Tożsamości cyklometryczne. Zadania z zastosowaniem funkcji cyklometrycznych

Tożsamości cyklometryczne.

Zadania z zastosowaniem

funkcji cyklometrycznych

Autorzy:

Anna Barbaszewska-Wiśniowska

2019

Przykład 1:

Przykład 1:

Obliczmy ,

Korzystamy z faktu, że

Rozwiązując równanie trygonometryczne elementarne:

otrzymujemy dwie grupy rozwiązań

z których wybieramy tylko to rozwiązanie, które należy do przedziału czyli

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Przykład 2:

Obliczmy . Funkcja jest nieparzysta, więc

obliczamy korzystając z faktu, że

i , ,

i .

Rozwiązujemy równanie trygonometryczne elementarne: .

otrzymując ,

spośród rozwiązań wybieramy to, które należy do przedziału , czyli ,

arcsin

arcsinx = w ⇔ sin w = x i w ∈ [− , ], x ∈ [−1, 1],

arcsin = w ⇔ sin w =

i w ∈ [− , ].

sin w = ,

w = + 2kπ, k ∈ Z lub w = π − + 2kπ = π + 2kπ, k ∈ Z,

[− , ],

w = .

arctg (− )

√

3

arctg

arctg(− ) = −arctg( ).

√

3

√

3

arctg( )

√

3

arctgx = w ⇔ tg w = x w ∈ (− , )

x ∈ R

arctg

√

3

= w ⇔ tg w =

√ w ∈ (− , )

3

tgw = 3

√

w = + kπ

k ∈ Z

(− , )

w =

ZADANIE

Zadanie 1:

Zadanie 1:

Treść zadania: Treść zadania:

Pokażemy, że dla prawdziwa jest równość Rozwiązanie:

Rozwiązanie:

Obierzmy dowolną liczbę , wówczas liczba należy do przedziału , więc wartość funkcji sinus dla tej liczby jest nieujemna. Z jedynki trygonometrycznej mamy

, ,

lub ,

Wybieramy wzór i obliczamy

- korzystamy z faktu, że , dla każdego .

ZADANIE

Zadanie 2:

Zadanie 2:

Treść zadania: Treść zadania:

Obliczymy wartość wyrażenia .

Rozwiązanie: Rozwiązanie:

Obliczamy najpierw , a następnie

i , stąd . i , stąd . Mamy więc .

x ∈ [−1, 1]

sin(arccosx) = 1 − x

_√

− −

−−−

x ∈ [−1, 1]

α = arccosx

[0, π]

α +

α = 1

sin

_cos

α = 1 −

α

sin

_cos

sin α = 1 −

_√

−

−−−−−−

cos

α

−

_{sin α = − 1 −}

_√

−

−−−−−−

_cos

_α

−

sin α = 1 −

_√

−

−−−−−−

cos

α

−

sin(arccosx) =

_√

1 −

−

−−−−−−−−−−−−

cos

(arccosx)

−

=

_√

−

_{1 − [cos(arccosx)]}

−−−−−−−−−−−−−

−

₌

_√

_{1 − x}

− −

−−−

.

∗

cos(arccosx) = x

x ∈ [−1, 1]

sin(arccos − arcsin1)

arccos

arcsin1

arccos = w ⇔ cos w =

w ∈ [0, π]

w =

arcsin1 = w ⇔ sin w = 1 w ∈ [− , ]

w =

sin(arccos − arcsin1) = sin( − ) = sin(− ) = − sin = −

Obliczmy wartość wyrażenia . Rozwiązanie:

Rozwiązanie:

Zauważmy, że postępując podobnie jak w przykładzie 3 czyli obliczając np. , napotkamy pewną trudność w efektywnym rozwiązaniu równania trygonometrycznego . Możemy tu użyć kalkulatora do znalezienia rozwiązania przybliżonego, ale możemy też zadanie to rozwiązać inaczej.

W tym celu wykorzystamy wzory:

, .

, dla ,

, dla (patrz przykład drugi). Obliczamy

sin(arccos − arccos )

arccos

cos w =

sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β α, β ∈ R

cos(arccosx) = x

x ∈ [−1, 1]

sin(arccosx) = 1 − x

_√

− −

−−−

_{x ∈ [−1, 1]}

sin(arccos − arccos ) = sin(arccos ) ⋅ cos(arccos ) − cos(arccos ) ⋅ sin(arccos ) =

5 17 15 17 15 17

=

−

=

−

=

−

=

.

