Jeometrya elementarna dla szkół wydziałowych i podwydziałowych

... ... ...*---- _{/ /} Liczba inwentarza //' 7 iż (/■'/

t / i

Szafa Półka Miejsce

*

\

4 J j

rEOMETRYA

ELEMENTARNA.

S Z K Ó Ł W Y D Z I A Ł O W Y C H

W\\ ,

'ZLONKA KOMMISSYI RZ^DOW ŹY WYZNAŃ KELIG1YNYCH IOŚW IECENIA PUBLICZNEGO

WIZYTATORA JENERALNEGO iN S T Y - TUTOW NAUKOWYCH. W y d a n ie de-ngie. v r . . f % / / Władysław Kxetkom.iL

W A R S Z A W A .

w DRUKARNI, K.R.W .R.

Z a p o w a l e n i e m C enzury Rzndotcéy,

P R Z E D M O W A

przepisany plan nauk dla szkół w y­

działowych

,

oddawna czuć d a w a ł p o -

ebę elemenlarney Jeom eiryi, któraby

"teoryi łączyła praktykę

,

i tak b y ła

'tką, izby w tych szkołach zupełni*

mczyć się mogła.

Tey potrzebie, żadne z d z ie l w ięzyku

skini, iak np. Jeometrya

,

Euklidesa,

landra i Lacroix zaradzić dotąd nie•

gło,

naprzód

dlatego', ze

te

ym uią

tylko teoryą ;

po wtóre,

każde z nich

,

pomimo zalet sobie w łd-

vycltf zawieraiąc niektóre p ra w d y tru

-

nn i długim sposobem dowiedzione, inne

nie niaiące praw ie żadnego p r z y sto­

rn ni a , tak iest obszerne

,

i i w szkołach

działowych

,

choćby nawet od klassy

"wszey zaczynan e

,

w yłozyćby się cał-

vicie nie dało.

eometrya praktyczna X . Zaborowskie

-

me odpowiada także zamiarowi tych

i ł , iuz ze względu na obszernoić dzie-

iuz dlatego

,

ze nie obeymuie wylda-

teoryi.

Z tych powodów, w ziąw szy w pomoc

dzieła wspomnianych autorów

tudzież

B ezouta

,

Lem oina, O zanam a

,

Bclaver

n a , i L efcvra

,

ułożyłem ninieysze dziełof

zawieraiące wszystkie główne p ra w d y ele

mentarney ieometryi, ściśle, i nayprościey

ile być może dowiedzione

,

i do p rą k ty

ki zastosowane

.

Dzieło to

,

iak mnie

m a n i

,

zdoła dostatecznie usposobić ucz

niów szkół wydziałowych do słuchanie

wyższych części m atem atyki

,

• przygoto­

wać ich do wszelkich pow ołań technicz­

nych

,

iakieby sobie po ukończeniu tych

szkół, obrać chcieli

.

W yp a d a ło m i w ykład teoryi p rzed zie

lać zastosowaniami dlatego, a b y z nich

korzystać mogli i tacy uczniowie

,

którzy

zaw ód szkolny częstokroć w klassie l i i

hończyć zwykli

.

Starałem się p rz y te m ,

w całym ciągu dzieła utrzym ać związei

m iędzy p ra w d a m i

,

i dowodzenia ich o-

pierać na poprzedzaiących

:

żeby uczący

sięf p r z y nabywaniu praktycznych w ia­

domości, idąc w teoryi za pasm em po

rządnych i ścisłych rozumowań

,

mogl

p rzez riie stopniowo rozwuuć swoie po

ięcief i kształcie władze umysłowe•

POCZĄTKI JEOMETRYI

X I E G A I.

R O Z D Z I A Ł

I.

O p i s a n i a ( definieye).

I . W szystkie rzeczy podpadaiące pod z m y sły są r o z c ią g łe ; toicst maią trzy w y m ia r y : długość\ szerokość i wysokość.

Przedmiotem Jeometryi iest mierzenie

rozciągłości.

Luóo rozciągłość ma z a w s z e trzy w sp o ­ m niane wym iary, można iednak u w ażać w niey ieden tylko z nich, albo dwa razem.

II. Długość uważana bez szerokości na^ ż y w a się l i n i i ą ; taka np. iest długość dro­ gi, sznura, i t*. d.

Końce linii z o w ią się punktam i. Punkt nie ma żadney rozciągłości.

III. L iniia p r o sta , iestto naykrótsza odle­ głość iednego punktu od drugiego. TaH.i

IV. W szelka liniia AEB, która nie iestFSg. i. prosta, iak liniia AB, ani złożona z liniy prostych czyli łamana, iak liniia ĄCDB, n a z y w a się liniią krzyw a .

Z opisania lin ii prostey wypada:

ló d ze liniia k r z y w a A E B , albo liniia łamana

A C D B , iest d łu ższa od linii p r o s te y A B ;

2re ze m iara p r a w d z iw ą odległości dwóch

l

pun któw iest liniia p r o sta , k tó ra ta ł ą c z y ;

x 3 ci u, ze od iednego p u n k tu do d ru g ieg o ,

ie dna tylko liniią p r ó stą po p ro w a d zić m o­ żna; 4te ze dwa punktu oznaczała położenie Unii p r o s t e y , a za tem dw ie liniie p r o s t e , g d y m aią dw a końce Sp o ln e , p r z y s t a ła do siebie.

V. Pow ierzchn ia iestto rozciągłość,

maiąca długość i szerokość, bez w ysok o- ści czyli grubości; taką powierzchnią iest np: pole, plac ogrodu, »t. d.

VI. P ła szczyzn a n a zy w a się ta powierzch­ n ia, na którey położona liniia prosta, i \v różne strony obracana , z a w sze dotyka się tey powierzchi w c w szystkich s w o ­ ich punktach. D o takiey powierzchni zbli- za się np. powierzchnia dobrze w ygładzo- n ey t a b lic y , zw ierciadła w ypolorow ane- g o , i t. d.

VII. Wszelka powierzchnia która n ie- iest płaska, ani z ło z o n a z powierzchni pła­ skich, z o w ie się p ow ierzch n ią krzyw ą) taka iest np. powierzchnia góry, ltu li, it.“d.

VIIL B r y t ą n a z y w a się t o , co ma t r z y w ym iary rozciągłości; i tak kamień , góra, s t ó i, i t. d-, są bryłami. Bryły iedne są ograniczone powierzchniam i p ła sk iem i, drugie k r z y w e m i, inne iednemi i drugiemi razem. Można zatem uważać pow ierzchnie zagran ice brył, l'niie za granice pow ierzch ­ ni , a punkt a za granice limy.

IX . L in iia prosta iest miarą wszelkich liniy. Mierzyć liniią, iestto dochodzić ile razy m ieści się w niey liniia prosta w z ię ta za iedność, czyli za miarę, iaką iest np. łokieć. Miary lin iio w e u żyw ane pospoli­ cie są: szn u r, sążeń, łokieć i t. d. "

— 2 —

X. Okrąg k ota, iestto 1-iniia k rzy w a Fig. ADBfcA, maiąca na tcy samey p ła szczy ź­ nie, w sz y stk ie nunkta rów no < (hlalone od

Płaszczyzna tą łin iią k rzy w ą zam k n ię­ ta n a z y w a się kotem .

XI. Część jakakolw iek okręgu kola zo­ w ie się tukiem .

Można uważać okrąg kola iako zakre­ ślony końcem lin ii prostey C B , obracaią- cey się na tcy samey p ła szczy ź n ie około punktu C , póki nic powróci na mieysce z którego rozpoczęła s w ó y obrót.

XII. Każda z lim y prostych CA, CD, i t d- ze środka C do okręgu koła poprowadzonych’ zow ie się 'promieniem.

W szelka Jiniia prosta AB, przechodząca przez śi-owk koła, i wspierająca się d w o ­ ma końcami na iego okręgu, n a zy w a się

średnica.

