A C T A U N I V E R S I T A T I S I О £> 2 1 E N S I FOLIA PHILOSQPHICA 3 , 19S5 P * 3 0 Г’р и г о л и x О ФОРМУЛАХ m-HEPIOEíEHHtJX В ИСЧЯСТЕНИЯХ ЛУКАСЕВИЧА Многими авторами была описаны структуры неэквивалентных формул a ( l < a<ć*0 ) переменных в чанном пропозициональном исчислении. Мно-жество не»квквалентных формул а перененных в некотором пропози-циональном исчислении моквт быть конечным или бесконечным. И, Нн- аимурой в [ l ] к Л. Рагером в [2 ] были даны бесконечная Последова-тельность всех неэквивалентных формул одной переменной в интуици-онистском исчислении, другими словами - свободная осевдобулена алгебра с одним свободным образующим (лестница Ригара-Нииимуры) является бесконечной. Уркхартом в [з } описаны свободные поевдобу- левы алгебры с а свободными образующими. А. Хорном в [ 4 ] описаны свободные L -алгебры, соответствующие логике Даммета LC. Г. Эпш-тейном и А. Хорном, в [ e j описаны свободные Р- алгебры с а свобод-ными образующими} другими словами описана структура всех неэкви-валентных формуя а переменных в пропозициональном исчислении, со-ответствующем линейному фрагменту логик« НВ {б ]. Свободная - Р -а л - гебра с m свободными образующими является конечной [5] . С в о д н ы е алгебры Поста описаны Цангером в [ т ] . В [ в ] описаны структуры неэквивалентных формул одной переменноа в модальных исчислениях SA,3 a D# *B [9 J описана свободна« 0*-алгебра с а свободными об-разующими. В. Шехтманом а [ ю ] описаны с в о б о д е е 3*-««*Ч»РРЫ (ал -гебру с замыханием) а С гг-алгебра (алгебры, соответствующие мо-дальной логика К. 1.1) . В Ш ) описана свободная S D ^ * a ra6pa о одним свободами образующим, SD#-aar«fljiMt л ваяющиеся «одклаосом алгебр с сопряженными замыканиями [ # ] , являются алгебраическими ..ŕ. г, V'V . "-J . . ■ V
моделями для бимодальной логической системы LinTGrz оформулирован-ной к. Сегербергом в [13]. Алгебраическими моделями для бесконечноэначной логики Лукасе- яича L ^ служат MV-алгебры Чана [14]. MV^-алгебры служат алгеб-раическими моделями для п>значных логик Лукасевича < п<<?*0 ) [1 5 ]. Целью данной работы является описание отруктуры воех неэкви-валентных формул ш переменных в L (2 < n«V ) * La. . n O CT Описание q структуры воех Формул ш переменных в L * ( соответственно в L ) *то . , n равносильно описанию свободной MV-алгебры ( соответстаеммо MVn- ал-гебры ) о о свободными образующими. Как будет показано ниже сво-бодная MVn- алгебра с n свободными образующими яяляетоя конеч-ной, а свободная MV-ал геб р а о а свободными образующими явля-ется бесконечной. Статья ооотоит из трех частей. Первая часть ооовящена предва-рительным понятиям и необходимым фактам, вторая чаоть - свобод-ным MV^-алгебрам о а свободными образующими, третья чаоть - ово-, бодным MV-алгебрам е а свободными образующими. 