Modelowanie matematyczne automatycznie sterowanego śmigłowca w ruchu przestrzennym

M E C H AN I K A TEORETYCZNA 1 STOSOWANA 3- 4, 23 (1985) MODELOWANIE MATEMATYCZNE AUTOMATYCZNIE STEROWANEGO 1  Ś MIGŁOWCA W RUCHU PRZESTRZENNYM

KRZYSZTOF JAN KOWSKI (WAR SZ AWA) JERZY M ARYN IAK

Politechnika W avsza wska

1. Wstę p

Przedmiotem prezentowanej pracy jest zbudowanie modelu fizycznego i matema-tycznego ś migł owca wraz z umieszczonym na nim ukł adem sterowania automatycznego, przy moż liwie mał ej liczbie zał oż eń upraszczają cych. Celowość zbudowania takiego modelu wynika z potrzeby bardziej dokł adnego zbadania szeregu zagadnień dynamiki ruchu przestrzennego ś migł owca z uwzglę dnieniem wszystkich gł ównych stopni swobody, wpł ywu ruchu wirnika noś nego, ś migła ogonowego, statecznika poziomego oraz tur-bin silników. W dotychczas opublikowanych pracach z tej tematyki [6, 8, 10] zagadnienia te nie są  cał oś ciowo rozpatrywane.

Czę sto stawiane jest zadanie uwzglę dnienia w opisie matematycznym ś migł owca peł niejszych charakterystyk masowych ł opat wirnika noś nego i ś migła ogonowego oraz statecznika: momentów bezwł adnoś ci wzglę dem ich osi podł uż nej , momentów dewiacyj-nych oraz statycznych (wyważ enia ł opat) [1, 6, 9, 10]. W takim przypadku, jeś li uwzglę dnia się  jednocześ nie wię zy n akł adan e przez ukł ad sterowania automatycznego, rozpatrywany ukł ad mechaniczny jest ukł adem nieholonomicznym (najczę ś ciej są  to wię zy kinematyczne, niecał kowalne i nie sprowadzają ce się  do wię zów geometrycznych). Dzieje się  tak dlatego, że ką ty ustawienia ł opat są  obecnie współ rzę dnymi uogólnionymi, opisują cymi poł oż enie ukł adu mechanicznego. Ponieważ ś migł owce nie mają  dobrych wł asnoś ci dynamicznych i charakterystyk statecznoś ci [V, 8, 9], na wię kszoś ci etapów lotu korzystają  z ukł adów podwyż szania statecznoś ci. W zwią zku z tym uwzglę dnianie wię zów nieholonomicznycb przy budowaniu peł nych modeli dynamicznych ś migł owców jest niezbę dne.

2. M odel fizyczny obiektu oraz współ rzę dne opisują ce poł oż enie jego elementów

Przyjmuje się , że rozpatrywany jednowirnikowy ś migł owiec jest ukł adem mechanicz-nym, którego gł ówną  czę ś cią jest sztywny kadł ub oraz nastę pują ce sztywne elementy, mogą ce zmieniać swe poł oż enie wzglę dem kadł uba:

428 K. JANKOWSKI, J. MARYNIAK

— czę ś ci obrotowe silników turbinowych ze swobodną turbiną, — piasta wirnika noś nego z wał em i ukł adem przenoszenia mocy,

— ł ą czniki ł ą czą ce za pomocą przegubów poziomych i pionowych piastę z ł opatami, — ł opaty wirnika noś nego,

— piasta ś migła ogonowego,

— ł opaty ś migła ogonowego, przegubowo mocowane do piasty, — statecznik poziomy.

D la opisu ruchu kadł uba w przestrzeni wykorzystuje się nastę pują ce ukł ady odniesienia [4] (rys. 1):

1*9 Rys. 1. Transformacja quasi- eulerowska

— nieruchomy ukł ad grawitacyjny O0xgygzg zwią zany z Ziemią, — ukł ad grawitacyjny Oxgygzg zwią zany ze ś rodkiem masy kadł uba,

— ukł ad Oxyz, sztywno zwią zany z kadł ubem, którego oś Oz jest równoległ a do osi wał u wirnika noś nego (rys. 2).

