Rok I, 1993, Nr 2-3
O identyfikowalności w dziedzinach rozszerzonych
Dla potrzeb przeprowadzanej tu analizy przez definiowalność będę rozumiał to, co zwykle określa się mianem definiowalności bezpośredniej (albo syntaktycznej); przez identyfikowalność — to, co określa się jako definowalność pośrednią (albo seman tyczną). Ograniczę się tylko do rozważenia teorii empirycznych, które mogą być sfor malizowane w języku logiki pierwszego rzędu. Jak wiadomo, w wypadku takich teorii oba te pojęcia pokrywają się. Termin i jest definiowalny w teorii T zawsze i tylko, gdy jest identyfikowalny w tej teorii. Innymi słowy, definicja terminu i jest twierdzeniem teorii T zawsze i tylko, gdy interpretacja pozostałych terminów w każdym modelu teorii T wyznacza jednoznacznie interpretację t. Z tego właśnie powodu we wszystkich dotąd rozważanych wypadkach nieidentyfikowalność jest w jakiś sposób związana z niedefi- niowalnością. Pojęcie jest nieidentyfikowalne tylko wtedy, gdy nie jest definiowalne; np. w sytuacji, gdy jego użyciem rządzą postulaty słabsze niż definicja bezpośrednia (definicja warunkowa, kontekstowa lub cząstkowa — aby wymienić tylko najbardziej typowe wypadki). Chciałbym zająć się pewnymi innymi rodzajami nieidentyfikowal- ności i ich typowymi źródłami. Nieidentyfikowalność tego rodzaju nie jest związana z niedefiniowalnością. Pojawia się ona w wyniku przyjęcia pewnego słabszego pojęcia interpretacji teorii. W ujęciu standardowym, każde rozszerzenie danego języka ma semantyczny odpowiednik w postaci odpowiedniego przedłużenia struktur tego języka. Wydaje się jednak, że są takie wypadki, w których rozszerzenie języka wiąże się nie tylko z przedłużeniem jego struktur, ale także z rozszerzeniem jego dziedzin. Wydaje się, że tak dzieje się w sytuacji, gdy rozszerza się język obserwacyjny przez wprowa dzenie do niego pewnego typu terminów teoretycznych. W takich wypadkach przedsta wiona wyżej zależność miedzy definiowalnością i identyfikowalnością już nie zachodzi. Definiowalne w danej teorii pojęcie teoretyczne nie jest identyfikowalne w modelach tej teorii — jeżeli są one strukturami o rozszerzonych dziedzinach.
Aby opisać tę sytuację bardziej precyzyjnie, skorzystamy z języka teorii modeli. Niech L„ będzie językiem pierwszego rzędu, z terminami 0|,...,0„ jako jedynymi stałymi
deskryptywnymi, i niech L będzie rozszerzeniem L„ zawierającym t jako dodatkową stałą deskryptywną. Struktury modelowe dla L„ będziemy oznaczać przez (D„ (albo przez 13„), natomiast dla L — przez (13 (albo R). Dziedzina struktury (13 będzie oznacza na przez 10 3 1, interpretacja w 03 stałej с — przez cœ. Przez 0 3 1 „ będziemy oznaczać obcięcie (redukcję) struktury 03 do języka L„\ 03 jest wtedy nazywane przedłużeniem struktury 0 3 1 J e ś l i T jest zbiorem zdań języka L, to klasę jego modeli będziemy oznaczać przez Mod (T).
Zgodnie ze standardowym ujęciem, rozszerzenie języka L„ do języka L będziemy związane jest z przedłużeniem struktury 03„ do struktury 03. W związku z tym, badając związek między (syntaktyczną) definiowalnością i (semantyczną) identyfikowalnością, będziemy brać pod uwagę klasę struktur, Mq)„, zdefiniowaną dla każdego 03„ w następujący sposób:
(I) Л/О),,= { 0 3 :0 3 |„ = 0 3 „ і0 3 е M od(7)}.
Λ/cd,, zawiera te przedłużenia 03o, które są modelami dla T. Stała / jest definiowalna w T (za pomocą terminów o \ , . z a w s z e i tylko, gdy dla każdego 03„, М<зцо zawiera co najwyżej jedną strukturę. Jeśli T sprowadza się do definicji terminu t (za pomocą terminów oi,...,o„), to dla każdego 03„, May,, zawiera dokładnie jedną strukturę: dla każdego 03„ istnieje dokładnie jedna interpretacja stałej t. Mówimy wtedy, że t jest identyfikował ne w T.
