Widok Entropia w teorii wartości

B E A T A F A Ł D A

E N T R O P I A W T E O R I I W A R T O Ś C I

W ś r ó d w i e l u teorii matematycznych stosowanych do opisu i analizy wartości ekonomicznej na s z c z e g ó l n ą u w a g ę z a s ł u g u j ą p r ó b y w y k o r z y s t a n i a metod i n a r z ę d z i w y w o d z ą c y c h się z teorii informacji1. Zaproponowane ponad pół w i e k u temu przez C. E. Shannona u j ę c i e teorii informacji oparte na p o j ę c i u f u n k c j i entropii s t a ł o się i n s p i r a c j ą do wykorzystania tej s z c z e g ó l n e j f u n k c j i w r ó ż n y c h dziedzinach n a u k i . P o m i m o pewnej o d m i e n n o ś c i k o n ­ cepcyjnej o k a z a ł o się, że funkcja entropii m o ż e być stosowana jako n a r z ę d z i e , za p o m o c ą k t ó r e g o m o ż n a p r o w a d z i ć badania w zakresie teorii w a r t o ś c i ekonomicznej2. R o z w a ż a n i a d o t y c z ą c e tego zagadnienia o p i e r a j ą s i ę g ł ó w n i e na sformalizowanej w a l r a s o w s k i e j k o n c e p c j i w a r t o ś c i , o p i s u j ą c e j w a r t o ś ć e k o n o m i c z n ą j a k o f u n k c j ę r z a d k o ś c i3.

Dr B E A T A F A Ł D A - Katedra Z a s t o s o w a ń Matematyki w Instytucie Ekonomii, W y d z i a ł Nauk S p o ł e c z n y c h K U L ; adres do korespondencji: A l . R a c ł a w i c k i e 14, 20-950 Lublin.

1 Z a początek powstania teorii informacji przyjmuje s i ę rok 1948, w którym ukazała się

pionierska praca C . E . Shannona, A maihcmatical theory of communication, „The B e l l System Technical Journal" 1948. nr 27. s. 379-423, 623-656; zob. A. D ą b r o w s k i. O teorii informacji. Warszawa: Wydawnictwo Szkolne i Pedagogiczne 1947. s. 5-8.

; Literaturę z zakresu z a s t o s o w a ń entropii do opisu zjawisk s p o ł e c z n o - ekonomicznych m o ż ­

na znaleźć w pracy: R. P r z y b y s z e w s k i , E . W ę d r o w s k a, Aksjomatyczna teoria entropii, „ P r z e g l ą d Statystyczny" 52(2005), z. 2. s. 85-101.

' Wiele uwag na ten temat m o ż n a z n a l e ź ć w: J . C h e n, An Entropy Theory ofValue, http: //web.unbc.ca/~chenjA J . C h e n. Information, entropy and evolutionary finance, http://web. unbc.ca/~chenjA I . C li e n. The Physical foundalion of Economics. An Analytical Thermodynamic

Theory, World Scientific Publishing 2005; J . C h e n. Information Theory and Market Behavior,

1. WALRASOWSKA TEORIA WARTOŚCI

Z d e f i n i o w a n i e w a r t o ś c i ekonomicznej w k o n t e k ś c i e u ż y t e c z n o ś c i k r a ń ­ cowej zaproponowane przez L . Walrasa zajmuje s z c z e g ó l n ą pozycję w historii d o k t r y n e k o n o m i c z n y c h . Ten w y b i t n y przedstawiciel s z k o ł y l o z a ń s k i e j , f o r m u ł u j ą c swoje r o z w a ż a n i a nad w a r t o ś c i ą w ramach analizy r ó w n o w a g i o g ó l n e j , u t o ż s a m i a ł w a r t o ś ć dobra z jego u ż y t e c z n o ś c i ą k r a ń c o w ą b ę d ą c ą psychologicznym skutkiem oceny r z a d k o ś c i r o z w a ż a n e g o dobra dokonywanej

przez konsumenta4.