1. Предварительные понятия и необходише фанта MV-а л ге б р а есть универсальная алгебра а» < А О, 1>, где •4 - непустое множество элементов, О к 1 * различные фиксированные элементы из Л,+ и « являютоя бинарными операциями и А к - есть унарная операция на Л , удовлетворяющие перечисленным ниже v аксио-; . • ■ . v • ЮИ1 /■ , , x. vr-- '' 4 1* x ♦ у - у ♦ * х • у » у • х JLZ, x ♦ ( у ♦ г ) • ( * t у ) ♦ z х • ■ ( у х ) ■ (х • у )• г JLZ. x ♦ x • 1 4 4 . x ł 1 • 1 L 5. x + Q • x X » x - О X » 0 » o x • 1 • x JL 6. - [ x ♦ y ] • X • у [ x *y3 ч X ♦ y X 7. x - x JL 8 . 5 » 1 Z 9. xvy ■ yvx *ДУ * УАХ / 1 0 . x v (y v a ) • (x v y ) v * х а(у а х) - ( х А у ) л г 4 1 1. x ♦ ( y a z) * ( x ♦ y)A(x ♦ t ) x . ( y v z ) . ( x - y M x - z ) , где xvy - ( x . y ) ♦ y r х л у - t x + ý b y j ( « * 1 ) X m W X ♦ X» X ° * 1» Xе * * Xю • X« . . Алгебра ß » <*♦, ♦ , 0,1> HVftrO«r«6po* ( 3 < n < í t a ; í
если а является MV-алгеброЛ и дополнительно выполняются следую-щие аксиош : J C l-í r(n -l) x m m ( n —1) x, xn ' • к ■ »n ' , _ -При n > 3. J613. [ ( j x ) . ( K t - U j - D x ] ) ] " ’ 1 - 0 , ( n - l ) [ x 4 ( - t x J ‘ 1 где 1 < j < n - 1 и } не целит n - 1 . Примером MV-алгебры служит алгебра i , ^ ** <R 0,1 > , •'о где R-мнокество всех рациональных чисел мо«ду 0 и 1, включая 0 и 1 для Vx,y « К x* у « m i n ( l , x + y ) , x. у - max (0, x + y - 1 ) , x - 1 - x . Примером MVn -алгебры слу«ит алгебра JCn - < Rn, + 0 , 1 >, где Rn " { 0,1/n-t , , n - 2 / n - 1 , 1 } , для 1 Й п Xł>* min ('» x ♦ У )» x* у * a max ( 0, x ♦ у -1 ), 2 » I - к . Как в и д и м, классы MV-алгебр н MVn -алгебр являются многообра-зиями (эквациональнуми классами), т .е . классами, замкнутыми от-носительно прямых произведений П, подалгебр s и гомоморфных об - раэов Н. Люгообразие всех MV-алгебр (MVn-ал геб р ) обозначим через m (m n ) . Теорема 1, [1 4 ]. m - HSn { jtn} n - - 2 , 3 , . . . Теорема 2, [ l5 ] . mft - H S n z n< Теорему 1 (Теорему 2 ) мосно сформулировать следующим образом! многообразие щ (Я1П) порождается семейством {•£„} (алгеброй J£n ) о ■ 2 f 3 1 • • • Теорема 3. f l S j * Алгебра «£^(2 < k <tt0) изоморфна подалгебре ал-гебры Zn (2< n < í ŕ ) тогда и только тогда? когда к- 1 делит п -1. Из этой теореш получаем, что , являющаяся двухэлементной булевой алгеброй, является подалгеброй воякой алгебры J5n . 2. Свободные МУП-алгебры о m свободными образующими Свободную алгебру в многообразии m n обозначим посредством F^, i В качеотве элементов алгебры F^0 ' можно взя?ь различные т-меотаые Функции алгебры <£п (поскольку Х п порождает многообразие Пп ) . Согласно Ыак-Нотону [1б ]т -м е ст н ая Функция i принадлежит ал-гебре / п .тогда и'только тогда, когда для каждого набора ( я / п -1,
