STATYSTYCZNY OPIS PRZEPŁYWU BAROTROPOWEGO NA SFERZE

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN 1896-771X 32, s. 193-198, Gliwice 2006

STATYSTYCZNY OPIS

PRZEPŁYWU BAROTROPOWEGO NA SFERZE

ANDRZEJ ICHA

Instytut Matematyki, Pomorska Akademia Pedagogiczna w Słupsku

Streszczenie. Praca dotyczy wybranych aspektów opisu turbulencji w ramach teorii układów dynamicznych. Jako przykład zaprezentowano statystyczne ujęcie przepływu barotropowego na sferze. Wprowadzono definicję rozwiązania probabilistycznego dla równania przenoszenia wiru w takim przepływie.

Wykorzystując stosowną nierówność energetyczną pokazano, że miara probabilistyczna zadana na zbiorze wszystkich warunków początkowych generuje miarę niezmienniczą skoncentrowaną na atraktorze półgrupy operatorów związanych z tym równaniem.

1. WSTĘP

Najtrudniejszy problem klasycznej fizyki, o podstawowym znaczeniu dla nauk technicznych, wiąże się z matematycznym opisem turbulentnych przepływów cieczy i gazów.

Na obecnym etapie rozwoju wiedzy powszechnie przyjmuje się, że turbulencję można opisać zagadnieniem początkowo-brzegowym Naviera-Stokesa (NSE). Należy przy tym zaznaczyć, że, w przeciwieństwie do dwuwymiarowych zagadnień przepływowych, problem istnienia, jednoznaczności i regularności rozwiązań NSE w przypadku ³ pozostaje otwarty. Osobną kwestią jest problem znalezienia jawnych (w tym statystycznych) rozwiązań układu NSE w celu analizy ważnych problemów inżynierskich i geofizycznych.

Celem niniejszej pracy jest teoretyczny opis zjawiska turbulencji w ramach paradygmatu NSE, przy wykorzystaniu metod teorii układów dynamicznych. Jako przykład rozważymy, pochodzący z geofizycznej hydrodynamiki, statystyczny opis przepływu barotropowego na sferze. Pokażemy, że sformułowanie problemu w języku rozwiązań statystycznych prowadzi do wniosku, że dowolna miara probabilistyczna zadana na zbiorze wszystkich możliwych warunków początkowych generuje miarę niezmienniczą skoncentrowaną na atraktorze półgrupy operatorów związanej z równaniem przenoszenia wiru.

2. UKŁADY DYNAMICZNE

Rozważymy na wstępie pewne abstrakcyjne zagadnienie Cauchy’ego w przestrzeni Banacha _B , postaci:

( )

dt G

du = t∈¹=[0,∞); u(0)=u₀, (1)

gdzie u∈B , a G jest (nieliniowym) operatorem określonym jako G :U ⊂B × a B . Oznaczmy przez F_t:B aB ciągłą półgrupę ciągłych odwzorowań z B w B , tzn. rodzinę przekształceń przestrzeni B w siebie, taką, że [1]:

1. F jest półgrupą, tj. dla dowolnych _t s∈¹,u∈_B zachodzi związek F F u_t( _s )=F u_{t s+} ; 2. funkcja F u jest ciągła ze względu na parę uporządkowaną (t,u), _t( ) t∈¹,u∈_B ; 3. F jest odwzorowaniem tożsamościowym, tzn. ₀ F u₀ =u.

Definicja 1. Parę {B ,F_t} nazywamy układem dynamicznym, a zbiór B przestrzenią fazową tego układu.

W szczególności, jeżeli _B =ⁿ oraz odwzorowanie G jest ciągłe i spełnia globalnie warunek Lipschitza, to z twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania dla problemu (1) wynika, że układ równań różniczkowych zwyczajnych typu (1) definiuje ciągły układ dynamiczny F [2]. _t

Spośród mnogości układów dynamicznych generowanych przez równania różniczkowe typu (1) rozważmy układ związany z równaniami Naviera-Stokesa. Jak pokazał Leray, problem NSE można sformułować w postaci analogicznej do (1) tzn. zapisać go w formie operatorowego równania ewolucyjnego dla pola prędkości u t x( )( )=u x t( , ) w pewnej przestrzeni funkcyjnej, czyli dla rodziny { ( )u t t∈ ,[0 T)} [3]. Na fizycznym poziomie ścisłości rozważań zwykle przyjmujemy a’priori, że zagadnienie NSE posiada jednoznaczne rozwiązanie: wtedy u t( )=F u_{t 0} na pewnym odcinku t∈ ,[0T] i operator ( )

def

Ft =ϕ u t, charakteryzuje się własnościami grupowymi w sensie definicji (1). Oznacza to, że półgrupa nieliniowych operatorów F opisuje ewolucję wszystkich przepływów cieczy w obszarze _t o zadanej geometrii i przy wszystkich możliwych warunkach początkowych.