P r z y j m u j ą c , iż r z a d k o ś ć jest r o z u m i a n a j a k o liczba d ó b r s t o j ą c y c h do d y s p o z y c j i i c h konsumenta w p o r ó w n a n i u z w i e l k o ś c i ą zapotrzebowania na te dobra, L . Walras z a u w a ż y ł , iż:

w gospodarce n a j w a ż n i e j s z ą r o l ę o d g r y w a j ą dobra rzadkie, - na r y n k u ma miejsce w y m i a n a d ó b r r z a d k i c h ,

- producenci p o d e j m u j ą p r o d u k c j ę w celu w y t w o r z e n i a d ó b r r z a d k i c h . P o n i e w a ż r z a d k o ś ć ma znaczenie bliskie pojęciu rozproszenia, w niniejszej pracy p o d j ę t o p r ó b ę opisu teorii Walrasa przy u ż y c i u metod matematycznych zaproponowanych przez C. E. Shannona.

2. POJĘCIE ENTROPII

S ł o w o „ e n t r o p i a " pochodzi z j ę z y k a greckiego, gdzie oznacza „ z m i e n i a ć " . Pod koniec X I X w i e k u w p r o w a d z i ł j e po raz pierwszy do f i z y k i Clausius. Z punktu widzenia tej dziedziny nauki entropia rozumiana jest j a k o miara nie-u p o r z ą d k o w a n i a nie-u k ł a d nie-u c z ą s t e c z e k i d e f i n i o w a n a n a s t ę p nie-u j ą c o

S =k

-In

gdzie k jest s t a ł ą Boltzmanna, z a ś p - p r a w d o p o d o b i e ń s t w e m , że układ będzie w o k r e ś l o n y m stanie. I m w i ę k s z y jest stan n i e u p o r z ą d k o w a n i a p o ł o ż e ń i p r ę d ­ k o ś c i c z ą s t e k w u k ł a d z i e , t y m w i ę k s z e jest p r a w d o p o d o b i e ń s t w o p, ż e u k ł a d znajdzie s i ę w t a k i m w ł a ś n i e stanie1.

W 1948 r. a m e r y k a ń s k i matematyk C. E. Shannon z a p r o p o n o w a ł m e t o d ę mierzenia n i e o k r e ś l o n o ś c i w y n i k u gry za p o m o c ą k o s t k i s z e ś c i e n n e j . W y

-4 E . T a y 1 o r, Historia rozwoju ekonomiki, t. I I , Lublin: Delfin 1991, s. 108-138. 5 J . O r e a r, Fizyka, t. I , Warszawa: W N T 1998, s. 234.

m y ś l o n ą przez siebie m i a r ę braku zdeterminowania n a z w a ł w ł a ś n i e e n t r o p i ą . O p i e r a j ą c s i ę na t y m p o j ę c i u , Shannon s t w o r z y ł podstawy teorii i n f o r m a c j i6.

J e ż e l i X jest d y s k r e t n ą z m i e n n ą l o s o w ą o w a r t o ś c i a c h J C „ x2,...,xn

i r o z k ł a d z i e zadanym przez c i ą g pt = P(X = xX i = \,2,...,n, to s u m ę

n

(3-1)

Ha(X)=-Y,pM

p

1=1

gdzie a jest d o w o l n ą stałą w i ę k s z ą od j e d n o ś c i7, nazywamy entropią zmiennej

n

l o s o w e j8 X przy podstawie a, gdzie V pi.= \ .

;=i

W p r o w a d z o n a w ten s p o s ó b funkcja Ha s p e ł n i a n a s t ę p u j ą c e w ł a s n o ś c i :

- jest nieujemna,

- o s i ą g a w a r t o ś ć m a k s y m a l n ą , gdy p r a w d o p o d o b i e ń s t w a p r z y j m o w a n i a przez X w s z y s t k i c h m o ż l i w y c h w a r t o ś c i s ą takie same,

- jest r ó w n a 0 wtedy i tylko wtedy9, gdy stany systemu opisanego z m i e n n ą X p r z y j m u j ą w a r t o ś c i 0 albo 1,

- jest a d d y t y w n a - entropia sumy r ó w n a się sumie entropii, o ile systemy X i Y s ą n i e z a l e ż n e w sensie n i e z a l e ż n o ś c i z m i e n n y c h l o s o w y c h X i Y.