Chwilowe poł oż enie kadł uba wyznaczone jest przez współ rzę dne xg , yg, zg jego ś rodka masy w nieruchomym ukł adzie współ rzę dnych oraz przez quasi- eulerowskie ką ty obrotu (samolotowe) (f>, 0, W  (rys. 1).

D la opisu ruchu pozostał ych elementów ś migł owca wprowadzono odpowiednie ukł ady współ rzę dnych, sztywno zwią zane z kadł ubem, równoległ e do Oxyz (rys. 2, rys. 3). Poł o-ż enie danego elementu bę dzie wyznaczone, jeż eli poda się jego poł oż enie ką towe wzglę dem wł aś ciwego ukł adu współ rzę dnych.

Poł oż enie turbiny napę dowej i turbiny sprę ż arki silnika lewego opisują ką ty y>,t i fu ich obrotu dookoł a osi Oslxsl (rys. 3), a dla silnika prawego odpowiednio ką ty f,p i fkp.

Chwilowe poł oż enie / - tej ł opaty wirnika noś nego wyznaczają współ rzę dne punktu O3 w ukł adzie O2x2y2z2 oraz ką ty: ft — azymutu,  & — wahań, £, — odchylenia oraz

M OD U LOWAN I E AU TOM ATYCZN IE STER OWAN EG O... 429

f, — ustawienia ł opaty (rys. 4). Kąt ipt zwią zany jest z ką tem obrotu piasty wirnika noś nego nastę pują cą zależ noś cią:

V, „ V+ _ £ L ,

  ( i =  0 , 1 , . . . , «- ! ) , (1)

gdzie: n — liczba ł opat.

Poł oż enie ./ - tej ł opaty ś migła ogonowego opisuje się podając poł oż enie począ tku ukł adu O₅x_sy₅z_s w ukł adzie O4.X4.y4z₄ oraz ką tam i: yj_sj — azymutu, C —wah ań i  c ^ —u st a-wienia ł opaty (rys. 5). Kąt yjsJ w nastę pują cy sposób zależy od ką ta obrotu piasty ś migł a:

Vi -  Vi+- ^- . U  = 0 , 1 , . . . ,  m - 1 ) , (2) gdzie m — liczba ł opat ś migła ogonowego.

Poł oż enie statecznika poziomego wyznacza kąt <psl jego obrotu dookoł a osi O6yCl.

3. Wię zy geometryczne i kinematyczne nał oż one na ukł ad

N a współ rzę dne, opisują ce poł oż enie punktów rozpatrywanego ukł adu mechanicznego, nał oż one są nastę pują ce ograniczenia, wynikają ce ze struktury kinematycznej ś migł owca: — sprzę ż enie ką ta obrotu piasty wirnika noś nego z ką tami obrotów turbin napę dowych silników:

W tp = fti =  hf, (3)

— sprzę ż enie ką ta obrotu ś migła ogonowego z ką tem obrotu wirnika noś nego:

— zwią zek ką ta ustawienia i- tej ł opaty wirnika noś nego z ką tami okreś lanymi przez ukł ad sterowania i kom pensator wzniosu ł opaty:

gdzie:

ę_g — kąt skoku ogólnego,

Aę — kąt skrę cenia ł opaty wzglę dem przekroju począ tkowego, k — współ czynnik kom pensatora wzniosu ł opaty,

0 i , 02' —k ą ty pochylenia tarczy sterują cej n a azymutach 90° i 0°;

—•  zależ noś ci ką tów pochylenia tarczy sterują cej od ką tów sterowania w ruchu podł uż-nym H i ruchu bocznym ij:

0! =  x sin ^o +  ?? cos y>₀, (6)

O)

430 K . JAN K OWSK I , J . M AU YN I AK

— zależ ność ką ta ustawienia statecznika poziomego o d ką ta skoku ogólnego ł opat wirnika noś nego:

<pst =  Ao + Arfg + Aitf, (9) gdzie A0,At,A2 — stał e współ czynniki.

