• Nie Znaleziono Wyników

Określenie ugięć lepkoplastycznej płyty prostokątnej obciążonej impulsem ciśnienia

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Określenie ugięć lepkoplastycznej płyty prostokątnej obciążonej impulsem ciśnienia"

Copied!
20
0
0

Pełen tekst

(1)

M E C H AN I K A TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 16 (1978)

OKREŚ LEN IE U G IĘ Ć LEPKOPLASTYCZN EJ PŁYTY PROSTOKĄ TN EJ OBC I Ą Ż ON EJ I M P U L S E M C I Ś N I E N IA

WIESŁAW WOJE WÓD Z KI , AN N A PERD ZYŃ SKA (WAR SZ AWA) 4

1. Wstę p

Istnieje wiele prac dotyczą cych dynamicznych problem ów cienkich pł yt niesprę ż ystych

0 warunkach koł owej symetrii. Wyczerpują ca bibliografia tych opracowań nie jest naszym

celem. Wymienione zostaną  tylko niektóre prace. Pierwsze rozwią zania w ram ach

klasycznej teorii plastycznoś ci podali WAN G , H OP KIN S [1], H O P K I N S, PRAG ER [2], WAN G

[3]. N astę pnie uwzglę dniono niektóre z dodatkowych czynników ja k: wł asnoś ci sprę

-ż yste materiał u, wzmocnienie, lepkość i zmiany geom etrii. U czynili t o : D U F F Y, K E Y [4],

WITM ER, C LAR K, BALMER [5], F LOREN CE [6], JON ES [7], WI ER Z BI C KI [8—12], L E P I K [13],

PERRONE [14]. Obszerna rozprawa WIERZBICKIEG O [15] poś wię cona dynam ice powł ok

1 pł yt lepkoplastycznych podaje analityczne metody wyznaczania deformacji, m etody

oszacowania ugię ć, omawia wpł yw róż nych czynników decydują cych o przebiegu p r o

-cesu dynamicznego, oraz przeglą d dotychczasowych osią gnię ć. Istnieje n ieporówn an ie

mniej rozwią zań pł yt o dowolnym kształ cie. Przyczyna leży w zł oż onoś c

i fizycznej

i matematycznej problem u. D ynamiczny warunek plastycznoś ci musi być wyraż ony

w conajmniej trójwymiarowej przestrzeni sił  wewnę trznych. U niemoż liwia t o prostą

linearyzację  prawa pł ynię cia. R ówn an ia róż niczkow

e rzą dzą ce problem em stają  się

bardziej skomplikowane n iż w przypadku koł owej symetrii. U wzglę

dnienie wymienio-nych ju ż dodatkowych czynników komplikuje problem jeszcze bardziej. C o x i M OR LAN D

[16] jako pierwsi podali rozwią zanie dla pł yty kwadratowej. P o d o bn y problem z uwzglę

d-nieniem lepkoś ci materiał u był  rozpatrywany w pracy WIERZBICKIEG O [17], JON ES, U R AN ,

TEKIN [18] badali eksperymentalnie prostoką tn e pł yty utwierdzone n a krawę dziach

wykonane z alum inium i mię kkiej stali obcią ż one im pulsem ciś nienia. Stwierdzon

o is-totny wpł yw zmian geometrii i lepkoś ci materiał u n a zmniejszenie przemieszczeń. W pracy

[19] JON ES uwzglę dnił  efekt zm ian geometrii podają c uproszczoną  teorię

 idealnie plastycz-nych pł yt dowolnego kształ tu. P odan e wyż e

j rozwią zania [16], [19] ja k również rozwią zanie

BĄ KA, N IEP OSTYN A[20], bazują c n a teorii linii zał omów,przyjmują  ustalon e pole prę dkoś ci,

a tym samym narzucają  koń cow

y kształ t odkształ conej pł yty. Stwierdzono doś wiadczalnie,

że w procesie dynamicznym deformacja pł yty charakteryzuje się  znaczną  zm ian ą  postaci

pola prę dkoś ci przemieszczeń. W pracy WOJEWÓD ZKIEG O, WIERZBICKIEG

O [21] uogól-niono teorię  WIERZBICKIEG O dotyczą cą  konstrukcji powierzchniowych o osiowej symetrii

n a przypadek pł yt o dowolnym kształ cie. Jako przykł ad rozwią zano prostoką tn ą  pł ytę

utwierdzoną  na obwodzie, obcią ż oną  idealnym impulsem ciś nienia. Celem niniejszej

(2)

pracy jest szczegół owa analiza w ramach zał oż e

ń [21] procesu deformacji i okreś lenie

koń cowyc

h ugięć pł yty prostoką tnej o krawę dziac

h zamocowanych przegubowo, obcią-ż one

j dynamicznie. Zbadany bę dzi

e wpł yw lepkoś ci materiał u, kształ tu i wielkoś ci impulsu.

Koń cow

e ugię ci

a bę d

ą wyznaczone przy zastosowaniu dwóch sposobów speł

nienia kry-terium odcią ż enia

. W wyniku przejś cia- graniczneg

o podane bę d

ą wyniki dla plastycznoś ci

idealnej.

2. Równanie ruchu Icpkoplastycznej pł yty

Równanie ruchu pł yty ma postać, [21]

(2.1) w + <x

o

/ i

 4

w -  (P- P*)lp -  0,

gdzie w — oznacza przemieszczenie normalne, W

4

 w = \ v,

a

,

a

p^ jest operatorem Laplace'a,

K„ =  4kh

3

/ (3yfi), k = a

o

j\ / 3, / J, =  2hg, a

0

 — oznacza granicę plastycznoś ci materiał u,

y — lepkoś ć, Q — gę stoś

ć materiał u, zaś 2/j jest gruboś cią pł yty. Przecinkiem oznaczono

róż niczkowani

e wzglę de

m współ rzę dnyc

h kartezjań skieg

o ukł adu x

e

, (a, @ — 1,2),

a kropką wzglę de

m czasu t. Przez P(x

a

, t) oznaczono ciś nienie przył oż one do pł yty, a przez

P * jej noś ność graniczną.

Równanie powyż sz

e wprowadzone został

o w oparciu o zlinearyzowane prawo lepko-plastycznoś ci, przy pominię ci

u odkształ ceń sprę ż ystyc

h i zał oż eni

u mał ych ugię ć

. Obo-wią zuj

e ono tylko w obszarach plastycznego pł ynię cia

. G ranicę mię dz

y sztywnymi obsza-rami, które mogą wystę powa

ć w pł ycie, a lepkoplastycznymi okreś

lamy z warunku od-cią ż enia

, w — 0. Równanie (2.1) wraz z warunkiem odcią ż eni

a opisuje plastyczne i lepkie

efekty, propagację stref sztywnych i zmianę postaci pola przemieszczeń. Równanie to

moż na wzglę dni

e szybko rozwią za

ć i wyznaczyć trwał e ugię ci

a pł yty.