F u n k c j ę e n t r o p i i interpretuje s i ę j a k o ś r e d n i ą w a r t o ś ć informacji o roz­ proszeniu w u k ł a d z i e { Q , p.; X} d o s t a r c z a n ą j e d y n i e przez r o z k ł a d p r a w d o p o d o b i e ń s t w a zmiennej l o s o w e j X. W y n i k a s t ą d , ż e p o j ę c i e to m o ż n a u t o ż s a m i a ć z n i e p e w n o ś c i ą z a j ś c i a danego zdarzenia elementarnego - j e ż e l i zdarzenie w y s t ę p u j e z p r a w d o p o d o b i e ń s t w e m r ó w n y m 1 to entropia w y n o s i 0, co oznacza, ż e n i e p e w n o ś ć co do z a j ś c i a rozpatrywanego zdarzenia redu­ kuje s i ę do zera.

P o m i m o d u ż e g o p o d o b i e ń s t w a formalnego, j a k i e zachodzi p o m i ę d z y war­ t o ś c i ą o c z e k i w a n ą E(X) a e n t r o p i ą Ha(X), n a l e ż y z a u w a ż y ć , że funkcja entropii

z a l e ż y j e d y n i e - j a k wspomniano - od r o z k ł a d u zmiennej X, p o z o s t a j ą c nie­ z a l e ż n ą od w a r t o ś c i przyjmowanych przez tę z m i e n n ą . Pewnym mankamentem

6 M . D o s z y ii, Skłonności a entropia, „Przegląd Statystyczny " 48(2002), z. 1, s. 73. 7 W zastosowaniach do teorii informacji przyjmuje s i ę zazwyczaj p o d s t a w ę logarytmu a = 2.

8 Poradnik matematyczny. C z . 2, red. I . D z i u b i ń s k i , T . Ś w i ą t k o w s k i . Warszawa: P W N . s.

580-581.

p o j ę c i a e n t r o p i i jest j e j z a l e ż n o ś ć od podstawy a l o g a r y t m u w y s t ę p u j ą c e g o w w y r a ż e n i u d e f i n i u j ą c y m tę f u n k c j ę , c h o c i a ż - jak pokazano w niniejszych r o z w a ż a n i a c h - z a l e ż n o ś ć ta m o ż e p r z y n i e ś ć o k r e ś l o n e k o r z y ś c i inter­ pretacyjne. Okazuje s i ę jednak, że n i e k t ó r e informacje d o t y c z ą c e e n t r o p i i X uzyskuje s i ę j a k o w i e l k o ś c i n i e z a l e ż n e od podstawy a w y s t ę p u j ą c e j w de­ f i n i c j i Hu.

Na gruncie teorii w a r t o ś c i e k o n o m i c z n e j o k r e ś l o n e g o dobra lub koszyka d ó b r m o ż n a p r z e p r o w a d z i ć n a s t ę p u j ą c e r o z w a ż a n i a : niech dany b ę d z i e rynek, na k t ó r y m dobro A w y s t ę p u j e z r z a d k o ś c i ą z d e f i n i o w a n ą przez m i a r ę p p r a w d o p o d o b i e ń s t w a p o j a w i a n i a s i ę tego dobra na r y n k u . W t e d y w a r t o ś ć e k o n o m i c z n ą w sensie e n t r o p i i przy podstawie a dobra A m o ż e m y o k r e ś l i ć w z o r e m

(3.2) H

{A) = -log,/?,

gdzie a jest s t a l ą w i ę k s z ą od j e d n o ś c i , k t ó r ą m o ż e m y t r a k t o w a ć j a k o u o g ó l ­ nienie liczby p r o d u c e n t ó w tego dobra (rys. 1).

Rys. 1. Zależność pomiędzy wartością ekonomiczną w sensie entropii, liczbą producentów i rzadkością

Z w ł a s n o ś c i l o g a r y t m u w y n i k a , ż e Ha{A) jest f u n k c j ą m a l e j ą c ą zmiennej

p, co oznacza, że i m w i ę k s z a jest d o s t ę p n o ś ć dobra A t y m m n i e j s z ą ma ono w a r t o ś ć dla k o n s u m e n t ó w , a j e d n o c z e ś n i e jest f u n k c j ą m a l e j ą c ą zmiennej a > 1. co odpowiada na pytanie: „ D l a c z e g o ceny ( w a r t o ś ć ) d ó b r produ­ k o w a n y c h przez m o n o p o l i s t ę s ą w y s o k i e ? " .

