5.4. ROZKŁAD WIELOMIANU NA CZYNNIKI
KaŜdy wielomian moŜna rozłoŜyć na czynniki co najwyŜej drugiego stopnia.
.Metody rozkładu wielomianu na czynniki
a) rozkład wielomianu , korzystając z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej:
Znak
∆
∆
>
0
∆
=
0
∆
<
0
Postać iloczynowa
funkcji kwadratowej
y
=
a
(
x
−
x
1)(
x
−
x
2)
y
=
a
(
x
−
x
0)
2nie ma postaci iloczynowej
b) wyciąganie czynnika przed nawias;
c) zastosowanie wzorów skróconego mnoŜenia:
(
a
+
b
)
2=
a
2+
2
ab
+
b
2 - kwadrat sumy(
a
−
b
)
2=
a
2−
2
ab
+
b
2 - kwadrat róŜnicya
2−
b
2=
(
a
−
b
)(
a
+
b
)
- róŜnica kwadratów(
a
+
b
)
3=
a
3+
3
a
2b
+
3
ab
2+
b
3 - sześcian sumy(
a
−
b
)
3=
a
3−
3
a
2b
+
3
ab
2−
b
3 - sześcian róŜnicya
3+
b
3=
(
a
+
b
)
(
a
2−
ab
+
b
2)
- suma sześcianówa
3−
b
3=
(
a
−
b
)
(
a
2+
ab
+
b
2)
- róŜnica sześcianówd) grupowanie wyrazów
Przykład 5.4.1. Wielomian
W
(
x
)
=
2
x
3−
4
x
2rozłóŜ na czynniki wyciągając czynnik przed
nawias.
Rozwiązanie
Komentarz
2 34
2
)
(
x
x
x
W
=
−
(
2
)
2
)
(
x
=
x
2x
−
W
Przykład 5.4.2. Wielomian
W
(
x
)
=
x
4−
6
x
2+
9
rozłóŜ na czynniki stosując wzory
skróconego mnoŜenia.
Rozwiązanie
Komentarz
9
6
)
(
x
=
x
4−
x
2+
W
( )
2 2 23
3
2
)
(
x
=
x
−
⋅
⋅
x
+
W
( )
2 23
)
(
x
=
x
−
W
Do rozkładu wielomianu W zastosujemy wzór skróconego mnoŜenia
(
)
2 2 22
ab
b
a
b
a
−
=
−
+
( )
2 2 23
)
(
−
=
x
x
W
(
)(
)
[
]
23
3
)
(
x
=
x
−
x
+
W
(
) (
2)
23
3
)
(
x
=
x
−
x
+
W
Do rozkładu czynnika
x
2−
3
stosujemy wzór skróconego mnoŜenia(
a
b
)(
a
b
)
b
a
2−
2=
−
+
Przykład 5.4.3. Wielomian
W
(
x
)
=
−
2
x
4−
x
2+
1
rozłóŜ na czynniki wykorzystując postać
iloczynową funkcji kwadratowej.
Rozwiązanie
Komentarz
1
2
)
(
x
=
−
x
4−
x
2+
W
( )
1
2
)
(
x
=
−
x
2 2−
x
2+
W
t
=
x
21
2
)
(
t
=
−
t
2−
t
+
W
Wprowadzając zmienną pomocniczą
t
=
x
2wielomian W(x) zapisujemy jako trójmian kwadratowy.
