M E C H AN I K A TEORETYCZNA I STOSOWANA
1.6(1968)
D EKREM EN T D RG AŃ TŁU M ION YCH JED N OCZ EŚ N IE TARCIEM WEWN Ę TRZN YM (WISKOTYCZN YM ) I KON STRU KCYJN YM
ZBIGNIEW OSIŃ SKI (WARSZAWA)
1. Wstę p
Przy badaniach tarcia wewnę trznego tworzyw stosuje się czę sto zamocowanie próbki w uchwycie. Wystę puje wtedy tak zwane tarcie konstrukcyjne. Tł umienie drgań w tym przypadku jest wynikiem zarówno tarcia wewnę trznego jak też tarcia w zamocowaniu. D la eksperymentatora badają cego tarcie wewnę trzne jest wtedy rzeczą istotną zapewnie-nie warunków sprowadzają cych wpł yw tarcia konstrukcyjnego do minimum. Aby zdać sobie sprawę z tych warunków, przeprowadzimy teoretyczną analizę tł umienia drgań swobodnych przy jednoczesnym tł umieniu konstrukcyjnym i wewnę trznym. D rgania swobodne z uwzglę dnieniem tylko tarcia konstrukcyjnego opisane został y w pracach [1 i 2]. Przyjmiemy tu ukł ad badany w tych pracach oraz te same zał oż enia dotyczą ce tarcia konstrukcyjnego. Schemat podstawowy przy rozcią ganiu próbki i drganiach postę -powych masy przedstawiony jest na rys. 1. W badaniach tł umienia czę ś ciej uż ywane są próbki skrę cane. Otrzymujemy wtedy analogiczne równania ruchu zastę pują c przemieszcze-nie — ką tem skrę cania, masę — momentem bezwł adnoś ci masy, sztywność podł uż ną — sztywnoś cią skrę tną .
W pracach cytowanych wpł yw tarcia wewnę trznego był pominię ty. W pracy niniejszej przyjmiemy, że próbka wykazuje tł umienie materiał owe o charakterze wiskotycznym, sił a tł umienia jest wię c zależ na od prę dkoś ci. Przyjmiemy dla uproszczenia zależ ność liniową . Tł umienie tarciem wewnę trznym wykazuje cechy nieliniowe (por. np. [3]).
Celem naszym nie jest jednak w tej pracy badanie tarcia wewnę trznego, a tylko roz-graniczenie stanów, w których decyduje bą dź tarcie wewnę trzne, bą dź tarcie konstrukcyjne. Rozważ ania przedstawione posł użą nam do przedyskutowania poprawnoś ci wyników badań tarcia wewnę trznego.
2. Równanie ruchu
Równanie ruchu masy przedstawionej na rys. 1 moż emy napisać w postaci (2.1) mii+cu = —P,
gdzie m oznacza masę , u przemieszczenie masy, c współ czynnik tł umienia wewnę trznego,
72 ZBIG N IEW OSIŃ SKI
Zgodnie ze wzorami podanymi w pracy [1] zależ ność mię dzy przemieszczeniem u i sił ą P w kolejnym (n+ l)- szym pół okresie drgań moż na przedstawić w postaci
(2.2) un+1(P) = w„ ( P „
EF AqEF iignP,
gdzie w,1+i jest przemieszczeniem w (n+ l)- szym pół okresie (zmienne), u„ wartoś
cią prze-mieszczenia w koń cu K- tego pół okresu, P„ wartoś cią sił y w koń cu «- tego i począ tku (n+ l)- ego pół okresu, EF sztywnoś cią podł uż ną próbki, / dł ugoś cią swobodną próbki,
A- A
m
Rys. 1
q = 2p[i.b jednostkową siłą tarcia, dział ają cą n a powierzchni zamocowania próbki o szero-koś ci b przy nacisku p i współ czynniku tarcia / n.
Wprowadzimy zmienną bezwymiarową oraz oznaczenia . • tf • ,...;• .,. . .. / EF czę stość drgań swobodnych, konserwatywnych w przypadku idealnie co i, ~- t/ —j— \ Im sztywnego zamocowania,
c podwójna wartość stosunku współ czynnika tł umienia do tł umienia kry-mcok tycznego.
