4
Równania różniczkowe w postaci Leibniza,
równania różniczkowe zupełne
4.1
Równania różniczkowe w postaci Leibniza
Załóżmy, że P : D → R i Q : D → R są funkcjami ciągłymi określonymi na obszarze D ⊂ R2. Wyrażenie
(RL) P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0. nazywamy równaniem różniczkowym w postaci Leibniza1.
Punkt (x0, y0) ∈ D jest punktem regularnym (dla równania (RL)) gdy
|P (x0, y0)| + |Q(x0, y0)| 6= 0. W przeciwnym przypadku punkt nazywamy
punktem osobliwym.
Niech (x0, y0) ∈ D będzie punktem regularnym dla równania (RL).
Wów-czas Q(x0, y0) 6= 0 lub P (x0, y0) 6= 0. W pierwszym przypadku istnieje
oto-czenie U ⊂ D punktu (x0, y0) takie, że dla każdego (x, y) ∈ U zachodzi
Q(x, y) 6= 0. Na takim U można równanie (RL) zapisać formalnie jako dy
dx = −
P (x, y) Q(x, y).
W drugim przypadku istnieje otoczenie U ⊂ D punktu (x0, y0) takie, że dla
każdego (x, y) ∈ U zachodzi P (x, y) 6= 0. Na takim U można równanie (RL) zapisać formalnie jako
dx dy = −
Q(x, y) P (x, y).
Odtąd zakładamy, że wszystkie punkty obszaru D są regularne.
Przez krzywą regularną klasy C1 będziemy rozumieli odwzorowanie γ = (ξ, η) : I → D takie, że dla każdego s ∈ I zachodzi |ξ0(s)| + |η0(s)| > 0.
Definicja. Krzywą regularną γ : I → D klasy C1nazywamy rozwiązaniem
równania różniczkowego (RL) w postaci parametrycznej, gdy dla każdego s ∈ I zachodzi
(4.1) P (ξ(s), η(s))dξ
ds(s) + Q(ξ(s), η(s)) dη
ds(s) = 0.
1(RL) traktujemy jako formalny zapis, nie zastanawiając się za bardzo nad jego
znacze-niem. W rzeczywistości, można mu nadać sens w teorii form różniczkowych (przystępnym wprowadzeniem do tej teorii jest książka M. Spivaka Analiza na rozmaitościach, PWN, Warszawa 1977).
Aby uzasadnić nazwę „rozwiązanie”, załóżmy, że s0 ∈ I jest takie, że Q(ξ(s0), η(s0)) 6= 0. Oznaczmy (x0, y0) := (ξ(s0), η(s0)). Zachodzi dη ds(s0) dξ ds(s0) = −P (x0, y0) Q(x0, y0) .
Istnieje więc δ > 0 takie, że funkcja [ (s0 − δ, s0 + δ) 3 s 7→ ξ(s) ] jest
różnowartościowa, i funkcja do niej odwrotna (oznaczmy ją przez s(ξ)) jest klasy C1. Dalej, istnieją x
1 < x0 < x2 takie, że funkcja złożona ξ 7→ η(s(ξ))
jest dobrze określona na (x1, x2)2, oraz
dη dξ(ξ) = dη ds(s(ξ)) dξ ds(s(ξ)) = −P (ξ, η(s(ξ)) Q(ξ, η(s(ξ))
dla ξ ∈ (x1, x2). Powyższa funkcja złożona jest zatem rozwiązaniem równania
różniczkowego
dy dx = −
P (x, y) Q(x, y).
W szczególności, zbiór { γ(s) : s ∈ (s0 − δ, s0 + δ) } jest krzywą całkową
powyższego równania.
W przypadku, gdy P (ξ(s0), η(s0)) 6= 0, w analogiczny sposób
konstruuje-my funkcję złożoną η 7→ ξ(s(η)) będącą rozwiązaniem równania różniczko-wego
dx dy = −
Q(x, y) P (x, y).
Zauważmy jeszcze, że bezpośrednio ze wzoru (4.1) wynika, że krzywa regu-larna γ klasy C1 jest rozwiązaniem równania (RL) w postaci parametrycznej
wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego s ∈ I wektor styczny (ξ0(s), η0(s)) jest prostopadły do wektora (P (ξ(s), η(s)), Q(ξ(s), η(s))).