Z opisania XI. w y p a d a , ze w sz y stk ie prom ienie koła są rów ne sobie; i ze w s z y ­ stkie iego średnice są d w a razy w ię k sz e od promienia, a przeto są rów ne m iędzy sobą.

XIII. K ą t) iesttó n a c h y l e n i e się ku sobieFig. dwóch lin iy prostych AB, AC, spotykają­ cych się w iednym punkcie A; ten punkt

z o w ie s i % w ierzchołkiem kąta, a l i m i e AB, AC są iego ramionam i.

Kąt czyta się iedną głoską A, przy w ierz­ chołku iego położona, albo trzema głoska­ mi BAC, lub CAB,!b acząc na to, aby gło­ ska położona przy w ierzchołku w y m ó w i o ­ ną w e środku.

— 1 —

F«y.\. XIV. jGłly liniia prosta AB, spoty kaią« drugą liniia prostą OD , czyni z nią kąty przyległo BAC, BAD, równe, każdy ztj kątów z o w ie się p r o s t y m , a liniia

p ro sto p a d ła do linii CD.

Fig'5* XV. liazd y kąt BAC m n iey szy od kąta prostego, na zy w a się katem o s t r y m ; a każdy kąt D E F w ię k s z y od kąta proste­ go, z o w ie się katem rozw a rtym .

XVI. F ig u r a p l a s k a , iestto płaszczyzna ze w szech stron liniiam i zamknięta.

I. D w ie ilości równe tr z e c ie y , są równe sobie.

II. Gdy do równych ilości dodane będą iloś«i równe, w ypadną stąd summy równe.

dą ilości równe, w ypadną summy nierówne. V. Gdy od nierównyduiJości odięte bę­ dą ilości równe, w ypadną różnice nierówne. VI. D w ie liniia, albo d w ie powierzchnie, są ró w n e so b ie, gdy przeniesione iedna na drtigą, przystaią w e. wszystkich punk­ tach do siebie.

VII. W szystkie kąty proste są równe sobie.

Uwaga. D la s k r ó c e n ia , u ży w a ć tu nie­

k ied y będziemy znaków arytmetycznych, których znaczenie obiaśniamy. 1 tak:

A = B znaczy ze A.test równe B.

A < B w yraża ze Ayiest m n ieysze od B. A > B znaczy ze A w ię k sz e od B.

Znak -f-skaznie dodawanie i czyta się wiec ty.

F tw n ik i.

Znak — wyraz» odciąganie i czyta się

mniey\ i tak A -j-C wyraża summę ilości

A i B, zaś A — B oznacza różnicę ilości A i B, czyli resztę, która zoslaie po odcią- gnieniu B od A.

Znak X skazuie mnożenie ; i tak A X B wyraża iloczyn z A pomnożonego przez B,

Wyrażenie A X ( B-j-C— D ) oznacza ilo­ czyn z A przez ilość B - f C — I). Gdyby zaś wypadło m nożyć A-j-B przez A—B-j-C, oznaczylibyśm y wypadły stąd iloczyn przez (A-j-B) X — B + C ); w sz y stk o , co iest W n aw iasie zamknięte u w a ż a się za iedną ilość.

W trzech pierwszych Xięgack zastanawiać Stę będziemy nad figurami płaskie mi, czyli na* kresionemi na powierzchni płaskiey.

1. Twierdzenie.

W szelka liniią A p r o sta CI), spotykciiąc^1 d r o g a linii a p r o stą A B , czyni z nią dwa k ą ty p r z y le g le A V D , D C B , których summa ie st równa dwóm ką to m p ro stym .

Bo z punktu € , w y s t a w iw s z y sobie po­ prowadzoną inną liniią prostą CE, czynią­ cą z liniią AB, kąty przyległe ACE, ECB, r ó w n e , każdy z tych k ątów będzie pro­ sty (opis. XIV); a że kąt ACD— ACE-f-ECD, w ięc, d odaw szy do obu stron kąt D C B , Będzie ACD + D C B = A C E + E C D -fD C B , (pew. II); iest. zaś kąt ACE prosty, a d w a kąty ECD, DCB składaią drugi kąt prosty, w ię c summa kątów A C D , DCB równa l e st dwóm kątom prostym.

W niosek I. Gdy dwa kąty przyległe ACD,

^ C B , razem wzięte czynią dwa k ąty pro­ ste, w tedy ramiona ich zewnętrzne AC,CB, składają iedną i też

samą

i. Wniosek 14, W szystkie kąly po sobie idące, RAC, CAD, DAE, E A F , utworzono z ierfney strony lin ii prostey B F , razem wzięte, czyni i d w a kąty prcste; gdyż sum- ma ich równa sie summie dwóch kątów przyległych RAC,' CAF.

2. Twierdzenie.

s. D w ie lim ie p r o s te A B , D E, p r z e c in a ła -

ce sie z sobą w iakimkolwiek punkcie C, czyn ią k ą ty w w ierzchołku p rzeciw leg łe równe sobie) to ie s t, bedzie k a t A ( J ) = E C B i k a t A C E = D CB. *

Bo kąt I )C A -f-A C E = 2 kątóm prostym ( t w ie r . 1); kąt ACE-j-ĘCB— 2 kątom pro­ sty m : w ięc DCA -f- ACE = A C E -j-ECB ( pe»v. 13; odiąw szy spoinie kąt A C E , po­ zostanie kąt DCA— ECB ( pew. III). Po­ dobnie dowieśdź można, ze kąt ACE— OCR.

Wniosek. Gdy każdy z dwóch kątów

DCA, ECB, z kątem trzecim ACE, czyni summę rów ną dwóm kątóm prostym; dwa kąty DCA, ECB %p równe sobie.

Uwaga. D w i e liiiiie proste AB, D E ,przc-

cinaiące się w punkcie C , tw orzą przy tym punkcie 4 k ą t y , których summa w a ­ zy 4 kąty proste; bo dw a kąty ACE, BCE razem w z ię t e , w a z ą d w a kąty proste; i d w a drugie ACD, DCB tyleż wazą.

W ogólności, gdy ilek o lw iek liniy pro­ stych CA, CB, i t. d. / fig. 8 bis), spotyka się z sobą w iednytn punkcie C; summa w szystkich po sobie idących kątów ACB, BCD, DCE, ECF, FCA, będzie r ó w n a 4 ką­ tóm prostym. Bo poprow ad ziw szy przez punkt C d w ie lim ie do siebie prostopadle, utworzą się 4 kąty proste, zaymuiące tęz samą przestrzeń co i kąty ACB, BCD, i tal

F. O Z D Z I A Ł li. •

O R O W N 0 SCJ T R O t K Ą T Ó W .

O p i s a n i a.

I. Płaszczyzna wierna liniiami zumknię- fa, zo w ie się tr ó y k ą te m .

II. T róykąt, uw ażany co do- boków, na­ zy w a się równoboczny, gdy ma trzy boki równe (fig. 10); równoram ienny, gdy ma dwu boki rów ne (fig. 9 ) ; róznoboczny gdy ma trzy boki nierówne (fig. 1 1 ).

Uli Tróykąt, uw ażany co do kątów, na­ zy w a się p r o s to k ą tn y gdy ma kąt ieden prosty; o s tr o k ą tn y , gdy ma trzy kąty ostre;

r o z u a r to k ą tn y , gdy ma kąt ieden rozwarty.

W tróykącie prostokątnym, bok AC prze- cjwlegty k ą t o w i prostemu z o w ie się p r z e -

c iw prostokątn ą (fig. )■

3.

Twierdzenie.

D w a tr ó y k ą t y A B C , J ) E F są równe so-Figyi < bie, g d y m aią dw a boki odpow iednie rów n e,

i k ą ty z a w a r te t e m i bokami r ó w n e ; to ie s t, g d y bok A lhz=.D E, AC==DF, i k ą t A ~ D , będzie tróyWnt A B C — D E F .