7 =
Wyznaczamy wartoś ci prę dkoś ci u i przyś pieszenia w masy m i przy zastosowaniu wpro-wadzonych wyż ej oznaczeń podstawiamy do równania ruchu (2.1). Po przekształ ceniach oraz po wprowadzeniu czasu bezwymiarowego % — cokt otrzymamy równanie ruchu dla współ rzę dnej rj (bezwymiarowa sił a) w postaci:
(2.3) i
+yfj- \ - rj
= 0Równanie to opisuje dowolny pół okres drgań zarówno przy drganiach w prawo jak i w lewo, z tym, że warunki począ tkowe należy dla każ dego pół okresu przyjmować rj = 1, r; = 0.
Przebieg rozwią zania równania (2.3) przedstawiony jest na rys. 2. Interesuje nas nie sam przebieg rozwią zania, ale przede wszystkim wartość ^ okreś lają ca stosunek sił y po
D ROAN IA TŁ UMIONE TARCIEM WEWNĘ TRZNYM I KONSTRUKCYJNYM 73
pół okresie do sił y n a począ tku tego pół okresu. M ając wartość rjx moż emy wyznaczyć logarytmiczny dekrement tł umienia zgodnie z okreś leniem podanym w pracy [1]:
(2.4)
8 =
la [ - -
1Vi
111
Rys. 2
3. Rozwią zanie równania
Równanie (2.3) jest nieliniowe. N ie moż emy przy tym zakł adać mał oś ci wyrazów nie-liniowych. D o rozwią zania uż yto więc maszyny analogowej. Celem obliczeń był o ustale-nie wpł ywu tarcia wiskotycznego okreś lonego param etrem y i tarcia konstrukcyjnego okreś lonego param etrem £. Z badać należy zakres £ od ~ 0 do co.
Przyję liś my dla y zakres od 0 do 0,8 czyli do 40% wartoś ci tł umienia krytycznego. Obliczenia przeprowadzono na maszynie analogowej Katedry D ynamiki Pojazdów Politechniki w D elft (H olan dia). Przyjmując skalę czasu 5 i skalę amplitudy 10 przekształ -camy równanie (2.3) n a równanie maszynowe o postaci
(3.1) gdzie
- x
=
-d =
Po rozwią zaniu równ an ia wyznaczono dekrement zgodnie ze wzorem (2.4) i rys. 2-Wartoś ci dekrementu dla róż nych wartoś ci param etru I oraz współ czynnika tł umienia wiskotycznego y zestawione są w tyblicy 1. C harakter zależ noś c i dekrementu od wymie-nionych param etrów ocenić moż na z rys. 3. Widać wyraź nie, że dla szerokiego zakresu wartoś ci param etru f okreś lają cego cechy tł umienia w zamocowaniu, dekrement nie jest od niego zależ ny. W tym zakresie dekrement przyjmuje wartość równą wartoś ci tł u-mienia wiskotycznego odpowiadają cego wartoś ci współ czynnika y. Przy zmniejszaniu się wartoś ci param etru nastę puje szybki wzrost dekrementu, wywoł any tarciem konstrukcyj-nym w zamocowaniu. Jeż eli badam y tarcie wewnę trzne, pragniemy uniknąć wpł ywu tarcia w zamocowaniu na wyniki badań . Bł ąd wywoł any tym wpł ywem ocenimy okreś
lając pro-00 o
I
I
o"I
I
0, 2II
p. o"II
0, 8I
I
o" || 0, 2 11 o" o II os _ m 112 , 4 8 225 , 2 Qs en o 0,51 1„.
o" vs O 3 3 cn O 00 94 , OOs
00 00 00 *"¯ y, VD o o o" O i- . O n\55
00 00s
o o T—( 1—1 ¯n O 00 o" o o vs m CN 00 OO o\ cn 56 , o [ £ 0 I o5
O\ m O O 0,32 2 m o »-*s
o) 2 0 4 6§
8 2 ¯O O\ O o oo o" oo <s o o (N 6 7 o m VO 00 <<-Os o o 2 t2 '0 o o o en 00 en t^ co en ł —i V! oo os "*-o 00 o t-o" o o vi t 318
Vi 76 o Os co o" _ O (»¯ 00 o >n CS O o o o 0 2 T- H 3 8 i—( 8 0 rn co m co m cos
os
o" o o o o o ,2 5 o o3
o 00s
oo o o 00 o oo o o 1/1 o o o o 00 mS
oo O O VI o o v> Os O O 00 o VD O p> o" o VI Os Os [74]D R G AN I A TŁ U M ION E TARCIEM WE WN Ę TR Z N YM I KON STRU KCYJN YM 75
centowy stosunek przyrostu dekrementu wywoł anego tarciem konstrukcyjnym w stosunku do dekrementu wiskotycznego
A = - • 100%.