Takie ujęcie można zastosować w tych wszystkich wypadkach, w których wprowa dzenie nowych terminów nie wiąże się z rozszerzeniem dotychczasowego uniwersum dyskursu. Jeśli chodzi jednak o teorie empiryczne, to wydaje się, że nie każda proce dura wprowadzania nowego terminu podpada pod powyższy schemat. Są wypadki, w których procedura taka jest w sposób istotny związana z rozszerzeniem dziedziny teorii. Typową sytuację tego rodzaju można opisać w następujący sposób. Niech L„ będzie językiem obserwacyjnym i niech o\,...,on będą predykatami obserwacyjnymi. Cokol wiek te określenia miałyby znaczyć, założymy, że każdy model zamierzony 03„ dla L„ składa się tylko z przedmiotów obserwowalnych: jego dziedzina 103„ | je st zbiorem przedmiotów obserwowalnych. Niech t będzie predykatem teoretycznym (powiedzmy predykatem „elektron”), który odnosi się do pewnych nieobserwowalnych, «teoretycz nych» bytów. Wprowadzając gp do języka L„ musimy rozszerzyć jego modele tak, aby włączyć obiekty nieobserwowalne do ich dziedzin; tylko takie stuktury można zaliczyć do klasy zamierzonych modeli dlaL .
W wypadkach takich jak powyższe, interesuje nas przede wszystkim interpretacja t w owych odpowiednio rozszerzonych strukturach. Z jakiego typu rozszerzeniem mamy tu do czynienia? W teorii modeli, 13„ jest nazywane rozszerzeniem 03„ zawsze i tylko, gdy 103„ I jest zawarte w 113„ | i o®" jest identyczne z o'5" ograniczonym do 103,, I (dla i = 1,...,«). Tak więc, poza 103„ | , o, może być interpretowane w П„ w dowolny sposób.
Czy predykaty obserwacyjne tak właśnie są zinterpretowane w dziedzinie przedmiotów nieobserwowalnych? Ponieważ pojęcie predykatu obserwacyjnego jest notorycznie wieloznaczne, odpowiedź na to pytanie w oczywisty sposób zależy od tego, jak je będziemy rozumieć. M ożna wskazać trzy główne stanowiska dotyczące tej kwestii. W dwóch z nich predykat obserwacyjny jest rozumiany jako predykat interpretowany w czysto ostensywny sposób. W konsekwencji, jego interpretacja jest z założenia «ograni czona» jedynie do przedmiotów obserwowalnych. To «ograniczenie» jest jednakże rozumiane na dwa różne sposoby.
(i) Zgodnie z jedną z eksplikacji, interpretacja predykatu obserwacyjnego w dzie dzinie wszystkich przedmiotów nieobserwowalnych jest, z założenia, całkowicie nie zdeterminowana: poza dziedziną obserwowalną predykat może być interpretowany w dowolny sposób. Zgodnie z tym założeniem, przy definiowaniu modeli zamierzonych dla L będzie brane pod uwagę każde rozszerzenie struktury CD„.
(ii) Zgodnie z inną eksplikacją, zakłada się, że interpretacja predykatu obserwacyj nego jest negatywnie zdeterminowana w stosunku do obiektów nieobserwowalnych: twierdzi się, że predykat można prawdziwie orzec jedynie o przedmiotach obserwowal nych. Przy tym założeniu, przy definiowaniu zamierzonych modeli dla L będą brane pod uwagę tylko te rozszerzenia struktury do struktury CD„, w których of" = oP" (dla
(iii) Trzecia koncepcja jest bardziej liberalną. Nie ogranicza ona predykatów obser wacyjnych jedynie do predykatów definiowalnych ostensywnie. O predykatach obser wacyjnych zakłada się tutaj, że są one interpretowane nie tylko za pomocą pewnych metod bezpośrednich (niewerbalnych), takich jak ostensja, ale również w sposób pośredni (werbalny), mianowicie za pomocą zbioru postulatów. Niebezpośredni sposób interpretacji jest jedynym dopuszczalnym sposobem interpretacji w obrębie dziedziny przedmiotów nieobserwowalnych: predykaty mogą być interpretowane bezpośrednio jedynie w dziedzinie obserwowałnej; poza nią mogą być one interpretowane tylko pośrednio, za pomocą zbioru postulatów. Niech zbiór T„ zdań języka L„ będzie zbiorem postulatów dla predykatów obserwacyjnych oi,...,o„. Przy obecnych założeniach, będziemy brać pod uwagę przy definiowaniu zamierzonych modeli dla L tylko takie rozszerzenia D„ struktury CD„, które są modelami dla postulat'»v T„ : Tî„ e Mod (T„). Aby to zagwarantować, będziemy żądać, by zbiór T zaw ierał. i T„: T„ cz Cn (7 ).1
Tę ostatnią koncepcję predykatów obserwacyjnych proponuję przyjąć jako podstawę naszej analizy. Wynika z niej następująca definicja klasy /V®,,, która ma być odpowiednikiem klasy Λί®„, przystosowanym do rozważanego problemu:
(Π) /Vq)o = {CD: dla pewnego rozszerzenia Π„ struktury CD„, CD I„ = D„ i CD e Mod (7)}.
