Przestrzeń liniowa

ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ. ĆWICZENIA Prestrzeń liniowa

ALEKSANDER DENISIUK

Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/

Ćwiczenie 1. Oblicz 2a1+ 5a2− a3 dla a1= (4, 1, 3, −2), a2= (1, 2, −3, 2), a3= (16, 9, 1, −3).

Ćwiczenie 2. Rozwiąż równanie

(1) a1+ 2a2+ 3a3+ 4x = 0, gdzie a1= (5, −8, −1, 2), a2= (2, −1, 4, −3), a3= (−3, 2, −5, 4). (2) −3(a1− x) + 2(2a2− x) = 5(a3+ x), gdzie a1= (2, 5, 1, 3), a2= (0, 1, 5, 10), a3= (−3, 2, −5, 4).

(3) a1− 2a2− 3a3− 4x = 0, gdzie a1= (15, 8, 1, −2), a2= (2, −1, 4, −3), a3= (−3, 2, −5, 4). (4) 3(a1− x) + 2(a2+ x) = 5(a3+ x), gdzie a1= (2, 5, 1, 3), a2= (10, 1, 5, 10), a3= (−3, 2, −5, 4).

Ćwiczenie 3. Wyznacz, czy zbiór wektorów jest liniowo niezależnym: (1) { (1, 2, 3), (3, 6, 7) }, (2) { (5, 4, 3), (3, 3, 2), (8, 1, 3) }, (3) { (4, −2, 6), (6, −3, 9) }, (4) { (2, −3, 1), (3, −1, 5), (1, −4, 3) }, (5) { (4, −5, 2, 6), (2, −2, 1, 3), (6, −3, 3, 9), (4, −1, 5, 6) }, (6) { (1, 0, 0, 2, 5), (0, 1, 0, 3, 4), (0, 0, 1, 4, 7), (2, −3, 4, 11, 12) }.

Ćwiczenie 4. Dany jest układ liniowo niezależnych wektorów a1, . . . , ak. Czy wektory b1, . . . , bn będą niezależne liniowo:

(1)      b1= 3a1+ 2a2+ a3+ a4, b2= 2a1+ 5a2+ 3a3+ 2a4,

b3= 3a1+ 4a2+ 2a3+ 3a4;

(2)                    b1= a1+ a2, b2= a2+ a3, b3= a3+ a4, b4= a4+ a5, b5= a5+ a6, b6= a6+ a1; (3)      b1= 3a1+ 4a2− 5a3− 2a4+ 4a5, b1= 8a1+ 7a2− 2a3+ 5a4− 10a5, b1= 2a1− a2+ 8a3− a4+ 2a5; (4)                    b1= a1, b2= a1+ a2, b3= a1+ a2+ a3, b4= a1+ a2+ a3+ a4, b5= a1+ a2+ a3+ a4+ a5, b6= a1+ a2+ a3+ a4+ a5+ a6; (5)                    b1= a1, b2= a1+ 2a2, b3= a1+ 2a2+ 3a3, b4= a1+ 2a2+ 3a3+ 4a4, b5= a1+ 2a2+ 3a3+ 4a4+ 5a5, b6= a1+ 2a2+ 3a3+ 4a4+ 5a5+ 6a6; (6)                    b1= a1+ a2, b2= a1+ a2+ a3, b3= a2+ a3+ a4, b4= a3+ a4+ a5, b5= a4+ a5+ a6, b6= a5+ a6; (7)                    b1= a1− a2, b2= a2− a3, b3= a3− a4, b4= a4− a5, b5= a5− a6, b6= a6− a1.