1 −

− −

−−−

√

1 −

− −

−−−

√

−−

√

−−

√

ZADANIE

Zadanie 4:

Zadanie 4:

Treść zadania: Treść zadania:

Niech . Naszkicujemy wykresy złożeń

Rozwiązanie: Rozwiązanie:

Funkcje , są podane jedynie za pomocą wzorów, czyli rozpatrujemy je w dziedzinie naturalnej.

, ,

, .

Znajdujemy dziedzinę złożenia

, , . Stąd Dla obliczamy . Otrzymujemy , .

Zatem złożenie jest identycznością w przedziale . Rysujemy wykres tej identyczności.

Rysunek 1:

ZADANIE

Zadanie 5:

Zadanie 5:

Niech . Naszkicujemy wykresy złożeń .

Rozwiązanie: Rozwiązanie: , ,

f(x) = sin x, g(x) = arcsin x

f ∘ g

f g

f(x) = sin x

D

= R

g(x) = arcsin x

D

= [−1, 1]

= {x ∈ R : x ∈

i g(x) ∈

}

D

D

D

x ∈ [−1, 1] (arcsin x) ∈ R

= [−1, 1]

D

x ∈ [−1, 1]

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(arcsinx) = sin(arcsinx) = x

(f ∘ g)(x) = x

D

= [−1, 1]

f ∘ g

[−1, 1]

f(x) = sin x, g(x) = arcsin x

g ∘ f

g(x) = arcsin x

D

= [−1, 1]

Nierówność podwójna jest zawsze spełniona, czyli .

Zauważymy, że jest funkcją okresową o okresie zasadniczym , takim samym jaki ma funkcja wewnętrzna – sinus. W tym celu pokażemy, że spełnione sa dwa warunki definicyjne okresowości.

, czyli dla każdej liczby należącej do dziedziny liczba również należy do dziedziny, więc warunek dotyczący dziedziny funkcji okresowej jest spełniony w sposób oczywisty.

Musimy pokazać jeszcze, że , .

Obliczamy

, więc

.

Funkcja jest więc funkcja okresową o okresie .. Aby naszkicować wykres funkcji okresowej , wystarczy znać fragment tego wykresu w przedziale o długości , a następnie „powielić” ten fragment na całą oś liczbową.

Dla mamy , więc wykresem jest odcinek leżący na diagonali . Pozostaje

rozważyć przedział . Zauważmy, że dla każdego możemy znaleźć taką liczbę , że .

Obliczmy dla

- zastosowaliśmy wzór redukcyjny

- korzystamy z nieparzystości funkcji arkus sinus. Mamy, więc

Możemy naszkicować wykres

Rysunek 2:

= R

D

g ∘ f

w = 2π

= R

D

x

x + 2π

(g ∘ f)(x + 2π) = (g ∘ f)(x) x ∈ D

(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(sin x) = arcsin(sin x)

(g ∘ f)(x + 2π) = arcsin(sin x + 2π) = arcsin(sin x) = (g ∘ f)(x)

g ∘ f

2π

g ∘ f

2π

x ∈ [− , ]

(g ∘ f)(x) = arcsin(sin x) = x

y = x

[ π]

x ∈ [ , π]

α ∈ [− , ]

x = π + α

x ∈ [ , π]warto

z

o

enia

(g ∘ f)(x)

(g ∘ f)(x) = arcsin(sin x) = arcsin(sin(π + α))

=

arcsin(− sin α)

₌

− arcsin(sin α) = −α = −(x − π) = −x + π

∗

sin(π + α) = − sin α

∗ ∗

(g ∘ f)(x) =

⎧

⎩

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

…

x

−x + π

…

dla

dla

dla

dla

x < −

x ∈ [− , ]

x ∈ [ , π]

x > π

g ∘ f

ZADANIE

Zadanie 6:

Zadanie 6:

Treść zadania: Treść zadania:

Wyznaczymy dziedzinę funkcji danej wzorem .

Rozwiązanie: Rozwiązanie:

Liczby z dziedziny funkcji muszą spełniać następujące warunki 1. 2. . Ad.1 Ad.1 , , , . Ad. 2 Ad. 2 , . Podstawiając mamy .

Funkcja arccos jest malejąca, więc rozwiązując tę nierówność cyklometryczną musimy zmienić zwrot nierówności na przeciwny , , . Z (1) i (2) otrzymujemy Odpowiedź Odpowiedź .

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko

f(x) = log( − arccos

)

x

D

|

| ≤ 1

( − arccos

) ≥ 0

|

| ≤ 1

≤ 1

|x − 5| ≤ 3

x ∈ [2, 8]

( − arccos

) > 0

arccos

<

= arccos

arccos

< arccos

>

x − 5 >

x > 5 +

x ∈ (5 +

, 8]

= (5 +

, 8)

D

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=24e69b2a81d7ff79a5bd95be6c64283a