Są to wię zy geometryczne nał oż one n a ukł ad. Obecność ukł adu automatycznego sterowania lotem nakł ada n a rozpatrywany obiekt nastę pują ce wię zy kinematyczne, liniowe wzglę dem prę dkoś ci [7, 9]:

— prawo sterowania w kanale pochylania: 7i k+% = ko(8 - O,) + kqQ + kx{xa -  xgz) +  kj. {xg -  °xBZ) + »0 , — prawo sterowania w kanale przechylania: — prawo sterowania w kanale wysokoś ci: TiV, + %=' fc«(*«- 2H) +  fc*A/  +  9to>i (12) — prawo sterowania w kanale odchylania: r *# , + 9 , -  hfCF- Wj+ KR+ iprt. (13) W równaniach tych T1 ~ TA oznaczają stał e czasowe czł onów inercyjnych, opisują cych charakterystyki dynamiczne elementów wykonawczych autopilota [7, 8, 9], wielkoś ci z indeksem „ z" oznaczają zadane wartoś ci parametrów lotu, a indeks  „ o " przy symbolu ką ta sterowania oznacza jego wartość w stanie ustalonym (począ tkowym). Wybrany stan pracy ukł adu automatycznego sterowania lotem otrzymuje się przez nadanie odpowiednich wartoś ci (w tym zerowych) współ czynnikom wzmocnienia ka.

Ponieważ zwią zki opisują ce wię zy kinematyczne są niecał kowalne, rozpatrywany ukł ad mechaniczny jest ukł adem nieholonomicznym.

4. Współ rzę dne uogólnione i quasi — prę dkoś ci

Obecnie moż na opisać zbiór współ rzę dnych, wyznaczają cych w sposób zupeł ny poł

o-ż enie rozpatrywanego ukł adu. Są t o : .

— współ rzę dne ś rodka masy kadł uba ś migł owca w ukł adzie O0xgygzg: q± -  x,,

Iz = ya, li =  zt;

— ką ty quasi — eulerowskie: qA = 0, qs = d, q6 =  W  (rys. 1);-  • — kąt obrotu piasty wirnika noś nego: q1 — y> (rys. 4a);

— ką ty wahań ł opat wirnika:  g8 + 1 -  £ ,,. (i =  0, 1,  . . . , n - l ) , (rys. 4a) ;

— ką ty obrotów ł opat wirnika wokół  przegubów pionowych: 2.1+8+1 =  £u (i =  0, 1, . . . , n- 1), (rys. 4a); — ką ty wahań ł opat ś migła ogonowego: ;.

«2n + s+ j=  Cj,  ( / =  0,  l , . . . , m - l ) , (rys. 5a); — ką ty obrotów turbin sprę ż arek silników: •  -•

92n+ m+ 8 =  V«» - «2n +  m+ 9 =  Wkp (r

MODELOWANIE AUTOMATYCZNIE STEROWANEGO... 431

— ką ty st ero wan ia: qi + l =  H, qt+2 -  v\ , qi+3 =  <pg, qi+4 =  %, gdzie /  =  2n+m + 9. Liczba współ rzę dnych uogólnionych jest wię c równa k =  2 «+ m + 13 .

Jako quasi — prę dkoś ci wygodnie jest przyją ć nastę pują ce parametry kinematyczne: — rzuty wektora prę dkoś ci ś rodka masy kadł uba ś migł owca Vc na osie ukł adu Oxyz:

CO 2 U V W - j.1 a22 a23 a31 a32 a33] °y_fl

( 1 4 )

rzuty wektora prę dkoś ci ką towej kadł uba £2 na osie ukł adu Oxyz:

<o₆ p Q R 1 0 0 0 c o s * - s i n * —sinfl

cos0sin0

w

— czę ść quasi — prę dkoś ci przyję to jako równe pochodnym współ rzę dnych uogól-nionych:

gdzie: i = 0, 1, . . . , « — \ ; j =  0, 1, ...,m— 1.