Jakoż w y sta w i w s z y sobie tróykąt ABC położony na trókącie D E F , tak, aby punkt A padł na punkt D , i bok AB poszedł po boku D E , padnie i punkt B na punkt E , gdyż bok A B = D E z założenia; i bok AC padnie na bok D F , gdyż kąt A = D ; nad­ to, ponieważ bok D F — AC, w ięc punkt C padnie na pllnkt F , a zatem i lin iia pro­ sta BC przystanie do linii E F (opis. IY) y ‘ tróykąt ABC przystanie do tróykąta D M , i będzie mu rów ny (pcw. VI).

pfniosek. Z tego, źe trzy rzecjty w dwóch

trójkątach są ró w n e, to iest, ze kąt A = D , bok AB— DE, i bok A C = D F , wypada: ze trzy inne także są rów ne sobie, to ie s t, kąt B— E, kąt C = F , i bok B C = E F .

4. T w ie r m nie.

12 Dwa t r ó y k ą t y A B C , D E F ,m a ią c e po ied- nym boku r ó w n y m , i po (lica k ą ty p r z y ­ legle tem u bokowi odpowiednie ró w n e, są równe sobie: to ie s t , g d y bok B C = E F \ k a t B = E , u kat C ~ F ; będzie tr ó y k ą t A B C — DEF.

Albowiem przeniósłszy tróykąt ABC na tróykąt D E F , tak, aby punkt B padł na punkt E, a bok BC poszedł po boku E F , padnie i punkt C na punkt F, gdyż bok B C = E F ; nad­ to, ponieważ k ą tB — E, więc bok AB w e ­ źmie kierunek DE, tak, ze punkt A znaydzie się w jakim kolwiek punkcie linii ED. Podo­ bnie, dla równości kąta C z kątem F , Iiniia CA w eźm ie kierunek F D , i punkt A z n a y - dzie się w którym kolw iek punkcie boku FD ; punkt w ię c A, znayduiąc się razern na dwóch liniiach E D , D F , zn aydow aó się musi na ich spólnem przecięciu D , zatem d w a tróykąty ABC, D E F , przysta­ ną do s ie b ie ! będą sobie rów ne (pcw. VI).

Wniosek. Z tego, źe w dwóch trój ką­

tach trzy rzeczy są r ó w n e , toiest ż e B C = E F , B— E, C—F , w y p a d a , źe trzy inne są także równe, toiest bok A B = D E , AC— D F , kat D =-A.

5. Tw ierdzenie.

2 W każdym tr ó y kącie A B C , bok k t ó r y ­ kolwiek BC , ie st m nieyszy od summy dwóch innych boków AB, AC.

Bo bok BC, iest naykrótszę odległością punktu B od punktu C (opis. III); w ię c bok BC iest m nieyszy od B A + A C .

6. Twierdzenie.

Jeżeli z p u n ktu O, obranego w e w n ą tr z ?i*.u tr ó y k a ta A B C , poprowadzone są do koń­ ców iednego boku BC, d w ie liniie p ro sto

OB, OC; bedzie summa ty c h lin iy m niey- sza od sum m y dwóch Innych boków B A , A C

Bo przed łużyw szy bok BO, do s p ^ K?' n*a się z bokiem AC w punkcie D. oędzie l.niia O C < O D + DC (tw ie r .5 .1 ; ‘ych ilości nierównych do d a w szy dj0*me

będzie B O + O C < O D + D C - J 'j b d ,c"'- I V ), czyli BO + O C < B D + D®* D la podobncy przyczyny, będzie B D < A B + A D ; d o d aw szy spoinie D C , będ zr B D + D C < B A + AC»

A że „kazaliśm y «* BO + O C < B D + DC,

w ię c tein bard-iey iest BO + O C < B A + A C . \ 7 . Twierdzenie.

Jeżeli Ava boki A B , AC, tr ó y k a t a A B Ć y ^ t U sa ró)'ne dwom bokom D E , E F tr ó y k a ta ¿ f t p , i iezeli k ą t B A C z a w a r t y m ie d z y pv>rwszemi b okam i, iest w iększy od k ą ta j ) E F za w a r te g o m ied zy bokami d r u g ie m i’, m ó w ię , ie i bok tr z e c i B C pierw szego t r ó y ­ k a t a , ’bedzie w iększy od boku trzecieg o D F tr ó y k a ta dru giego

A lb ow iem poło ży w szy trójkąt D E F na trdykąt ABC, tak, aby bok E F przystał do bo­ ku AC, zdarzyć się może, żc punkt D* pa­ dnie w ew nątrz tróykata ABC, albo na bok iegoBC, lub zewnątrz tróykąta ABC.

W tym przypadku, gdy punkt D pada we-Fi*.i* wnątrz tróykąta ABC, będzie podług t w ie r ­ dzenia poprzedzaiącego AO-}-DC<C A B ^ B C ;

odiąw szy z iedney strony AD, z drugiey AB=±AD, pozostanie bok DC, czyli równy mu D F < B C ( pew. Y).

Fig.i» w 2gim przypadku, gdy punkt D pada na bok B C , iest o c z y w is t a , zé EC > B C = D F .

Fig.i« yy 3cim przypadku, gdy punkt D pada

zewnątrz tróykąta ABC; będzie AB < B O -fO A (twier. 5), i D € < D O - f OC; zatem At*. _p. O C < B C -f- DA. Od i ą w s z y z iedney «tron, AB, z drugiey D A = A B , pozostanie D C < B C (pew . Y).

Tw ierdzenie odwrotne.

Fig. 14 Jeżeli dw a inki AB, A C tr ó y k a ta A B C, są równe dwóm inkom D E , EF," tr ó y k ą ta E D F , lecz bok tr z e c i E C pięm cszzego t r ó y ­ k ą ta , i e s t większy od ho ku trzecieg o D F d ru giego t r ó y k a t a ; hędzu i k a t B A C p r z e -

* ciw legfy bokowi BC, większy ¿ y k ą ta D E F p r z e c iw le g łe g o lo k o w i DF.

Bo gdyby nié bvl kąt B A C > B e f , byiby kąt B A C = D E F , lub B A C < D E F ; w p,*fer. w s z y m w ię c ra zie, byiby bok BC J)F ( twier. 3), w drugim zaś r a z ie , byłby \*0k B C < D F (tw ier. I ) \ aze iedno J drugie sprzeciwiałoby sie z a ło ż e n iu , z arem | kat Ba c> i k;f.

9. Twierdzenie.

Fig. 12 D w a t r ó y k ą t y A B C , D E F , maiące t r z y boki odpow iednie równe tr z e m bokom , są rów n e sobie: t o i e s t , g d y bok ABz=. ] ) E \ A C z z z D F i BC = E F , będzie k ą t A z= zD , Bt= .E , Cs*=F, i tr ó y h ą t eaty A B C — DEF.

Albowiem gdyby był kąt A > o d kąta D , po­ n iew a ż bok A B = D E , A € = D F , byiby w ięc bok B C > E F (tw. 7); podobnie, gdyby był kąt A <© d kąta D, byłby bok B C < E F ; aż«

11 —

bok B f c r E F z zalozen ia, w ięc kąt .4 nie może być ani w ię k s z y , ani m nieyszy od kąta D, iest w ięc iemu równy. Podobnym sposobem okazać m ożn a, ze kąt B = F . , i kąt C =F ,; zatem będzie tróy kąt ABC— DHF.

Uwaga. Widzimy tu, że kąty równe Ai t>,

lezą na p rzeciw boków równych BC, ŁF. 10. Zagadnienie. ,

D aną liniią p r o stą A B , p o d z ie lić na Fig. 11

dwie równe części. /

Z końców linii A B , promieniem w ię ­ kszym od połowy linii AB, kreślę dw a luki przecinające się w punkcie C, tudzież d w a drugie luki przecinające się w pnnkcie D, i prowadzę liniią CD, która podzieli lin iia AB, na d w ie rów ne części w punkcie F. G dyż poprowadziwszy iiniie AC, CB, AD, DB: dwa tróy kąty A C j \ CD.B, maiąoe bok AC==C.B, bok~AO— DB % wykreślenia, i bok CD spoiny, są równe sobie f t w i e r .9), za­ tem k ą tA C D ~ D C B . D w u w ięc tróy kąty ACF, BCF. raaiąee bok A C b C B , bok CF sp o in y , i kąty rów ne przy C, są równe sobie (twier. 3 ), zatem iest bok AF = FB; w ięc liniia AB, w punkcie F podzielona ie st na d w ie równe części.