3. Metoda rozwią zania

Pł yta prostoką tna o krawę dziach przegubowo zamocowanych jest obcią ż on

a równo-miernie rozł oż ony

m na cał ej powierzchni impulsem ciś nienia dowolnie zmiennym w czasie

i dział ają cy

m w kierunku normalnym do jej powierzchni, rys. 1, 2. Lepkoplastyczna de-formacja wystą pi

, jeż el

i w chwili t — 0 bę dzi

e P > P*. Gdyby przez cał y czas P = P*

to plastyczna deformacja pł yty był aby nieskoń czeni

e powolna i nie pojawił yby się sił y

inercji i efekty lepkie. W przypadku przedstawionym na rys. 2 należy rozpatrzyć dwie fazy

ruchu pł yty.

Faza I . 0 < t < r.

Równanie ruchu pł yty ma postać

(3.1) L(w) -  M '+ a

0

V

4

w- (P (0- P *)/ , « =  0,

gdzie noś ność graniczna pł yty obcią ż one

j stał ym i równomiernie rozł oż ony

m na cał ej

powierzchni ciś nieniem wynosi

> I

(3.2) P * =  J^M£1 ^

; M = ah

 A -6

2

(j/ 3 +   l / P I/ A)

2

) °

(3)

OKR E Ś LE N IE U G I Ę Ć 539

Przyjmujemy, że nieodkształ cona pł yta jest pł aska, zatem warunki począ tkowe są  nastę

-pują ce:

(3.3) w(x, y, 0) =  0 w(x,y, 0) =  0.

Warunki brzegowe są  okreś lone przez

(3.4) w

( 0 , , , 0 = 0 ,

W(

Hx,o,o=o,

% *  » -  0,

2 - o .

_ 19 13 20 1i 21 15 18

4

12 ,6 a

Rys. 1. Wymiary pł yty Rys. 2. Impuls ciś nienia

Pole prę dkoś ci ugię cia speł niają ce warunki brzegowe (3.4) przyjmujemy w postaci szeregu:

(3.5)

w(x,y,t) =

Z J m= l

. nnx . rrmy

sm sm- —^- .

a b

Funkcję  amplitudy A„

m

(ł ) wyznaczamy metodą  G alerkina:

a b

(3.6)

J j L(w)sm^s

= 0, k,l~ 1, 2, 3. . .

o o

Otrzymane z (3.6) równanie róż niczkow

e ma postać

(3.7) i

gdzie

(4)

a wskaź n iki n i m przyjmują  tylko wartoś ci liczb cał kowitych nieparzystych. Rozwią zują c równ an ie (3.7) m etodą  uzm ien n ian ia stał ych i wykorzystują c pierwszy z warunków po-czą tkowych (3.3) d o wyznaczenia stał ej cał kowania otrzymujemy funkcję  amplitudy

(3.9) A„

m

(t) -

 TF- ID gdzie (3.10) Dnm{t) = Cnm e-C "'"' J P(t)ec ™>c/ t.

Cał kują c (3.5) z uwzglę dnieniem (3.9) i drugiego warunku począ tkowego (3.3) otrzymujemy nastę pują ce pola ugię ć:

(3.11) w{x,y, t) =  y

*=  1 m=  1

gdzie

(3.12) Y

m

(f)mJ.D

m

(t)dt.

' R u ch pł yty m oże zakoń czyć się  jeszcze pod dział aniem obcią ż enia w przedziale czasu

r1 — r, gdzie rt jest czasem, w którym funkcja P(t) przyjmuje wartość obcią ż eni a granicz-n ego P*.

Waru n ek odcią ż enia

(3.13) w(x,y,tf)=0

m o ż na speł nić w dwojaki sposób. Pierwszy sposób dopuszcza ujemne wartoś ci amplitud prę dkoś ci ugię cia. Stosują c ten sposób należy zbadać czy w poszczególnych punktach pł yty warun ek (3.13) jest speł niony dla czasów rx ^ t <  T. W tych pun ktach , w których ten warun ek jest speł niony koń cowe ugię cia obliczamy wedł ug (3.11). W pozostał ych pun ktach pł yty ruch zakoń czy się  w fazie I I . D rugi sposób uwzglę dnienia tylko dodatnie wartoś ci funkcji am plitud Anm(t). Z atem stosują c ten sposób amplitudy nastę pnych postaci

Anm(t)t dla ustalon ego problem u brzegowego, bę dą  równe zero dla czasu t > tf„,„, gdzie

tfnm jest okreś lone przez równ an ie A„m(tf„m) =  0, które po uwzglę dnieniu (3.9) m a postać (3.14) . nnm(t)f^+p*(e- Cm,,>fm,,- i)- nnm

(p)e-c

»'"<f">"  = 0 .

W koń cowym okresie deformacji istnieje tylko pierwsza'postać Ayi {t) i w czasie tfn wszyst-kie p u n kt y pł yty zatrzymują  się  jednocześ nie. Jeż eli wyznaczony z (3.14) czas tfll bę dzie mniejszy o d r, ozn acza to, że ruch pł yty zakoń czy się  w fazie I. Koń cowe ugię cia wyznacza się  wtedy z (3.11).

F aza II, r < t. • • '"•  • W tej fazie ruchu P(t) — 0, ale pł yta bę dzie odkształ cał a się  dalej zanim energia kine-tyczna wprowadzona uprzednio przez dział anie obcią ż eni a nie zostanie rozproszona w lep-koplastycznej pracy. Równanie ruchu pł yty w tej fazie jest nastę pują ce:

(3.15) •  L(w) =  w+a0V A

(5)

OKREŚ LENIE U G ą ć 541

Pole prę dkoś ci ugię cia przyjmujemy ja k poprzedn io, w postaci (3.5). D alej postę pujemy analogicznie ja k w fazie I .

Równanie róż niczkowe amplitudy m a postać (3.7) z podstawieniem P(t) =  0. Speł niają c warunki cią gł oś ci

(3.16) W i(x,y, r) =  wn(x,y, r), wt(x,y, r) = wn(x,y, T),

gdzie indeksy I i I I odnoszą  się  odpowiednio do wielkoś ci fazy pierwszej i drugiej, obli-czamy stał e cał kowania i ostatecznie otrzymujemy

(3.17) Amn(t) =   ^ Ł [(Dm(T)e c "°*+P* -  j (3.18) w(x,y,t) = DO 00 (3.19) w(x,y,t)= > \  ™. [(2}BJ «—1 i =  l m =  l mny

D la tych pun któw pł yty, które nie zatrzymał y się  w fazie I stosownie do pierwszego spo-sobu speł nienia kryterium (3.13) czas zatrzym ania i koń cowe ugię cia oblicza się  korzysta-ją c z (3.18) i (3.19). N atom iast stosu korzysta-ją c drugi sposób speł nienia kryterium odcią ż enia czas

koń cowy amplitudy Anm dla tych num erów wskaź ników n i m dla których nie został  usta-lony w fazie I wyznacza się  przyrównują c (3.17) d o zera. Otrzymujemy

(3.20) tflm -  1 .