I) Predykat identyczności m ożna traktować w ten sam sposób. W dziedzinie obserw ow alnej |(D „| „=” m ożna traktow ać jako identyczność, poza |(D„ | — jak o dow olną relację spełniającą aksjom aty identyczności.
/Vq)„ zawiera te struktury dla L, które są przedłużeniami rozszerzeń struktury CD,„ oraz modelami dla T.
Definicja klasy Nq)o odzwierciedla podstawową cechę tej koncepcji interpretacji teorii, która leży u podstaw prezentowanego podejścia. Koncepcja ta jest znana pod nazwą empiryzmu semantycznego. Zgodnie z tą koncepcją jedynie język obserwacyjny może być zinterpretowany bezpośrednio, albo, że tak powiem, «z zewnątrz» — tzn. przez pewne ostensywne lub operacyjne procedury. Język teoretyczny może być inter pretowany tylko pośrednio i «od wewnątrz» — tzn. przy pomocy postulatów sformułowanych w języku danej teorii. Zakłada się, że w ten sposób są interpretowane wszystkie terminy teoretyczne. I, co wydaje się nawet ważniejsze, przyjmuje się, że w ten sposób określane jest uniwersum przedmiotów teoretycznych. Zakłada się, że nie istnieje inna droga określenia dziedziny bytów teoretycznych niż postulowanie, aby była ona dziedziną, która spełnia dany zbiór zdań języka L : w naszym schemacie jest to zbiór T. Fakt ten jest kluczowym momentem przy określaniu charakteru klasy Nq^.
Co obejmuje więc klasa Nco? Jak jest interpretowany termin t w jej strukturach? M ożna odwołać się do pewnych obserwacji, które dają częściową odpowiedź na to pytanie. Niech CD„ będzie modelem dla T„ (zgodnie z naszymi założeniami, tylko takie struktury mogą być uważane za zamierzone modele dla L„). Jeśli tylko zbiór T jest nietwórczy ze względu na T0, to klasa Nęo„ musi być niepusta. Jest to zagwarantowane przez następujące syntaktyczne kryterium niepustości /V®,,:
Nct>„ * 0 , dla każdego (D„ e Mod (T„), zawsze i tylko, gdy każda czysto uniwersalna L„-konsekwencja zbioru T jest konsekwencją zbioru T„.
Jednocześnie łatwo zauważyć, że jeśli jest niepusta, to zawsze zawiera więcej niż jedną strukturę — w rzeczywistości zaś zawiera nieskończenie wiele struktur. Jest to niezależne od tego, jaki jest zbiór T. Tak więc, nawet jeśli f jest definiowalne w T, to ma ono zawsze nieskończenie wiele interpretacji w Nçoo, a w konsekwencji, nie jest iden- tyfikowalne w T — w żadnym dopuszczalnym znaczeniu tego terminu (jedynym wy jątkiem jest wypadek, gdy z T wynika pustość t). Ponadto, nawet jeśli | CD„ | zawiera
przedmioty obserwowalne, do zbioru | CD | - | CD„ | , dla pewnego CD e Nq^, należeć będą pewne obiekty abstrakcyjne, np. liczby. Takie obiekty będą tworzyć interpretację stałej t w pewnych strukturach z Λ αν
Rozważmy bardziej szczegółowo interpretację t (dla uproszczenia notacji założę, że t jest predykatem jednoargumentowym). Otóż jakikolwiek byłby zbiór T, termin t, zinterpretowany w klasie /V®,,, okazuje się całkowicie nieostry poza dziedziną obserwo- walną I CD„ | . Precyzyjnie tezę tę wyrażają następujące zdania:
(1) П rœ c |C D „ |; CteWa),,
(2)
n ( l i » l - ' V |CD„|.
