STATECZNOŚĆ PŁYTY PROSTOKĄTNEJ POD OBCIĄŻENIEM DYNAMICZNYM W POLU MAGNETYCZNYM
Piotr Kędzia
1a, Krzysztof Magnucki
1b1Instytut Mechaniki Stosowanej, Politechnika Poznańska
apiotr.kedzia@put.poznan.pl, bkrzysztof.magnucki@put.poznan.pl
Streszczenie
Przedmiotem badań teoretycznych jest płyta prostokątna ściskana w płaszczyźnie obciążeniem dynamicznym, które wywołuje zmienne w czasie i przestrzeni pole magnetyczne. Sformułowano model analityczny płyty z uwzględnieniem nieliniowych związków geometrycznych, a następnie wyznaczono energię kinetyczną, energię od- kształcenia sprężystego oraz pracę obciążenia. Równanie ruchu wyprowadzono na podstawie zasady Hamiltona.
Wyznaczono stany krytyczny i zakrytyczny płyty pod obciążeniem statycznym. Następnie równanie ruchu rozwią- zano numerycznie metodą Rungego-Kutty i wyznaczono dynamiczne ścieżki równowagi dla przykładowej płyty.
Słowa kluczowe: dynamika, równanie ruchu, stateczność, ścieżki równowagi
STABILITY OF A RECTANGULAR PLATE UNDER DYNAMIC LOAD GENERATED BY MAGNETIC FIELD
Summary
The subject of the theoretical study is a rectangular plate under dynamic in-plane compression load generated by magnetic field. The analytical model of the plate with consideration of nonlinear geometrical relations is formu- lated, inclusive of the kinetic energy, elastic strain energy and the work of the load. The equation of motion is de- rived based on the Hamilton’s principle. The critical and post-critical states of the plate are described for the stat- ic load. The equation of motion is numerical solved with the use of the Runge-Kutta method and dynamic equilib- rium paths for the example plate are determined.
Keywords: dynamics, equation of motion, stability, equilibrium paths
1. WSTĘP
Zagadnienia stateczności konstrukcji były dostrzega- ne już w dziewiętnastym wieku. Intensywny rozwój tych badań jest zauważalny w połowie dwudziestego wieku i dotyczy przede wszystkim konstrukcji cienkościennych, w tym samolotów i sputników. Doyle [6] przedstawił modele matematyczne konstrukcji cienkościennych oraz zagadnienia ich statyki, stateczności i dynamiki. Opra- cowanie monograficzne w języku polskim problemów stateczności konstrukcji pod obciążeniami dynamicznymi przedstawił Gryboś [7]. Obszerny przegląd zagadnień wytrzymałości, stateczności i dynamiki płyt i powłok zamieszczono w monografii pod redakcją Woźniaka [16].
Simitses i Hodges [12] szczegółowo opisali stateczność belek i ram pod obciążeniami statycznymi i dynamicz-
nymi. Cui i inni [2] badali numerycznie stateczność płyt prostokątnych poddanych obciążeniom impulsowym. Wu i Shih [17] przedstawili wyniki badań teoretycznych stateczności dynamicznej płyt prostokątnych. Kubiak [9]
analizował wyboczenie płyty kompozytowej o zmiennych właściwościach pod obciążeniem dynamicznym. Yeh i Chen [18] opisali stateczność dynamiczną ortotropowej prostokątnej płyty sandwiczowej z rdzeniem wypełnio- nym cieczą reologiczną. Wang i Lee [14] przedstawili stateczność dynamiczną płyty ferromagnetycznej pod działaniem pola magnetycznego powodującego jej okre- sowe ściskanie w płaszczyźnie. Dey i Singha [4] przed- stawili analizę stateczności dynamicznej płyty kompozy- towej pod ściskającym obciążeniem periodycznym.
Magnucka-Blandzi [11] badała teoretycznie drgania i stateczność płyt porowatych obciążonych dynamicznie.