Chwila tfl Ł obliczona z tego wzoru jest czasem zakoń czenia ruchu pł yty. K oń cowe ugię cia obliczamy korzystają c ze zwią zku (3.19).

D yskusję  róż nych kryteriów odcią ż enia dla zlineryzowanych równ ań lepkoplastycznoś ci i interpretację  energetyczną  podan ych dwóch sposobów speł nienia (3.13) zawiera praca WIERZBICKIEG O [23]. Pierwszy sposób dopuszcza przepł yw energii z niż szych d o wyż-szych postaci prę dkoś ci przemieszczenia, drugi sposób takiej transmisji n ie dopuszcza.

Obecnie rozpatrzymy trzy prę dkoś ci szczególne, a mianowicie obcią ż enie pł yty prosto-ką tnym, trójyty prosto-ką tnym i idealnym impulsem ciś nienia.

4. Obcią ż enie prostoką tnym impulsem ciś nienia

W podanej w poprzedn im rozdziale metodzie rozwią zania należy uwzglę dnić, że P(t) =  P — const, rys. 3. Otrzymujemy:

(4- 1) Anm (t) -9 M ech. Teoret. I Stos. 4/ 78

F aza I . 0 < ż < r. (P

(6)

(4.2) w(x,y,t) =

Faza II. z < t.

(4.3)

A

m

(t) =

e

- c

m

t _

(4.4) w(x, y, t) =

. nnx . mny

sin sin —~

a b

t - . O T

Rys. 3. Prostoką tny impuls ciś nienia

Czasy zakoń czeni

a ruchu, punktów pł yty według pierwszego sposobu speł nienia kryterium

odcią ż eni

a okreś la się  przez przyrównanie do zera prawej strony równania (3.5) z aktualną

amplitudą  (4.3), a koń cow

e ugię cia z (4.4). N atomiast według drugiego sposobu spełnienia

kryterium przyrównują c (4.3) do zera otrzymujemy

(4- 5)

tfnm =

In

p

e

c

nm

r_p

+P

*

D la t > t

fnm

 amplitudy wyż szyc

h postaci wynoszą  zero. Podstawiają

c (4.5) do (4.4) otrzy-mujemy wzór na koń cow

e ugię cia pł yty

IA

 es t \  V  V ^ m / s - ^ ,

  n

*, Pe

c

«'"

r

- P+P*\  . nnx . mny

(4.6)

 W f

(x, y) =  >  >   - ^ t PrC„

m

- P*ln — sin sm- / .

N a zakoń czeni

e tego rozdział u podamy wyraż eni

a (4.5) i (4.6) w przypadku idealnej

plastycznoś ci tzn. gdy y - > oo, odpowiada to zgodnie z (3.8) C

mn

 - > 0. Otrzymujemy

co co

(

(4.8)

= > >

rmx

(7)

OKREŚ LENIE UGIĘĆ

5. Obcią ż enie trójką tnym impulsem ciś nienia

W tym przypadku, rys. 4

(5.1) P< O= p( l- £

Zgodnie z rozdział em 3 otrzymujemy:

F aza I. 0 < t s£ r.

543 (5.2) ' (5- 3)

P^_

x

Pt

2

 „

— C^

. mny

sin—r^-Zależ ni

e od wielkoś ci przył oż oneg

o impulsu odcią ż eni

a może nastą pi

ć w przedziale czasu

T !- T , gdzie x

x

 -  (P—P*) T / P jest czasem, w którym obcią ż eni

e osią g

a wartość noś noś c

i

granicznej P *.

Rys. 4. Trójką tny impuls ciś nienia

Zgodnie z pierwszą moż liwoś ci

ą speł nienia kryterium odcią ż eni

a badam y, d la których

pun któw pł yty w(x, y, t) =  0 w przedziale czasu T

X

 — T. W tych pun ktach

, w których wa-runek ten zachodzi ruch ustaje i trwał e ugię cia mogą być obliczone z (5.3). W pozostał ych

punktach ruch zakoń czy się w fazie I I .

Stosując drugi sposób speł nienia kryterium odcią ż enia

, dla każ dej pary  n i m szuka

się takiego czasu r

x

 < t

fnm

 «S r, aby am plituda A

nm

(t

fnm

) był a równ a zeru. Z adan ie t o

moż na rozwią zać graficzn ie. P rzyrównując (5.2) do zera otrzymujemy równ an ie okreś

la-ją ce t

fnm

 w postaci

e

- c

m

„„

m =

 \ - r

nm

t

f

f

m

,

(5.4)

gdzie

( 5

"

5 )

 , ' """ P- P*+Pl(yc

nm)

dla każ deg

o n i m. D la każ de

j z uwzglę dnianyc

h wartoś ci n i m, po obliczeniu współ

czynni-ków C„

m

 i r

nm

, moż na znaleźć drugi poza punktem (0,1) punkt przecię ci

a krzywej e"

0

""'"

1

"

P / r

(8)

z prostą 1 —r„mtf„m. Jeż eli odcię ta punktu przecię cia bę dzie zawarta w granicach  T ^ T to

tfnm bę dzie poszukiwanym czasem. W przypadku istnienia w okresie dział ania obcią ż enia

tfnm ^ T dla wszystkich wskaź ników n i m, ugię cia koń cowe w poszczególnych punktach pł yty znajduje się przez podstawienie tfnm do (5.3), a rozpatrywanie fazy ruchu po zdję ciu obcią ż enia staje się zbę dne. Z uwagi na szybką zbież ność szeregu wystarczy w obliczeniach uwzglę dniać niewielką liczbę wyrazów.

F aza I I . r<t.

(5.6) A„

m

(t) -  £ sS\ \

°° °° (V

(5.7) w(x, y,t)=y y  T ^ -

 P-tzi tii

Lnm  l L

Postę pując wedł ug pierwszego sposobu speł nienia kryterium odcią ż enia, w punktach, w których trwał e ugię cia nie został y znalezione w fazie I , bada się dla jakiego czasu

w(x, y, t) =  0. Wykorzystując ten wynik, ze wzoru (5.7) obliczamy koń cowe ugię cia. Korzystając z drugiego sposobu speł nienia warunku odcią ż enia czas koń cow y amplitu-dy, dla tych n i m, dla których nie został  ustalony w fazie I, oblicza się ze wzoru

tfnm

C zasem zakoń czen ia ruch u pł yty bę dzie czas tfl  x. Koń cowe ugię cia stanowią sum ę wyrazów wyzn aczon ych przez podstawienie ts„m < r obliczonych z (5.4) do szeregu (5.3) i tfnm > x

z (5.8) d o (5.7).