Krzywe regularne γ1: I1 → D, γ2: I2 → D klasy C1 możemy nazwać
równoważnymi, gdy istnieje odwzorowanie I1 3 s1 7→ σ(s1) ∈ I2,
różnowar-tościowe i „na”, takie że σ0(s1) > 0 dla każdego s1 ∈ I1 oraz γ1 = γ2 ◦ σ.
Wówczas „krzywa regularna klasy C1” to klasa równoważności takich
odwzo-rowań, zaś krzywe regularne klasy C1 w naszym rozumieniu to „parametry-zacje”. Zauważmy, że można mówić o rozwiązaniu równania (RL) w postaci parametrycznej w takim sensie.
Zachodzi następujący prosty
2Z geometrycznego punktu widzenia, rozumowanie to stwierdza, że w otoczeniu punktu
(x0, y0) obraz krzywej γ jest wykresem funkcji o zmiennej niezależnej x i zmiennej zależnej
Fakt 4.1. Załóżmy, że µ : D → R jest funkcją ciągłą nigdzie nie przyjmującą
wartości zero. Wówczas równania różniczkowe w postaci Leibniza P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0
i
µ(x, y)P (x, y) dx + µ(x, y)Q(x, y) dy = 0
są równoważne w następującym sensie: jeśli krzywa regularna γ klasy C1 jest
rozwiązaniem w postaci parametrycznej jednego z tych równań, to jest też rozwiązaniem drugiego.
Definicja. Funkcję Φ : D → R klasy C1 nazywamy całką równania (RL),
gdy
(i) grad Φ(x, y) 6= 0 dla każdego (x, y) ∈ D, gdzie grad Φ oznacza gradient funkcji Φ,
(ii)
P (x, y)Φy(x, y) − Q(x, y)Φx(x, y) = 0 ∀(x, y) ∈ D.
Zauważmy, że warunek (ii) oznacza, że w każdym punkcie (x, y) ∈ D wektory grad Φ(x, y) i (P (x, y), Q(x, y)) mają ten sam kierunek.
Jeśli Φ jest całką równania (RL), to dla ustalonego C ze zbioru wartości funkcji Φ wyrażenie
Φ(x, y) = C
można traktować jako rozwiązanie równania (RL) w postaci uwikłanej. Istotnie, niech (x0, y0) ∈ D będzie takie, że Φ(x0, y0) = C oraz Φy(x, y) 6=
0. Z twierdzenia o funkcji uwikłanej wynika, że istnieją (a) otoczenie U ⊂ D punktu (x0, y0), oraz
(b) funkcja ϕ : (x0 − δ, x0+ δ) → R (δ > 0), ϕ(x0) = y0, klasy C1
takie, że zbiór { (x, y) ∈ U : Φ(x, y) = C } jest równy wykresowi funkcji ϕ, oraz dϕ dx(x) = − Φx(x, ϕ(x)) Φy(x, ϕ(x)) ∀x ∈ (x0− δ, x0+ δ).
Z definicji Φ i z faktu, że wszystkie punkty w obszarze D są regularne, wynika, że Q(x, y) 6= 0 dla wszystkich (x, y) ∈ U oraz, że
dϕ
dx(x) = −
P (x, ϕ(x))
Zatem w pewnym otoczeniu punktu (x0, y0) zbiór { (x, y) ∈ D : Φ(x, y) = C }
(zbiór taki nazywamy poziomicą funkcji Φ odpowiadającą wartości C) jest krzywą całkową równania
dy dx = −
P (x, y) Q(x, y).
Analogicznie dowodzi się, że w pewnym otoczeniu punktu (x0, y0) ∈ D
ta-kiego, że Φ(x0, y0) = C oraz Φx(x, y) 6= 0 poziomica funkcji Φ jest krzywą
całkową równania
dx dy = −
Q(x, y) P (x, y).
Skoro niezerowe wektory grad Φ(x, y) i (P (x, y), Q(x, y)) są liniowo zależ-ne, poziomica całki jest w każdym punkcie (x, y) ∈ D prostopadła do wektora (P (x, y), Q(x, y)).