U o g ó l n i a j ą c p o w y ż s z e r o z u m o w a n i e na gruncie w a l r a s o w s k i e j teorii w a r t o ś c i , m o ż e m y p o w i ą z a ć p o w y ż s z e rozumowanie ze wzorem o k r e ś l a j ą c y m f u n k c j ę e n t r o p i i Ha(A) zmiennej losowej X z f u n k c j ą HU{A) w n a s t ę p u j ą c y

s p o s ó b : oznaczmy przez A konkretne dobro lub koszyk d ó b r w y s t ę p u j ą c y na r o z w a ż a n y m r y n k u , z a ś s y m b o l e m X f u n k c j ę jego w a r t o ś c i w y r a ż a j ą c ą się c e n ą x„ i- 1,2,...,/;, z j a k ą w y s t ę p u j e u s p r z e d a w c ó w . Niech pt oznacza

p r a w d o p o d o b i e ń s t w o w y s t ą p i e n i a dobra A u p o s z c z e g ó l n y c h s p r z e d a w c ó w , z a ś a jest, j a k poprzednio, u o g ó l n i o n ą l i c z b ę p r o d u c e n t ó w dobra A. W t e d y l i c z b ę

i n t e r p r e t o w a ć b ę d z i e m y j a k o wartość ekonomiczną dobra A w sensie entropii^ przy podstawie a na r o z w a ż a n y m r y n k u .

W a r t o z a u w a ż y ć , ż e Ha{A) d ą ż y do + °°, gdy a - 1+, za w y j ą t k i e m , gdy

Z a ł ó ż m y , ż e na r y n k u funkcjonuje d w ó c h s p r z e d a w c ó w dobra A, k t ó r e w y s t ę p u j e u pierwszego z nich z p r a w d o p o d o b i e ń s t w e m p, z a ś u drugiego z p r a w d o p o d o b i e ń s t w e m 1 - p. M o ż e m y p r z y j ą ć , że pierwszy sprzedawca

proponuje nabycie tego dobra po cenie x„ z a ś drugi po cenie x2. W t e d y

p(X = x,) = p, z a ś p(X = x2) = 1 - p.

(3.3)

d z i e = 1 i=l

p, = 0 i

Rzadkość

Rys. 2. Wartość ekonomiczna dobra w sensie entropii w przypadku dwóch sprzedawców jako funkcja rzadkości p

M a m y zatem (rys. 2 i rys. 3)

(3.4) H a ( A ) = p - \ o ° a - + (\ - p ) - l 0 gf l— — ,

P 1 - P

P o n i e w a ż entropia Ha(A) przyjmuje w a r t o ś ć n a j w i ę k s z ą , gdy

p. — p., = ••• = pn = —. n i e z a l e ż n i e od postawy a > 1 i w y n o s i ona log,, «,

oznacza to, że Ha(A) jest f u n k c j ą r o s n ą c ą zmiennej n. Fakt ten m o ż n a inter­

p r e t o w a ć w s p o s ó b n a s t ę p u j ą c y : w a r u n k i e m k o n i e c z n y m i dostatecznym o s i ą g n i ę c i a przez dane dobro n a j w i ę k s z e j w a r t o ś c i w sensie e n t r o p i i jest r ó w n o m i e r n y r o z k ł a d j e g o p o d a ż y u w s z y s t k i c h w y s t ę p u j ą c y c h na danym r y n k u s p r z e d a w c ó w (rys. 4).

5

Rys. 3. Wartość ekonomiczna dobra A w sensie entropii w przypadku dwóch sprzedawców jako funkcja rzadkości /; i liczby a jego producentów

Rys. 4. Maksymalna wartość ekonomiczna w sensie entropii jako funkcja liczby producentów i liczby sprzedawców

Z w a r t o ś c i ą e k o n o m i c z n ą danego dobra w sensie entropii m o ż e m y p o w i ą z a ć f u n k c j ę Vf l 2 o k r e ś l o n ą w z o r e m

l o g

H

(A]

(3.5) _vl(A)=YPi

1=1

k t ó r ą b ę d z i e m y i n t e r p r e t o w a ć j a k o m i a r ę rozproszenia w a r t o ś c i HJ^A) (rys. 5 i rys. 6). V2 a (A) 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 2