Jedynymi obiektami, które należą do każdej interpretacji t, albo nie należą do żadnej, są przedmioty obserwowalne. Wszystkie przedmioty teoretyczne należą do obszaru nie określoności tego predykatu. Załóżmy teraz, że t odnosi się jedynie do bytów teoretycz nych. Jest to równoznaczne nałożeniu dodatkowego warunku na jego interpretację:
t0) n I CD,, I = 0 , dla każdego CD e Afa),,
W tym wypadku nieokreśloność stałej t staje się jeszcze bardziej uderzająca. Twierdze nia (1) i (2) redukują się teraz do twierdzeń
(3) n fro = 0 ;
(
4) n (Icd|-i®)= |cd„|.
Przypadek definicyjnego rozszerzenia wymaga szczególnej uwagi. T otrzymuje się tutaj z T„ przez dodanie do tego zbioru definicji terminu t (za pomocą terminów o\,...,o„), np. w następujący sposób:
(D,) V* (/(*)<-> CU*)),
gdzie a (,(x) należy do L„. Ogólne konsekwencje, które naszkicowaliśmy wyżej są oczy wiście prawdziwe również w tym wypadku. M ożna jednak tutaj poczynić pewne dodat kowe obserwacje. Aby je przedstawić rozróżnimy dwa rodzaje terminów teoretycznych: takie, które odnoszą się do przedmiotów obserwowalnych, i takie, które odnoszą się jedynie do nieobserwowalnych. Rozważmy teraz termin teoretyczny t pierwszego rodzaju i załóżmy, że pewien element w | CD„ | spełnia w CD„ definiens definicji D,. Wtedy dla dowolnego zbioru U zawierającego | CD„ | , istnieje struktura CD w УѴоі„, taka że | CD | = U i U - | CD„ | с i®. Analogicznie, jeśli pewien element z | CD„ | nie spełnia w CD„ definiensa D h wtedy dla dowolnego zbioru U zawierającego | CD„ | , istnieje struktura CD w jVcdo, taka że | CD | = U i ł ° n ( U - | CD„ | ) = 0 . Tak więc, wśród interpretacji terminu teoretycznego t pierwszego rodzaju, zawsze będą występowały interpretacje, zawierające wszystkie nieobserwowalne elementy danej dziedziny, oraz interpretacje, które nie zawierają żadnego z nich — czymkolwiek byłyby te elementy. Jeśli t jest terminem teoretycznym drugiego rodzaju, możemy założyć, że żadne ele menty I CD„ I nie spełniają w CD„ definiensa D,. Zatem, dla dowolnego zbioru U zawie rającego I CD„ I , zawsze istnieć będzie w /V®,, struktura CD, taka że | CD„ | = U i
f® = 0.T ak więc, wśród interpretacji terminu teoretycznego drugiego rodzaju zawsze znajdzie się interpretacja pusta.
Wszystkie te obserwacje, chociaż fragmentaryczne i niekompletne, pozwalają nam zdać sobie sprawę, jak szeroka musi być klasa N(oo i jak niezdeterminowana wskutek tego pozostaje interpretacja terminu i. Czy termin teoretyczny zinterpretowany w ten sposób może spełnić swoje funkcje naukowe? W kwestii tej można argumentować następująco. M imo bardzo niejednoznacznego zdeterminowania — interpretacja termi nu teoretycznego t nie jest arbitralna. Klasa jego interpretacji jest ograniczona do zbiorów, które mają pewne określone własności strukturalne, i które pozostają w pew nych strukturalnych relacjach do interpretacji innych terminów. Dzięki tym ogranicze niom m ogą pojawiać się zdania, które (1) zawierają termin t w sposób istotny, i zarazem (2) należą do zdań empirycznie rozstrzygalnych. W powyższym sformułowaniu występują pojęcia, które można wyjaśnić na różne sposoby. Przedstawiony poniżej sposób jest jedną z takich możliwych eksplikacji. Zdanie a języka L zawiera termin t w sposób istotny, jeśli — mówiąc swobodnie — jego wartość logiczna zależy od interpre tacji t. Mówiąc ściślej:
a zawiera t w sposób istotny zawsze i tylko, gdy dla pewnego CD i D (i) CD I o = H L e Mod (T„);
(ii) CD e Mod (a) i 13 e M od (~a).