II. Zagadnienie.

Z p u n k tu I ) danego na lin ii p r o s te y A B ,v \g. u w yp ro w a d zić do te y lin ii prostopadłą-

Biorę D F = D B , i z punktów B i F , tym samym promieniem, kreślę dw a tuki prze- cinaiące się w punkcie ę,* punkt C z pun­ ktem D łączę liniią CD, która będzie pro­ stopadłą żądaną. Bo p op row adziw szy Iiniie ( B, CF; dw a tróykaty CDB, CDF, maiące bok CD sp ó ln y , bok DB = DF> i bi>k

B C « C F / w ykreślen ia, są równe sobre (twier. G), a zatem kąt C 0 B = C D F ; te zaś kąty są przyległe, w ię c linii» CD iest pro­ stopadła do linii AB. ('opis. XIV).

i2.

Zagadnienie.

10 Z pu n ktu C dnnega %a Unitą A lt, spu­

ście p ro sto p a d łą do t e y linii.

Z punktu C, kreślę luk przecinający li- niią AB w punktach B i F, z punktów B i F , tym samym promieniem zakreślam d w a iuki przecinające się w punkcie G ; punkta C i G iączę liniią CG, która bę­ dzie prostopadłą żądaną. Bo poprow adziw ­ sz y liniie F C , CB , F G , ’ BG; tróykąty FCG, BCG, maiące bok CG sp o in y , bok C F = € B , i F G — GB z wykreślenia, są ró­ w n e sobie ('twier. 9;/ żalem k ą t F C D ~ D C B . D w a w ię c tróykąty C 0 F , C D B , maiace bok CD spoiny, bok C F = = Ć B , i kąty ró­ w n e przy C, są rów ne sobie (twier. 3j , a w szczególności kąt F D C = :B D C ; te zaś kąty są przyległe, żalem linii» CD iest prostopadła do linii AB (opis. XIV).

13. Twierdzenie.

‘-¿y Jeżeli z p u n k tu A w ziętego z a lin iią

D E , p o p ro w a d zim y do n ie y p ro sto p a d łą A B , tu d z ie ż pochyłe A E , AC, A D , do r ó ż ­ nych punktów te y ze linii: hedzie ló d p ro - ‘ Si opadła A B k ró tsza od każdey pochytey; I r e dw ie pochyłe AC, A K , p o p row adzone z dwóch str o n p ro sto p a d łey AB. w odle­ głościach h C , B E równych, są równe sobie',

Scic z dwóch którychkolwiek pochyłych

A C i A D , Inh A B i A D , i a hedzie d łu ż­ szą ) k tó ra ie st ka r d zicy od p r o sto p a d łey odda firn#.

Bo lód. p rzedłużyw szy prostopadłą AB Jak, aby było BF=:AB, i p o p row ad ziw szy l!fuie FC, BF; d w a tróykaty ABC, CBF maiące bok CB spólny, bok A B = B F , i ką­ ty przy B pros te, są rów ne sobie ^twier. 3 ^ a w szczególności bok A F ..-.C F . Ażc Btiiia prosta ABF iest kr'»* / a od złam a­ n y ACF ( iw ie r. 5); zatem A B połowa ABF, ,l-st krótsza od AC potowy ACF; więc. prostopadła AB iest krótsza od kazdey D o i i pocbyiey.

2r<*. Z ałożyw szy że B E = B C , poniew aż ADa tr6^ A B E ’ ABC *>‘aią nadto bok AB spólny, i kąt ABE — ABC, sa zatem równe sobie (twier. 3J, w ięc AE—AC; prze­ to d w ie pochyłe równo oddalone od pro- stopadłey są m iędzy soba równe. ,

3e. Poni e w a ż su on ma boków A C , CF tróykąta A C F , iest innieyszą od summy boków AD, D F tróykijta ADF (twier. 6 ),

w ię c AC połowa ACF, iest krótsza o.) AD p o to w y ADF; zatem pochyle naybard/.i oddalone od prostopadtey są naydłuższe.

Wniosek I. Prostopadła AB będąc krót­

szą od kazdey pocbyiey, iest prawdziwą odległością punktu A od linii DE.

Wniosek II. Z punktu A w ziętego za U~ niią D E , iedną tylko prostopadłą do tey Bnii poprowadzić można, gdyż przez dwa punkta A i B iedna tylko liniią prosta prze­ chodzić może.

, Wniosek III. Jeżeli liniią prosta CD, z e r

środka linii AB poprowadzona, iest do tey- q ‘n,11 prostopadła; wtedy każdy punkt na p ie r w s z e y , iest równo ony od końców A i B ii n i i drugiey.

ris. 2i Wniosek IV. W szelki punkt E Wzięty za prostopadłą CO, nie iest rów no odda­ lony od końców A i 13. linii AB. Bo popro­ w a d z iw sz y Jiniie EB, EA, i punkt O prze­ cięcia się linii AE z prostopadłą, z pun­ ktem B złą czy w sz y Jiniią OB; ponieważ punkt O iest równo oddalony od punktów A, B, (wnio. 3 ) , będzie A O ~ O B ; a z e v v tróvkącie E O B , iest BE<^OE -f-BO, w iec B Ę < O E - f GA. czyli B E < A E .

14. Twierdzenie.

Fig. 22 Dwa tr ó yk ą ty prostokątne A l i C , E D F ,

sa równe sobie, g d y rnaia p r ze c iw p r o s to - k ątn e JiC, L F, równe, i bok k tó ryk o lw iek A l i ~ D E ; albo, g d y m aią p r z e c iw p r o s to - kątne 11C , J)IĄ równe, i k ą t którykolw iek

C 3^: F. * *

W pierw szym przypadku, rów n ość dwóch tróykątów byłaby .w id o c z n a , gdyby bok trzeci AC b y ł. rów ny bokowi trzeciemu E F . Lecz przypuśćmy, z e te boki nie są r ó w n e , i źe na przy kład bok AC > E F ; na boku AC odciąw śzy A G = E F i, poprowa­ d z iw s z y BG; d w a tróy kąty A B G , E O F , maią^fe bok A B = D E z zało żen ia , bok AG— EF z wykreślenia, i kąt prosty A = E , są rów ne sobie fiw ier. 3J, a w szczegól­

ności bok ‘BG = D F ; aze D F = BC z za­ łożenia, w ięc B G = B C (pew. 1 ): toiest po­ chyła bliższa prostopadtey AB, iest rów na pochyłey bar«issi.®y oddaloney od tey pro- stopadłey, co być nie może (tw ier. 13); nie może zatem b y ć , aby liniia AC była w iększą od E F ; okazać można podobnie,

ze nie może być od niey m n iey sza , iest w ię c iey równa.

W 2gim przypadku* p o ło żyw szy tróykąt D E F na tróykąt ABC, tak, aby punkt F

padł na punkt C, a bok *EF poszedł p$ beku AC; dla różności kątów F , C, bok D F póydzie po boku BC, i punkt D padnie na punkt B, bo I)F==BC z założe­

n ia : gdyby więe bok D E nie przystał do boku AB, lecz w z ią ł inne położenie, iak iest BG; w tedy z punktu B, możnaby by- ło w yprow adzić d w ie prostopadle do lin ii AC, co być nie może (twier. 13, wnip. 2); przystanie w ięc bok D E do boku A B , i będzie mu rów ny; zatem podług pierwszey części tego twierdzenia, iest tróykąt ABC r ó w n y tróy kątów i D E F ,

15. Twierdzenie.

W tr ó y kacie równoramiennym AO B, ką-fig- t y A i B , przeciw ległe bokom OB, 0 A, rów ­ nym , są sobie r ó w n e : i n a o d w r ó t , iezeli k ą t A=-=B, bedzie bok OB— O A.