Zachodzi następujący związek między rozwiązaniami równania (RL) w postaci parametrycznej a całkami takiego równania:
Fakt 4.2. Niech Φ : D → J będzie całką równania (RL), i niech γ : I →
D będzie rozwiązaniem równania (RL) w postaci parametrycznej. Wówczas obraz funkcji γ jest zawarty w poziomicy funkcji Φ.
Dowód. Oznaczmy, dla (x, y) ∈ D, przez κ(x, y) niezerowy skalar taki, że grad Φ(x, y) = κ(x, y)(P (x, y), Q(x, y)).
Zachodzi d ds(Φ(γ(s)) = Φx(ξ(s), η(s))ξ 0 (s) + Φy(ξ(s), η(s))η0(s) = = κ(ξ(s), η(s))(P (ξ(s), η(s))ξ0(s) + Q(ξ(s), η(s))η0(s)) = 0 dla każdego s ∈ I.
Fakt 4.1 ma następujący odpowiednik:
Fakt 4.3. Załóżmy, że µ : D → R jest funkcją ciągłą nigdzie nie przyjmującą
wartości zero. Wówczas funkcja Φ : D → R jest całką równania różniczkowe-go
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0
wtedy i tylko wtedy, gdy jest całką równania różniczkowego µ(x, y)P (x, y) dx + µ(x, y)Q(x, y) dy = 0.
W naturalny sposób nasuwa się zagadnienie istnienia całki równania róż-niczkowego (RL). Otóż, przy założeniu, że funkcje P i Q są klasy C1, całka
równania istnieje lokalnie: Dla każdego (x0, y0) ∈ D można znaleźć otoczenie
U ⊂ D punktu (x0, y0) i funkcję Φ : U → R klasy C1 będącą całką
równa-nia (RL) obciętego do U3.
Niestety, całka równania (RL) nie musi istnieć globalnie. Na przykład, na obszarze D := R2\ {(0, 0)} nie istnieje całka równania
y dx − x dy = 0.
Całka równania (RL) (o ile istnieje) nie jest wyznaczona jednoznacznie. Zachodzi następujący fakt.
Fakt 4.4. Niech Φ : D → J będzie całką równania (RL), i niech f : J → R
będzie funkcją klasy C1 o pochodnej wszędzie różnej od zera. Wówczas funkcja
złożona f ◦ Φ jest całką równania (RL).
4.2
Równania różniczkowe zupełne. Czynniki
całkujące
Równanie (RL) nazywamy zupełnym, jeśli istnieje funkcja F : D → R klasy C1 taka, że F
x = P , Fy = Q w D. Funkcję F nazywamy wówczas funkcją
pierwotną (lub potencjałem) równania (RL). Zachodzi następujący oczywisty
Fakt 4.5. Funkcja pierwotna równania (RL) jest całką tego równania.
Zauważmy, że równanie różniczkowe (RL) jest zupełne (z funkcją pierwot-ną F ) wtedy i tylko wtedy, gdy pole wektorowe (P, Q) : D → R2 jest polem
potencjalnym (z potencjałem F ). Zatem poniższe wyniki są przeformułowa-niami odpowiednich wyników z rachunku różniczkowego dwu zmiennych.
Twierdzenie 4.6. Niech P, Q : D → R będą funkcjami klasy C1. Wówczas
(a) Jeśli równanie różniczkowe (RL) jest zupełne, to
(4.2) ∂P
∂y ≡ ∂Q
∂x na D.
(b) Jeśli D jest obszarem jednospójnym i zachodzi (4.2), to (RL) jest rów-naniem zupełnym, z funkcja pierwotną daną wzorem
F (x, y) =
=
(x,y) Z
(x0,y0)
P (ξ, η) dξ + Q(ξ, η) dη, (całka krzywoliniowa zorientowana)
gdzie (x0, y0) jest ustalonym punktem w D.