. . . , S m / n - l ) , 0 < Д т < п - 1, воякий общий делитель чноел . . . , Sm, n - 1 является делителе и где *9/п-1 - ť С ДГ, / n -1 ... Яга/1» -1). На множестве { n : 2 < о < А0 } определим Функцию t>” С W ) следу-ющим образом! ^ (2) - 2" , ^ ( 3) - Зл - 2™, + '*’ ••• + ГА* 41 ” 1» • • • ♦ *к “ 1 “ *<>• делители числа п - i , отличные от n - l ) . i • Числр различных m-последовательностей ( т . е. элементов и а Л ” ) равно n . Функции f алгебры х п принимает определенные значения из Х п . Поскольку * 2 являетон подалгеброй воякой алгебры , то произвольная m-местная функция алгебры Х п иа m-последовательно-стях, компонентами которых являются элементы • ив Х 7 , приминает значение из JC^» Т» е . либо О, либо 1. Число 'различных m-п осле- довательностей из Jŕ™, компонентами которых являются элементы из £ г* рави0 2" *А чксло Р*ад*чмых Функций алгебры приникающие значения ка этих т -последовательностях, равно г 2? , воли п-1 - проо- тое число, то число различных m-местных фукнций алгебры рав- 2 m (я**-2 m ) ' п ио 2 • n . Пусть п-1 ,- не простое число. Яыпииеи числа п „ n2» * * * ' n k в порядке увеличения, где n f - 1, п2 - 1 , . . . у ' л - 1 • все делители числа 2 , n^ * n ) . Ясно, что алгебры Х п , “ *’ * пк * 30“ ° ^ Ä чоо****0**Л»ниы подалгебрам алгебры J£n (в дадьнейаем изоморфные алементы будем отождествлять), Поэтому про-, извольная m -местная функция алгебры * „ щ» m-последовательное- 1 TfcX, компонентами которых являются элементы из Хп. Ц . 1 , , ’fc j , принимает значении из ^ . Принимая это »о вникание, имени, что число различных m -местных функций алгебры Хп равно n ,^ m *nf* , „ Ш • ‘ ' ' • ей • Oi. ^ К . v -. ' . . ' -* к Т * ' p -■ * . . '* v' I ' и- . ^ ' 4 ■} : * • . . * *' <* * >’* X/; '• ,V‘ Ч ' Упорядочим элемента РД0 *, следующим образом дни **бых ^ .V,ŕ f ' 9 6FLn>^ 9 если и только если < ( V ' * • ’ » °m > * 9<°i . • • • * о* ) <ия всех O j , . . . , Ощ е Х0 . Поэтому множество элементов алгебры Fm 1 ио«нэ цредотавнть в виде диаграммы. В клаоое iti-, множество злемектоа ажгебры FJ3 ' имев? диаграмму, изображенную на рио, 1Г / .
Рис. 1 Р. Григолия, 0 формулах ».переменных в ночная «мымж 1у*асевича Линейно упорядочим элементы <к™ некоторым образом. Ддя произ-вольного элемента Ł• F^n * касдой m-послецов'ательности ( O j , . . . , a m ) ‘ JC™ оопоставнм элемент ť ( o , , . . . l om ) « J5„. Тогда Функции f сопоставится nm -последовательность, компоненты которой при-надлежат Х п . ©тождествам функцию I с таков пго-последователь-ностью. Тогда, как видим F^n 1 изоморфна алгебре JGr ^ * k » nk Рассмотрим множество j А • о : а с je™ fr а ф JCft. , i * 1 , . . » , kj n^-t - все делители числа n - i , отличные от n - l } . Легко ви-д е т ь , мощность множества А равняется Деренумеруем эле-менты из A i , a v ł n } . рбозначим через д^п * элемент , . . . , где » k -проектирование m k - u l мнояитель алгебры x " . Введем еледувдие обозначения: i ’ ' . ' . 1 .’:'• ' • • ■ * f * ■ 7 _ ln} _ , (n . ) (nkł ч G, * • • > , 9< " )» 6jn* “ § | 4 - ) * ß V « * ♦ • • • • • » • f • • • • • • • « • 6m * " í « i n 1* » * * ‘ • 9mk>) * Где «j - 1, . . . , nk- 1 - вое делители чиола n - 1 (n1 - 2 , nk • n ) .