Wyniki został y zestawione w tablicy 1. Analizując je moż na ocenić minimalną wartość f, konieczną dla uniknię cia okreś lonego bł ę du w ocenie tarcia wiskotycznego (wewnę trznego). Tak n p . jeż eli A m a być mniejsze od 5%, to § powinno być wię ksze od 17. Aby A był o mniejsze od 2%, £ powinno być wię ksze od 30, zaś od 1% £ powinno być wię ksze od 40. P rzy f wię kszym od 100 bł ąd praktycznie jest zerowy.
0,1 0,25 USH7SU5 2 3 4.5 10 20 49,5 100 4SS.5 1000 4993,5 10000
Rys. 3
U wagi powyż sze pozwalają ocenić wpł yw tarcia w zamocowaniu n a wyniki badań tarcia wewnę trznego. Weź my dla przykł adu próbkę w postaci prę ta o przekroju koł owym zamo-cowanym jednym koń cem z tarczą osadzoną na drugim koń cu rys. 4. U kł ad taki bywa bardzo czę sto stosowany przy badan iu tarcia wewnę trznego. Weź my pod uwagę nastę-pują ce dan e: / = 100 cm, p = 100 kG / cm2
, [t, = 0,1, r = 1. Jednostkowy m om en t tarcia wynika ze wzoru:
q = P aram etr f zaś dla n- tego pół okresu:
W
gdzie M oznacza maksymalną wartość momentu skrę cają cego n a począ tku pół okresu. Jeż eli zaż ą damy, aby bł ąd oceny tarcia wiskotycznego nie przekraczał 5%, to z warunku iż I m a być mniejsze od 17, otrzymamy, że m om en t maksymalny przy danych warunkach nie powienien przekraczać 370 kG cm .
76 Z BIG N IEW OSIŃ SKI
Przy badan iu drgań o wię kszych amplitudach należ ał oby odpowiednio zmienić warun ki umocowania lub wymiary próbki, n p. zwię kszyć fi lub p, albo powię kszyć dł ugość próbki. Przedstawione powyż ej rozważ ania oparte są n a modelu przybliż onym, jeż eli chodzi o warunki zarówno tarcia wewnę
trznego, jak i tarcia w zamocowaniu, toteż wyniki ilo-Rys. 4
ś ciowe nie mogą być wprost przeniesione na rzeczywiste ukł ady sł uż ą ce do badan ia tarcia wewnę trznego. N atomiast ogólny wniosek zachowa swoją poprawność przy przyję ciu bar-dziej zł oż onej struktury oporów wewnę trznych i oporów zamocowania. W pewnych zakresach parametrów na tł umienie drgań w stopniu decydują cym wpł ywa tylko tarcie wewnę trzne, w innych zaś decydują cą rolę odgrywa tarcie konstrukcyjne w zam ocowaniu. N a fakt ten mał o zwracano dotą d uwagi przy badaniu tarcia wewnę trznego, może jedn ak być on przyczyną wielu rozbież noś ci w wynikach takich badań prowadzonych przez róż ne oś rodki. Zjawisko opisane może także wywoł ać wą tpliwoś ci co do poprawnoś ci wyników niektórych doś wiadczeń tego typu. Wydaje się n p. że wyniki badań tł umienia wewnę trznego elementów betonowych prowadzone przez SOROKINA [4] mogą być zakwe-stionowane wł aś nie z powyż szego powodu.