Przejś cie graniczne do plastycznoś ci idealnej. Faza I. Jak widać Z równ an ia (5.4) n ie m oż na uzy-skać jawn ego wzoru  n a tfnm aby nastę pnie obliczyć granicę dla y - •  oo (jest to równow-aż ne C„m - » 0). P ostą pimy zatem w sposób nastę pują cy:

Wyzn aczam y z (5.4) wielkość P:

— P*(\ —e- C„mtfnm\

(5.9) P =  j~

a nastę pnie obliczamy prawą stronę tego wyraż enia gdy y - * oo. Otrzymujemy wzór 2r P *

(5.10) P =

2r- t

fnm

'

z którego znajdujemy interesują cą nas zależ ność czasu zakoń czenia ruchu sztywno- plas-tycznej pł yty od wartoś ci przył oż onego obcią ż enia tzn.

(9)

OKREŚ LENIE UGIĘ Ć 545

D la t =  tpf okreś lonego przez (5.11) w przejś ciu granicznym z wyraż enia (5.3) otrzym ujem y

wzór n a trwał e ugię cia

oo oo V~i \ 1

 ~ 3T ( P —P*) t%f—Ptpr . njix . mity (5.12) W pf — IIHIWf =  y /  Gnm - ^  —si n  si n —- — =

V1  V  3 2 ( P - P *)3 T2  1 nnx .

—sin sin

j nm a b

Faza I I . Wyraż eniom (5.8) i (5.7) okreś lają cym czas zakoń czeni

a ruchu i trwał e ugię cia

w przypadku sztywno- plastycznej pł yty, (y - +  oo) nadajemy postać

Ąx I Pr

(5.13) t

pf

 = hmt

fnm

 =  _ = _ . , / =  — ,

nnx . noty

(5.14) w

pf

 = hm w/ ­ >

I

 y

 a

  — ­ s i n ­ — sm­

» = l  m « l '

Z wzorów (5.11) i (5.13) wynika, że dla obcią ż enia P — 2P* czas zakoń czen i

a defor-macji bę dzie równy okresowi dział ania obcią ż enia r, a przy wię kszym obcią ż eniu ruch

pł yty zakoń cz

y się  w fazie I I .

6. Obcią ż enie idealnym impulsem ciś nienia

Zagadnienie to m oż na rozwią zać obliczają c granicę  ostatecznych wzorów otrzym

a-nych dla obcią ż enia prostoką tn ym impulsem, przy T dą ż ą cy

m do zera i rosn ą cej wartoś ci

P, przy czym,,iloczyn xP pozostaje stał y i równy wielkoś ci im pulsu /  =  lirn /  P(t)dt lu b,

r- >00

jak t o został o pokazan e w tym rozdziale, przez uwzglę dnienie dział ania idealn ego impulsu

w warunkach począ tkowych

(6.1) w(x,y,0)= — —V

O

, w(x, y, 0) =  0.

ft

Warunki brzegowe pozostają  bez zmian i są  okreś lone przez (3.4). R ówn an ia ruch

u i am-plitudy są  dane przez (3.1) i (3.7) z podstawieniem P(t) — 0. Aby rozwią zać równ an ie

róż niczkow

e am plitudy wykorzystuje się  pierwszy warun ek począ tkowy (6.1) tzn .

(6.2) Mx ,y ,0) =   F

0

  = >

— -i "

Współ czynnik A

nm

(0) znajduje się  mnoż ąc stron am i (6.2) przez sin——sin—j- ~ i cał kują c

w obszarze pł yty. Wynosi o n

(6- 3) ^„„,(0) =  - ^ - j- K o =  G„

m

I,

(10)

a rozwią zanie równania róż niczkowego amplitudy ma postać (6.4) Anm(0 «-   | r

P ola prę dkoś ci przemieszczenia i pole ugięć okreś lone jak w punkcie 3 mają postać V"1  V1 , • . •  nizx mny

(6.5) * ( x , ; M ) «

(6.6) w(x,y, t) —

4- mi - ć —J \ ^nm " U

n =  \  vi =  1

P odobn ie ja k w poprzednich punktach czas trwania deformacji i trwał e ugię cia pł yty wyznacza się stosując dwa sposoby speł nienia kryterium odcią ż enia w(x,y, tf) — 0. Wedł ug sposobu dopuszczają cego ujemne wartoś ci amplitud Anm(ł ) okreś la się, zależ nie od współ rzę dnychx i y, czasy tf dla których zwią zek (6.5) przyjmuje wartość zero. N astę pnie tak otrzymany czas zatrzymania się poszczególnych punktów pł yty podstawia się do (6.6) i ustala koń cowe ugię cia wf(x, y, tSmt). D ruga moż liwość znalezienia poszukiwanych wielkoś ci polega na obliczeniu ts„n, dla których kolejne amplitudy Anm{t) bę dą miał y war-tość równą zeru i na tej podstawie okreś lenie koń cowych ugięć punktów pł yty. Przyrównu-jąc (6.4) do zera otrzymujemy czas

i P * +  je

\ P- 1) Tfnm — • c'- 'Jn pj ,

a z (6.6) p o uwzglę dnieniu (6.7) pole trwał ych ugięć

D la n =  m = 1, przy uwzglę dnieniu oznaczeń podanych w poprzednich rozdział ach, otrzymuje się z (6.7) czas zakoń czenia ruchu cał ej pł yty tzn.

(6.9)

a*

oraz z (6.8) pierwszy i zarazem decydują cy wyraz szeregu koń cowych ugięć pł yty

/ n i™ /  N  241/ 3 £ w Tr P*tnl\  . nx . ny (6.10) wf(x, y) =  Z- —i- f^- j FQ- T-   / " sm sm - f.

D ł a plastycznoś ci idealnej tzn. y '- * oo wzory (6.7) i (6.8) mają postać H ) rp / =  lim tf n m -   ~ , /  =   ^ Fo,

(11)

OKREŚ LENIE UGIĘ Ć

547

(6.12) w„ =  limny -  Z Z

' — n- \  mmi

nnx . mny

Y

1

 V SViu 1 . nnx . mny

/  /   — T ^ sin sin

——-L T C2P* nm a b 7. Wyniki numeryczne i ich analiza

Ze wzglę du n a symetrię  szukane wielkoś ci ugię ć i prę dkoś ci ugię ć liczone są  w wę zł ach

ortogonalnej siatki jednej czwartej powierzchni pł yty, rys. 1. D o obliczeń num erycznych

przyję to stał e mechaniczne i geometryczne, tabl. 1, takie jak w [18,21].

