College weerstand: Inleiding stromingsleer

COLLEGE WEERSTAND.

INLEIDING STROMINGSLEER.

Algemene Inleldlr^ia^»

De gedoceerde s t o f z a l een compromis z i j n . Een compromia voc n a m e l i j k b e p a a l d door de o n t w e r p t e o h n i e q h e e i e e n , d i e aan de kennj van een scheepsbouwkundig i n g e n i e u r worden g e s t e l d . D© i n d e l i n g vt h e t o o l l e g e i a a l s v o l g t :

1) . Enif^e h y d r o d y n a m i B o h e b e f ^ r l p p e n .

(O.a, o v e r a i o h t h o o f d w e t t e n , b e g r i p p o t e n i a a l en a t r o o m f u n c t : superpósitie van p a r a l l e l a t r o r o l n g en b r o n , paradox van d'Alej b e r t , conforme t r a n s f o r m a t i e ) .

2 ) . G e l l j k v o r m i g h e i d e m e o h a n i c a .

Modelwetten van ïVoude en Reynolds.

3 ) . Weerstandsproevon met acheepamodellan en h o t e x t r a p o l a t i e d i a -rtram. (Methode van JVoude) v o r m e f f e o t } roodelfamilies. Golfwserstaud»' (Wig van W i g l e y ) ,

5 ) * W r i j v l n g a w e e r a t a n d . ( r u w h e i d ) ( p r o e f t o c h t e n ) *

6 ) , a y a t e m a t i e o h e m o d e l s e r i e s . ( e i t p e r l m e n t e e l ) .

T a y l o r ( G e r t l e r ) , Lap, Todd, BSEA, SSPA» J t i t y s - V o l k e r . W i j z e van u i t z e t t e n van de r e e u l t a t e n ( L a o k e n b y ) .

7 ) . I n v l o e d van b e p e r k t e w a t e r d i e p t e en b r e e d t e . J

( S c h l i c h t i n g , K r e i t n e r ) , . ^ B e l a n g r i j k e l i t e r a t u u r a l s algemene i n f o r m a t i e b r o n i a j

a ) . "Weeratand en V o o r t s t u w i n g van schepen",

door Van Lammeren, T r o o s t en K o n i n g t U i t g . Stam.

b ) » "BydrodynamlBohe g r o n d s l a g e n v o o r h e t scheepsontwerp". Deel At "Weerstand" door Lap. ( Z i e S c h i p en Werf 1 9 5 6 , 1 9 5 7 )

B i j de t e behandelen a t o f s t e e d s aandacht b e s t e d e n aan dimen a i e s * b i j v o o r b e e l d :

fe K = m X a

:5 M.L-T'^,

2

-per volume eenheid: Q ^ m

v o l • v o l

d i c h t h e i d ƒ0 s maesa per volume eenheid: kg m sec o f

dynanleohe druk:

M .L*2 M k r a c h t - f Cs) • — 2 " P —

^ LT*^ IT

Scheepsbouwkundige L a b o r a t o r i a , waar modelproeven o.a* t e r b e p a l i n g van de eoheepaweeratand worden u i t g e v o e r d , bevinden z i c h over de gehele w e r e l d . (U.S.A., N.P.L. Japan| No9rwegen, Zweden, H.S.V.A. e n z . ) .

De afmetingen en de i n r i c h t i n g a w i j z e van de v e r a c h l l l e n d e l a b o r a t o r i a lopen nogal u i t e e n . Ëen van de hoofdzaken van de o o l l e g e a t o f i e het met hydrodynamisch i n z i c h t i n t e r p r e t e r e n ven de r e -s u l t a t e n van de weer-stand-sproef* ( b e g r i p p e n : hydrodynamieoh g l a d } t u r b u l e n t i e - s t i m u l a t o r s a l s draad, " s t u d s " en " s t r u t s " ; zand8trook)|

1« Hydrodgiamieche bet^rippen.