Ćwiczenie 5. Znajdź bazę powłoki układu wektorów oraz współrzędne danych wektorów w tej bazie: (1) a1= (1, 2, 0, 0), a2= (1, 2, 3, 4), a3= (3, 6, 0, 0); (2) a1= (5, 2, −3, 1), a2= (4, 1, −2, 3), a3= (1, 1, −1, 2), a4= (3, 4, −1, 2), a5= (7, −6, −7, 0); (3) a1= (2, −1, 3, 5), a2= (4, −3, 1, 3), a3= (3, −2, 3, 4), a4= (4, −1, −15, 17); (4) a1= (1, 2, 3, −4), a2= (2, 3, −4, 1), a3= (2, −5, 8, −3), a4= (5, 26, −9, −12), a5= (3, −4, 1, 2); (5) a1= (2, 3, −4, −1), a2= (1, −2, 1, 3), a3= (5, −3, −1, 8), a4= (3, 8, −9, −5); (6) a1= (2, 2, 7, −1), a2= (3, −1, 2, 4), a3= (1, 1, 3, 1); (7) a1= (3, 2, −5, 4), a2= (3, −1, 3, −3), a3= (3, 5, −13, 11); (8) a1= (2, 1), a2= (3, 2), a3= (1, 1), a4= (2, 3); (9) a1= (2, 1, −3), a2= (3, 1, −5), a3= (4, 2, −1), a4= (1, 0, −7); (10) a1= (2, 3, 5, −4, 1), a2= (1, −1, 2, 3, 5), a3= (3, 7, 8, −11, −3), a4= (1, −1, 1, −2, 3); (11) a1= (2, −1, 3, 4, −1), a2= (1, 2, −3, 1, 2), a3= (5, −5, 12, −11, −5), a4= (1, −3, 6, 3, −3); (12) a1= (4, 3, −1, 1, −1), a2= (2, 1, −3, 2, −5), a3= (1, −3, 0, 1, −2), a4= (1, 5, 2, −2, 6). 1

2 ALEKSANDER DENISIUK

Ćwiczenie 6. Wyznacz macierz przekształcenia liniowego w bazie kanonicznej:

(1)     x1 x2 x3 x4     7→   x1− 2x2 x2− 4x3+ x4 0   (2) x1
7→       x1 −2x1 x1 −4x1 x1       (3)       x1 x2 x3 x4 x5       7→  x1− 2x2 −17x1+ x2  (4)   x1 x2 x3  7→   x1− 2x2 x2− x3 x3− x1   (5)       x1 x2 x3 x4 x5       7→ x1− 2x2− 4x3+ x4− x5
(6)     x1 x2 x3 x4     7→   0 x1− 2x2 x2− 4x3+ x4  

Ćwiczenie 7. Niech W4 będzie przestrzenią wielomianów stopnia najwyżej 4. Sprawdź, że dane przekształcenie jest liniowym oraz wyznacz jego maceirz w bazie 1, x, x2

, x3

, x4 _: (1) P (x) 7→ P (2x), P (x) 7→ P′_(x);

(2) P (x) 7→ P (−x), P (x) 7→ P′′_{(x), P (x) 7→ P}′_{(2x), P (x) 7→ P (x + 1), P (x) 7→ P (2x − 1), P (x) 7→ P (2x),}

P(x) 7→ (xP (x))′_.

Ćwiczenie 8. Wypisz macierz przekształcenia liniowego wektorów płaszczyzny euklidesowej R2

w bazie kanonicznej: (1) Obrót o kąt α.

(2) Zrzut na oś Ox1.

(3) Zrzut na oś Ox2.

(4) Symetria względem osi Ox1. (5) Symetria względem osi Ox2.

(6) Symetria względem początku układu wspólrzęd-nych.

(7) Symetria względem prostej x1= x2. (8) Przekształcenie tożsamościowe. (9) Jednokładność o współczynniku λ.

Ćwiczenie 9. Niech dana będzie macierz przekształcania liniowego f w pewnej bazie. Wyznacz macierz przekształce-nia f−1 _{w tej samej bazie:}

(1) 1 1 0 1  , (2)  cos α sin α − sin α cos α  , (3)  1 2 −2 1  , (4)   1 2 0 1 5 1 1 4 1  ,

Ćwiczenie 10. Niech A będzie macierzą przekształcenia liniowego f w pewnwej bazie, B będzie macierzą przekształce-nia g w tej samej bazie. Wyznacz macierz przekształceprzekształce-nia g ◦ f , gdzie

(1) A =1 1 0 1  , B=−1 1 0 −1  (2) A =  cos α sin α − cos α sin α  , B=  cos β sin β − cos β sin β  (3) A =1 0 0 0  , B=0 0 0 1  (4) A =   1 1 0 0 1 0 0 0 −2  , B=   1 0 0 −1 1 0 0 0 −2  

E-mail address_{: denisjuk@pjwstk.edu.pl}