Wniosek. Niech P, Q : D → R będą funkcjami klasy C1, gdzie D jest
wnę-trzem prostokąta. Jeśli spełniony jest (4.2), to równanie różniczkowe (RL) jest zupełne, z funkcja pierwotną daną wzorem
F (x, y) = x Z x0 P (ξ, y0) dξ + y Z y0 Q(x, η) dη,
gdzie (x0, y0) jest ustalonym punktem w D.
Przykład. Równanie różniczkowe
P (x) dx + Q(y) dy = 0,
gdzie P : (a, b) → R i Q : (c, d) → R są ciągłe, jest równaniem zupełnym (zauważmy, że jest to dobrze znane równanie o rozdzielonych zmiennych). Naturalnym wyborem obszaru D jest (a, b) × (c, d). Funkcję pierwotną F możemy zdefiniować jako
F (x, y) = x Z x0 P (ξ) dξ + y Z y0 Q(η) dη.
gdzie x0 ∈ (a, b) i y0 ∈ (c, d) są ustalone.
Definicja. Funkcję µ : D → (0, ∞) klasy C1 nazywamy czynnikiem całku-jącym dla równania (RL), gdy równanie różniczkowe
(4.3) µ(x, y)P (x, y) dx + µ(x, y)Q(x, y) dy = 0 jest równaniem zupełnym.
Zauważmy najpierw, że istnienie czynnika całkującego dla równania (RL) jest równoważne istnieniu całki tego równania. Istotnie, jeśli istnieje czynnik całkujący µ, to istnieje funkcja pierwotna F dla równania (4.3). Z Faktu 4.5
wynika, że F jest całką równania (4.3), co pociąga za sobą, poprzez Fakt 4.3, że F jest całką wyjściowego równania. Z drugiej strony, niech Φ będzie całką równania (RL), co jest równoważne temu, że w każdym punkcie (x, y) ∈ D niezerowe wektory (P (x, y), Q(x, y)) i grad Φ(x, y) są liniowo zależne. Wystar-czy teraz wziąć µ(x, y) = Φx(x, y)/P (x, y) (lub µ(x, y) = Φy(x, y)/Q(x, y)).
Twierdzenie 4.7. Niech P i Q będą funkcjami klasy C1 na obszarze
jedno-spójnym D. Wówczas istnieje czynnik całkujący dla równania (RL).
Dowód powyższego twierdzenia pomijamy — wymaga on znajomości bądź teorii równań różniczkowych cząstkowych, bądź teorii form różniczkowych. Rozważymy dalej pewien przypadek szczególny.
Przykład. Załóżmy, że równanie różniczkowe (RL), gdzie P i Q są klasy C1 oraz Q(x, y) 6= 0 na obszarze jednospójnym D, ma czynnik całkujący
klasy C1 zależny tylko od x. Zachodzi wówczas
∂ ∂y(µ(x)P (x, y)) = ∂ ∂x(µ(x)Q(x, y)) czyli µ∂P ∂y = µ ∂Q ∂x + dµ dxQ, co daje dµ dx µ = ∂P ∂y − ∂Q ∂x Q
Lewa strona jest zależna tylko od x, zatem prawa też musi być zależna tylko od x. Na odwrót, gdy prawa strona powyższego wyrażenia jest zależna tylko od x (oznaczmy ją przez p(x)), to µ(x) = exp Z x x0 p(ξ) dξ ,
gdzie x0 jest ustalonym punktem, jest czynnikiem całkującym dla równania
(RL).
Otrzymaliśmy więc następujące kryterium.
Fakt 4.8. Jeśli P i Q są klasy C1 oraz Q(x, y) 6= 0 na obszarze jednospójnym
D, to równanie różniczkowe (RL) ma czynnik całkujący zależny tylko od x wtedy i tylko wtedy, gdy
Py(x, y) − Qx(x, y)
Q(x, y) nie zależy od y.
Przykład. Rozważmy równanie różniczkowe liniowe w postaci Leibniza (a(x)y − h(x)) dx + dy = 0
na D = (a, b) × R. Otrzymujemy wtedy µ0(x) = a(x) − 0
1 = a(x), co daje czynnik całkujący
µ(x) = exp A(x),
gdzie A(·) jest ustaloną funkcją pierwotną funkcji a(·). Widzimy więc, że terminologia zgadza się z terminologią z wykładu 1.