Jakościowa analiza problemu turbulencji sugeruje, że dynamika rozwiniętego przepływu turbulentnego powinna koncentrować się na pewnym niezmienniczym podzbiorze przestrzeni fazowej. W trakcie ewolucji układu, stan początkowy opisywany miarą probabilistyczną zadaną na zbiorze wszystkich dopuszczalnych warunków początkowych powinien coraz mniej wpływać na stan końcowy układu. W rezultacie w przestrzeni fazowej przepływu pojawia się pewien podzbiór scharakteryzowany miarą niezmienniczą (atraktor), który całkowicie określa statystyczne własności turbulencji [4].

Z powyższych rozważań wynika, że podstawową rolę przy analizie geometrycznej struk- tury przestrzeni fazowej przepływu odgrywają obiekty zwane atraktorami układu dynamicz- nego oraz ich charakterystyki (struktura, miary probabilistyczne (nierównowagowe i nie- zmiennicze), ergodyczność itp.). Krótko odniesiemy się do tych pojęć.

Niech A B, ∈B będą dwoma zbiorami zawartymi w przestrzeni fazowej B , z normą ⋅ _B i metryką generowaną przez normę, ( )ρ ⋅,⋅ . Przez odległość (dist) dwóch zbiorów A B,

w przestrzeni B rozumiemy liczbę:

dist( ) sup ( ) ( ) inf ( ) inf _B

b B b B

a A

A B ρ a B ρ a B ρ a b a b

∈ ∈

, = ∈ , , , = , = − .

Definicja 2. Atraktorem półgrupy operatorów F działającej w przestrzeni fazowej _t B nazywamy zbiór zwarty A taki, że: 1. F_tA = , ∀ ≥A t 0, (własność F -niezmienniczości); _t 2. lim dist( _t ) 0

t F B

→∞ ,A = , (własność przyciągania), gdzie B⊂B jest ograniczonym zbiorem.

Tak więc, jeżeli stan początkowy układu należy do atraktora, u₀∈A , to układ dynamiczny ewoluuje wyłącznie na tym zbiorze. Jeżeli stan początkowy u należy do pewnego otoczenia ₀ atraktora, to trajektorie układu przy t→ ∞ są przyciągane do tego zbioru [5].

Niech δ B będzie σ -ciałem podzbiorów B oraz niech _B( ) += x  ; x  0}.

Definicja 3. Miarą na σ -ciele ( )δ B nazywamy odwzorowanie : ( )_B µ δB B a !+, przy czym:

1. ( )µ ∅ =0;

2. jeżeli A_i∈δ_B( )B , = , , , ,i 1 2… n … oraz A_i∩A_j = ∅, ∀ ≠i j, to

1 1

( )

(

)

i i

A A

µ ^{∞ ∞} µ

= =

=

∑

U

Definicja 4. Miarę µ na atraktorze A nazywamy niezmienniczą, jeżeli E∀ ⊂A ,  t   zachodzi równość: ( )µ E =µ ϕ( (E t, )).

Skonstruowanie takiej miary na atraktorze jest bardzo złożonym zagadnieniem. Dotyczy to m.in. układów dyssypatywnych (np. układu NSE), dla których w przestrzeni fazowej może występować więcej zbiorów przyciągających (atraktorów) i w związku z tym, może istnieć więcej miar niezmienniczych skoncentrowanych na tych zbiorach. Nie jest np. oczywiste, którą z nich należałoby wybrać, gdyż statystyczne własności rozwiązań ϕ(u t, ) zależą, ogólnie mówiąc od tego do jakiego obszaru przyciągania należą warunki początkowe.

Jednoznaczność miary uzyskujemy w przypadku ergodycznych układów dynamicznych.

Definicja 5. Układ dynamiczny nazywamy ergodycznym (lub nierozkładalnym) względem miary µ , jeżeli żaden zbiór niezmienniczy układu (atraktor) nie może być przedstawiony w postaci sumy dwóch niezmienniczych, nieprzecinających się zbiorów o miarach dodatnich.

Własności układów ergodycznych precyzuje następujące twierdzenie Birkhoffa [6]:

Twierdzenie 1. Niech ϕ(u t, ) będzie ergodycznym układem dynamicznym a ( )µ A niezmienniczą miarę probabilistyczną określoną na atraktorze A tego układu. Wtedy dla każdego E⊂A ma miejsce równość:

limT_→∞

∫

Fizycznie oznacza to, że czas przebywania trajektorii (prawie) każdego punktu ergodycznego układu dynamicznego na atraktorze, jest proporcjonalny do miary tego atraktora.