Stroomli.lnan; I n e l k punt g e e f t de r a a k l i j n de r i c h t i n g van de s n e l h e i d , eigenschapt U V w ContinuïteitBverf^eli j k i n g ; Algemeen:

g ( p u ) g ( ^ v ) ^(f>w) ^ _2/o

O X g y a » s t

Voor h e t geval dat^o = c o n s t a n t (onsamendrukbaar):

(Andere vorm van de oontiuuïteitavoorwaarde i a de S t e l l i n g van Oauaa voor etroombuia: F i v i a ^2^5^» 3

-" 3 '

De bewefllngavermeil.IklriKen.

(Vooar ean l l o h a a o I n een s t r o m i n g ) de t e beschouwen krachten z i j n * z w a a r t e k r a c h t , drukkraohten en w r i j v l n g a k r a o h t e n ) • A f l e i d i n g u i t K a m x a per volume-eenheid: 9t + v2JS 4-waa sa ax + v ^ 9a 3x + v ^

Bet doel der aero- en hydrodynamica i s de v i j f onbekenden v, w, p, en ^ op t e l o s s e n . De contlnuïteitsvoorwaarde, de d r i e

bewe-g i n bewe-g s v e r bewe-g e l i j k i n bewe-g e n , de t o e s t a n d s v e r bewe-g e l i j k i n bewe-g = Ri thermodyna-misch verband tussen p en ^ ) en de w a r m t e - v e r g e l i j k i n g ( d ^ = d£+ + A E^^^ + A E j j ^ . t AyjLtw.^ geven zee v e r g e l i j k i n g e n (de onbekende T komt e r b i j ) .

Op deze"aymbplieche w i j z e i e het aero- en hydrodynamica probleem t h e o r e t i s c h geschematiseerd, I n de p r a k t i j k z a l b i j de o p l o s s i n g van onze problemen»het gehele a a n t a l onbekenden.niet voorkomen. Een v e r -eenvoudiging van het systeem om t o t een o p l o s s i n g t e komen i s :

fO a c o n s t a n t . •

Dan vleV onbekenden ( u , v, w, p ) en v i e r vergelijkingen» Dan nog

{Se-ven de o p l o e s i n g van de oontinuïteitsvoorwaarde en de. d r i e bewegings-V e r g e i l j k l n g e h matheaatisoh g r o t e m o e i l i j k h e d e n . Daarom h e e f t men naar

eenvoudige oploeeingemethoden geaooht: w r i j v i n g s l o o s — o = b 0} dangeeftinvoérl^gi-^het b e g r i p söelheidspotentlaal De oontinuïteitsvoorwaardei a x py az ^* gaat nu over i n : 2 2 2 •2--^+ 22L 3 O ( V e r g e l i j k i n g van liaplace A ^ = O) m k *

- i f .

De b e w e g l n g e v e r g e l i j k l n g e n gaan over i n de Wet van B e r n o u l l i : ^ + i V^gg + P + ^ S b = constant

( i n h e t s t a t i o n a i r e g e v a l i s * 0 ) . P o t e n t i a a l van een bron»

S t e l l e n we de t o t a l e h o e v e e l h e i d v l o e i s t o f , d i e z i c h per t i j d e eenheid naar a l l e kanten u i t z e t , Q dan z a l op een b o l met s t r a a l r de r a d i a l e s n e l h e i d a i j n : dan i s : C o n t r o l e : r ^ » x^ . /. . ax ' ax r (Q l a b r o n s t e r k t e ) . Bron: l e tweedimensionaal. S t e l l e n we de t o t a l e h o e v e e l h e i d v l o e i -s t o f , d i e z i c h per t i j d -s e e n h e i d en p e r hoogte-eenheid (a) naar a l l e k a n t e n u i t z e t , q dan z a l op een c i l i n d e r met s t r a a l r de r a d i a l e - e n e l h e l d z i j n I

' r a d - 2^? ^ ^

(Vraag: C o n t r o l e e r de contlnuïteitavoorwaarde voor een bron I ) ,

5

-S a m e n a t e l l i n g v a n een P a r a l l e l en eeq Bronstr.oming.