Tablica 1, Stale materiał owe i geometryczne pł yty o- o [kG / cm2] 2376,38

e

kG s2 cm4 8,37 •  10- 6 2/ i [cm] 0,2489 a [cm] 7,62 b [cm] 12,859 V [s- 1 ] 50 200 10000

Wpływ sposobu spełnienia kryterium odcią ż enia

. Rozwią zanie problem u począ tkowo-

brze-gowego przy stał ych granicach procesu deformacji wedł ug pierwszego sposobu speł nienia

warunku odcią ż enia prowadzi w koń cowe

j fazie ruchu do wyznaczania pewn

ej powierz-chni rozdzielają cej obszary o dodatn ich i ujemnych prę dkoś ciach ugię cia. Z uwagi n

a przy-ję ty model materiał u ujemne prę dkoś ci są  fizycznie niemoż liwe. Z atem ten sposób m oże być

stosowany w przypadkach, jeż eli wszystkie pun kty pł yty zatrzymują  się  w wą

skim prze-dziale czasu. N a rysunkach 5 - 8 , 18 przedstawiono wykresy ugię ć, prę dkoś ci ugię ć ś rodka

pł yty i czasy zatrzym ania się  poszczególnych pun któw pł yty obliczone wedł ug pierwszego

i drugiego sposobu speł nienia kryterium odcią ż enia. W tablicy 2 p o d an o koń cow

e ugię cia

i czas deformacji ś rodka pł yty prostoką tn ej i pł

yty kwadratowej (9,898 x 9,898 cm) o rów-nym jej polu. Widać, że ugię cia prę dkoś ci i czasy zatrzym an ia się  poszczególnych pun któw

pł yty róż nią się  o kilka procent. P owierzchnia koń cowyc

h ugię ć wyzn aczon a stosownie do

drugiego sposobu speł nia kryterium m a bardziej wyrównany kształ t. Z astosowan e szeregi

są  szybkobież ne. Pierwszy wyraz jest decydują cy w okreś leniu prę dkoś ci ugię ć i ugię ć

trwał ych. Powoduje t o mał ą  róż nicę w wynikach uzyskanych przy zastosowan

iu obu spo-sobów speł nienia kryterium .

Wpływ kształtu impulsu. J a k wynika z wykresów zmiennoś ci am plitud prę dkoś ci ugię cia

w czasie, rys. (9—11) począ tkowy kształ t funkcji zależ ny jest od rodzaju obcią ż

enia, na-tom iast w fazie ruch u pł yty po zdję ciu obcią ż enia i przy obcią ż eniu idealn ym im pulsem

krzywe mają  ten sam charakter. P rzy obcią ż eniu prostoką tn ym im pulsem ciś n ien ia wykres

am plitud prę dkoś ci ugię cia, (rys. 9) i samych prę dkoś ci ugię ć w czasie (rys. 6) pun któw

pł yty jest rosną cy d o czasu zdję cia obcią ż enia. P u n kt t = t jest ostrzem n a wykresie,

(12)

pierwsza pochodna i krzywizna zmieniają  znak. D la obcią ż eni

a trójką

tnym impulsem ciś-nienia funkcje amplitudy prę dkoś ci ugię cia rosną  w czasie od zera osią gają c maksimum

przed koń ce

m dział ania obcią ż enia

, a nastę pnie maleją  do momentu osią gnię cia okreś lonej

wartoś ci ujemnej, (rys. 10). Moment zdję cia obcią ż enia

, t = x jest punktem przegię cia

[ c m ] 0,3 0,2 0,1 '[cm] 0.3 0,2 0,1 - i 1 r i i i i ylcml j i jjsek] d1  ' t , 400 [psek] 400 1,285 6/S9 0 1,285 y[cm] 3,858

6,429-Rys. 5. Koń cowe ugię cia i czas zatrzymania punktów pł yty poł oż onych na przekroju x =  a/ 2. Lima prze-rywana oznacza wartoś ci obliczone wg pierwszego sposobu speł nienia kryterium odcią ż enia a linia cią gł a

wg drugiego sposobu a) Obcią ż enie prostoką tnym impulsem F= 21,092 kG / cm2

, x =  200 ^S,, y =  200 s.- 1

b) Obcią ż enie prostoką tnym impulsem P =  21,092 kG / cm2

, r =  200 JJS„ y =  50 s.- 1

c) Obcią ż one trójką tnym impulsem P -  42,184 kG / cm2

 r =  200 ,08., y =  50 s."1

d) Obcią ż enie idealnym impulsem Vo — 15,24 m/ s., y — 50 s."

1 (m/ sek! 12 9 6 3 -t i 1 faza dziafania / obciqienia Jr / / " / Ą '! • 1 ! 1 1 1 V fazo ruchu po zdję-c i V fazo ruchu po zdję-ciu obV fazo ruchu po zdję-cią ż enia \ \  "\ \ \ \  -\  -\ \ \ T « 1  \ V 100 200 300 [jjsek!

Rys. 6. Z m ian a prę dkoś ci ugię cia ś rodka pł yty w czasie- . Obcią ż enie prostoką tnym impulsem P -=  21,092 kG / cm2

, T =  200 fis, y = 50 s"x

. Linia przerywana oznacza wartoś ci obliczone wg pierwszego sposobu speł nienia kryterium odcią ż enia, a linia cią gł a wg drugiego sposobu

(13)

[m/ sek) 15 12 9 6 3-w, ' ' i " faza działania obcią ż enia >»""

/ P=1i.O61kG/ crT

Kb

- s

2

K

! I I 1 f aza ruchu po zdję ci u -obcią ż enia

Y * * * * * *

V

P=2P*=19.85ikG/ ć rr>^

! ,\V

! ! i  \ t \ T, 100 T, 200 300 I jjsekl

Rys. 7. Zmiana prę dkoś ci ugię cia ś rodka pł yty w czasie. Obcią ż enie trójką tnymi impulsami P = 42,184; 19,854; 14,061 kG / cm2

. T =  200 p,s, y =  200 s~K Znaczenie linii jak n a rys. 6

m/ sekl •   1 5 12 S 6 3 . -_ _ ~T : 1 1 1 1

s \

V

\

\ \  r=200sek- ' \ \ \ \  T=50sekJ \ \ \ \ \  \ 100 2 0 0 [ jjsekl

Rys. 8. Zmiana prę dkoś ci ugię cia ś rodka pł yty w czasie. Obcią ż enie idealnym impulsem Vo =  15,24 m/

s. War-toś ci obliczono wg pierwszego sposobu speł nienia kryterium odcią ż enia

Tablica 2. Koń cowe ugię cia i czas deformacji ś rodka pł yty prostoką tnej i kwadratowej o równych polach

* Czas deformacji ś rodka pł yty

* Koń cowe ugię cia ś rodka pł yty

[cm]

Obcią ż enie prostoką tnym impulsem P =  21,092 kG / cm2 Pł yta prostoką tna 443 405 0,2814 0,2642 Pł yta kwadratowa 506 448 0,3604 0,3221

Obcią ż enie trójką tnym impulsem P = 14,061 kG / cm2 Pł yta prostoką tna 122 117 0,00503 0,00496 Pł yta kwadratowa 151 142 0,00876 0,00878

Obcią ż enie idealnym impulsem Va =  9,525 m/ s Pł yta prostoką tna 217 191 0,1143 0,10795 Pł yta kwadratowa 257 212 0,1311 0,1191 * Wielkoś ci nad linią  przerywaną  podane są  wg. pierwszego sposobu speł nienia kryterium odcią ż enia,

a wielkoś ci pod linią  przerywaną  wg. drugiego sposobu.

