INFRASTRUKTURA I EKOLOGIA TERENÓW WIEJSKICH Nr 4/2/2006, POLSKA AKADEMIA NAUK, Oddział w Krakowie, s. 203–212
Komisja Technicznej Infrastruktury Wsi
Michał Wierzbicki, Bogusław Przedwojski
OPIS UKŁADU POZIOMEGO
ZAKOLI RZEKI PROSNY PRZY WYKORZYSTANIU
KRZYWEJ COSINUSOIDALNEJ
Streszczenie
W artykule przedstawiono ogólną charakterystykę krzywej cosi-nusoidalnej, jej równanie, przebieg krzywej i jej krzywizny.
Przedstawiono metodykę wyznaczania parametrów łuków (warto-ści promienia minimalnego oraz długo(warto-ści łuku) opisujących istniejące zakola rzeki w układzie współrzędnych geodezyjnych mapy. Opracowa-ną metodykę wykorzystano do opisu układu poziomego zakoli odcinka rzeki Prosny od km 94+330 do km 93+660, znajdującego się bezpośred-nio poniżej projektowanej zapory czołowej planowanego zbiornika wod-nego Wielowieś-Klasztorna.
Na podstawie znajomości parametrów zakoli przeprowadzono obliczenia topografii dna badanego odcinka rzeki, których wyniki porównano z wynikami pomiarów terenowych. Efektem obliczeń i po-miarów terenowych jest zależność układu pionowego od układu pozio-mego naturalnego koryta Prosny na długości badanych zakoli.
Analiza wyników pozwoliła stwierdzić, że obliczony układ dna do-brze odwzorowuje pomierzony w naturze kształt koryta oraz, że łuki uzyskane dla badanego odcinka rzeki Prosny odpowiadają rzeczywiste-mu obrazowi układu poziomego zakoli rzeki.
Słowa kluczowe: układ poziomy rzeki, układ pionowy rzeki, zakola
WSTĘP
W korytach naturalnych, na całej długości ich biegu, występuje nieprzerwany wpływ ruchu wody na kształtowanie koryta. Wpływ ten objawia się zarówno stałymi zmianami profilu podłużnego, przekrojów poprzecznych, jak i zmianami rzutu poziomego cieku.
Badania rzeki Prosny wykonano dla odcinka, który objął nastę-pujące po sobie zakola, od km 94+370 do km 93+610 (rys. 1).
Rysunek 1. Badany odcinek rzeki Prosny Figure 1. Measured section of Prosna river
Na badanym odcinku wykonano pomiary terenowe, które objęły: pomiary topografii dna i pomiary hydrometryczne w przekrojach po-przecznych koryta na długości badanych zakoli. Na podstawie wyni-ków pomiarów terenowych oraz opracowanej mapy numerycznej [Wierzbicki 2004] wyznaczono oś koryta, którą opisano łukami o zmiennej krzywiźnie. Do opisu układu poziomego koryta wykorzy-stano krzywą o zmiennej krzywiźnie – krzywą cosinusoidalną. Dla badanego odcinka rzeki Prosny wykonano obliczenia na modelu matematycznym do obliczania wartości charakterystyk przepływu w korycie złożonym z zakoli o zmiennej krzywiźnie. Obliczenia prze-prowadzono pod kątem weryfikacji uzyskanego opisu układu pozio-mego rzeki.
KRZYWA UKŁADU POZIOMEGO BADANEGO ODCINKA RZEKI PROSNY
Na podstawie prac Leopold’a i Langbein’a [Leopold, Langbein 1966] oraz Engelunda [Engelund 1974], Hooka [Hook 1975] i Przed-wojskiego [1990] do opisu układu poziomego badanego odcinka rzeki Prosny wybrano krzywą o zmiennej krzywiźnie, krzywą cosinusoidal-ną, opisaną w układzie współrzędnych krzywoliniowych równaniem (1):
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ = s L R r π 2 cos 1 1 min (1) gdzie: r – wartość promienia w danym punkcie łuku,
Rmin – wartość promienia minimalnego na wierzchołku łuku,
L – długość łuku,
s – odległość od wierzchołka łuku.