Отметим, что «ля произвольного n ( 2 < n < it0 ) элементы д1^ 1 , 9j n>. • • • . 3m ' порождают алгебру \ а элементы с ] п| , G^n 1 порождают алгебру |П1>« . . . « к*. Действи-тельно, Функциям * £ ( х , , , . . , х п ) - а л г е б р ы Х п соответствуют элементы G^n *( i • 1, . . . , m ) (о точностью ąo перестановок компо-нент). Но функции t Ł( i » 1, . . . , m) являются овободнымн обра-зующими длгебры 1. Отсюда доказана Теорема 4. Алгебра Jfin * . . . » JCn к является ово-/ 1 k бодной алгеброй в многообразии 1łln со свободными образующими в | П>, • • • t Gm * , где nt - 1, . . . , nk - 1 - вое делители числа n - 1 (п 1 - 2, nk - n ) . 3. Свободные НУ-алгебры о т свободными образующими Как и в предыдущем пункте пусть A » { a : a € j t ™ к о * X™ , i - 1, . . . , k; n, - 1, . . . , n k - 1 - вое делители числа n - 1, от-личные от n - i}. Перенумеруем элементы из A s o , , . . . , о^, ^ . Обозначим через элемент (ЭГк (о, )... я ц^0t>mfn))> 9 * k а 1 , . . . , т , где jrk - проектирование на k -ый мноситель ал-гебры jcJJ1. Введем следующие обозначения« °2 " <‘922 > » 9 ^ ł » «24 ) » ****• „ *1?' * e i 4 í * Ясно, что G* « П i. * 1, f t л у m. Рассмотрим подалгебру F 1 n*2 0 1 ' алгебры R £ „ m ( n l , порожденного элементам* G . , , . . , G m . Ясно, п*2 . что алгебра Fm является счетной и, поэтому, собственной • под-алгеброй алгебры П Х " п 1 п *. Кроме того Fm является оодпряшм n«2 v í k . произведением алгебр Х „га , п ' ( п - 2 ,3 , . . . ) , так как проекция 5Т^(0ц ) - g kx * порождает алгебру Следовательно Fm я в -ляется подпрниым произведением алгебр Л п ( в - 2, 3 , . . . ).
Теорема 5. Алгебра Fm является свободной алгеброй в многооб-разии ТП со овободныын образующими G ,, . . . , ет . Доказательство. Ясно, что воякое равенство, записанное на m переменных, верное в m верно и в Fm. Пусть равенство ф » V, за-писанное на m переменных не верно a ttt. Тогда равенство (f • Y не верно а некоторой алгебре Z k (2<к<<У0 ), Пусть а , , . . . , от -элементы, на которых опровергается равенство if • V. Породим подалгебру JCn алгебры Xk элементами а ^ . . . , а т (ясно, что п-1 делит k - ł ) . Су-ществует гомоморфизм h - h 2 • h j, где ht - ЭТп^* . .. *31п^, где n, - 1, • ••* nk - 1 - все делители числа п -1, - проектирование на r ^ -ый множитель, алгебра Fто на алгебру . . . « *, ь2 -гомоморфизм X ^ lni ‘ « . . . * x ^ , nk ł На алгебру Х п , причем . / ( п, ) <nk ) . „ 2^9i » ••** 9 i t * ° i * Поэтому равенство ф - V опровер-гается в алгебре Fm на элементах 0 , , . . . , 0 т . Следовательно алгеб-ра Fm является овободной алгеброй в многообалгеб-разии m оо свободными образующими O j G m. Литература [1 ] N i i h i i u r i I « , On formulas o f one v a r ia b le ln in t u i- t io n i a t i c p ro p o eitio n a l c a lc u lu s , J . S . L ., 25 ( i9 6 0 ) , 327- -3 3 1 .
[ 2 ] R 1 i g i r U , A remark on th e e*c* Tree clo su r e a lg eb ra s, "Czechoslovak Math. Journal", 82 (1 9 5 7 ), 1 6 -20.
[ 3 ] U r q u h a r t A ,, Fr#e h eytln g a lg e b r a s, A lg. U n iv ., v o l. 3/1 (1 9 7 3 ), 9 4 -9 7 .