Dębowski i inni [5] opisali problem stateczności dyna- micznej płyty prostokątnej o strukturze porowatej i zmiennych właściwościach mechanicznych. Chen i inni [1] przedstawili stateczność i drgania parametryczne płyt kompozytowych.
Przedmiotem badań jest kompozytowa płyta prosto- kątna poddana ściskaniu jednokierunkowemu w płasz- czyźnie (rys.1). Płyta na obu końcach (x=0, x=a) posia- da kanały, w których znajduje się płyn ferromagnetycz- ny, na który działa pole magnetyczne generowane przez elektromagnesy przedstawione przez Kędzię [8]. Pole to jest zmienne w czasie i w przestrzeni zgodnie z prawem Biota-Savarta. Zmiana wartości pola magnetycznego w czasie wywoływana jest przez zmianę prądu zasilają- cego układ cewek. Przedstawiony problem wskazuje na sposób wywołania obciążenia zmiennego w czasie.
W literaturze przede wszystkim prezentowane są zagad- nienia stateczności płyt bez wskazania przyczyny wywo- łującej obciążenie.
System wytwarzający zmienne w czasie i przestrzeni pole magnetyczne zbudowany jest z dwóch podzespołów:
cewek jednorodnego pola magnetycznego (MC) i cewek gradientów poprzecznych (GC). Dla stałego prądu zasilania pierwszy z nich wywołuje jednorodne w prze- strzeni pole magnetyczne (przestrzeń robocza elektroma- gnesu). Zadaniem drugiego jest wytwarzanie pola ma- gnetycznego zmieniającego się liniowo tylko w jednym kierunku.
Rys. 1. Schemat kompozytowej płyty prostokątnej.
Schemat rozmieszczenia cewek MC oraz GC został przedstawiony na rys. 2. Cewki oznaczono schematyczne w postaci pętli wykonanych z drutu miedzianego.
Rys.2. Schemat rozmieszczenia cewek MC oraz GC.
Wytwarzane pole magnetyczne indukuje siłę Kelvina oddziałującą na płyn ferromagnetyczny. Ten z kolei przenosi na płytę obciążenie rozłożone równomiernie o intensywności Nox. Ściskanie jest osiągnięte dzięki zmianie kierunku przepływu prądu w cewkach MC na jednym z końców płyty. Wektor natężenia pola magne- tycznego H dla jednego z końców płyty ma postać
[ ]
. .,
, 0 ,
1 , 1 , 0
1 , 0 1 ,
const h
h
const h
x h h z h
z x x z z
x z z z x
=
=
=
⋅ +
⋅ H=
,
(1)Górne indeksy wskazują, że element składowej wek- tora natężenia pola magnetycznego (1) pochodzi od cewki MC (indeks 0) oraz od cewki gradientowej GC (indeks 1).
Badania są kontynuacją pracy przedstawionej przez Kędzię [8].
2. MODEL ANALITYCZNY PŁYTY
Model analityczny płyty sformułowano z uwzględ- nieniem klasycznej hipotezy Kirchhoffa-Love’a opisanej na przykład przez Ventsel i Krauthammer [15].
Przemieszczenia dowolnego punktu płyty pokazano na rys.3.
Rys.3. Schemat przemieszczeń w płaszczyźnie xz Przemieszczenia w kierunkach osi x i y zapisano
( )
x z w z y x
u ∂
− ∂ , =
,
, ( )
y z w z y x
v ∂
− ∂ , =
,
,
(2)gdzie w
(
x,y)
- ugięcie płyty.Odkształcenia – związki geometrycznie nieliniowe:
2 2
2 2
2 1 2
1
∂ + ∂
∂
− ∂
=
∂ + ∂
∂
=∂
x w x
w z x w x
u εx
,
(3)2 2
2 1
1
∂
∂ +
−
=
∂
∂ +
= w w
z w
ε v (4)
y w x w y x
w z y w x w x v y u
xy ∂
∂
∂ +∂
∂
∂
− ∂
=
∂
∂
∂ +∂
∂ +∂
∂
= ∂
2
2
γ
.