3. RÓWNANIE PRZENOSZENIA WIRU

Niech S%=S%(λ φ, ) będzie dwuwymiarową sferę o promieniu jednostkowym w przestrzeni

! . Równania dynamiki cieczy barotropowej, tzn. takiej, której gęstość jest tylko funkcją 3

ciśnienia, uzyskujemy analizując układ równań Naviera-Stokesa w sferycznym układzie współrzędnych związanym z obracającym się ośrodkiem. Otrzymamy [5]:

2

0 0

grad rot rotrot grad

2

div 0 _t ( )

u u

u u lk u u p f

t

u u u a a S

ν

=

∂ + + × + × + = − + ,′

∂

= ; | = , ∈ ,%

(2)

gdzie k jest jednostkowym wektorem normalnej zewnętrznej do sfery S% , l parametrem Coriolisa a f′= f′(λ φ, ) gęstością sił zewnętrznych.

Rozważany przepływ jest dwuwymiarowy; zatem, wykorzystując równanie ciągłości, wprowadzamy potencjał ψ ψ λ φ= (t, , ) pola prędkości zgodnie z zależnością u= ×k gradψ . Uwzględniając powyższy fakt w równaniu (2) otrzymujemy:

( ) rot (0) 0

J l f

t

ψ ψ ψ ν ψ ψ ψ

∂∆ + ,∆ + = ∆ + ′, = ,

lub, wprowadzając pole wiru ω∂ = ∆ψ , równanie

1

0 0

( ) rot _t

J l f f f

t

ω ⁻ω ω ν ω ω ₌ ω

∂ + ∆ , + = ∆ + , = ′, | = ,

∂ (3)

gdzie ( )J ⋅,⋅ jest jakobianem przekształcenia w zmiennych (λ φ, ).

Równanie (3) stanowi punkt wyjścia dalszych rozważań. Analizowane zagadnienie rozpatrujemy w przestrzeni

( ) { : 2( ) 0}

H S = ω ω∈L S ,

∫

której elementami są funkcje całkowalne z kwadratem spełniające warunek potencjalności.

Normę w tej przestrzeni oznaczamy przez | ⋅|. Następnie, wprowadzimy rodzinę przestrzeni

2

0( )

(

H^α S =D −∆ ^α/ , α, gdzie ∆ jest operatorem Laplace’a na sferze. Normy w tych przestrzeniach określamy jako

0

( ) 2

u Hα u α u

α /

| | =| | =| −∆ |. Zachodzi następujące twierdzenie [7]:

Twierdzenie 2. Jeżeli ω₀∈ , ∈H f H₀⁻¹, to istnieje jedyne rozwiązanie problemu (3), takie, że

1

2 0

[0 ) 0 :

( ) ( )

Tω C H L T H

∀ ∈ ,∞ , ∩ , .

W świetle twierdzenia (2), równanie (3) generuje pewien układ dynamiczny wyznaczony przez ciągłą półgrupą ciągłych operatorów S_t:ω₀ aω( )t , tzn. ω( )t =S_tω₀ w przestrzeni H . Mnożąc równanie (3) przez ω , a następnie całkując po czasie otrzymujemy następujące oszacowanie (nierówność energetyczną)

2 2 2

1 1 0

0

( ) ( )

t t

t d f

ω ω τ τ ω

ν ⁻

| | + |

∫

Załóżmy, że na przestrzeni H , której elementami są określone w chwili początkowej pola ₀ ω zadana jest miara probabilistyczna 0 µ0( ),E ∀ ∈E δ_B(H0),µ0(H0)=1.

Definicja 6. Statystycznym rozwiązaniem problemu (3) nazywamy rodzinę miar µ( , )t E spełniającą warunek

1

0 0 0

( , )t E (S E_t ) ({ H S: _t E}), E _B H

µ =µ ⁻ =µ ω∈ ω∈ ∈ (δ ). (5) Jeżeli ( , )µ t E =µ( ),E ∀ ≥t 0, to statystyczne rozwiązanie ( , )µ t E nazywamy stacjonarnym.

Niech F : H → będzie dowolnym, ciągłym funkcjonałem. Z definicji (6) wynika, że ( _t ) 0( ) ( ) ( , ).

F Sω µ dω = F ω µ t dω

∫ ∫

Twierdzenie 3. Załóżmy, że całka

∫

2

2 1/ 2 2 2

1 0 0

( , ) ( ) ( , ) ( ).

t t

t d d d f d

ω µ ω τ ω µ τ ω ω µ ω

τ ⁻

+ −∆ ≤ +

∫ ∫ ∫ ∫

Dowód. Wykorzystując nierówność (4), w której zastępujemy ω przez ( )t S_tω a następnie ₀ całkując po mierze µ₀(dω otrzymujemy ₀)

2 1/ 2 2 2 2

0 0 0 0 1 0 0 0

0

( ) ( ) ( ) ( ).

t

t t

Sω µ ωd dτ Sω µ ωd t f ω µ dω

τ ⁻

+ −∆ ≤ +

∫ ∫ ∫ ∫

Biorąc pod uwagę (6) uzyskujemy

2 1/ 2 2 2 2

0 0 0 1 0 0 0

0

( , ) ( ) ( , ) ( ).

t t

t d d d f d

ω µ ω τ ω µ τ ω ω µ ω

τ ⁻

+ −∆ ≤ +

∫ ∫ ∫ ∫

i ostatecznie, zamieniając ω na ω , otrzymujemy tezę. ₀ ! Wprowadzimy teraz uśrednione miary µ_T( )E zgodnie z zależnością

0

( ) 1 ( , ) , ( ).