(14)

[m/ sek]

faza ruchu po zdję ciu obcią ż enia

[jjsek]

R ys. 9. Z miana amplitud A„m w czasie. Obcią ż enie prostoką tnym impulsem ciś nienia P =  21,092 kG / cm

2 , T = 200 fis m/sek) 15 12 9 6 3 0 A ' ' ' fazd dziafcnia obcią ż.  / " " N .

"A

i i r faza ruchu po zdję ciu obcią ż enia \  r=50sek"1  _ \ 100 200 300 (usekl !m/sekl 24 21 18 15 12 9 6 3 Anm \

^s.

 A

'

3 0 100

\  A„

\

\

\

i i i 200 T=200sek"1 •  r = 50sek'1  " _ " ^~T-  i t 300 łusek] Rys. 10. Z miana amplitud A„m

 w czasie. Ob-cią ż enie trójką tnym impulsem ciś nienia P = =  42,184 kG / cm2

, r =  200 ,us

Rys. 11. Zmiana amplitud Am

 w czasie. Ob-cią ż enie idealnym impulsem ciś nienia Po = =  15,24 m/ s

wykresu, nastę puje tu zmiana krzywizny. Charakter wykresu prę dkoś ci ugię cia (rys. 7)

jest podobny do wykresu amplitud, przy czym maksimum prę dkoś ci ugię cia wystę puje

w chwili zrównania się  bież ą ce

j wartoś ci obcią ż eni

a z obcią ż enie

m granicznym P*, (przy

brzegu pł yty mogą  pojawić się  niewielkie odchylenia od tej zasady).

Przy obcią ż eni

u idealnym impulsem wykres amplitud, (rys. 11) i samych prę dkoś ci ugię ć,

(rys. 8) jest w cał ym przedziale czasu maleją cy. Dla róż nych funkcji obcią ż eni

a otrzymuje

się  podobne wykresy koń cowyc

h ugię ć punktów lepkoplastycznej pł yty. Przy tej samej

wartoś ci impulsu wię kszą  wartość koń cowyc

h ugię ć uzyskuje się  dla impulsów, które

(15)

OKREŚ LENIE UG IĘĆ 551

mają wię kszą począ tkową wartość obcią ż enia (wię ksze ugię cia przy obcią ż aniu idealn ym impulsem, mniejsze dla obcią ż enia trójką tnego w czasie, a najmniejsze dla obcią ż en ia prostoką tn ym impulsem ciś nienia), (rys. 12). W przypadku koł owych pł yt z m ateriał u sztywnoplastycznego wpł yw kształ tu impulsu n a ugię cie koń cowe był  an alizowan y przez PERZYN Ę [24]. Stwierdzono niewielki wpł yw, maleją cy ze wzrostem stosun ku PmaxlP*.

0,025 -Ijjsek]

Rys. 12. Ugię cie ś rodka pł yty w czasie przy tej samej wielkoś ci impulsów (wg drugiego sposobu speł nie-nia kryterium odcią ż enia) y =  50 s."1

. Obcią ż enie idealnym impulsem Vo — 9,525 m / s; trójką tnym im-pulsem F= 39,686 kG / cm2

, T — 100 / xs i prostoką tnym impulsem P — 19,843 kG / cm2

, T =  100 <us. Wpł yw wielkoś ci impulsu. Z m ian a wartoś ci przył oż on ego obcią ż enia lub czasu dział ania m a decydują cy wpł yw na wielkość i kształ t powierzchni koń cowyc h ugięć oraz czas za-koń czenia ruchu pł yty. N iewielkie zwię kszenie wartoś ci obcią ż enia lub przedł uż en ie czasu dział ania powoduje duży wzrost ugięć i jednocześ nie wydł uż enie czasu ruch u pł yty (rys. 13,14). Przy wię kszych wartoś ciach impulsu kształ t powierzchni koń cowych ugięć jest mniej

faza ruchu po zdję ciu obcią ż enia =£2.18A kG/ cm2 2P*=,19.8S4 kG/ cm2 P = . U. 061 kG/ cm2 i i I t 300 [ jjsekl

Rys. 13. Ugię cie ś rodka_pł yty w czasie (wg drugiego sposobu speł nienia kryterium odcią ż enia). Obcią ż enie trójką tnymi impulsami  ? =  42,184; 19,854; 14,061 kG / cm2

, r =  200 fis. y =  200 s."1

(16)

cm] 2,5 2,0 1,5 1,0 1,5 w . -/ l i l i i / / Vo= 15,24 m/sek __ '*i Vo =9,525 m/sek T T 1 1 1 i —• -l t 100 200 300 400 500 600 lussk]

Rys. 14. U gię cie ś rodka pł yty w czasie (wg drugiego sposobu speł nienia kryterium odcią ż enia). Obcią ż enie idealnymi impulsami ciś nienia Vo — 65,368; 15,24; 9,525 m/ s. y — 50 s."1.

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 wf/ ws --  ^

i/

ł

I I I . VQ =9,525 m/sek ' / / h-  65,368 m/ sek I I I I -_ -y 1,285 3.B5B 6,429 [ c m ]

Rys. 15. Kształ t powierzchni koń cowych ugię ć pł yty (wg pierwszego sposobu speł nienia kryterium od-cią ż enia). Przekrój ś rodkowy x — 3,81 cm. Obcią ż enie idealnymi impulsami ciś nienia Vo = 65,368;

15,24; 9,525 m/ s. y = 200  s r1

.