Bo lód. z"p u n k tu O s p u ś c iw s z y prosto­ padłą OC na bok AB; dw a tróykąty pro­ s to k ą tn e AOC, OCB, maiące przeciw prosto­ kątne AO, BO równe, i bok spólny OC, są równe sobie (twier. 14), zatem kąt A = B .

2 re. Założyw szy że k ą t A = B , będzie bok OB— OA. Bo iezeli te boki nie są ró w n e, przypuśćmy że bok AO)>OB; od ciąw szy na AO bok A E ^ O B , i ‘ p o p ro w ad ziw szy lin iią EB; dwa tróykąty AEB, AOB, maią- ce' bok AB spólny, bok AE— OB z w y ­ kreślenia, i kąty A , B, m iędzy temi bo­ kami zaw arte rów ne z założenia , są s o ­ bie rów n e (twier. 3); zatem tróykąt AEB m nieyszy, byłby ró w n y tró jk ą to w i AOB w ięk szem u , co być nie może: nie iest prze­ to bok AO w ię k s z y od boku O B; poka* żerny podobnie, że nie iest od niego m n iey ­ s z y , w ięc iest mu iv w n y : a zatem tróy- bąt ĄOB iest równoramienny.

p - 16

16.

Fig. 21 Jeżeli z dwóch boków A E , E B tró y k ą ta

A E B , bok A E ie st większy od boku E B .b e - d zie i k ą t B p r z e c iw le g ły bokowi A E , większy od k ą ta A przeciw ległego bokowi E B ; i na- o d w r ó t, ieźeli k ą t A BE iest większy od k a ta A , bedzie bok A E większy od boku EB.

Bo lód. ze środki» C linii AB, w y p r o w a ­ d z iw s z y do niey prostopadłą DC, i punkt O, przecięcia się tey prosopadłey z lin iią A E , z łą c z y w s z y z punktem B liniią OB; d w a tróykąty AOC, O C B , maiące bok OC spół- nv bok A C = C B z wykreślenia i kąt pro­ sty A C O = O C B , są równe sobie (twier.3j, zatem kąt A— OBC, azek ą t EBA iest w i ę ­ k szy od kąta OBC, a zatem od kąta A =O B C ; w ię c w tróyk ącie AEB, kąt w ię k s z y prze­ ciw legły iest bokowi większem u.

2 re. Załóżmy ze kąt ABE iest w ięk szy od kąta A; gdyby buk AE nie b y ł w i ę k ­ sz y od boku EB, byłby bok A E < E B , albo bok AE— EB, w ię c w pierwszym razie, na mocy pierwszey części tego twierdzenia byłby kąt B < A ; w drugim, kąt A = B (trv:X5); co iedno i drugie sp rzeciw iałob y się za­ łożeniu: zatem ¿fest A E > E B .

» 4

R O Z D

1

A Ł

III. '

0 L IN I1ACH R Ó W N O LEG ŁY CH

O p i s a n i e

D w ie łiniie proste n a zy w a ła się rów ­

n oległe, gdy położone na tey samey płasz­

czyźnie , i w obie strony iak naydaley przedłużone, zeyśc się z sobą z ża d n ej strony nie mogą.

\

17. Twierdzenie. '

D w ie lim ie p r o ste AC, B D , p rostopadłe Fig.24 do /t»ti tr zeciey AB, są względem siebie

równoległe.

Bo gdyby li ni ie AC, BD, zeszły się yesfal Bą vv jakim kolw iek punkcie 0 , byłyby d w ie prostopadle Oli, OB, spuszczone z ie- dncgo punktu 0 , na Jiniią AB, co bydź nie może (tw ier. 13. w nio. 2); zatem d w ie li­ mie proste AC, BD, i t. d.

Uwuga. Rzecz iest przez się w idoczna,

ze iezeli pochyła BE z liniią AB, czyni kąt EBA m n iey szy od kąta prostego ABD, ta pochyła BE z prostopadłą CA przedłużone, zeydą się nad liniią AB. Jeżeli zaś pochy­ ła BF z Jiniią AB, czynią kąt FBA w ię k ­ szy od kąta prostego ABD, pochyła BF z prostopadłą CA przedłużone, zeyda się pod lin iią

AB-1S. Twierdzenie.

Jeżeli dwie liniie p r o ste AB, CD, prze-Wg.2,% cięte od t r z e c i e y E F , czynią % nią k ą ty CIJE, BGE, r ó w n e , k tó re się zowia k ą ta m i n a p rzem ia n leg łem i; lub iezeli c zyn ią dwa k ą ty E H D , EGB, r ó w n e , zwane k ą ta m i ie- dnóstronnemi odpowiadaiącemi; albo nakó- nieć, iezeli czynią dw a k ą ty D U G , H G B f w ew nętrzne ie d n o stro n n e, równe summie dwóch katów p r o sty c h : mówię: ze w każ­ d ym z tych trzech przy p a d k ó w , dwie liniie A B . c n , sa względem siebie równoległe.

Bo lód. przez środek M linii GH, popro­ w a d z iw sz y prostopadłą L ii do linii CD; dwa tróykąty L M H , G M li, maiące bok AU!==;(;j\[ z w y k r eślen ia , kąty przy M J ^ ^ ć h o t k i e n i przeciwległe równe., i kąt wJM==MGK z za ło żen ia , sa rów ne sobie

3 http://dlibra.ujk.edu.pl

(twier. 4); zatem kąt L— Ii, a ze kąt L, iest prosty z wykreślenia» w ię c takim iest i kąt ii , zatem d w ie lioiie AB, CD, są pro­ stopadłe do linii L ii, przeto są względem siebie równolegle / twier. \7).

2. Z a ło ż y w szy , ze kąt F«CID=EGB; po­ n iew a ż kąt E H D = f i i i f (twier, 2), w ięc i

kąt LHMasdEGB ( pew. I), nadt* kąty przy M są równe, i bok GM— MII; w ięc, dia tey saniey p rzy c z y n y , co i w poprzedzającym przypadku, dw a tróykąly LMII, GMk są rów ne sobie, i d w i e łi n i ie AB,CD, są w zg lę­ dem siebie równolegle.

3. Założyw szy nakoniec, że kąt DHG + H G B — d w óm kątom prostym ; poniew aż kąt D H G z kątem przyległym L I I G , czy ­ ni także, summę dwóch kątów prostych (twier. 1), w ięc kąt IIGB— L ilG (tvv. 2 wiO, nadto kąty przy M są r ó w n e , i bok MII— G M , w ię c zn o w u iak w przy­ padku p ierw szym , tróykąt LMII— GMIĆ , i d w ie linjie AB, CD, są względem siebie rów nolegle.

19. Tw ierdzenie odwrotne.

Fig-25 Jeżeli dw ie liniie A ii, CD, ró w n o leg le, ‘p r ze c in a tiniia tr z e c ia EJ?, beda ló d dw a k ą ty C U G , IIG B naprzem ianiegfe, równe;

2 re. bedą dwa k ą ty E IID , E G B iednostron-

ne odpow iadaiace, r ó w n e ; 3cie. dw a k ą ty D I1G , H G B w ew n ętrzn e iedno stro n n e, be- d a równe sum m ie dwóch k ątó w p r o sty c h .

Bo lód. przez środek iYi linii G H , p o ­ p ro w a d z iw sz y liniią LK prostopadłą do linii AB, a tern s a m e m i do linii CD r ó w - liołegiey względem AB; dwa tróykąly CMH‘ MG ii prostokątne, maiące kąty przy M równe (twier. 2 ), bok (iM --M fi z w

ykre-— 18 —

— 19

silenia, są równe sobie (twier. 14); zatem kąty CUG, HGB naprzemianległe są równe.

2 re. Ponieważ z dowodzeń ¡a kąt C H G = i;G B , a 'iest kąt CHG— E H D , w ię c i kąt E l ł D = E G8 (pew. I ): (o ie s t , kąty iecjno- s tro jn e odpowiadające są równe sobie.