T

T E t E dt E B H

µ =T

∫

Twierdzenie 4. Rodzina miar (9) jest zbieżna słabo do stacjonarnej miaryµˆ E( ) niezmienniczej względem półgrupy operatorów S skoncentrowanej na atraktorze _t A ⊂H tej półgrupy, przy czym µˆ(E)=1.

Dowód. Wykorzystując nierówność energetyczną (7) mamy, z uwagi na (9)

2

2 2 2

1/ 2 1/ 2 1

0 0

1 1

( ) ( , ) ( ) ( ) ( )

t

T

d d d f d c

T τ ω µ τ ω ω µ ω T ω µ ω

ν⁻

−∆ = −∆ ≤ + ≤

∫ ∫ ∫ ∫

( c =const) i w rezultacie

∫

Tak więc, z ciągu miar probabilistycznych µ_T( ),E E∈σ_B(H) można wybrać zbieżny słabo

podciąg ( ),

Tn E Tn

µ → ∞ taki, że (E) ˆ(E)

Tn µ

µ → . Niezmienniczość miary µˆ E( ) pokazujemy, zauważając, że

∫

∫

4. UWAGI KOŃCOWE

Zgodnie z twierdzeniem (4), dowolna miara probabilistyczna µ₀( )E zadana na zbiorze wszystkich możliwych warunków początkowych, generuje miarę niezmienniczą µˆ E( ) skoncentrowaną na atraktorze półgrupy operatorów S związanych z równaniem (3). _t Jednakże, zagadnienie ergodyczności tej miary pozostaje problemem otwartym. O wielkim znaczeniu problematyki zarysowanej w tej pracy, a związanej z równaniami Naviera-Stokesa, świadczy fakt umieszczenia NSE na liście Millenium Prize Problems pod nazwą Navier- Stokes Existence and Smoothness (http://www.claymath.org.). Dodajmy jeszcze, że z uwagi na podstawowe trudności związane z analizą równań nieliniowych, wykorzystanie metod teorii układów dynamicznych odnosi się głównie do problemów fizycznych opisywanych równaniami różniczkowymi zwyczajnymi. W zagadnieniach turbulencji ten stan rzeczy należy uważać za ,,pierwsze” przybliżenie. Podejście probabilistyczne stanowi właściwy kierunek analizy (zob. szerzej [8]), chociaż, jak dotąd, nie znaleziono żadnego rozwiązania statystycznego w jawnej postaci dla konkretnego przepływu turbulentnego.

LITERATURA

1. Szlenk W.: Wstęp do teorii gładkich układów dynamicznych. Warszawa: PWN, 1982.

2. Przeradzki B.: Teoria i praktyka równań różniczkowych zwyczajnych. Łódź: Wyd. Uniw.

Łódz., 2003.

3. Foias C., Manley I., Rosa R., Temam R.: Navier-Stokes equations and turbulence. Cam- bridge: Cambridge University Press, 2002.

4. Icha A.: Problemy teorii turbulencji. Rozpr. i Mon. 10. Sopot: IO PAN, 1999.

5. Dymnikov W.P., Filatov A.N.: Ustojčivost krupnomasstabnych atmosfernych processov.

Leningrad: Gidrometeoizdat, 1990.

6. Fomin S.W., Kornfeld I.P., Sinaj J.G.: Teoria ergodyczna. Warszawa: PWN, 1987, (tłum.

z jęz. ros.).

7. Dymnikov W.P., Filatov A.N.: Vvedenie v matematičeskuju teorju klimata. Moskva:

IVM RAN, 1993.

8. Višik M.I., Fursikov A.W.: Matematičeskie zadači statističeskoj gidromechaniki.

Moskva: Nauka, 1980.

STATISTICAL APPROACH TO BAROTROPIC FLOW ON SPHERE Summary. In this paper dynamical systems approach is applied to description of selected problems in turbulence theory. A notion of statistical solution for transport vorticity equation is introduced. A suitable energetic inequality for this solution is obtained. Using this fact, it is shown that an arbitrary probablilistic measure, defined on the set of all initial data, generated an invariant measure con- centrated on the attractor of semi-group operators associated with the transport vorticity equation.