V V Przyk ł ad 2.2. Wyznaczanie pr ę dko ś ci i przy ś pieszenia w ruchu z ł o ż onym

Przykład 2.2. Wyznaczanie prędkości i przyśpieszenia w ruchu złożonym

Punkt materialny A porusza się wzdłuż przeciwprostokątnej trójkąta przedstawionego na rysunku 2.A. Trójkąt ten znajduje się w ruchu obrotowym wokół dłuższej przyprostokątnej.

Prędkość punktu A względem trójkąta wynosi V_A^w =2ω_ol const= , a prędkość kątowa ruchu obrotowego wynosi ω₁=ω_o =const.

Wyznaczyć prędkość i przyśpieszenie bezwzględne punktu A w chwili, gdy jego odległość od osi obrotu wynosi l.

rys. 2. A

ROZWIĄZANIE

Z treści zadania wynika, że ruch punktu A jest złożeniem ruchu względnego z prędkością V_A^w i ruchu unoszenia z prędkością ω₁. Prędkość bezwzględną punktu A można więc przedstawić w postaci sumy:

V_A =V_A^u +V_A^w.

Prędkość V_A^u jest prędkością unoszenia i wynosi V (rys. 2.B). Uwzględniając, że

Au r

=ω₁ × BA

ω₁⊥r_BA , ω₁ =ω_o , r_BA =l otrzymujemy V l. Kierunek tego wektora przedstawia rysunek 2.B.

A u

=ωo

rys. 2. B

Wprowadzając układ współrzędnych Oxyz jak na rysunku 2.B. możemy przedstawić wektor prędkości punktu A przez jego składowe:

V V V l

V V V l l

V V V l l

Ax Axu Axw

o o

Ay Ayu Ayw

o o

Az Azu Azw

o o

= + = + =

= + = − + = −

= + = − = −

0 2 30 3

0

0 2 30

ω ω

ω ω

ω ω

cos

sin

o

o

l

Długość wektora prędkości punktu A wynosi:

1

( ) ( ) ^{( )}

( ) ^{( ) ( )}

V V V V

l l l

A Ax Ay Az

o o o

= + + =

= + − + − =

2 2 2

2 2 2

3ω ω ω 5ω_ol

Podobnie wyznaczymy przyśpieszenie punktu A.

Wektor przyśpieszenia jest sumą trzech wektorów:

a_A =a_A^u +a_A^w +a_A^cor.

Przyśpieszenie w ruchu względnym , ponieważ zadana prędkość ruchu względnego jest stała (V ).

a_A^w = 0 const

Aw =

Przyśpieszenie unoszenia, jako przyśpieszenie w ruchu obrotowym, może być przedstawione przez składową normalną i składową styczną:

a_A^u =a_A^un +a_A^uτ.

Składowa styczna _{a A}^uτ _{= 0}, ponieważ układ ruchomy obraca się ze stałą prędkością kątową ω₁ = const. Zatem a_A^u = a_A^un.

Składowa normalna ma wartość . Wektor przyśpieszenia unoszenia przedstawiony jest na rysunku 2.C.

a^un_A =ω_o²l

rys. 2. C

Przyśpieszenie Coriolisa wynosi a_A^cor =2ω₁×V . _A^w

Określając składowe wektorów ω₁ i V w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz jako _A^w

[ ]

ω ω_{1 o}, ,0 0

[ ]

V_A^w 3ω_ol, ,−0 ω_ol ,

możemy wyznaczyć wektor przyśpieszenia Coriolisa analitycznie bezpośrednio z definicji:

[ ]

j l

k V V

j V V

i V V

a

o

w Ax y w Ay x w

Az x w Ax z w

Ay z w Az y cor

A

⋅

=

=

− +

− +

−

=

2

1 1

1 1

1 1

2

) (

) (

) (

2 ω

ω ω

ω ω

ω ω

Wektor przyśpieszenia Coriolisa przedstawiony jest na rysunku 2.D.

2

rys. 2. D

Ostatecznie przyśpieszenie bezwzględne punktu A wynosi a_Ax = + =0 0 0

a_Ay = +0 2ω_o²l =2ω_o²l l. a_Az = −ω_o²l+ = −0 ω_o²

Długość wektora przyśpieszenia punktu A wynosi:

( ) ( ) ^{( )}

( ) ( ) ( )

a a a a

l l

A Ax Ay Az

o o

= + + =

= + + =

2 2 2

2 2 2 2 2 2

0 2ω ω 5ω_ol .

3