(5)Energia odkształcenia sprężystego płyty, z uwzględnie- niem liniowych związków fizycznych - prawa Hooke’a, oraz nieliniowych związków geometrycznych jest postaci
( ) ( )
w t( )
w dxdyU Et
a b
s
s
∫∫
Φ + Φ
= −
0 0
2 2 2 1
3 3
1 24 ν
ε
,
(6)gdzie: νE, - stałe materiałowe, ts - grubość płyty,
( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 21
∂
∂
− ∂
+
∂ + ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂
= ∂ Φ
y x
w x
w y
w x
w x
w
w ν ν ,
( )
42 2 4
2 2
∂ + ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂
= ∂ Φ
x w y
w x w x
w
w .
Energia kinetyczna płyty
t dxdy t w
T
a b s s
k =
∫ ∫
∂∂ 0 0 2
2 1
ρ
,
(7)gdzie ρs - gęstość materiału, t - czas.
Praca obciążenia
x dxdy N w
W
a b ox
∫∫
∂∂ =
0 0 2
2 1
,
(8)gdzie Nox - intensywność obciążenia.
Korzystając z zasady Hamiltona
( )
[ ]
02
1
=
−
∫
T −U W dtt
t
k ε
δ
,
(9)wyznaczono równanie ruchu
(
1) ( ) 0
2 2
2 2 3
4 2 2
=
∂ + ∂ Φ
−
−
∇ +
∂
∂
x w N w Et
w D t
w
t o
x s
s s
ν
ρ
,
(10)gdzie:
(
2)
3
1 12 ν
−
= s
Et
D - sztywność zginania płyty,
( )
w 31( )
w 32( )
w 33( )
w3 =Φ +Φ +Φ
Φ ,
( )
22 2 2
31 3
x w y w x w w
∂
∂
∂ + ∂
∂
= ∂
Φ ,
( )
y x
w y w x w w
∂
∂
∂
∂
∂
∂
= ∂ Φ
2
32 4 ,
( )
22 2 2
33 3
y w y
w x
w w
∂
∂
∂ + ∂
∂
= ∂
Φ .
Intensywność Nxo obciążenia wyrażona jest za po- mocą siły Kelvina (składowej x) oddziałującej na jed- nostkę objętości płynu ferromagnetycznego:
( )
( ) ( )x
s
s x m x s o x
H t
t t
N
0 2 2
2 0 2
2 1
1 + ∇
⋅
=
∇
⋅
=
⋅
=
χ χ µ
µ M H
f
,
(11)z wektorem magnetyzacji M=χH i podatnością ma- gnetyczną χ
.
Zastosowanie cewek przedstawionych na rys. 2. po- zwala uzyskać stałą wartość intensywności Nxo wzdłuż całej krawędzi płyty dla x=0 i x=a.
3. OBCIĄŻENIE STATYCZNE
Równanie równowagi płyty przy obciążeniu statycz- nym wynika z równania ruchu (10). Pomijając przyspie- szenie, zapisano
(
1) ( ) 0
2 2
2 2 3
4 =
∂ + ∂ Φ
−
−
∇
x N w w Et
w
D o
x s
ν
.
(12) Ugięcie płyty - postać wyboczenia przyjęto następującą( )
1 1
sin sin
, b
y a w x y x
w a π π
=
,
(13)gdzie m
a a1= ,
n
b =1 b, m,n - liczby naturalne.
Podstawiając tą funkcję do równania (12), a następ- nie korzystając z metody Galerkina, po prostych prze- kształceniach i uwzględnieniu odpowiedniej proporcji długości do szerokości płyty (a/b=m, n=1), przy której występuje minimum obciążenia krytycznego, zapisano następująco statyczną ścieżkę równowagi
2
, 8
1 15
~
+
=
=
s a o
CR x
o x o
x t
w N
N
N
,
(14)gdzie
( )
23 2 2 0
, 31 b
E t
NxCR s
ν π
−
= jest klasycznym wyrażeniem na intensywność obciążenia krytycznego. Statyczną ścieżkę równowagi przedstawiono na rys. 4. Stan kry- tyczny dla płyty prostokątnej przedstawił G.H. Bryan już w 1891roku i wyznaczył obciążenie krytyczne N0x,CR. Statyczna ścieżka równowagi dla płyty idealnie płaskiej ma początek w punkcie krytycznym.