Met B u p e r p o a l t l e v a n p o t e n t i a l e n p r o b e r e n w i j de v e r g e l i j k i n g voor een s t r o o m l i j n t e v i n d e n : u = V + ^ •2 ? voor r a a k l i j n aan s t r o o m l i j n g e l d t :

\ X - a .

d ( V 7 T 7 ) V

y= .

s t e l \/ + « «, dan t s :

Deae i n t e g r a a l i s l a s t i g op t e l o s s e n . Er i s een eenvoudiger o p l o s -s i n g . Neem een w i l l e k e u r i g punt P ( o r d i n a t e n r , 0 ) . Tran-sport door c i r k e l X X-as behorende b i j P, tengevolge van p a r a l l e l e t r o m i n g :

TE W^ . V (w e V y^ + a ^ ) .

Tengevolge van bronatroming stroomt door de b o l a c h i j f behorende b i j c i r k e l door Ps

'^^t.A • Öpp. b o l e o h i j f = — . ZitT . r ( 1 - oos O) kit

De t o t a l e doorstroming door c i r k e l doo? P I s i ^ ,r ^ n 1 * cos O

-yw a W W ,V + Q, ^

en wordt per d e f i n i t i e de s t r g o m f u n o t i e genoemd»

-üit de • cöïïtinuïteitavoorwaörde v o l g t d a t voot een ötroonjlijn g e l d t : ^ = oonetant. Dus:

Tt i V + q , * oonetant (voor s t r o o m l i j n ) .

Voor de s u p e r p o s i t i e van een p a r a l l e l en b r o n s t r o m i n g i s ook nog een a a r d i g e g r a f i s c h e o p l o s s i n g («le cursus "Weerstand" door l r A.J»W* l a p ; F i g . 12)*

Verdeel Q voor p a r a l l e l en bronetroom i n b.v, a e s t i e n eenbe-den. De hoeveelheidseenheid »f <, = I / I 6 Q. Voor de p a r a l l e l s t r o o m g e l d t :

, n ö Vi Tt .w^» Voor de bronetroom g e l d t :

vp^ * n « Q , ( - — \

w a a r i n 0 0 1 , 2 , 5 , . . . . 16* De s t r o o m l i j n e n kunnen g e c o n s t r u -eerd worden met behulp van de eigenschap d n t de s t r o o m f u n c t i e con* s t a n t i a voor een s t r o o m l i j n ( n * c o n s t a n t ) . •

De l i j n e n waarvoor n > I 6 ai'jn asymptbteó aaii de M i j n e n v o o i O d ±6'resp* 1 , 3^ 3 , • S n i j p u n t e n van 1'*16^ 2-16, 3-16 ( d . i . ' p a r a l l e l 1j 5 . , . bron 16) l i g g e n op o n e i n d i g l i n k s i n de f i -g u u r ,

De l i j n e n waarvoor n < 16 raken l n h e t middelpunt van de b o l (em de b r o n ) aan n » 1| 2 , 3 * • • van de b r o n .

Vèor de s t r ^ o m l i . | n n o 16 e c h t e r geen raken aan n « 16 van de b r o n doch l o o d r e c h t s n i j d e n . I n h e t atuwpvmt g e l d t Vp^^^^^j^^^^ »

^ p a r a l l e l

0

r i s de a f s t a n d van het stuwpunt van de r e s u l t e r e n d e s t r o m i n g t o t O

7

-Voor n e 16 oneindig ver r e o h t s i n de f i g u u r g e l d t i VTTw ^ V / r r 2 = l6ff»^ = Q.

I n d i e n we de w r i j v i n g verwaarlozen zouden w i j de v e r a c h l l l e n d e a t r o o m l i j n e n door een wand vervangen kunnen denken. D i t l a l n h e t bijzónder i n t e r e e e a n t voor n a i 6 voor b i j v o o r b e e l de vormgeving van een p i t o t b u i a . De stroming wordt dan minimaal v e r a t o o r d . Voor een p i t o t b u i a vein een vorm°volgene een a t r o o m l i j n n e i 6 kan men de vraag a t e l l e n waar de a t a t i s c h e drukoponlng moet l i g g e n opdat V z i c h binnen een'aanvaardbare marge h e r s t e l d h e e f t .