— ostatn ie quasi — p rę d ko ś ci zostan ą t a k wp ro wad zo n e [5], aby n a m ocy równ ań wię zów kin em at yczn ych  ( 1 0 ) H - ( 1 3 ) był y ró wn e zer u :

(18)

v, (19)

(20)

(21)

a

 =

Ilość stopni swobody /  przyję tego modelu ś migł owca równa jest róż nicy liczby współ -rzę dnych uogólnionych k i liczby wię zów nieholonomicznych: l — k—4 = 2n+tn+9.

5. Energia kinetyczna ukł adu

Energia kinetyczna ukł adu jest sumą energii kinetycznych kadł uba i pozostał ych elementów. Po wyznaczeniu prę dkoś ci absolutnych Ve (wzglę dem nieruchomego ukł adu

ziemskiego) punktów należ ą cych do danego elementu e jego energia kinetyczna jest równa:

I Z

Rys. 2. Poł oż enie ukł adów sztywno zwią zanych z kadł ubem

a)

Rys. 3. Ukł ady okreś lają ce ruch silników; a) poł oż enie ukł adów zwią zanych z kadł ubem ś migłowca, b

schemat rozmieszczenia turbin silnika lewego i kierunki ich obrotów

M OD E LOWAN I E AU TOM ATYCZN IE STER OWAN EG O... ₄₃₃

X

3

Rys. 4. Poł oż enie ukł adów zwią zanych z ;'- tą  ł opatą  wirnika noś nego

Przy cał kowaniu uwzglę dnia się  peł

ne charakterystyki masowe poszczególnych ele-mentów. Wektory prę dkoś ci punktów należ ą cych do poszczególnych elementów moż na

zdefiniować w nastę pują cy sposób:

a) wektor prę dkoś ci dowolnego punktu kadł uba:

V

 = V

+Slxr

, (23)

gdzie r

 — wektor ł ą czą cy ś rodek masy kadł uba z bież ą cy

m punktem kadł uba;

b) wektor prę dkoś ci punktu turbiny napę dowej (dla pozostał ych turbin wektory

prę dkoś ci definiowane są  analogicznie):

V„ -  V.+ OxOfc+ fciHfoiXr,!, (24)

gdzie h

 — wektor ł ą czą cy punkt O z punktem O

 (rys. 3), r,

 — wektor łą czą cy punkt

O

 z punktem turbiny;

c) wektor prę dkoś ci punktu piasty wirnika noś nego:

V, =   V

+ a x ( h < >

+ r , ) + ^ x r , , (25)

gdzie h

 — wektor ł ą czą cy punkty O i O

 (rys. 2),

r

 — wektor ł ą czą cy punkt O

 z punktem piasty;

V

=   V«, + f l x ( h

+ l j+ i v) + $ x ( l i + r

) + & x r „ (26)

434 K . jAN KOWSKr,  J . MARYN IAK

d) wektor prę dkoś ci punktu i- tego ł ą cznika piasty:

gdzie li — wektor ł ą czą cy pun kt O2 z przegubem poziomym (rys. 4), rr — wektor łą czą cy

przegub poziomy z punktem n a osi / - tego ł ą cznika; e) wektor prę dkoś ci punktu / - tej ł opaty:

V, =  Ve+ i3ix( hO 3+ l1+ l2+ r , ) + wx01+ ł2+ ^ + j3j> < ( l3- ' + r O + ^ 5

xri +  4ijXr,, (27)

gdzie 12 — wektor ł ą czą cy ś rodki przegubów poziomego i pionowego (rys. 4), r; — wektor

ł ą czą cy punkt O3 z dowolnym punktem ł opaty;

f) wektor prę dkoś ci punktu piasty ś migła ogonowego:

x  ( h0 4+ rp (28)

Rys. 5. Poł oż enie ukł adów zwią zanych z / - tą  ł opatą  ś migła ogonowego

gdzie  h0 4 — wektor ł ą czą cy punkty O i 0A (rys. 2), rps — wektor ł ą czą cy p u n kt < 34

 z.punk-tem piasty;