1
;
1
;
2
=
−
=
−
=
b
c
a
( )
1
4
( )
2
1
9
4
2 2−
=
−
−
⋅
−
⋅
=
=
∆
b
ac
Doprowadzamy trójmian kwadratowy
1
2
)
(
t
=
−
t
2−
t
+
W
do postaci iloczynowej . W tym celu obliczamy∆
.( )
( )
2
1
4
2
2
2
9
1
2
1=
−
−
∆
=
−
−
⋅
−
−
=
−
−
=
a
b
t
( )
( )
4
1
4
2
2
9
1
2
2⋅
−
=
−
=
−
+
−
−
=
∆
+
−
=
a
b
t
( )
1
2
1
2
)
(
+
−
−
=
t
t
t
W
0
>
∆
, dlatego obliczamyt
1, t
2 i wykorzystujemy wzóry
=
a
(
t
−
t
1)(
t
−
t
2)
( )
1
2
1
2
)
(
2
2+
−
−
=
x
x
x
W
Powracamy do zmiennejx
, zat
podstawiamyx
2( )
1
2
1
2
)
(
2 2 2+
−
−
=
x
x
x
W
( )
1
2
1
2
1
2
)
(
2+
+
−
−
=
x
x
x
x
W
Czynnik
x
2+
1
nie moŜna rozłoŜyć na czynniki pierwszego stopnia ,bo∆
<
0
.Do rozkładu czynnika
2
1
2−
x
stosujemy wzór skróconego mnoŜeniaa
2−
b
2=
(
a
−
b
)(
a
+
b
)
Przykład 5.4.4. Wielomian
W
(
x
)
=
5
x
3+
3
x
2+
10
x
+
6
rozłóŜ na czynniki metodą
grupowania wyrazów.
Rozwiązanie
Komentarz
6
10
3
5
)
(
x
=
x
3+
x
2+
x
+
W
Grupujemy wyrazy wielomianu.(
5
3
) (
2
5
3
)
)
(
x
=
x
2x
+
+
x
+
W
W pierwszej grupie wyciągamy przed nawiasczynnik
x
2, a w drugiej czynnik 2.(
5
3
)
( )
2
)
(
x
=
x
+
x
2+
W
Powtarzający się czynnik5
x
+
3
wyłączamyprzed nawias.
Odp.
W
(
x
)
=
(
5
x
+
3
)
( )
x
2+
2
Czynnikx
2+
2
nie moŜna rozłoŜyć na czynniki pierwszego stopnia ,bo∆
<
0
.Przykład 5.4.5. Wielomian
W
(
x
)
=
x
3+
2
x
2−
3
rozłóŜ na czynniki moŜliwie najniŜszego
stopnia.
Rozwiązanie
Komentarz
3
2
)
(
x
=
x
3+
x
2−
W
3
3
3
3
)
(
x
=
x
3−
x
2+
x
2−
x
+
x
−
W
Wielomian W(x) rozłoŜymy na czynniki metodą grupowania wyrazów.
ZauwaŜmy, Ŝe jednym z pierwiastków wielomianu W(x) jest liczba 1 ( W(1)= 0 ). Zatem wielomian zapisujemy w takiej postaci , aby po zastosowaniu metody grupowania wyrazów jednym z czynników był
x
−
1
.3
3
3
3
)
(
x
=
x
3−
x
2+
x
2−
x
+
x
−
W
Grupujemy wyrazy wielomianu.(
1
)
3
(
1
) (
3
1
)
)
(
x
=
x
2x
−
+
x
x
−
+
x
−
W
W pierwszej grupie wyciągamy przed nawiasczynnik
x
2, w drugiej czynnik3 , a w trzeciej
x
czynnik 3.
(
1
)
(
3
3
)
)
(
x
=
x
−
x
2+
x
+
W
Powtarzający się czynnikx
−
1
wyłączamy przednawias.
Odp.
W
(
x
)
=
(
x
−
1
)
(
x
2+
3
x
+
3
)
Czynnikx
2+
3
x
+
3
nie moŜna rozłoŜyć na czynniki pierwszego stopnia ,bo∆
<
0
.Przykład 5.4.6. Wielomian
W
(
x
)
=
x
4−
8
x
rozłóŜ na czynniki moŜliwie najniŜszego stopnia.