Voor h e t " h a l f l i o h a a m " g e l d t voor de s t r o o m f u n c t i e (dus voor de s t r o o m l i j n e n ) ; De r e s u l t e r e n d e enelheld i s ; Voor de p i t o t b u l a w a n d (n « 16) voor w = O en 6 w /t g e l d t t ré W^ . V + ^(1 « OOS O) a Q , w s i n O _{2 H i n- r}

hetgeen reeds eerder afgeleid)» Nu i S !

-Oe r e s u l t e r e n d e s n e l h e i d V wordt dan«

V =

Vv^ +

8 i n ^

I

+ aiö^

I

oos O.

r e s ' G ^

V

k Q 2 O 20

1 + a l n f + 2 s i n ^ cos Q waarin cos 0 = 1 - 2 s i n ^ = V

Vl + a

s i n ^ § - 3 s i n ^

I

Wensen we een nauwkeurigheid w a a r b i j V a i^OO^V dan i a 1,010 => 2 0 k Q

a 1 + 2 s i n ^ " 3 s i n D l t g e e f t een waarde van O waar dan de s t r o m i n g h e r s t e l d t o t op een i% van de o o r s p r o n k e l i j k e s n e l h e i d .

V ree

V^ 1 + 2 B i n ^ I - 3 sin'* | |

S r a f i e k van V t e n o p z i c h t e van a f s t a n d t o t de neus:

r e s

2 0 4 O Wanneer i s V_ . maximaal ? Dan i e 1 + 2 s i n - 3 s i n •=>

b 2 ^ ^ a 1 + 2 s - 3 5 maximaal. H i e r v o o r i s nodig d a t : k% - 12 = O ^ = O — * minimum ^ = 1/3

1

/3VT

s i n § n 1 / 3 V 3 — " O = 7 0 , 5 ' max

vVi

+

2 ( 1 / 3

Vl)^ -

3 ( 1 / 3

VTS)'*"

= V

Vl + I -

j c o 1 , 1 5 V D r u k v e r l o o p b i j d i t a t r o m i n g s b e e l d . Bekend i s voor een s t a t i o n a i r e , h o r i z o n t a l e s t r o m i n g :

Po * ^/^V^ = p + _{r e s}

9

-\ ' 1

Het voorgaaacle l a a t enige a a r d i g e c o n e t r u c t i e e t o e . B i j voor-beeld de d r u k v e r d e l i n g op een t r a v e r s e , dwarsdoorsnede voor het h a l f l i c h a a m ( p i t o t b u i a )

(p - p

)

arzw

dw

want het gaat er s l e c h t s om o f er over- dan w e l onderdruk i e . Voor de bovengrens g e l d t : Voeren w i j nu i n : w n cos | \ / ^ I P - P q " ^y» V^(3 a i n ^ | - 2 s i n ^ | ) d w = - , s i n

I

.

d O , dan i s t - 10

- 10

° ^ V . Q

*y

(3 a i o ^

I -

2 s i n ' | ) d ( s i n | )

= r»

V . Q ( 3 / 6 s i n ^

I -

2/if s i n ^ | ) / = O

t n t o t a a l i s er dus geen r e s u l t e r e n d e k r a c h t . D i t g e l d t voor a l l e vormen van voorkanten, mltö het l i c h a a m e r a c h t e r maar c i l i n -d r i s c h -d o o r l o o p t t o t i n het "co".

Pe a c h t e r k a n t van een l i c h a a m kan men e t r o m l n g s t e c j i n i s c h r e a i i * ^ seren door de i n v o e r i n g van h e t b e g r i p " p u t " (een n e g a t i e v e bron)«r W i j kunnen door " s u p e r p o s i t i e van een p a i f a l l e l s t r o o m , een "bron" en een " p u t " een g e s l o t e n e t r o o m l i j n (n l 6 ) r e a l i s e r e n . Liggen de bron en de put v e r U i t e l k a a r dan h e e f t het l i c h a a m een c i l i n d r i s c h middenstuk. Naderen bron en p u t e l k a a r dan wordt de b o l benaderd.