Rzadkość

Rzadkość

Liczba producentów

Rys. 6. Funkcja rozproszenia y ~a ( A ) przy a >

W przypadku r o z k ł a d u d w u m i a n o w e g o m o ż e m y ł a t w o s p r a w d z i ć , ż e

f

(3.6) vl(A)=p-(\-p

_los,,

p

T r a k t u j ą c a j a k o z m i e n n ą w y ](A) w i d z i m y , ż e miara rozproszenia zmniejsza s i ę wraz ze wzrostem liczby p r o d u c e n t ó w p r z y j m u j ą c w a r t o ś ć zerowa w punkcie p = — n i e z a l e ż n i e od w y b o r u a > 1 , z a ś jej w a r t o ś c i

2 i maksymalne, symetryczne w z g l ę d e m p = — , s p e ł n i a j ą r ó w n a n i e

(3.7) P

v ' - P

V P

Oznacza to, ż e w przypadku d w ó c h s p r z e d a w c ó w punkty maksymalnego rozproszenia Hu nie z a l e ż ą od w y b o r u a > 1 .

W a r t o ś ć l i c z b o w ą ęa (A) = #a (A) +y a {A)

n a z y w a ć b ę d z i e m y m i a r ą p e w n o ś c i zakupu dobra A (rys. 7 i rys. 8). W r o z w a ż a n y m uprzednio przypadku d w u m i a n o w y m o t r z y m u j e m y f u n k c j ę p e w n o ś c i zakupu dobra z a l e ż n ą od rozproszenia p i ilości p r o d u c e n t ó w a, k t ó r a przyjmuje p o s t a ć

(p[i(p)=P

-log

— - l o g

+

3. WARTOŚĆ EKONOMICZNA W SENSIE ENTROPII W PRZYPADKU DWÓCH DÓBR

Z a ł ó ż m y , ż e dane s ą d w a dobra A,, A2, k t ó r y m , podobnie j a k poprzednio,

p r z y p o r z ą d k o w a n e s ą zmienne losowe X oraz Y p r z y j m u j ą c e o d p o w i e d n i o w a r t o ś c i x,, x2,..., xn i y„ y2,—, y„ o z n a c z a j ą c e ich m o ż l i w e ceny na r o z w a ż n y m

r y n k u . Z m i e n n e te charakteryzuje ł ą c z n y r o z k ł a d p r a w d o p o d o b i e ń s t w a p(J,

i = 1. 2...., n,.j = 1 , 2 , ni.. Przy p o w y ż s z y c h oznaczeniach e n t r o p i ą ł ą c z n ą pary (A,, A2) n a z y w a m y w y r a ż e n i e

/i m

(4.1) H

(Ai, Ai)- = H

Pij

J e ż e l i Pj — 2^ Pjj, zaś P ,= X Pij w t ed y entropia z m i e n n y c h X i Y 7=1 i = l t r a k t o w a n y c h oddzielnie w y r a ż a s i ę w z o r a m i " 1 " ' 1

/ U * ) = I > , - l o g

— ,

Podane wzory o d p o w i a d a j ą o p i s o w i zjawiska substytucji dóbr. N i e r ó w n o ś ć (4.2) i m p l i k u j e , iż substytucja redukuje w a r t o ś ć dobra. R ó w n o ś ć zachodzi w ó w c z a s , gdy dobra X i Y s ą n i e z a l e ż n e , tzn. nie s ą d o b r a m i substy­ t u c y j n y m i " .

Z drugiej strony n i e r ó w n o ś ć (4.2) m ó w i o d o l n y m ograniczeniu w a r t o ś c i ł ą c z n e j w sensie e n t r o p i i d ó b r substytucyjnych przez ś r e d n i ą a r y t m e t y c z n ą w a r t o ś c i p o s z c z e g ó l n y c h s k ł a d o w y c h .

I n n y m p r z y k ł a d e m w y k o r z y s t a n i a f u n k c j i e n t r o p i i jest przypadek analizy z w i ą z k u p o m i ę d z y w i e l k o ś c i ą popytu r y n k o w e g o a w a r t o ś c i ą e k o n o m i c z n ą dobra, na k t ó r e jest zapotrzebowanie.