[4] H o r n A ., Free L -algeb ras, J . S . L ., 3 4 (1 9 6 9 ), 475-480. [ 6 j E p • t a i n G ., H o r n A ., P -algebrefi, an a b str a ctio n
fro * P ost a lg e b r a s, A lg. U n iv ., v o l. 4 , j . 2 (1974) 195-206. [ g J R a u a z e r C ., S an i-Boolean algebras and t h e ir ap p
lica-t io n lica-to i n lica-t u i lica-t i o n l s lica-t i c lo g i c w ilica-th dual op eratIona, Fund, N a th ., 8 3 , Г З (1 9 7 4 ), 219-249.
|T ] 0 v i n g i r P h ., Free Post algebras and ooproduets o f Poat algebras B u ll. Acad. Polon, S e i. Sar. 3 c i . Math. A stro- no». P h ys.,20 (1 9 7 2 ), 535-537.
И i Peso Гр иго 4 м
fr* « oyoXlo algebras in « о м v a r i e t ie s o f clo e u г* a lg eb r a s, B u ll. S e c t. L o t ., P o l. Acad. S o l . , 4 , N 3 (1 9 7 5 ), 95-102. [ 9 ] Г р в г о л и я P ., Свободные D*-алгебры о конечным чис- нок образующих, IV Всесоюзная конференция по математичеокой логике, Кишинев 1976, отр. 34. СЮ] Ш e х т м а н В, Б . , Лестницы Риг ера-Ниши куры, Докл. Акад. Н аук., 241, ■ в 1978 , 1288-1291. [11]. Г р н г о л н л Р ., Свободная циклическая алгебра в э «на-циональном кл ассе, соответствующей бимодальной системе LinTCrz, Логика, Семантика, Методология, Тбилиси 1978, "Миц- ннереба" 100- 112. [12] Э с а к и а Л ., Семантический анализ бимодальных (времен-ных) логических оиотем, Логика, Семантика, Методология, Тби- лнои 1978, "Мецниереба", 87-99.
[13] S e j e r b t r i K ., Modal lo g ic w ith ч lin e a r a lte r n a tiv r e la t io n , «Theorie", 36, N 3 (1 9 7 0 ), 301-322.
[14] C h н n g C. C ., A lgebraic a n a ly s is o f Many-valued lo g i c , Trans. Amer. Math. S o o ., 88 (1 9 5 8 ), 467-490.
[16] G r i g o l i a R ., A lgebraic a n a ly s is o f Lukasiewicz-Tap* s k i ’s n-valued lo g ic a l system s. S elected Papers on Lukasie-w icz S e n te n tia l C a lc u li, O ssolinsua 1977, 8 1 -9 1 .
[Id] M o N a u g h t o n R ., A theorem about in fin ite -v a lu e d s e n t e n t ia l l o g i c , J . S . L . , 16 (1 9 5 1 ), 1-13.
Кафедра философии Тбнлиского Государственного Университета
Rezo G rig o lia
О FORMUŁACH M-ZMIENMYCH W RACHUNKACH LUKASIEWICZA
Tematyka pracy nawiązuje do n iezm iern ie waZnego nurtu badań logiczn ych - badan alg eb r wolnych w k la s ie slgeb ralczn ych (matry-cowych) modeli danego rachunku log iczn eg o i uzyskiwanie charakte-ry za cji tzw . alg eb r Lindenbauma.
Rozważania prowadzone są w dwóch przypadkschi nieskończonej
lo g ik i Łukasiewicze i skończenie wartościowych lo g ik Lukasiewicza. « przypadku pierwszym algebraicznym i modelami są tzw. MV-algebry Change, a w drugim zdefiniow ane przez autora MVn-a lg eb ry . Głównymi wynikami aąs tw ierd zen ie 4 podające k a z ta łt wolnej m-generowanej MNm-s ig e b r y oraz tw ierd zen ie 5 , u o g ó ln iają ce ta n r e z u lta t na kla-są a lg eb r Change.