3cie. Kat £ 1 I 0 = I 1 G B , dodawszy spól- kąt M G , będzie kąt EIJD + D H G = H e li- j _ DH G ( pew. 2); a ze kąty E HO, i^HG przyj egle, są równe summie dwóch kąiów prostych flwier. 1 ); w ięc i dwa k ą­ ty HGB, DJbfG w ew nętrzn e iednostronne, s ą także równe summie dwóch kątów prostych.

Wniosek. Jeżeli kąt DIIG iest prosty,

będz ie takim i kąt I1GB; azatem każda lin iia prostopadła do iedney z dwóch li- idy rów noległych, iest prostopadła i do drugiey linii.

Uwaga. Widzimy tu, że z kątów z aw a r­

tych między bniiami AB,

CD,

20. Twierdzenie.

D wie liniie równolegle A/i, I D , z a w ó r Fig26 t e m ied zy liniiam i równolegle mi AC, 11D, są równe sobie.

Bo p oprow adziw szy liniią BC; d w atróy- kąty ABC, DBC, maiące bok BC spoiny, i po d w a kąty przy nim leżące odpowie­ dnie równe; to iest, kat A C B = C B D , i kąt ABC— BCD ( twier. 19 ), -są równe sobie (twier. 4), zatem liniią A B = C D .

Wniosek I. _ Jeżeli dwie limie A B , CD,

są równolegle i rów ne sobie; będą dw ie liniie A C , BD łączące końce tych limy,

20 —

rów ne i równoległe względem siebie. Bo d w a tróykąty ABC, DCB, maiące bok BC spoiny, bok AB— DC z założenia, i kąty ABC, BCD naprzemianległe równe, są sobie rów ne (tvv. Ł), zatem bok A C =8 D, i kąt A C B = C B l> ; a ponieważ to są kąty na- przemianiegte, między Jimiami AC, BD, przeciętymi od linii trzeciey BC ; w ięc liniia AC iest równoległa względem linii BD (twier. 18.)

W niosek II. W figurze AB DC maiącey

boki przeciwne rów noległe, są też same boki r ó w n e , i kąty przeciwległe równe.

21. Twierdzenie.

F,a- 27 Dida k ąty B A C , D B F , maiące ramio~

nu A B i D E , AC i EF, odpowiednie ró~ wnolegte , i skierowane w iedną stronę, sa równe sobie.

Bo, przedłużyw szy DE, do spotkania się z AC w punkcie G, będą kąty D EF, DGC, jednostronne równe, iako zawarte m ięd zy równolegtemi E F , AC, przeciętemi od linii DEG; aże kąty jednostronne BAC, DGC, są także m iedzy sobą rów n e; w ię c kąt

BAC— DEF ( pew. 1 ).

22

.

Fig. 2« Dwie liniie A B , CD, równolegte tczgle- dem linii tr z eciey EF , są równolegte w zglę­ dem siebie.

J a k o ż, poprow adziw szy liniią PQR pro­ stopadłą do E F ; ponieważ liniia Ą8 iest równoległa do E F , w ięc liniia Pił iest prostopadła do AB (twier. 19. wnio.). Po­ dobnie, ponieważ CD iest równoległa do , E F , będzie PR prostopadła do CD; zatem d w ie liniie AB, CD, będąc prostopadłe do

— ; :21 —

t r z e c i e y l i n i i P Q , s ą w z g l ę d e m s i e b i e r ó ­

wnolegle (twier. 17).'

23. Zagadnienie.

A a daney linii p r o s te y DE, i p f ż y p u n -Fig. a©

keie na niey danym D, tvykreślić k a t ró~ wny katowi danemu A.

ramionach kąta «lanego, obieram (lwa ,ajvie kol w iek punkla B, C, i prowadzę li- n i‘ą BC. Na linii DE odcinam Unitą D F = AC,, i z punktu F , długością BC kreślęfltik, a z punktu D długością AB , kreślę luk drugi; od punktu G przecięcia się tych lu k ó w , do punktów D, F, prowadzę linii© CD, GF: będzie iróykąt DFG rów ny tróy- kątowi ABC, gdyż maią trzy boki odpo­ w ied n ie r ó w n e ; zatem kąt D=a=A (twier. 9).

24. Zagadnienie.

P t •zez p u n k t dany C, wzięty za lin iiąda-Fiz-30 na AB, p o p r o w a d z ić równoległą d& te y ze

linii. ■ ■■ ' '\

Od punktu C, prowadzę Jiniią CD, prze­ cina i ącą pod jakimkolwiek kątem liniią AB; przy linii CD i ptzy punkcie C, kre­ ślę kąt E C D = C D B : będzie liniia E F ró­ wnoległa względem AB, gdyz kafcy E C D , CDB naprzemianiegłe są równe.

I

R O Z D Z I A Ł IV.

O W I E L O K Ą T A C H I W A Ż N O Ś C I ICH K Ą T Ó W .

O p i s a ń i a.

!• Powierzchnia plaska zamknięta ilą- k o lw iek liniiaini prostesni, z o w ie s ię w ie ­

lokątem czyli wielob okiem. Nayprostszy ze

Wszystkich w ielo ką tó w iest tróykąt, © któ­ rym mówiliśmy.

Ii. Wielokąt O czterech bokach z o w ie się

czw orokątem , o pięciu bokach pięciokątem,

0 sześciu bokach sześciokątem i i . (i.

Fig.31 IIJ. Czworokąt, w którym boki przeci­ w n e są w zględem siebie równolegle , z o ­ w i e się równolegtobokiem, W rówoolegto- boku, boki przeciwne, i kąty przeciw ległe, są ró w n e względem siebie (tw. 20. vvn. 2).

Fig.32 IV. .Czworokąt, maiący tylko dvva boki p rzec iw n e względem Siebie równoległe, lecz nierówne, z o w ie się ró cnolegToóakiem

niezupefnyrn, albo trapezem .

Fig.33 Równołegłobok maiący cztery kąty proste- n a zy w a się p rostokątem .

Fig.34 V I. Prostokąt bierze nazw isko k w a d r a ­

t u , kiedy ma cztery boki m iędzy sobą

rów n e.

Fig. 35 VII. Równołegłobok maiący w sz y stk ie boki równe, a kąty tylko przeciwne równe, zow ie się k w a d ra tem ukośnym.

VJ[II. Wielokąt maiący w sz y stk ie boki 1 w s z y s t k ie kąty równe, z o w ie się w ielo ­ kątem f o r e m n y m .

IX . Summa boków wielokąta n azyw a się iego obwodem.

X . łiazda lin iia prosta, łącząca w ierz­ chołki dwóch kątów przyległych wr w ie ­ lo k ącie, z o w ie się przekątną^.

25. T w ierdM n ie.

Fig-30 W k a żd ym tr ó yk ą cie j/fflC, summa tr z e c h kątów A , B, C, czyni dwa k ą ty proste.

Bo p r z ed łu ż y w szy bok AC do punktu P , i przez punkt C, p op row ad ziw szy ró­ w noległą CE względęm ĄB; będą kąty ABC, BCE naprzemianlc^łe rów ne ; i kąty BAC,

— 22 — http://dlibra.ujk.edu.pl

ECD iednostronne ta k /e rqrwne (twier. li)); zatem kąt A B C + B A C = B C D ; d od aw szy spoinie kąt BCA, będzie kąt ABC+BA C + BCĄ=iBCD-¡-BCA ( pew. 2 ); aźe summa k ątów przyległych BCD, BCA, iest rów na dwóm kątom prostym ftw ie r . \ J ; w ięc i summa kątów ABC, BAĆ, BCA, czy n i tak­ że d w a kąty proste.

Wniosek I. Stąd wypada, ze w każdym

tróy kącie ABC, przedłuży w s z y bok AC do punktu D; kąt zewnętrzny BCD, iest ró­ w n y summ ie dwóch kątów B , A , w e ­ w nętrznych iemu przeciwległych., a prze- t° od każdego z nich iest w ię k s z y .