Rozwiązanie
Komentarz
x
x
x
W
(
)
=
4−
8
( )
8
)
(
x
=
x
x
3−
W
Wyciągamy czynnik x przed nawias
(
3 3)
2
)
(
x
=
x
x
−
W
(
)
(
2 2)
2
2
2
)
(
x
=
x
x
−
x
+
x
+
W
(
2
)
(
2
4
)
)
(
x
=
x
x
−
x
2+
x
+
W
Do rozkładu czynnika
x
3−
8
stosujemy wzór skróconego mnoŜenia(
)
(
2 2)
3 3b
ab
a
b
a
b
a
−
=
−
+
+
4
2
2+
+
x
x
4
;
2
;
1
=
=
=
b
c
a
12
4
1
4
2
4
2 2−
=
−
⋅
⋅
=
−
=
∆
b
ac
Odp.
W
(
x
)
=
x
(
x
−
2
)
(
x
2+
2
x
+
4
)
Czynnik
x
2+
2
x
+
4
nie moŜna rozłoŜyć na czynniki pierwszego stopnia , poniewaŜ∆
<
0
Przykład 5.4.7. Wielomian
W
(
x
)
=
x
4+
4
rozłóŜ na czynniki moŜliwie najniŜszego stopnia.
Rozwiązanie
Komentarz
4
)
(
x
=
x
4+
W
4
4
4
)
(
x
=
x
4+
x
2−
x
2+
W
(
44
24
)
4
2)
(
x
x
x
x
W
=
+
+
−
( )
2 2 2 2 24
2
2
2
)
(
x
x
x
x
W
−
+
⋅
⋅
+
=
( )
2 2( )
22
2
)
(
x
x
x
W
=
+
−
Wielomian W(x) zapisujemy w postaci róŜnicy kwadratów.
Stosując wzór skróconego mnoŜenia
(
)
2 2 22
ab
b
a
b
a
+
=
+
+
wyraŜenie4
4
2 4+
+
x
x
zapisujemy jako kwadrat sumy.(
x
x
)(
x
x
)
x
W
(
)
=
2+
2
−
2
2+
2
+
2
(
2
2
)(
2
2
)
)
(
x
=
x
2−
x
+
x
2+
x
+
W
Stosujemy wzór skróconego mnoŜenia
(
a
b
)(
a
b
)
b
a
2−
2=
−
+
Odp.
W
(
x
)
=
(
x
2−
2
x
+
2
)(
x
2+
2
x
+
2
)
Czynnikx
2+
2
x
+
2
nie moŜna rozłoŜyć na czynniki pierwszego stopnia , poniewaŜ∆
<
0
Czynnikx
2−
2
x
+
2
nie moŜna rozłoŜyć na czynniki pierwszego stopnia , poniewaŜ∆
<
0
ĆWICZENIA
Ćwiczenie 5.4.1. Wielomiany rozłóŜ na czynniki moŜliwie najniŜszego stopnia:
a) (1pkt.)
W
(
x
)
=
x
2−
4
x
+
3
b) (1pkt.)W
(
x
)
=
5
x
3+
6
x
2 c) (1pkt.)W
(
x
)
=
x
2−
25
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Rozkład wielomianu na czynniki moŜliwie najniŜszego
stopnia.
1
Ćwiczenie 5.4.2. Wielomiany rozłóŜ na czynniki moŜliwie najniŜszego stopnia:
a)(2pkt.)
W
(
x
)
=
5
x
5−
10
x
3+
5
x
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 RozłoŜenie na czynnik czwartego stopnia i czynnik
pierwszego stopnia.
1
2 Rozkład wielomianu na czynniki moŜliwie najniŜszego
stopnia.
1
b)(2pkt.)
W
(
x
)
=
x
3−
4
x
2−
25
x
+
100
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 RozłoŜenie na czynnik drugiego stopnia i czynnik
pierwszego stopnia.
1
2 Rozkład wielomianu na czynniki moŜliwie najniŜszego
stopnia.
1
c)(2pkt.)
W
(
x
)
=
x
4+
2
x
3−
8
x
−
16
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 RozłoŜenie na czynnik trzeciego stopnia i czynnik
pierwszego stopnia.
1
2 Rozkład wielomianu na czynniki moŜliwie najniŜszego