J e ż e l i p oznacza m i a r ę r z a d k o ś c i dobra A wytwarzanego przez a pro­ d u c e n t ó w , z a ś d - l i c z b ę k o n s u m e n t ó w r o z w a ż a n e g o r y n k u , wtedy w i e l k o ś ć

1 0 D ą b r o w s k i , O teorii informacji, s. 45-47.

l o ga— jest w a r t o ś c i ą e k o n o m i c z n ą w sensie entropii dobra A. Liczba ' P

k o n s u m e n t ó w , k t ó r a z a k u p i ł a dobra A, m o ż e b y ć w y r a ż o n a i l o c z y n e m d • p. A zatem c a ł k o w i t a w a r t o ś ć ekonomiczna w sensie entropii sprzedanych d ó b r A wynosi:

(4.3) d-p, (-lo&p.).

Z formuły (4.3) wynika, że w y r a ż o n a w ten s p o s ó b w a r t o ś ć p o c z ą t k o w o r o ś n i e , a n a s t ę p n i e , po o s i ą g n i ę c i u ekstremum, maleje do zera (zob. rys. 9 i rys.

10), podczas gdy funkcja w a r t o ś c i jednostkowej dobra A jest m a l e j ą c a (zob. rys. 1).

1 0 0

R y s .

10.

*

Matematyczne modele ekonomiczne, b ę d ą c e formalnymi konstrukcjami wy­ rażającymi związki zachodzące między zjawiskami ekonomicznymi i ewentualnie pozaekonomicznymi, m a j ą za zadanie uchwycenie istotnych relacji i zależności zachodzących między zjawiskami ekonomicznymi oraz badanie mechanizmów ich rozwoju.

W niniejszym artykule przedstawiono kilka p r z y k ł a d ó w zastosowania funkcji entropii w modelowaniu zjawisk rynkowych, k ł a d ą c s z c z e g ó l n y nacisk na s f o r m u ł o w a n i e pojęcia wartości ekonomicznej w sensie entropii. T y m samym zostało zaproponowane nowe p o d e j ś c i e do konstrukcji i analizy modeli eko­ nomicznych wzbogacone o. dające d u ż ą w a r t o ś ć p o z n a w c z ą , d o ś w i a d c z e n i a takich teorii naukowych, jak teoria informacji oraz teorie termodynamiki.

B I B L I O G R A F I A

C h e n J . , An Entropy Theory of Value, http://web.unbc.ca'~chenj/

C h e n J . , Information, entropy and evolutionary finance, http://web.unbc.ca/~chenj/ C h e n J . . Information Theory and Market Behavior. http://web.unbc.ca/~chenj7

C h e n J . . The Physical foundation of Economics. A n Analytical Thermodynamic Theory, World Scientific Publishing 2005.

D ą b r o w s k i A . , O teorii informacji. Warszawa: Wydawnictwo Szkolne i Pedagogiczne 1974. D o s z y ń M . , S k ł o n n o ś c i a entropia, „Przegląd Statystyczny" 48(2002), z . l , s. 73-78.

O r e a r J . , Fizyka, t. I, Warszawa: W N T 1998.

Poradnik matematyczny. C z ę ś ć 2. red. I. Dziubiński. T . Ś w i ą t k o w s k i . Warszawa: P a ń s t w o w e W y ­ dawnictwo Naukowe 1982.

P r z y b y s z e w s k i R „ W ę d r o w s k a E . . Aksjomatyczna teoria entropii. „Przegląd Statystyczny" 52(2005), z. 2, s. 85-101.

S h a n n o n C . E . , A mathematical theory of communication, „The B e l l System Technical Journal" 1948, nr 27, s. 379-423, 623-656.

T a y l o r E . . Historia rozwoju ekonomiki, t. I I . Lublin: Delfin 1991.

E N T R O P Y I N T H E T H E O R Y O F V A L U E

S u m m a r y

Theory of information is a rich source of methods and tools used in various domains of knowJedge. The examples presented in this paper show how to apply the function of entropy in the theory of value. They attempt to enrich the research arsenał of economic by new tools.

Translated by Jan Kłos

S ł o w a kluczowe: entropia, w a r t o ś ć ekonomiczna. K e y words: entropy, economic value.