II. W tróykącie, gdy kąt ieden iest pro- s t y , d w a kąty pozostałe są ostre, a ich summa iest rów n a kątowi prostemu.

. III. W dwóch tróy kątach, gdy d w a ką­ ty iednego , są rów n e dwóm kątom d r u ­ giego tróy kąta, będzie i k ą t trzeci p ie r­ w s z e g o , r ó w n y kątowi trzeciemu drugie­ go tróy kąta; i te d w a tróykąly są ró­ w n o kąt ne.

IV. W tróy kącie maiąc d n a kąty w ia ­ dome, gdy ich summę odeymiemy od dwóch kątów prostych, otrzymamy w ażn ość kąta trzeciego.

Yr. YV iróykącie rów n oboczn ym , każdy kąt iest trzecią częścią dwóch, k ą tó w pro­ sty ch , albo zam yka dwie trzecie części kąta prostego. Jeżeli w ię c kąt prosty w y ­ razimy przez 1, tedy kąt tróy kąta r ó w n o ­

bocznego wyrazi się przez §. 26. T w ierdzenie.

W k a żd ym wielokącie A U C D E k , sumFt ma ką tó w w ew n ętrzn ych rów na ie st dwóm katom p r o s ty m , tyle r a z y w z i ę t y m , ile wie - fokąt m a boków\ m n iey dw a boki.

Bo, W? wierzchołka kąta A, poprowadzi­ wszy,- przekątne AC, AD i t. d. do wierz­ chołków wszystkichr innych kątów; w ie ­ lokąt ten podzieli się na tyle tróykątów ABC, ACD, i t. d. ile vt wielokącie iest b oków mniey dwa boki; i będzie summa w szy stk ic h kątów wewnętrznych w ie lo ­ kąta, rów na summie w szystkich kątów w t r ó y kątach. Aże w każdym tróykącie, su mu ki t r z e c h kątów* równa iest dw om kątom prostym (tw ier. 2 5 ); w ięc summa w szy stk ich kątów wewnętrznych w ie lo ­ k ą ta , równa ieSt dwóm kątom prostym tyle razy w ziętym , ile wielokąt ma boków, Biniey (lwa.

Wniosek. W ięc np. w pięciokącie, sum­

m a kątów w ewnętrznych, iest równa dw óm kątom prostym w ziętym . razy 5—2,toiest rów na 6 kątom prostym. Gdyby pięcio­ kąt był foremny, wtedy, każdy iego kąt

b yłby piątą częścią sześciu kątów prostych, albo f kąta prostego,

Podobnie w sześciokącie, summa kątów w ew nętrznych równa 2)</6— a) = 8 kątom prostym; azatem w sześciokącie foremnym, .każdy kąt w a ż y §, czyli | kąta prostego.

Uwaga. W w ielokącie ABCDEF, prze­

d łu ż y w s z y boki A B, BC i t. d. w tęż sa­ rnę stronę; będzie summa k ątów zew n ętrz­ nych w ielokąta, równa 4 kątom prostym. Bo kąt zew nętrzny GBC, z kątem w ielo­ kąta w ew nętrznym przyległym CBA, czy­ ni summę- równą dwom kątom prostym (twier. 1); kąt zewnętrzny IICD z kątem w ew nętrznym DCB, czyni także sum mę równą dwóm kątom prostym, i tak n a s tę p n ie / Summa zatem kątów ze­ wnętrznych z w ew n ętrzn y m i, będzie

— 25

w na sum m ie dwóch kątów prostych, tyle razy w z ię te y , ile w ielokąt ma boków. Aże summa samych kątów w ew n ętrzn y ch w ie lo k ą ta , iest równa summ ie dwóch ką­ tó w prostych w z ię te y tyle razy, ile w ie ­ lokąt ma b o k ó w , mniey d w a ; w ię c , od dwóch pierw szych summ ró w n y ch , od­ l a w s z y d w ie drugie summy r ó w n e , po­ zostanie summa k ątó w zewnętrznych w i e ­ lokąta, rów na 4 kątom prostym (pew. 3).

* •*

KONIEC XIĘGI PIERWSZEV.

4 http://dlibra.ujk.edu.pl

X I E G A II.

»

°

// '

, *" r"

r

,

- , .

' - ■

. , ■

j

i\

O Z D Z I A Ł V.

Fis- i* I. Liniia prosta FG, łącząca d w a końce luku F H G , z o w ie sic cięciwa.

II. Odcinkiem kota, l i a z y w a się p ow ierz­ chnia czyli część kola, zamknięta lu k iem F H G , i i ego c ię c iw ą FG.

Ili. W ycin k iem z o w ie się yzęść keta , zam knięta tukiem BD i dwom a promienia­ mi BO, CD, poprowadzonemi do końców tego luku.

IV. Kąt BAD zawarty dwiem a cięciw am i B A , A D , i maiący s w ó y w ierzchołek na okręgu koła, n a z y w a się kątem w pisanym .

Y. M ów i s ię , ze figura jakakolw iek iest

wpisana w koło, gdy w ierzchołki w s z y s t ­

kich iey kątów znayduią się na okręgu koła, ► a wtedy kołó to n a zy w a się opisanem na tey figurze.

YI. L in iia prosta MN, dotykająca sięokrę- .! gu koła w iednytn punkcie B, zow iesię stycz-

ną, a punkt B punktchi dotknięcia.

* VII. W szelki w ielokąt iest opisany na k o le, gdy w szy stk ie i ego boki są stycz- nemi z okręgiem koła ; i w tym razie mó­ w i s i ę , ze koto iest wpisane w wielokąt.

— 2? — 1 T w i e r d ź nie.

h uzda średnica A B, dzieli Ii oto i iego F i g -2

okrąg, -¡a dwie równe części.

P rzy ło ży w szy bowićnCdo siebie d w ie ii- gury AEB, ADU, tak aby miały spoiny podsta­ w ę AB; liniia k rzyw a AEB przystać musi (io lin ii k rzy w ey ADB, gdy z inączey w s z y s t ­ kie punktaiedney lub drugiey linii, nie by­ łyby rów n o oddalone od środka, eoby się sprzeciwiło naturze kola.

2. Twierdzenie.

K a ż d a cięciwa A l), iest mnieysza od śre- v>s- 2

dnicy AB,

Jakoż , poprow adziw szy promień DC do końca c i ę c iw y Al); będzie l i n i i a złamaną ACD czyli iey rów n a AB, w ię k s z a od li­

nii prostey AD. W ięc liniia n ayw ięk sza W p is a n a w koło, iest średnica.

3. T w ierdzenie.

W każde ni k o l e , albo w kotach równych,

tuki równe ograniczaią cięciwy równe,

i na o d w r ó t , cięciwy rów n e o g r a n ic z a ła tu k i rów n e.

i tak z a ło ż y w s z y , że łuk AMB iest ró-Fig *3 w n y łu k o w i F Ń E , pędzie i cięciw a A-B= F E . Bo dw a te luki obrócone w k lę s ło ś c ia ­ mi w i ę d n ą stronę, i położone ieden na drugim ta k , aby punkt B padł na E , dla rów ności s w o i e y i iednakowego za k rzy ­ w ien ia , przystaną do siebie; w ię c -i punkt - A padnie na punkt F , a przeto i iiniia AB łącząca dw a punkta A i B , przy stanie do U n i i ’FE, i będzie iey7 równa.

Naodwrót, poprowadzi w sz y średnice AE, B F ; ieżeli cięciw a A B ~ F E , bodzie iuk A M B = F N E .' Bo dwa tróykąty ABC, C FE,

maiace trzy boki odpowiednie rów ne trzem bokom, to iest, A C = C E , C B = C F i A B = F E , maią i kąt A C B = F C E (3,9) (*).Lecz d w a te kąty, położone ieden na drogim ta k , aby lin iia CB przykryta liniią CE, przystaną do siebie; i dla równości ioh ramion, punkt B padnie na punkt E, a punkt A na punkt F; zatem i dwa inki A M B , F N E , maiąc w s z y s t k ie punk ta równo oddalone od środka k o t a , przystaną do s ie b ie , i będą równe sobie (pcw. YI).