, g) wektor prę dkoś ci punktu należ ą cego do > t ej ł opaty ś migła ogonowego:

V

- V. + ftx ( ho4 + l3 . + 0 . + ^, x ( l, tx ^)+ fe x r, + . ^x r, ; (29)

gdzie J3 — wektor ł ą czą cy punkty 04 i 03 (rys. 5), r, — wektor ł ą czą cy pun kt 03

M OD EtXWAN IE AUTOMATYCZNIE STEROWANEG O... 435

h) wektor prę dkoś c

i punktu należ ą ceg

o do statecznika poziomego:

V.„ =  V

+ S Ł  x  ( h

+ r .„) +  <p

, x r .„, (30)

gdzie h

 — wektor ł ą czą c

y punkty O i O

 (rys. 2), r „ — wektor ł ą czą c

y punkt O

 z dowol-nym punktem statecznika.

6. Sił y uogólnione

Dział ają ce n a ukł ad sił y uogólnione skł adają się z sił  i momentów aerodynamicznych,

cię ż arowych

, napę dowych, sprę ż ystyc

h i tł umią cych.

Poniż ej podane zostaną skł adowe w ukł adzie Oxyz sił  i momentów aerodynamicznych

i napę dowych dział ają cych n a kadł ub wraz ze skrzydł

em, statecznikiem poziomym i pio-nowym. Współ czynniki sił  aerodynamicznych mierzone są w ukł adzie pół zwią zany

m z prze-pł ywem wokół  poszczególnych elementów, a współ

czynniki momentów aerodynamicz-nych — wokół  osi ukł adu zwią zanego z kadł ubem Oxyz.

%% =  -  y QVI S

(C

cos a

-  C

 sin a^  ~ y QV

S

(C

,

cos  a

-  C

sin a

) +

—o- C ^»Ą (C

cosa

- C

n -  - YQVlS

C

- jQVlS

C

- ~

~QV

S

(C

sinK

+ ^

+ C,„cos «„) + Y

R + Y„P+ Y",

k= —j QVl S

(C

sm a

+C

cos x

) -  ~-  e V% S

(C

sin a

+ C„

cos a

)+

y

U =

 y &VI SJ

 C

 +

 y

 C

~Y QVl S^iC^sin

 a„+

+ C

cos<x

)+L

P+L

R, '(32)

VlSJC +  V l S l C V

S [ { C

+ C

co s <x

)h

 + ( C

«sin a

-  C

cosa.

)h

]+M

Q-  X"h

,

Ni -  - jQVlS

l

C

 + ~QV

SJ

C„

 + ^- QV

S

x

(C

sma

+

+ C

cosa

)+N

P+N

R.

W równaniach tych 2f" oznacza skł adową wzdł uż osi Ox sił y odrzutu gazów z dysz

wylotowych silników turbinowych. Pozostał e symbole są zwykle stosowane przy opisach

sił  i momentów aerodynamicznych, czę ś

ć z nich uwidoczniono na rys. 6.

Opisu aerodynamiki ł opat wirnika noś nego i ś

migła ogonowego dokonano przy przy-ję ciu hipotezy opł ywu quasi- ustalonego [10]. Rozpatrywany schemat sił  i momentów

436 K. JANKOWSKI, J. MARVNIAK

b)

Rys. 6. Widoki ś migł owca z boku (a) i z góry (b) z zaznaczonymi parametrami wystę pują cymi w opisie aerodynamiki kadł uba

pozwala znacznie rozszerzyć model opł ywu ł opaty, przyję ty w teorii G lauerta- Locka [8,10].

Obcią ż enie przekroju z- tej ł opaty wirnika poł oż onego w odległ oś ci /•  od przegubu pionowego skł ada się z sil elementarnych - —£- , —vf-  oraz m om entu —3— (rys. 4, rys. 7).