-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 wa
ts
=wa
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 N
x= Nxo
Nx,CRo
Rys.4. Statyczna ścieżka równowagi płyty prostokątnej
4. OBCIĄŻENIE DYNAMICZNE
Równanie ruchu (10) sprowadzono do równania róż- niczkowego zwyczajnego drugiego rzędu, przyjmując ugięcie płyty postaci (13) oraz stosując metodę Galerki- na, przy czym strzałka ugięcia jest teraz funkcją czasu
( )
twa . Po prostych przekształceniach zapisano
[
1 ~( ) ]~ ( )
158 ~ ( )
0
~
3 2
2 =
− +
+k N t w t w t
dt w d
a a
o x N a
,
(15)gdzie:
( ) ( )
s a
a t
t w t
w~ = - bezwymiarowa strzałka ugięcia,
( ) ( )
o CR x
o x o x
N t N t N
,
~ = - bezwymiarowa dynamiczna intensywność
obciążenia, 2
1 , 2
a t N k
s s
o CR x N
ρ π
= - parametr równania.
Równanie (15) rozwiązano numerycznie metodą Rungego-Kutty z automatycznym doborem długości kroku całkowania dla następujących przykładowych danych:
Parametry płyty (tworzywo PE) przyjęto za Maćko [10]:
. 952 ,
41 . 0 , 10 07 . 1
, 4 , 300 , 3
3 2
3
m kg mm
E N
mm t mm b
b a
s s
=
=
⋅
=
=
=
=
ρ ν
Parametry cewek i płynu ferromagnetycznego przyjęto na podstawie pracy Stręk [13]:
. 800 ,
80000
, 10 6 , 10 4
, 2
2 7
0
m h A
m h A
m A
s V
x z
z= =
⋅
=
⋅
⋅ ⋅
= π − χ −
µ
Zastosowano obciążenie zmienne
( )
=
0
1 2
sin T
t N
t
N o
x
π
oraz
( )
=
0
2 2 2
sin T
t N
t
N o
x
π .
Otrzymano wykresy ugięcia w zależności od obciąże- nia (rys. 5. oraz rys. 6). Należy zauważyć, że statyczna ścieżka równowagi w tym przypadku jest obrócona w porównaniu z rys. 4. z uwagi na współrzędną czasu.
10 20 30 40 50 60
Nxo Nx,CRo 1
2 3 4 5 6 wa
Rys.5. Bezwymiarowe ugięcie płyty w~a w zależności od N~ ox
dla obciążenia
( )
=
0
1 2
sin T
t N
t
N o
x
π .
10 20 30 40 50 60
Nx o Nx,CRo 1
2 3 4 5 wa
Rys.6. Bezwymiarowe ugięcie płyty w~a w zależności od N~ ox
dla obciążenia
( )
=
0
2 2 2
sin T
t N
t
N o
x
π .
5. ZAKOŃCZENIE
W pracy przedstawiono model analityczny płyty prostokątnej zakończonej kanałami wypełnionymi pły- nem ferromagnetycznym. Płyta została poddana ściska- niu jednokierunkowemu w płaszczyźnie xy.
Obciążenie o stałej intensywności Nxo zostało uzy- skane dzięki odpowiedniej geometrii cewek wytwarzają- cych zmienne w przestrzeni pole magnetyczne.
Zmienne w czasie obciążenie ściskające płyty zostało uzyskane za pomocą zmiany wartości prądu przepływa- jącego przez cewki jednorodnego pola magnetycznego.
Dwa rodzaje zmiennego obciążenia zostały zaimplemen- towane w celu wyznaczenia dynamicznego ugięcia płyty.
