6.1 - 6.3 przedstawiono przebiegi dynamiczne:
– przemieszczenia i przyspieszenia poprzeczne i pionowe środków mas nadwozia, – przemieszczenia i przyspieszenia kątowe nadwozia wokół osi x.
Rys. 6.1. Przebiegi dynamiczne: a) przemieszczenia, b) przyspieszenia poprzeczne środka masy nadwozia – v=30,66 m/s, l0=29,94 m
Rys. 6.2. Przebiegi dynamiczne: a) przemieszczenia, b) przyspieszenia pionowe środka masy nadwozia – v=30,66 m/s, l0=29,94 m
Rys. 6.3. Przebiegi dynamiczne: a) przemieszczenia, b) przyspieszenia kątowe nadwozia wokół osi x – v=30,66 m/s, l0=29,94 m
Ogólnie, we wszystkich wykonanych procesach optymalizacji znalezione optymalne krzywe przejściowe miały lepsze „zachowania” dynamiczne nadwozia pojazdu, niż KP początkowe. Dla przedstawionego przypadku jest to potwierdzone przez przebiegi – przemieszczenia i przyspieszenia tak poprzeczne, jak i pionowe – ze wszystkich rysunków – 6.1, 6.2 oraz 6.3. Optymalną krzywą przejściową znalezioną przez procedurę optymalizacyjną w procesie optymalizacji jest, jak wspomniano, krzywa o krzywiźnie typu 3. Krzywa ta została znaleziona w 656 kroku (ilim=656). Stosunek wartości funkcji celu –
całek z przyspieszenia kątowego nadwozia pojazdu wokół osi x – dla krzywej optymalnej do wartości funkcji celu dla krzywej wzorcowej 9. wynosił 0,016=(0,01665 [rad/s2]/ 2,7210 [rad/s2]).
7. WNIOSKI
W niniejszej pracy jej autorzy pokazali, że zastosowanie kryterium oceny kształtu kolejowych krzywych przejściowych dotyczącego dynamiki pionowej pojazdu dało ogólnie w wyniku zbliżone do siebie kształty krzywych przejściowych. Zastosowana metodyka pozwoliła, szerzej niż dotychczas (np. prace [7] i [9]), spojrzeć na kolejowe krzywe przejściowe wyższych – 9. i 11. – stopni w kontekście ich właściwości mających wpływ na dynamikę pojazdu szynowego.
Przyjęte kryterium oceny kształtu KP dotyczące dynamiki pionowej pojazdu dało szansę optymalnym KP o krzywiznach typu 2 (krzywe przejściowe typu 2 w pracach [7] i [9] miały najlepsze właściwości wpływające na dynamikę) na bycie KP optymalnymi tylko w przypadkach dla dużych długości KP (143 i 153 m). Dla mniejszych długości
krzywych sytuacja jest odmienna. Tu parabola 3. stopnia, jako krzywa przejściowa, wypadła bardzo dobrze, a każda inna KP dawała w wyniku większe wartości funkcji celu.
Z racji tego, że dynamika pojazdu nie jest jedynym kryterium oceny kształtu KP w swych dalszych badaniach autorzy pracy myślą o optymalizacji wielokryterialnej. Pierwszym kryterium oceny będzie wspomniana dynamika pojazdu, drugim zaś zużycie w kontakcie koło-szyna. W tym kontekście należy zastanowić się na postacią funkcji celu oraz właściwymi wagami, nadanymi kryteriom oceny.
Bibliografia
1. Jiang Q.P.: Study of the new type of transition curve of road. China Journal of Highway and Transport, 15(2), 2002.
2. Koc W., Radomski R.: Analiza krzywych przejściowych z nieliniowymi rampami przechyłowymi. Drogi Kolejowe, 11, 1985.
3. Li, X., Li, M., Bu, J., Shang, Y., and Chen, M.: A general method for designing railway transition curve algebraic equations. Proc. of ICCTP 2010, str. 3340-3348, 2010.
4. Li X., Li M., Bu J., Wang H.: Comparative analysis on the linetype mechanical performances of two railway transition curves. China Railway Sciences, issue 6, 2009.
5. Long X.Y., Wei Q.C., Zheng F.Y.: Dynamical analysis of railway transition curves. Proc. IMechE part F Journal of Rail and Rapid Transit, 224(1), str. 1-14, 2010.
6. Rozporządzenie Ministra Transportu i Gospodarki Wodnej w sprawie warunków technicznych, jakim powinny odpowiadać budowle kolejowe i ich usytuowanie z dnia 10 września 1998 r. (Dz. U. 98.151.987) z późn. zm.
7. Woźnica P.: Kształtowanie i ocena własności kolejowych krzywych przejściowych z wykorzystaniem metod optymalizacji i symulacji. Rozprawa doktorska, Politechnika Warszawska, Wydział Transportu, Warszawa 2012.
8. Zhang J.Q., Huang Y.H., Li F.: Influence of transition curves on dynamics performance of railway vehicle, Journal of Traffic and Transportation Engineering. 10(4), str. 39-44, 2010.
9. Zboiński K.: Nieliniowa dynamika pojazdów szynowych w łuku. WNITE, Warszawa-Radom 2012. 10. Zboiński K., Woźnica P.: Combined use of dynamical simulation and optimisation to form railway
transition curves. Vehicle System Dynamics, DOI: 10.1080/00423114.2017.1421315, 2018.
RAILWAY TRANSITION CURVES AND THE LARGE CIRCULAR ARC RADII Summary: This work concerns the search for the optimum shape of railway transition curves (TCs). In work the authors used mathematical methods of optimization and simulation. The computer simulation concerned the dynamic behavior of the the 2-axle rail vehicle model. As the transition curve the authors adopted a polynomial of degree n, where n=9 and 11. The quality function (evaluation criterion) used concerned vertical accelerations of the vehicle body. The authors used large circular arc radii – R=3000 m and 4000 m. The aim of the research was to find the optimum shapes of the TCs, taking into account the criterion adopted and comparison of them among themselves.