Po zrzutowaniu n a osie otrzymujemy: 1x3 —-

COSIX,*-dr

sin «•  -   -

y ą bV,(C,

 V

 + C

 V

),

dr

(33)

a, = (pt -  a* -  <pt -  arctg ~^~,

M O D E LO WAN I E AU TOM ATYCZN IE STER OWAN EG O... ₄₃₇

Rys. 7. Obcią ż enie przekroju ł opaty wirnika noś nego

gdzie skł adowe wzdł uż osi O3x3 i O3z3 prę dkoś ci przekroju ł opaty wzglę dem opł ywają cego czynnika są  równ e:

Vxi =   (

-(35) Vzi =   (

-+ 12 + r) + pt(l2 +  r)+vt cos Pt,

a vt oznacza aktualną  dla danego azymutu ipi i promienia r skł adową  prę dkoś ci induko-wanej.

Rzuty sił  aerodynamicznych, dział ają cych na wirnik noś ny, na osie ukł adu Oxyz mają nastę pują cą  postać:

n - l R, 1 =  0 O H - l Rt (36) j 0 0 n - l X i- O 0

M omenty aerodynamiczne wirnika wokół  osi ukł adu Oxyz:

n- l X, (= 0  0 n- t X,

M« -

 y f

A

" = 2 J

438 K. JAN K O WSK I , J. M AKVN I AK

W równaniach tych Rlx, i?,, Ri są rzutami wektora ł ą czą cego począ tek ukł adu Qxy: z punktem na osi i- tej ł opaty. Współ czynniki b\x (elementy macierzy przejś cia od ukiadu 03X3^323 do ukł adu O2x2y2z2) są równe:

Sial(, b\2 -  sin ft sin & +  cos ^j cos/ ?, cos £,- ,

i sin^fsin/ 5,, ' > bii =  - sin(3,sin I ;, H 2 =  - sin/ ?iCos£ ;, fo33 =  - COS/ Jj.

Moment aerodynamiczny wirnika wokół  jego osi obrotu jest równy:

r . o o (39)

Moment aerodynamiczny ('- tej ł opaty wzglę dem osi przegubu poziomego moż n. wyrazić w nastę pują cy sposób:

Mfa  - /  taisCIj+ J- ooś W- ^asinija- ; ••  •  (40) natomiast moment wzglę dem przegubu pionowego jest równy: ,

M"; -  /  ( - gi, r ) d p . . (41) o

W podobny sposób oblicza się sił y i momenty aerodynamiczne ś migła ogonowego. Ponieważ począ tek ukł adu Oxyz jest ś rodkiem masy kadł uba, jego momenty cię ż arowe są równe zeru. Uwzglę dnić natomiast należy w zależ noś ciach na sił y uogólnione momenty grawitacyjne poszczególnych zespoł ów ś migł owca wokół  osi ukł adu Oxyz i na pozostał ych przesunię ciach przygotowanych. Poza tym, w prawych stronach równań ruchu umieszczone zostaną momenty napę dowe oraz momenty dział ają ce na ł opaty wirnika noś nego wokół przegubów poziomych i pionowych od sprę ż yn i tł umików.

7. Równania ruchu ś migł owca

Równania ruchu ś migł owca wyprowadzono wykorzystując równania Boltzmanna-H amela dla ukł adów nieholonomicznych w quasi- współ rzę dnych [2, 5]:

k I

d dT* dT*

 \~1 VI ST*

'U^+ §*& **'  ^

i 2 / ) (42)

Wystę pują ce w równaniach współ czynniki Boltzmanna y^ obliczono, wykorzystując tzw. zwią zki przestawialnoś ci [2, 5]:

k k - , ;

dÓ7ir- dd7tr m E • £ YUdn^itu (r  = 1 , 2 , ..., fc). (43)

M OD E LOWAN I E AU TOM ATYCZN IE STER OWAN EG O... 439

P o wykonaniu odpowiednich operacji równania ruchu obiektu ś migł owiec ukł ad sterowania sformuł owano w nastę pują cej postaci:

d ST * 18T *

 a r * 8T * 8T * ki 8T * h,

r

R

+

Q

+

k (44)