Dynamiczne ścieżki równowagi dla badanej płyty wyznaczono na podstawie równania ruchu, które rozwią- zano metodą Rungego-Kutty.
Prezentowane wyniki badań, zrealizowane w ramach zadania badawczego nr 02/21/DSPB/3452, zostały sfinansowane z dotacji na naukę przyznanej przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego.
The presented research results, executed under the subject of No 02/21/DSPB/3452, were funded with grants for education allocated by the Ministry of Science and Higher Education.
Literatura
1. Chen W-R., Chen C-S., Shyu J-H.: Stability of parametric vibration of laminated composite plates. “Applied Mathemtaics and Computation” 2013, Vol. 223, p. 127-138.
2. Cui S., Hao H., Cheong H.K.: Numerical analysis of dynamic buckling of rectangular plates subjected to inter- mediate-velocity impact. “International Journal of Impact Engineering” 2001, Vol. 25, p. 147-167.
3. Czechowski L., Kowal- Michalska K.: Static and dynamic buckling of rectangular functionally graded plates subjected to thermal loading. "Strength of Materials" 2013, Vol. 45, no.6, p. 666-673.
4. Dey P., Singha M.K.: Dynamic stability analysis of composite skew plates subjected to periodic in-plane load.
“Thin-Walled Structures” 2006, Vol.44, p. 937-942.
5. Dębowski D., Magnucki K., Malinowski M.: Dynamic stability of a metal foam rectangular plate. „Steel and Composite Structures” 2010, Vol.10, No.2, p. 151-168.
6. Doyle J.F.: Nonlinear analysis of thin-walled structures. Statics, dynamics, and stability. New York, Berlin, Heidelberg, Hong Kong, London, Paris, Singapore, Tokyo: Springer, 2001.
7. Gryboś R.: Stateczność konstrukcji pod obciążeniem dynamicznym. Warszawa-Poznań: PWN, 1980.
8. Kędzia P.: Non-newtonian ferrofluid flow in ducts of selected cross sections. Referat Conf. WCAM China 2014.
9. Kubiak T.: Dynamic buckling of thin-walled composite plates with varying widthwise material properties. “In- ternational Journal of Solids and Structures” 2005, Vol. 42, p. 5555 - 5567.
10. Macko M.: Metoda doboru rozdrabniaczy do materiałów nie-kruchych, Inż. Ap. Chem. 2010, 49, 5, s. 75-76.
11. Magnucka-Blandzi E.: Vibrations and dynamic stability of cellular plate. Intl Conf. on Numerical Analysis and Applied Mathematics. Simons T.E. et al. (Eds.), Greece, 2008, Vol.1048, p.372 - 375.
12. Simitses G.J., Hodges D.H.: Fundamentals of structural stability. Butterworth-Heinemann, Elsevier Inc. 2006.
13. Stręk T.: Analiza wymiany ciepła w płynie ferromagnetycznym z wykorzystaniem metody elementów skończo- nych. Rozprawy. Poznań: Pol. Poznańska, 2008.
14. Wang X., Lee J.S.: Dynamic stability of ferromagnetic plate under transverse magnetic field and in-plane period- ic compression. “International Journal of Mechanical Science” 2006, Vol. 48, p. 889 - 898.
15. Ventsel E., Krauthammer T.: Thin plates and shells: theory, analysis, and applications. New York, Basel: Mar- cel Dekker, Inc. 2001.
16. Woźniak C. (Red.): Mechanika techniczna. Mechanika sprężystych płyt i powłok. T.VIII, Warszawa: Wyd.
Nauk. PWN, 2001.
17. Wu G-Y., Shih Y-S.: Dynamic instability of rectangular plate with an edge crack. “Computers and Structures”
2005, Vol. 84, p. 1-10.
18. Yeh J-Y., Chen L-W.: Dynamic stability analysis of a rectangular orthotropic sandwich plate with an electro- rheological fluid core. “Composite Structures” 2006, Vol. 72, p. 33 - 41.