P odane wyż ej rozważ ania mogą mieć także znaczenie dla oceny wpł ywu tarcia n a tł umienie drgań elementów maszyn i budowli. Sprawą dyskusyjną i czę sto poruszaną jest problem, który z mechanizmów rozpraszania energii: opory w zamocowaniu czy opory w materiale gra rolę decydują cą . Jak widać z powyż szych rozważ ań zależy to od warunków zamocowania, kształ tów elementu i wartoś ci obcią ż eń. W pewnych warunkach decydują -cym może okazać się wpł yw tarcia wewnę trznego w innych tarcie w zamocowaniu.
Literatura cytowana w tekś cie
1. Z . OSI Ń SKI, CeoSodnbie Kone6auun cucmeMu c OÓHOU cmeneubw csoBodw npu na/ iunuu KOHcmpyKifuowioeo deMntfiiipoeauun, H3BecTHH AiOfleMHH nayK C C C P , M e x. n M a n i. , 5, 1963.
2. Z. OSIŃ SKI, W pł yw tak zwanego tarcia konstrukcyjnego na okres drgań swobodnych ukł adu o jednym stopniu swobody, Archiwum Budowy M aszyn. 1, 11 (1964).
DRG AN IA TŁUMIONE TARCIEM WEWNĘ TRZNYM I KONSTRUKCYJNYM 77
3. Z. OSIŃ SKI, Próba nieliniowego przedstawienia zjawisk tarcia wewnę trznego i relaksacji, Rozprawa habili-tacyjna, Warszawa 1961.
4 . E . C . COPOKMHj K meopuu enympeunozo mpenun npu KOjie6aHunx ynpyzux cucmeM, MocKBa 1960.
P e 3 IO M e
flEKPEM EH T flEM IIOH POBAH H LIX K0JIEBAH H 8 CHCTEMŁI C BHyTPEHHHM (BH3KHM) H KOHCTPyKIliHOHHBIM TPEHHEM
B pa6oTe npeacTaBJieno HCcneflOBaime fleKpeMeH Ta KOjieSai- infł CHCTeMbi c ojnioii cieneubio CBo6oflbi, fleMnCpH pOBaH H blX OflHOBpeMCHHO KOHCTpyKqHOHHbIM TpCHHeM B TOMKe 3ą KpenjieiIP,H II BHyTpeHHHM Tpe-HneM. BHyxpeHHee Tpeime npeflnonaraeTCH , fljifl yn p o m eim n , jiuHei- irao BH 3KH M. YpaBnenH e HBIPKCHHH p em ą eic n flnn m apoK oro flnana3ona n apaM
eipos Ha MOflejmpyiomeft ManiHHe. Pe3yjiBTaTw ucnojib3o-B Ka^ecTBe OCHOBŁI flnsr oqeiiKH BJIUHHUH KoncTpyKiłHOHHoro TpeHUH Ha pe3yjibTą Tbi nccneflo-BiiyTpeiniero Tpeim n . rioflTBep>KflaeTCH: H ann^ne oSnacTen, B KOTOPMX TpeHne B To^iKe 3aKpen-n e BJiann^ne oSnacTen, B KOTOPMX TpeHne B To^iKe 3aKpen-naeT ann^ne oSnacTen, B KOTOPMX TpeHne B To^iKe 3aKpen-n a pe3yann^ne oSnacTen, B KOTOPMX TpeHne B To^iKe 3aKpen-nBTaTbi HccjieflOBaHHH BH yTpeiaiero TpeHHH. Oann^ne oSnacTen, B KOTOPMX TpeHne B To^iKe 3aKpen-npeflejieHbi o6jiacTH3 B KOTO-pbix KOHCTpyKUHOHHoe Tpeime HMeeT peniaiomuft xapaKTep.
S u m m a r y
D AM PIN G D ECREM EN T OF VIBRATION S EF F ECTED SIMULTAN EOUSLY BY TH E VISCOTIC AN D STRU CTU RAL F RICTION
Presented are considerations concerning the effect of the structural friction in fittings and viscotic internal friction. The latter is assumed to be linearly viscotic. The equation of motion has been solved on an analog computer for the wide range of parameters. On the basis of numerical results the analysis of the influence of the structural friction on the results of the experimental investigation of the internal friction of materials is given. The analysis shows the existence of ranges of parameters where the structural friction does not affect the results of the experimental investigation of the internal friction. On the other hand, for some ranges the effect of structural friction is very strong. POLITECHNIKA WARSZAWSKA