-* k„ \

r) T

j

it 8R \  80 86 8W  co s0 a<ps

( 4 5 ) ST* ki \  8T * „ . 8T * „ . 8T *

80

 8

 T

J 3V " •  bW  8Q

  " ' BR *

440 K. JAN KOWSKI, J. M ARYN IAK •  , •  c o s< P \  8T* ( kr.  c o s 0 \  (49)

Ę _

 N^+Mi+hMU+hMU+hMU+^l, (50)

i

i

£

L

X 1), (51)

ar*

 »

± El _  i l l

 MJj +  M%!-  c,

Cj- k.tj, (/  -  0, 1,"..., w - 1), (53)

d ar* ar* .. ,.,.

D o tej pory nie opisywane oznaczenia t o : me — masa cał kowita ś migł owca; momenty dział ają ce n a: N02 — wirnik noś ny wokół  osi O2z2, Af04. — ś migło ogonowe wokół  osi

O4J4, Mhi, Mvi — z- tą ł opatą wirnika wokół  osi przegubu poziomego oraz pionowego,

Mpj—/ - ta ł opata ś migła ogonowego wokół  osi przegubu wahań, Mkt, Mkp — turbiny sprę ż arek silnika lewego oraz prawego; ch,c„,cp — stał e sprę ż yn w przegubach: poziomych i pionowych ł opat wirnika oraz wahań ś migła ogonowego; kh, ke, kp — współ czynniki tł umienia w tych przegubach. Indeksy dolne oznaczają: k — kadł uba, iv — wirnika, s — ś migła ogonowego, sil — silników, st — statecznika poziomego. Indeksy górne: a — aerodynamiczny, g — grawitacyjny, n — napę dowy.

Równania (44) +  (55) wraz z czterema równaniami wię zów (10) +  (13) oraz zależ noś ciami okreś lają cymi ą uasi- prę dkoś ci w funkcji prę dkoś ci uogólnionych (14), (16), (17) tworzą ukł ad k+l » 42+2n+22 równań ruchu. Mając dane wartoś ci począ tkowe moż na wyzna-czyć z niego 42+2n+22 nieznanych funkcji czasu: ą uasi- prę dkoś ci i współ rzę dnych uogólnionych. W pracy [3] przedstawiono wszystkie skł adniki równań (44)- r (55).

8. Wnioski

Korzystając z metod mechaniki analitycznej ukł adów nieholonomicznych zbudowano model matematyczny ś migł owca wyposaż onego w ukł ad sterowania automatycznego. U wzglę dniono przy tym praktycznie wszystkie gł ówne stopnie swobody ś migł owca jako ukł adu mechanicznego oraz peł ne charakterystyki masowe jego elementów. Analizując otrzymane ogólne równania ruchu przestrzennego stwierdzono wystę powanie silnego sprzę ż enia ruchów podł uż nych i bocznych kadł uba ś migł owca w przestrzeni, a także

M OD E LOWAN I E AU TOM ATYCZN IE STEROWAN EG O... 441

sprzę ż eń ruchów poszczególnych zespoł ów ś migł owca. Z tych powodów oddzielne ana-lizowanie ruchów podł uż nych i poprzecznych ś migł owca jest duż ym uproszczeniem i przy poważ niejszych rozważ aniach nie może być stosowane, co się  jednak czę sto zdarza. Oce-niają c wyniki badań wł asnoś ci dynamicznych izolowanej ł opaty należy zwracać uwagę na to, że w rzeczywistoś ci umocowana jest ona do piasty, wykonują cej wraz z kadł ubem zł oż one ruchy przestrzenne.

Otrzymany model matematyczny może być wykorzystany przy rozpatrywaniu wielu zagadnień dynamiki ś migł owców bą dź ich zespoł ów. W przygotowywanych do publikacji pracach przedstawione zostaną :

— metodyka okreś lania parametrów ruchu ustalonego na przykł adzie lotu poziomego i zawisu ś migł owca, wraz z przykł adem obliczeniowym;

— badanie statecznoś ci ustalonych stanów lotu i iloś ciowa analiza sprzę ż eń ruchów poszczególnych elementów ś migł owca.