Kształt łuku zależy od dwóch parametrów: promienia
minimal-nego Rmin oraz długości łuku L, a krzywizna jest funkcją odległości od
wierzchołka łuku s (rys.2). Krzywizna łuku zmienia się w sposób cią-gły od wartości minimalnej na początku łuku (maksymalna wartość promienia) przez wartość maksymalną na wierzchołku łuku (minimalna wartość promienia) do ponownie wartości minimalnej na końcu łuku.
Obliczenia w celu wytyczenia krzywej [Wierzbicki, Przedwojski 2001] prowadzi się dla odcinka łuku o długości s = L/4 (rys. 2) dla
wartości wyjściowych: promienia minimalnego Rmin i długości łuku L.
Wynikiem obliczeń są współrzędne prostokątne (X, Y) punktów na łuku.
Obliczanie łuku przy założonych parametrach Rmin oraz L
wyma-gało modyfikacji, gdyż nie jest znana a priori wartość promienia
mi-nimalnego Rmin danego zakola oraz dlatego, że układ obliczeniowy
(X,Y) (rys. 2) jest układem lokalnym, który może być obrócony o do-wolny kąt w stosunku do układu współrzędnych mapy.
Rysunek 2. Schemat tyczenia łuku według krzywej cosinusoidalnej Figure 2. Schema of cosinegenerated curve marking out OPIS UKŁADU POZIOMEGO BADANEGO ODCINKA RZEKI
Procedura obliczania łuków krzywej cosinusoidalnej do opisu wybranych zakoli zakłada jako wyjściowe współrzędne geodezyjne punktów charakterystycznych łuku (początek, wierzchołek, koniec),
dla których szukaną wartością jest promień minimalny Rmin na
wierz-chołku łuku.
Dla schematu obliczeń (rys. 3), po określeniu współrzędnych geo-dezyjnych punktów zakola: początku – P, wierzchołka – W, końca – K, oblicza się współczynniki kierunkowe oraz wartości kątów nachylenia do osi X mapy odcinków PW i KW oraz PW i KW. Wyznaczenie
przyro-stów współrzędnych ΔXΔY dla danej długości łuku pozwala na
wyzna-czenie wartości promienia minimalnego, obliwyzna-czenie krzywej oraz parametrów łuku danego zakola, ponieważ dla danej długości łuku
s (s = L/4) przyrost obliczeniowych współrzędnych ΔXΔY (rys. 3) jest
spełniony tylko dla jednej wartości promienia minimalnego Rmin
Rysunek 3. Schemat do obliczania parametrów krzywej
w układzie współrzędnych mapy
Figure 3. Schema of curve parameters calculating in map’s co-ordinates
Rysunek 4. Zmienność przyrostów współrzędnych obliczeniowych ΔXΔY w zależności od promienia minimalnego i długości łuku (dla s = 90–135 m)
Figure 4. Changes of calculated co-ordinates ΔXΔY dependened of minimal radius and curve length (s = 90–135 m)
Obliczenia prowadzi się osobno dla części powyżej i poniżej wierzchołka łuku. Wyniki można weryfikować poprzez sprawdzanie przyrostów współrzędnych obliczeniowych, długości i kierunku pro-mienia minimalnego oraz zgodności obliczonych wartości propro-mienia minimalnego na wierzchołku łuku. Do wykonywania obliczeń według zaproponowanej metodyki opracowano program komputerowy, który dla założonych punktów i ich współrzędnych oblicza szukane parame-try danego zakola rzeki.
Dla badanego odcinka zakoli rzeki Prosny przeprowadzono obli-czenia zgodnie z założoną procedurą, wykorzystując opracowany pro-gram. Wynikiem obliczeń jest opis układu poziomego wybranego od-cinka rzeki Prosny (rys. 1). Zakola tego odod-cinka są zakolami niesymetrycznymi o różnych długościach od 95 m do 180 m i warto-ściach promieni minimalnych od 60 m do 100 m. Zgodnie z założenia-mi obliczeń krzywej cosinusoidalnej, krzywizna łuków jest najmniej-sza na początku łuku i zmienia się w sposób ciągły do wartości największej na wierzchołku (najmniejsza wartość promienia mini-malnego) i wartości minimalnej na końcu łuku. Zmiana trasy oraz
łączenie łuków następuje w punkcie, gdzie wartość promienia r→∞.