ł agodny, a w punkcie ś rodkowy

m krzywizna ma wię kszą  wartoś ć, (rys. 15). Wystę pują ce,

przy mał ych wielkoś ciach impulsu, lokalne maksima powierzchni koń cowyc

h ugię

ć w oko-licach brzegu pł yty przy wię kszych jego wartoś ciach znikają  wraz z powię kszeniem ugię ć

punktu ś rodkowego. Specjalne znaczenie ma wielkość impulsu w przypadku pł yty obcią ż o

-nej trójką tnym impulsem ciś nienia. D la pł yty sztywnoplastycznej przy przył oż eni

u w chwili

t =  0 począ tkowego obcią ż eni

a 2P*, czas zatrzymania pł yty bę

dzie równy okresowi dzia-ł ania obcią ż enia

. Przy mniejszych współ czynnikach lepkoś ci dla zrównania tych czasów

potrzebna jest nieco wię ksza wartość począ tkowego obcią ż eni

a (stosują c drugi sposób

speł nienia kryterium odcią ż enia). Stwierdzono, że zwię kszenie wartoś ci impulsu nieznacznie

pogarsza zbież noś

ć szeregów ugię ć i prę dkoś ci ugię ć.

(17)

OKR E Ś LE N IE U G I Ę Ć

553

Wpływ lepkoś ci materiału. Zmniejszenie współ czynnika lepkoś ci m ateriał u y zmniejsza

ugię cia pł yty i skraca czas jej ruchu. Z ilustrowano to n a rys. 16 w ogólnym przypadku dla

obcią ż enia idealnym impulsem ciś nienia, a w przypadkach szczególnych n a (rys. 5, 17, 18.)

D la wię kszych współ czynników lepkoś ci, a szczególnie dla pł

yty sztywnoplastycznej po-wierzchnia odkształ cona może mieć nieco inny kształ t (zamiast jedn ego m aksim um w ś

rod-ku pł yty pojawiają  się  dwa lub cztery maksima lokalne w pobliżu jej brzegów), rys. 18.

Wpł yw lepkoś ci na wielkość amplitud i prę dkość ugię cia pun ktu ś rodkowego po kazan o

n a (rys. 8, 9, 11). Szeregi ugię ć stają  się  wolniej zbież ne dla wię kszych współ czynników

lepkoś ci.

~i 1 : 1 1 r rozwią zanie dlcnr = oo

Rys. 16. Wpływ lepkoś ci materiał u na zmniejszenie czasu deformacji i koń cowyc

h ugię ć pł

yty (wg. dru-giego sposobu speł nienia kryterium odcią ż enia). Obcią ż enie idealnym impulsem ciś nienia.

trójką tn

y impuls

P=i2,184k6/ crn

2

100 200 300

[ jjsek]

Rys. 17. Ugię cie ś rodka pł yty w czasie (wg drugiego sposobu speł nienia kryterium odcią ż enia) dla y — 50

i 200 s-

1

(18)

Wyniki zamieszczone w tabl. 2 dla ptyt o jednakowym polu prostoką tnej i kwadratowej

wskazują  na duży wpływ wzajemnych proporcji wymiarów liniowych pł yty na wielkość

koń cowyc

h ugię ć. Również porównanie z pł ytą  utwierdzoną  [21], chociaż wykraczają ce

poza mał e ugię

cia, wskazuje na duży wpływ warunków brzegowych na wielkość prze-mieszczeń. ,

x = 3,81 cm przekrój x-  1,27 cm [cm] 0,3 0,2 0,1 0 I I I I I I w f y =10000sek"1

-

 ^ć —

I/ / f \200sek*

1

 -1/  "- ClsOsek"

1 Ą i 1 1 1 1 - i - 1 1 1 Vf T-10000sek"1 -I / 200sek'' r 1 1 1 1 1 0 1,285 3,858 = 6/29 cm [jjsek] 800 500 400 200 0 6,429 0 1,285 ylcm] przekrój 3,858 y= 1,285cm. 6,429 Scml 0,3 0.2 0,1 1 1 1 1 1 1 Wf - lOOOOsek'1  ^~^ Y / / \ 1 =200sek~1 /A/50~sek-i f I I I I IX I I I I I tf / ^ v T =10000sel<1 / ^ć Ź ^- O?\ 200 sek"1

j/ ^^^^Z^- -  SOsek'

1

-V\  " •  |  |  |x 1,27 3,81 [cm ] 0 1,27 3,81 [cm] [psek] 800 600 400 200 0

Rys. 18. Koń cowe ugię cia i czas zatrzymania punktów piyty (wg pierwszego sposobu speł nienia kryterium odcią ż enia dla y — 50, 200 i 10000 s"1

. Obcią ż enie idealnym impulsem ciś nienia Vo =  15,24 m/ s. Linia cią gł a oznacza ugię cia a przerywana czas zatrzymania

Literatura cytowana w tekś cie

1. A. J. WAN G , H . G . H OP KIN S, On the plastic deformation on built in circular plate under impulsive loading, J. M ech. Phys. Solids, 3, 22—37 (1954).

2. H . G . H OP KIN S, W. PRAG ER, On the dynamics of plastic circular plates, J. Mech.. Phys. Solids, 5, 317— 330 (1954).

3. A. J. WAN G , The permanent deflection of a plastic plate under blast loading, J. Appl. Mech., 22,375—376 (1955).

4. T. A. D U F F Y, S. W. K E Y, Experimental- theoretical correlation of impulsively loaded clamped circular plate, E xp. M ech., 9, 6, 241—249 (1969).

5. E . A. WITM ER, E . N . CLARK, H . A. BALMER, Experimental and theoretical studies of explosively in-duced large dynamic and permanent deformations of simple structures, Exp. Mech., 7, 2, 56—66 (1967).

(19)

OKREŚ LENIE UGIĘĆ 555 6. A. L. FLORENCE, Circular plate under a uniformly distributed impulse. Int. J. Solids Structures, 1 2 37__47, (1966). 7. N . JONES, Finite deflections ofrigid viscoplastic strainhardening annular plate loaded impulsively, J. Appl. Mech., 35, 2, 349—356 (1968). 8. T. WIERZBICKI, A. FLORENCE, A theoretical and experimental investigation of impulsively loaded clumped circular viscoplastic plates, Int. J. Solids Structures, 6, 553—558 (1970). 9. T. WIERZBICKI, Impulsive loading of rigid viscoplastic plates, Int. J. Solids Structures, 3, 635 647 (1967). 10. T. WIERZBICKI, Dynamics of rigid—viscoplastic circular plates, Arch. Mech. 17, 851 (1965).

11. T. WIERZBICKI, L arge deflections of a strain sensitive plate loaded impulsively, Arch. M ech. Stos., 21, 1, 67—69 (1969).

12. T. WIERZBICKI, J. M . KELLY, Finite deflection of a circular viscoplastic plate subject to projectile impact, Int. J. Solids Structures, 4, 1081—1092 (1968).

13. Ju. R. LEPIK, Dynamika koł owych i pierś cieniowych pł yt z materiał u sztywno- plastycznego wraż liwego na prę dkoś ć odkształ cenia, Prikł adna Miechanika, 5, 1, 60—66 (1969).