Literatura cytowana w tekś cie

1. R. W. BALKE, R. L. BEN N ETT, T . M . G AF F EY, R . R . LYN N , Tail Rotor Design, Part / / : Structural Dyna-mics, Jo u rn al of th e Am erican H elicopter Society, October 1970.

2. R . G U T O WSK I , Mechanika analityczna, P WN , Warszawa 1971.

3. K. JAN KOWSKI, Modelowanie fizyczne i matematyczne wł asnoś ci dynamicznych sterowanego ś migł owca w ruchu przestrzennym, R o zprawa doktorska, P olitechn ika Warszawska, Warszawa 1982. 4. J. M AR YN I AK, Dynamiczna teoria obiektów ruchomych, P race n aukowe — M echanika N

r 32, Politech-n ika Warszawska, Warszawa 1975.

5. J. I . N E JM AR K,  N . A. F U F AJE W, Dynamika ukł adów nieholonomicznych, P WN , Warszawa 1971. 6. H . L. P R I C E , Rotor Dynamics and Helicopter Stability, Part I- i-  V, Aircraft Engineering, N o . 3,1963 4-  N o .

11, 1965.

7. D . SWE E TI N G , Some Design Aspects of the Stability Augmentation System for the W G- 13 Rigid Rotor Helicopter, AG AR D  C on feren ce P roceedings,  N o . 86, 1971.

8. C . K>. EcAyjioB, O .  I I . BAXOB,  I I . C . JXxniriiCB, Bepmo/ iem KOK oiwrnnynpaeneHun, M aiin uiocr-poeH H e, M ocKBa 1977.

9. B. A. KoMceBHHKOB, AgmoMamunecKan cmaduAmatfUH eepmojiemoe, MauiiiHOCTpoenne, MocKBa 1977.

10.  M . SI. M H J I Ł H  ap. —B epm oAem u. Panem u npoeKtnupotaime, K H . 1, K H . 2", M aniH iiocipoenne, MocKBa 1967.

P e 3 IO M e

iMATEMATH ^IECKOE M OflEJIH POBAH H E ABTOM ATIM ECKH  yilP ABJIflEM OrO BEP TOJIETA B U POCTPAH CTBEH H OM flBH H CEH MH

H acTonmeft pa6oTw HBJIHCTCSI n ocrpoem ie noJinoii .iiaTeMaHwecKoii MOACJIH BepTOJie- ra. B CBH3H  c 3THIVI y^H TMnaeTca npaKTiMecKii Bee rnaBH bie CTeneHH

 CBOGOAM BepToJi&ra KaK Mexatm-CHereMbi. Kpoiwe flBroKemifl (biO3ejimi<a B npocTpaHCTEe u n ecym ero BHHTa paccMaTpmaeTCH flBH H teH H e pyjieBoro BHHTa, CTa6nnH3aTopa K TypBHH  flBH raTeneM. MiiTerpajiwioft H aertio MO-BepToJieia aBiraeTCJi CHCTeaia aBTO«aTHicci<oro ynpaBJieHHH  HaiuiaflfaiBaiomaH  n a paccMaTpiiBae-Myio MexaniMecKyro cucieM y HenHTerpiipyeMMe KnHeiwaTHHeci<ne CBH 3H (HeronoHoiHiiaJi

442 K. JANKOWSKI, J. MARYNIAK

. S u m m a r y

MATH EMATICAL MOD ELLIN G  OF TH E CON TROLLED  H ELICOPTER IN . TH E TH REE- D IMEN SION AL MOTION

The purpose of the work is to develop a unified mathematical model of a helicopter. All main degrees of freedom of a helicopter as a mechanical system are actually taken into account. The motion of fuselage in space and the motion of main rotor, tail rotor, tail plane, turbines is considered. An integral part of the mathematical model of a helicopter is the flight control system which imposes the constraints, specified by nonintegrable expressions involving the velocities (non — holonomic system), on considered meshanioal system.