Powyższe rozwiązanie opisu układu poziomego w sposób dokład-ny odzwierciedla przebieg osi koryta badanego odcinka rzeki Prosdokład-ny.
Znajomość parametrów krzywych opisujących rzekę pozwala na dokładną charakterystykę warunków przepływu wody w korycie. Sta-nowi również podstawę do prowadzenia badań modelowych mających na celu odzwierciedlenie zmian, jakie następują w korycie rzeki na długości badanych zakoli.
OBLICZENIA BADANEGO ODCINKA RZEKI PROSNY
Dla badanego odcinka rzeki Prosny wykonano obliczenia na mo-delu opracowanym przez Przedwojskiego [Przedwojski 1998], służą-cym do obliczania wartości głębokości przepływu, prędkości podłużnej i prędkości poprzecznej. Obliczenia prowadzi się dla kolejnych krojów z biegiem cieku, usytuowanych w dowolnej odległości od prze-kroju początkowego badanego obszaru przepływu. Przekroje oblicze-niowe dobrano tak, aby ich lokalizacja była zgodna z lokalizacją przekrojów pomiarowych koryta rzeki. Porównanie wyników obliczeń z wynikami pomiarów terenowych pozwoliło na weryfikację opisu
układu poziomego uzyskanego na podstawie mapy numerycznej i opracowanej metodyki. Wybrany, pomierzony i obliczony przekrój poprzeczny P13 przedstawiono na rysunku 5.
Rysunek 5. Przekrój pomiarowy P13 – wyniki pomiarów terenowych
i obliczeń modelowych
Figure 5. Cross section P13 – results of surveys and model calculations
Obliczony układ dna dobrze odwzorowuje pomierzony w naturze kształt koryta. Zgodność wyników obliczeń z rzeczywistym obrazem układu pionowego uwidacznia się również w odniesieniu do profilu podłużnego badanego odcinka rzeki Prosny. W pomierzonych i
obli-czonych przekrojach obliczono głębokości względne w odległości 0,2.B
(szerokości w zwierciadle wody) od osi koryta, jako stosunek h/h0
0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00 93.660 93.710 93.760 93.810 93.860 93.910 93.960 94.010 94.060 94.110 94.160 94.210 94.260 94.310 [Km] G łę bo ko ść wz g lę dna h/ ho [-]
Bl-pomiar BL-model BP-pomiar BP-model Przepływ wody
Q=5,12m3/s
zakole 3 zakole 2 zakole 1
Rysunek 6. Głębokości względne w profilu podłużnym badanego odcinka
rzeki Prosny
Figure 6. Relative depths down measured Prosna river section profile
PODSUMOWANIE I WNIOSKI
Głównym celem badań było uzyskanie opisu układu poziomego wybranego odcinka rzeki Prosny na mapach numerycznych na pod-stawie układu współrzędnych geodezyjnych oraz opracowanie zależ-ności układu pionowego od układu poziomego rzeki.
Opis układu poziomego badanego odcinka rzeki Prosny uzy-skano na podstawie mapy numerycznej, przy zastosowaniu opracowa-nej metodyki obliczeniowej. Krzywą o zmienopracowa-nej krzywiźnie wykorzy-staną do opisu zakoli koryta jest krzywa cosinusoidalna. Obliczenia modelowe posłużyły do weryfikacji otrzymanych rozwiązań. Zgodność danych modelowych z danymi pomiarowymi potwierdziła właściwy dobór parametrów układu poziomego w drodze opracowanej metodyki. Przeprowadzone analizy wyników pomiarów terenowych oraz obliczeń pozwoliły sformułować następujące wnioski:
1. Wynikiem przeprowadzonych badań jest opracowana metody-ka służąca do opisu krzywoliniowego układu poziomego rzeki.
łuku L zakoli rzeki na podstawie współrzędnych punktów charaktery-stycznych zakoli odczytanych z mapy numerycznej.