W niosek I. Wypada stąd ze w kole, lub w kotach ró w n y ch , kąty równe maiące s w ó y w ierzchołek w środku, obeymuią na okręgu tuki ró w n e; i naodwrót, ieżeli tuki są r ó w n e , będą i kąty obeymuiące ramionami sw em i te t u k i , i maiące w ie r z ­ chołki w środku kota, równe m iędzy sobą. 4

Wniosek

ilek o iw ia k tu k ów rów nych AE, E F , FG , G H , i do końców tych lu k ów poprowa­ d z iw s z y promienie AD, D E ,D F , DG, DH: p o n iew aż tuki AE, E F , F G , G H , są ró­ w n e , bedą podług poprzedzającego w n i o ­ s k u , i kąty A DE, E O F , F D G , G D H, ró­ w n e m iędzy sobą; zatem ile razy luk cały A H , iest w ię k s z y od tuku cząstko­ w eg o AE, tyle razy i kąt caty A DII, iest.

w ię k s z y od Jśąta cząstkowego A D E, i na­ odwrót. Stąd w id z im y , że ja k ik o lw iek k ąt ADH, powiększa się albo zm n ieysza, w miarę powiększania Jub zm n iejsza n ia się tuku i ego ATI: a zatem , %a m iarę

(*) Przestroga. Z dw óch liczb zam knięty ch naw ia sem i od dzie lonycn p rzecin k iem , pierwsza oznacza xię

d ru g a tw ier d zen ie do k tó r e go się w tev x ię - dze o d w o lu ia m y . Lic zby zaś bez przecinka położo­ n e vr naw ia sie, « z n a r z a i ą tw ie r d z e n ie tcy s i ę g i ,

a Ltóray iest m ow a.

iakiegokolwiek k a t a , można w zią ć tuk z a ­ w a r ł y m ied zy iego ramionami. > w z a k r e ­ ślony z w ierzckotka lego kąta.

Uwaga. Okrąg kola podług d a w n i e j s z e -

go podziału d zieli się na 360 części ró­ wnych zw a n y ch stopniami; każdy stopień na 60 części rów nych zw an ych minutami; każda minuta na 60 części rów nych zw a - • nych sekundam i, i t. d. Stopień oznacza się przez znak ° położony nad liczb ą; m i­ nuta przez znak sekunda przez znak ", i t. d. W ięc np. dla oznaczenia kąta m a­ jącego 23 stopn ic, 25 minut, i 24 sekund; pisze się 23° 29' 24" i t. d. Podług zaś no­ wego podziału, który nie iest w sz ę d z ie p rz y ię ty , okrąg koła dzieli się na 400, słu­ pni, stopień na 100 minut, minuta na 100 sekund i t. d. Zatem póło krąg, i czwarta część okręgu, czyli 180" i 90", podług po­ działu dawnego, odpowiadają 260% i 100", podług podziału nowego.

4. Twierdzenie.

P r o s to p a d ła A B do prom ienia AC, z koń- Fig. 5

ca iego w y p r o w a d z o n a , iest styczn ą z o- k r e g ie m kota.

Jakoż, poprow ad ziw szy ia k ą k o lw iek po­ chyłą B C , ta będzie dłuższa od promie­ nia AC (I, 13); ;;atem punkt B będzie za kołem : w ię c liniia AB ma tylko ieden punkt A spółi/y z okręgiem k o ła , przeto iest styczną ( 11. opis. 6).

Wniosek. Stąd w ypada, że promień AC»

poprowadzony do punktu dotk nięcia A, styczney A B , iest prostopadły do tey styczney.

— 29 ~

— 30 —

f ‘

5. Twierdzenie.

lig. 6 P r o m ie ń CD prostop ad ły do cięciwy AD,

d zieli t e c i ę c i w ę , i w s p a r ty na r.iey tuk A D n a d w ie równe części.

g o p o p ro w a d ziw szy promieniu AC, CB; p o n ie w a ż promienie te uważane w z g lę ­ dem pr ost o pad ley C E , są Jiniiumi pochy­ łem i ró w n em i s o b ie ; zatem są one r ó w n o oddalone od ley prosto pad ley (1, 13), w ięc A E — EB. N adto, poprowadziwszy liniie AD, DB; p o n iew aż prostopadła D E prze­ chodzi przez środek linit AB, w ię c punkt

D w z i ę t y na tey prostopadłey iest równo oddalony od punktów A i B ( l , 13. w nio.3), w ię c lin iia AD— DB: aże cięciw ^ AD, DB, r ó w n e , ograniczają luki równo (3j, zatem lu k ADs=d>B; czyli luk ADB podzielony iest na d w ie rów n e ozęśei.

W niosek. Poniew aż środek C kola, śro­

dek E cięciw y AB, i środek wspartego na niey luku A D B , są trzy punkta znaydu- iące się na iedney lin ii prostey CED pro­

stopadłey do c ię c iw y A B / a do oznacze­ nia położenia linii prostey dosyć iest mieć d w a punkta f i . opis, IV); w ię c każda liniia p ro sta , przechodząca przez d w a ze w s p o ­ mnianych punktów’ , przechodzi i przez

0 trzeci, i iest prostopadła do cięciw y. Za­ te m p ro sto p a d ta ze środka cięciw y w y p r o ­ wadzona , p r ze c h o d zi p r z e z środek kota, i środek tuku ograniczaicicogo cięciwę.

6. Twierdzenie.

Fig. 7 w każdem kole , dw a tuki P B , B A ., za~ w a r te m ied zy styczna. P Q , a cięciw a do niey r.ówndhgfą E A , są równe sobie: ¿a- A ziez dw a tuki BAT, A IS, z a w a rte m iedzy " (litiem a ciemwami równolegtemi EA, M Ń ,

:> sit. równe m iedzy sobu.

Jakoż, p op row adziw szy promień X B pro­ stopadły do cięciw y E A , ten będzie pro­ stopadły i do c ięciw y MN, rów nolegtey do AE (I, 19..wił. zatem przechodzić on będzie przez środek luku E B A , i środek luku MBN (5<): będzie w ięc luk E B = B A * tok M B ~ B N ; od dwóch pierwszych łu - , kóvv, o d ią w szy dwa d r o g i e , pozostanie Juk EM— AN (pcw . III).

7. Twierdzenie.

K a t A BC , z a w a r ty m ie d z y styczną A B F,s- i cięciw a B C , y/m za m ia rą potowe tuku B (}, zaw a rteg o m ied zy tego ramionam i.

Bo poprow adziw szy promień E D , pro­ stopadły do cięciw y BC, ten podzieli cię­ ciw ę tę w punkcie (), a iii,- B E C , w pun­ kcie E, na d w ie rów ne części (5). Popro­ w a d z iw sz y nadto promień B D , do pun­ ktu dotknięcia B stycznęy., (en będzie prostopadły do styeżney AB (4. wnio.J; nakoniec punkta C i D z łą c z y w s z y iini- ią CD: d w a tróykąty prostokątne BOD, COD, maiące bok OD spoiny, bok BO=d)C, są rów^ne sobie ( I , 3 ) , a seatem iest kąt C B D = C , i kąt BDOz=ODC- A źe kąt ABC z kątem CB.O, czyni kąt prosty; a w t r ó y - kąeie COD, kąt ODC z kątem C— CBD, czyni także kąt prosty (I, 25. w nio. 2); w ięc kąt ABC— ODC (I, 2 . w n io j : kąta zaś ODC, tó w neg o połow ie kąta B D C , miarą iest połowią iuku BEC (3. vvn. 2), w ię c i ką­ ta ABC, zawartego styczną i oięciwrą, iest »»'¡arą połowa luku BEC, zaw artego mię- nzy iego ramionami.

it n i o s e k I. K a t D B F w p isa n y w koło, F«g- ma za m iarę potowe tuku \DF za w a r te g o

Miedzy iego ramionam i. Bo k ąt AEF,