14. N . PERRONE, Impulsively loaded strain- rate sensitive plates, J. Appl. Mech., 34, 2, 380 384 (1967). 15. T. WIERZBICKI, Dynamika powł ok lepkoplastycznych, Rozpr. I n ż. 19, 4, 667—730 (1971).

16. A. D . Cox, L. W. MORLAN D, Dynamic plastic deformation of simply supported square plates, J. M ech. Phys. Solids, 7, 229—241 (1959).

17. T. WIERZBICKI, Response of rigid- viscoplastic circular and square plates to dynamie loading, Stanford U niversity, D iv. Eng. Mech., Report N o. 162 (1966).

18. N . JONES, T. O. U RAN , S. A. TEKIN , The dynamic plastic behaviour of fully clamped rectangular plates, MIT, D ep. N aval Architecture Marine Eng., Report N o . 69—13.

19. N . JONES, A theoretical study of the dynamic plastic behaviour of beams and plates with finite deflections, MIT, D ep. N aval Architecture M arine, Eng. Report N o. 70—14.

20. G . BĄ K, D . NIEPOSTYN — Pł yty plastyczne obcią ż one statycznie i dynamicznie, Biul. WAT, 5 (1972). 21. W. WOJEWÓDZKI, T. WIERZBICKI, Transient response of viscoplastic rectangular plates, Arch. M ech. Stos., 24, 4 (1972). 22. T. WIERZBICKI, Non — associated constitutive law in viscoplasticity with application to dynamics of plates and shells, Acta Mechanika, 12,1—2 (1971). 23. T. WIERZBICKI, An approximate linear theory of thin viscoplastic shells, Arch. M ech. Stos., 24, 5—6 (1972). 24. P . PERZYNA, Dynamic load—carrying capacity of circular plates, Arch. Mech. Stos. 10, 5 (1958). P e 3 10 M. e

OnPEflEJIEIiH E nPOrH EOB B^SKOnJIACTH ^ECKOH

nJIACTH H KH  H ATPyKEH H OK flEflCTBH EM HMnYJIBCA JJABJIEHUS

B crraTBe npHBOflilTCH  pein em ie ypaBH emw jrBHWcemiK BH3KonnacTH*£ecKoft npHMoyrojiBHoft n jia-CTMHKiit c HiapHMpHo onepTbiMH  KpaHMK H  Harpy>KeHHoii paBHOMepHO pacnpefleneH H biM n o n e p e t n a iM HMnyjiBCOM flaBJiemui. PacciwoTpeno o 6m n « cjiyqaft H arpjoKemm flaBJie- H H eM B3pH BH oro TH na3 a  i a K »e ocoGeHHbie aiyqaH  KaK H arpywem ie npaM oyrontH biM j TpexyronbKbut vs. HfleajiLHbiM. iiMiryjibCOM flasjie-H j TpexyronbKbut vs. HfleajiLHbiM. iiMiryjibCOM flasjie-H j TpexyronbKbut vs. HfleajiLHbiM. iiMiryjibCOM flasjie-H . OdaTOTObie n porn Bbi onpeflenej TpexyronbKbut vs. HfleajiLHbiM. iiMiryjibCOM flasjie-H O npj TpexyronbKbut vs. HfleajiLHbiM. iiMiryjibCOM flasjie-HMej TpexyronbKbut vs. HfleajiLHbiM. iiMiryjibCOM flasjie-Hj TpexyronbKbut vs. HfleajiLHbiM. iiMiryjibCOM flasjie-Hj TpexyronbKbut vs. HfleajiLHbiM. iiMiryjibCOM flasjie-H  flBa cn o co St i iicn ojn iein ia ycnoBirił  pa3rpy3Kii. H ccnefloBaiio BnHHHiie B33K0CTH  MaTepnajia3 BJniHHHe (bopMH  u BejiiPiHin>i HMnyjibca flaBJienan Ha p a

3-Bjm ie n poiiecca fleiJjopMH poBaH MH  H  BejiHl

fflHy ocxaTO^nibix n p o r n 6o B. JJoiryyeHO TaioKe peuieinKe wecTKO- nnacTinecKofi nnacTHHKHj H Bjtaiomeeca pe3yjiBTaTow npeflejiBH oro nepexoAa B peineH iisix

(20)

S u m m a r y

D E TE R M I N ATI ON  OF  D EF LECTION S OF  A VISCOPLASTIC RECTAN G U LAR PLATE U N D ER PRESSU RE IMPU LSE

The solution of the motion equation for a viscoplastic plate is presented. The plate is hinge- supported on all edges and subjected t o a uniformly distributed transverse impulse. The general case of the blast type pressure is considered together with such particular cases as the rectangular, triangular and perfect impulse. The final deflections are determined by using two ways of satisfying the unloading criterion. The influence of viscosity of the material as well as of the shape and the magnitude of the applied impulse on the process of deformation and on the permanent deflections is investigated. The solution for a perfectly plastic plate is .also obtained as a limiting case of the viscoplastic solution. POLITECHNIKA WARSZAWSKA

IN ST. MECH . KONSTRUKCJI INŻ YNIERSKICH

Cytaty

Powiązane dokumenty

W pierwszej symulacji rozważano dwie formy drgań, pozostałe trzy formy rozważano jako formy szczątkowe. Ponieważ funkcje dostosowania dla poszu- kiwanych lokalizacji

Przedmiotem badań teoretycznych jest płyta prostokątna ściskana w płaszczyźnie obciążeniem dynamicznym, które wywołuje zmienne w czasie i przestrzeni pole

utworzono Unię Europejską. W 2007 roku do Unii Europejskiej przystąpiły: Bułgaria i Turcja. Od 2007 roku euro, jako waluta, obowiązuje w Słowenii. Do Unii Europejskiej

17 Autor do korespondencji/corresponding author: Tomasz Trzepieciński, Rzeszow University of Technology, 12 Powstańców War- szawy Ave., 35-959 Rzeszów, tel.: (17) 865

Upewnić się, że włącznik elektromagnesu [4] ustawiony jest w pozycji „0” a napięcie i natężenie na zasilaczu [1] (regulowane potencjometrami) są ustawione na minimum

Skutkiem precesji Ziemi jest przesuwanie się gwiazd wzdłuż ekliptyki (pozornej drogi rocznego ruchu Słońca) z prędkością niemal jednego stopnia na 72 lata.. Jednocześnie

Obie połączone zaczną się poruszać z prędkością tyle razy mniejszą od prędkości badanego ciała, ile razy jego masa jest mniejsza od masy większego ciała (wynika to z

Dokładniejsza teoria dyfrakcji światła, nie opierająca się na zasadzie Huygensa- Fresnela, polega na bezpośrednim rozwiązaniu równań Maxwella z warunkami brzegowymi