Aby wyjaśnić pojęcie empirycznej rozstrzygalności, założę, że zbiór T jest nietwórczy ze względu na T„\ może on być wtedy utożsamiony ze zbiorem postulatów w L. Przy tym założeniu, pojęcie empirycznej rozstrzygalności może być zdefiniowane w następujący sposób. Zdanie a języka L jest empirycznie rozstrzygalne, jeśli — mówiąc swobodnie — jest ono syntetyczne i jego wartość logiczna jest niezmienna w pewnej klasie N ^ . W zapisie formalnym:
a jest empirycznie rozstrzygalne zawsze i tylko, gdy (i) a e Cn ( 7 ) i - a g Cn (7);
(ii) dla pewnego CD„ e Mod (Γ„), Μχ>„ с Mod (a) lub А/®,, с: Mod (~α).
Jakie dokładnie zdania, zawierające termin t w sposób istotny, będą należeć do klasy zdań rozstrzygalnych empirycznie, zależy teraz oczywiście od tego, jakie są postulaty dla f. Chciałbym dodać jeszcze jedną tylko uwagę na ten temat. Sądzę, że postulaty dla teminu teoretycznego t nie mogą składać się z definicji i zbudowanej za pomocą predykatów obserwacyjnych 0|,...,0„, jeśli klasa empirycznie rozstrzygalnych zdań,
które zawierają t w sposób istotny, miałaby zawierać te zdania o t, które są faktycznie uznawane lub wysuwane przez naukowców. Jako przykład bardziej adekwatnych po stulatów dla terminu teoretycznego t (typu drugiego), należałoby raczej wymienić postulat następującego rodzaju:
3) Fakty te m ożna łatw o wskazać przy założeniu, że struktury dla L nie są ograniczone do struktur norm alnych, tzn. struktur ze standardow ą interpretacją identyczności. Identyczność w takich strukturach m oże być interpretow ana w sposób wspom niany wyżej.
(/>,) Vx(3>> (ß„(x, у) л t{y)) a„(x)),
gdzie ß„(x, у) i a„(x) należą do L„. Jest to typ postulatu proponowany i dyskutowany przez kilku autorów. Dyskusja ta dostarczyła pewnych argumentów na rzecz powyższej
4 tezy.
Omawiając problem identyfikowalności w dziedzinie rozszerzonej, ograniczyliśmy się do pewnego szczególnego przypadku tej ogólnej kwestii i pewnej szczególnej interpretacji rozważanego przypadku. Przypadek ten polegał na rozszerzeniu języka obserwacyjnego przy pomocy pewnych terminów teoretycznych, a jego interpretacja oparta była na założeniach empiryzmu semantycznego. Problem jest jednak ogólniejszy — nie ograniczony do tego szczególnego przypadku i jego interpretacji. Ogólny sche mat przedstawiony wyżej może być z powodzeniem zastosowany do innego rodzaju rozszerzeń języka, a ich interpretacja może być oparta na innych koncepcjach semanty cznych. W wypadku takich zastosowań, problem nasz wymaga pewnego przefor- mułowania. Definicja klasy A/cd„ może wymagać pewnych dodatkowych założeń dotyczących charakterystyki rozszerzonego uniwersum i interpretacji dotychczasowych terminów w tym uniwersum. Obie te rzeczy możemy traktować jako wyznaczone nie tylko przez postulaty, lecz także przez pewne metody bespośrednie. W skrajnym wy padku, dziedzina rozszerzonej struktury może być określona jednoznacznie: wszystkie elementy Nq)o będą miały wspólną dziedzinę:
I CD I = U, d l a k a ż d e g o CD e /Va;>„·
Jednym z dopuszczalnych sposobów, w jaki określona może być interpretacja dotych czasowych terminów w rozszerzonej dziedzinie, jest sposób przedstawiony wyżej, w związku z analizą interpretacji predykatów obserwacyjnych. Takie dodatkowe ograni czenia muszą wpłynąć na nasze wnioski dotyczące stopnia identyfikowalności (albo raczej nieidentyfikowalności) rozważanych terminów. Możliwości te wydają się warte rozważenia.
Tłumaczyła Anna Lissowska BIBLIOGRAFIA
Przełęcki, М.: 1976, „Interpretation o f theoretical terms: in defence of an empiricist cl, Mila”, [w:] M.Przełęcki et al. (wyd.), Formal methods in the methodology o f empiri cal sciences, Dordrecht - Wrocław, D.Reidel - Ossolineum.
Winnie, J. A.: 1967, „The implicit definition of theoretical terms”, The British Journal fo r the Philosophy o f Science, 18, 223-229.