2. Mapa numeryczna pozwala na szybkie i dokładne określenie wielkości charakteryzujących kształt zakoli w układzie poziomym i opis topografii dna oraz parametrów przepływu wody w korycie krzywoliniowym, a powyższa metodyka może być wykorzystana do opisu istniejącego bądź projektowanego układu poziomego koryta rzeki.
3. Koryto rzeki Prosny na badanym odcinku jest w stanie natu-ralnym, a zakola tego odcinka są zakolami niesymetrycznymi o róż-nych długościach i wartościach promieni minimalróż-nych.
4. Analiza wyników obliczeń i porównanie z wynikami badań terenowych wskazuje, że dobór krzywej i metody obliczania jej para-metrów był właściwy, a uzyskane krzywe dla badanego odcinka rzeki Prosny odpowiadają rzeczywistemu obrazowi układu poziomego zakoli rzeki. Przedstawione rozwiązanie opisu parametrów przepływu wody w zakolach wykazuje zgodność z rzeczywistą charakterystyką ruchu wody w korycie krzywoliniowym.
BIBLIOGRAFIA
Engelund F. Flow and bed topography in channels bends. Journal of the Hydraulics Division ASCE, 1974, 100, no HY 11, s. 1631–1648.
Hook R. Distribution of Sediment Transport and Shear Stress in Meander Bend. Journal of Geology, 1975, No 5, vol. 83.
Leopold L., Lanbein W. B. River Meanders. Scientific American, 1966, vol.214. Przedwojski B. Krzywa cosinusoidalna w układzie poziomym rzek, Gospodarka Wodna
nr 2/1990, 1990, s. 40–45.
Przedwojski B. Ruch wody i topografia dna w zakolach rzecznych. Roczniki Akademii Rolniczej w Poznaniu, Poznań 1998.
Wierzbicki M., Przedwojski B. Opis poziomego układu cieku naturalnego przy wyko-rzystaniu krzywej cosinusoidalnej – materiały XXI Ogólnopolskiej Szkoły Hydrauliki. Wydawnictwo IBW PAN, Gdańsk 2001.
Wierzbicki M. Geometria koryta rzeki Prosny poniżej projektowanego zbiornika wodnego Wielowieś-Klasztorna. Przegląd Naukowy Inżynieria i Kształtowanie Środowiska nr XIII, Wydział Inżynierii i Kształtowania Środowiska SGGW w Warszawie, Warszawa 2004, zeszyt specjalny (30), s. 138–147.
Wołoszyn J., Czamara W., Eliasiewicz R., Krążel J. Regulacja rzek i potoków. Wydawnictwo Akademii Rolniczej we Wrocławiu, Wrocław 1994.
Dr inż. Michał Wierzbicki Katedra Budownictwa Wodnego Akademia Rolnicza w Poznaniu Prof. dr inż. Bogusław Przedwojski Katedra Budownictwa Wodnego Akademia Rolnicza w Poznaniu Recenzent: Prof. dr hab. inż. Wojciech Bartnik
Michał Wierzbicki, Bogusław Przedwojski
THE HORIZONTAL CONFIGURATION OF PROSNA RIVER BENDS DESCRIPTION WITH COSINEGENERATED CURVE
SUMMARY
This article presents characteristic of cosinegenerated curve, its equation, shape and curvature. It presents the methodology of curve parameters (minimum radius and curve length) setting witch describe real river bends in map’s co-ordinates. The methodology was used for describing horizontal configuration of river bends down Prosna river section form 94+330 km to 93+660 km located below designed Wielowieś-Klasztorna water reservoir.
On the basis of bends parameters numerical modeling of bed topography was made. Results of modeling were compare with results of in situ surveys. The result of model calculations and in situ surveys is horizontal and vertical configuration dependence down investigate river bends.
On the basis of surveys results it was set that the calculated river bed topogra-phy describes real bed topogratopogra-phy in a good way. It was also set that calculated curves corresponds with configuration of river bends.
Key words: river horizontal configuration, river vertical configuration, river bends,