Üit bovenstaahde beschouwingen «al h e t d u i d e l i j k z i j n d a t de resulteiendé k^'aobt door de p a r a l l e l a t r o o m op een lioheiam (dat door een bronnen-en eènlputtensystaem g e r e a l i s e e r d kan worden, b i j v o o r * b e a l d een b o l ) u i t g e o e f e n d g e l i j k n u l i s . D i t i s de Paradox van d'Alembert^ en g e l d t voor een p o t e n t i a a l s t r o m i n g en een s t a t i o n a i r e beweging. B i j een i n s t a t i o n a i r e beweging t r e d e n massatraagheids-k r a c h t e n op.

ywee-dimensionale veldent

Een verdere Vereenvoudiging (due naast de i n v o e r i n g van bet b e g r i p s n e l h e i d f i p o t e n t t a a l ) om t o t o i ) l o s 6 i n g van onze hydrodynamisohe v e r -g e l i j k i n -g e n t e komen i s ons s t r o m i n -g s v e l d a l s o n a f h a n k e l i j k van de ooiördinaat z te beschouwen. Èlk v l a k J., zas d i e n t h e t z e l f d e s t r o -mingsbeeld t e geven* De continuïteitavoorwaarde wordt dan»

an

. O, o f • . O.

Qx^ 9 y 2

Voor de p o t e n t i a a l een bron (twee-dimensionaal) vonden we reeds;

en Voor een p u t :

11

-R o t a t l e v r l . l h e l d van een p o t e n t i a a l a t r o m l n -R , ,

Besehouwen w i j een v l o e i a t o f e l e r o e n t j e van een p o t e n t i a a l s t r o m i n g dan i s het volgende op t e merken over de r o t a t i e :

De r i b b e " d y " h e e f t een r o t a t i e s n e l h e i d rechtsom, d i e gegeven wordt d u

door dy

1

av Voor de r i b b e "d x" vinden we een r o t a t i e s n e l h e t d linkaom g e l i j k Daar:

Q x 3 y gx

i s een p o t e n t i a a l s t r o m l n g , dus r o t a t l e v r i j . S t r o o m f u n c t i e :

Nemen we A en B op g e l i j k e hoogte en op a f s t a n d d x Van elkaar dan i s de hoeveelheid v l o e i s t o f d i e per t i j d s e e n h e i d door d x atroomt|

V dx.

^

Av

B

Nu i s - 'ji'g de hoeveelheid d i e tussen A en B d o o r s t r o o m t , dan i a :

d X CS - v.d X .

a x

2±.

(het -teken v o l g t u i t het f e i t dat a l s 7'g> ' t ^ ^ dan i a > O en v naar beneden g e r i c h t ) , dus

V

9 x •

H e t z e l f d e kunnen we nogeena doen voor A en B op een a f s t a n d d y van e l k a a r ,

dan i s :

i a

-dan ±6i

d y ff u d y ( i n d i e n ^ ^ > 0 J u naar r e c h t e g e r i c h t )

Wiekundlg i n t e r e e e a n t i a nu een r e c a p i t u l a t i e van het b e s r i p Poten-t i a a l en S Poten-t r o o m f u n c Poten-t i e ,

P o t e n t i a a l S t r o o m f u n o t i e u a V p ( X j y , t J • ^ ( x, y, t )

u {

v t

a - ^

Zonder r o t a t i e duat Zonder r o t a t i e t

^ « ^ 5 v Q . f ^ ^ ^ j 2 f j L . o

a y 5x a x g y g y ^ x Continülteitsvoorwaarde t Continüïteltsvoorwaarde: ^ * ^ y 95c2 9 y 2

a£ ^

av

„ 0 j - O 0 . a x a y a y a x ö x a y

Gaan we de vroeger besproken voorbeelden weer na, dan vinden wei I . Voor een p a r a l l e l s t r o o m ?

u a V 5 V = 0 — — ^ Y s= V , X

^ = V.

_{y (want 1^ * Vl)} II» Voor een bron: (twee-dim.)

^ r a d . - a r ? ^ « f ^ ^ I n r 0

272-III» Voor een c i r c u l a t i e a t r o o m :

De c i r c u l a t i e 7»o aJTr « V. . T

> / 1

r

? J e - V ^ g * « e - ^ g . r . e en dus: