Mariusz Żal, dr hab. inż. W. Kabaciński, dr inż. G. Danilewicz, mgr inż. M. Michalski Pola log_2(N,0,p) nieblokowalne w szerokim sensie z zerowymi przenikamiSesja: Nowe obszary badań systemów i sieci telekomuniacyjnych.Politechnika Poznańska, IEiT
7
0
0
Pełen tekst
(2) www.pwt.et.put.poznan.pl 0, 1, . . . , N − 1. Szczegółowy opis budowy tych pól moz˙ na znale´zc´ w [15], [16], [17]. ´ z˙ ka połaczeniowa Scie ˛ pomi˛edzy wej´sciem x a wyjs´ciem y przechodzi w sekcji 1 przez element komutacyjny SEbx/2c , w sekcji n przez SEby/2c , elementy komutacyjne w sekcjach o numerach od 2 do n − 1 oraz przez odpowiednie łacza ˛ mi˛edzysekcyjne. Połaczenie ˛ to b˛edzie oznaczane przez hx, yi. Dla kaz˙ dej pary wej´scie-wyj´scie istnieje dokładnie jedna s´ciez˙ ka połaczeniowa. ˛ Je´sli s´ciez˙ ki połaczeniowe ˛ dwóch par wej´scie-wyj´scie spotykaja˛ si˛e przynajmniej w jednym komutatorze, wówczas wyst˛epuje blokowanie łacza ˛ lub blokada przenikiem. W takich sytuacjach połaczenie ˛ te musza˛ by´c zestawiane przez róz˙ ne płaszczyzny. Mówimy wówczas, z˙ e te s´ciez˙ ki blokuja˛ si˛e w jednej płaszczy´znie. B. Reprezentacja stanów pola Kaz˙ dy komutator pierwszej sekcji ma dwa wej´scia a kaz˙ dy komutator ostatniej sekcji ma dwa wyj´scia. Jednak w rozwaz˙ aniach stanów pola komutacyjnego nie jest istotne, pomi˛edzy którymi z tych dwóch wej´sc´ i wyj´sc´ jest zestawiane połaczenie. ˛ Na przykład połaczenia ˛ h0, 0i lub h1, 1i jak równiez˙ h0, 1i i h1, 0i przechodza˛ przez elementy SE0 we wszystkich sekcjach komutatorów. Stad, ˛ numery elementów komutacyjnych w pierwszej i ostatniej sekcji sa˛ wystarczajace ˛ do analizy stanów pola komutacyjnego. Poniewaz˙ dla analizy stanu pola numery wej´sc´ i wyj´sc´ komutatorów nie sa˛ istotne, dlatego tez˙ połaczenie ˛ hx, yi moz˙ e by´c oznaczone jako (i, j), gdzie i = bx/2c i j = by/2c. Stan pola komutacyjnego moz˙ na przedstawi´c w k macierzach Ak , 1 6 k 6 p. Jedna macierz Ak słuz˙ y do reprezentacji stanu jednej płaszczyzny pola komutacyjnego. Kaz˙ dy z N/2 wierszy macierzy reprezentuje połaczenia ˛ wychodzace ˛ z komutatora sekcji pierwszej, natomiast kaz˙ da z N/2 kolumn reprezentuje połaczenia ˛ do komutatora sekcji n. Je´sli ak [i, j] = 1 oznacza to, z˙ e w płaszczy´znie k zostało zestawione połaczenie ˛ pomi˛edzy komutatorem i sekcji pierwszej oraz komutatorem j ostatniej sekcji pola. Natomiast je´sli ak [i, j] = 0 wówczas w płaszczy´znie k nie ma zestawionego połaczenia ˛ (i, j). Poniewaz˙ pole zbudowane jest z elementów 2 × 2, w kaz˙ dej kolumnie i w kaz˙ dym wierszu wszystkich macierzy Ak nie moz˙ e by´c wi˛ecej niz˙ dwóch warto´sci 1, to znaczy Xp. X2n−1 −1. k=1. oraz. Xp k=1. y=0. X2n−1 −1 x=0. ak [i, y] 6 2. (1). ak [x, j] 6 2.. (2). Rozwaz˙ my pole komutacyjne log2 (16, 0, p), w którym dopuszcza si˛e do wystapienia ˛ przeników pierwszego rz˛edu. Połaczenie ˛ (0, 0) blokuje połaczenia ˛ (0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 0), (1, 1), (2, 0) i (3, 0). To znaczy, poła˛ czenie (0, 0) blokuje wszystkie połaczenia, ˛ których s´ciez˙ ki połaczeniowe ˛ przechodza˛ przez te same łacza ˛ mi˛edzysekcyjne co s´ciez˙ ka połaczenia ˛ (0, 0). Gdy nie dopuszcza si˛e do wystapienia ˛ tych przeników, liczba blokowanych połacze´ ˛ n wzrasta. W tym przypadku połaczenie ˛ (0, 0) blokuje połaczenia, ˛ które przechodza˛ przez te same elementy. PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005. komutacyjne co połaczenie ˛ (0, 0). Blokowane połaczenia ˛ w płaszczy´znie k oznaczane sa˛ w macierzy Bk . Podobnie do macierzy A, wiersze i kolumny reprezentuja˛ połacze˛ nia zestawione z komutatorów sekcji pierwszej do komutatorów sekcji ostatniej. Zapis bk [i, j] = x, x > 1 oznacza, z˙ e połaczenie ˛ (i, j) jest blokowane w płaszczy´znie k przez x innych połacze´ ˛ n, natomiast bk [i, j] = 0 oznacza, z˙ e połaczenie ˛ to moz˙ e by´c zestawione w tej płaszczy´znie. Przyj˛eta notacja jest podobna do notacji uz˙ ywanej w [14], jednak z powodu niedopuszczania do przeników pierwszego rz˛edu zakres blokowanych połacze´ ˛ n jest inny. Poniewaz˙ pomi˛edzy dowolnym wej´sciem i dowolnym wyj´sciem jest dokładnie jedna s´ciez˙ ka połaczenio˛ wa, moz˙ na łatwo okre´sli´c połaczenia, ˛ które sa˛ blokowane przez połaczenia ˛ juz˙ zestawione w płaszczy´znie. Połaczenia ˛ blokowane przez połaczenie ˛ (i, j) w komutatorze pierwszej sekcji reprezentowane sa˛ przez komórki macierzy w wierszu v1 = i i kolumnach od w1 = j − j mod 2n−1 = 0 do w1 + 2n−1 − 1. Połaczenia ˛ blokowane przez połaczenie ˛ (i, j) w komutatorach sekcji 2 odpowiadaja˛ komórkom macierzy w wierszach od v2 = i − i mod 21 do v2 + 21 − 1 i kolumnach od w2 = j − j mod 2n−2 do w2 + 2n−2 − 1. Połaczenia ˛ blokowane w komutatorach sekcji 3 odpowiadaja˛ komórkom w wierszach od v3 = i − i mod 22 do v3 + 22 − 1 i kolumnach od w3 = j − j mod 2n−3 do w3 + 2n−3 − 1. Ogólnie, połaczenia ˛ blokowane w komutatorze sekcji s, 1 6 s 6 n, dopowiadaja˛ komórkom macierzy w wierszach od vs = i − i mod 2s−1 do vs + 2s−1 − 1 i kolumnach od ws = j − j mod 2n−s do ws + 2n−s − 1. Informacja o tym, czy dane połaczenie ˛ jest zablokowane zawarta jest w macierzy Bk . Na przykład dla poła˛ czenia (i, j) zestawianego w polu komutacyjnym o nieparzystej liczbie sekcji, kwadratowy obszar zawierajacy ˛ n+1 n+1 komórki macierzy w wierszach od 2 2 −1 bi/2 2 −1 c n+1 n+1 n+1 do 2 2 −1 bi/2 2 −1 c + 2 2 −1 − 1 i kolumnach od n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 2 2 −1 bj/2 2 −1 c do 2 2 −1 bj/2 2 −1 c+2 2 −1 −1 odpowiada połaczeniom, ˛ które sa˛ blokowane poniewaz˙ ˙ ´ ich sciezki połaczeniowe ˛ spotykaja˛ si˛e w komutatorze ˛ blokowane w sekcji n−1 2 . Gdy n jest parzyste, połaczenia komutatorze sekcji n2 odpowiadaja˛ komórkom macierzy w n−2 n−2 n−2 n−2 n−2 wierszach od 2 2 bi/2 2 c do 2 2 bi/2 2 c+2 2 −1 n n n n n i kolumnom od 2 2 bj/2 2 c do 2 2 bj/2 2 c + 2 2 − 1, podczas gdy połaczenie ˛ blokowane w komutatorze sekcji n n n+2 odpowiadaj a ˛ komórkom w wierszach do 2 2 bi/2 2 c 2 n n n n n do 2 2 bi/2 2 c + 2 2 − 1 i kolumnach od 2 2 bj/2 2 c do n n n 2 2 bj/2 2 c + 2 2 − 1 macierzy Bk . Skoro moz˙ emy okre´sli´c połaczenia, ˛ które sa˛ blokowane przez połaczenie ˛ (i, j) oraz wiedzac, ˛ z˙ e skoro poła˛ czenie (i1 , j1 ) blokuje połaczenie ˛ (i2 , j2 ) to równiez˙ poła˛ czenie (i2 , j2 ) blokuje połaczenie ˛ (i1 , j1 ), moz˙ emy z macierzy Ak obliczy´c macierz Bk na podstawie wzoru: bk [i, j] =. W2 X. ak [i, w] +. w=W1. +. W4 W6 n X X X. ak [v, w],. (3). s=2 v=W3 w=W5. gdzie W1 = j − j mod 2n−1 , W2 = W1 + 2n−1 − 1,. 2/7.
(3) www.pwt.et.put.poznan.pl W3 = (i−i mod 2s−2 )+2s−2 [1−2·(bi/2s−2 c mod 2)], W4 = W3 + 2s−2 − 1, W5 = j − j mod 2n−s ,W6 = W5 + 2n−s − 1. Zawarto´sc´ macierzy Bk modyfikowana jest po kaz˙ dym zestawieniu lub rozłaczeniu ˛ połaczenia ˛ na podstawie procedury podobnej do prezentowanej w [14]. Róz˙ nice w tych procedurach odnosza˛ si˛e do warto´sci zmiennych. Procedura ta wyglada ˛ nast˛epujaco: ˛ Procedura: Uaktualnienie macierzy Bk : Dane wej´sciowe: i, j, k, połaczenie, ˛ A, B, C. Dane wyj´sciowe: Uaktualniona macierz Bk begin if (połaczenie) ˛ then z := 1 else z := −1; oblicz W1 and W2 ; for x = W1 to W2 do bk [x, j] := bk [x, j] + z; for s = 2 to n do begin oblicz W3 , W4 , W5 , W6 ; for x = W3 to W4 do for y = W5 to W6 do bk [x, y] := bk [x, y] + z; end; end;. 3. ALGORYTM STERUJACY ˛ Proponowany algorytm najpro´sciej moz˙ na opisa´c nast˛epujaco: ˛ dla nowego połaczenia ˛ wybierana jest płaszczyzna, w której zestawienie tego połaczenia ˛ spowoduje zablokowanie jak najmniejszej liczby przyszłych połacze´ ˛ n. W celu wyznaczenia płaszczyzny, która zostanie uz˙ yta do zestawienia nowego połaczenia ˛ potrzebny jest jeszcze jeden zestaw macierzy. Z kaz˙ da˛ płaszczyzna˛ k powiazana ˛ jest macierz o wymiarach N/2 × N/2 oznaczana Ck . Wiersze i kolumny macierzy okre´slaja˛ moz˙ liwo´sc´ zestawienia połaczenia ˛ pomi˛edzy komutatorami pierwszej i ostatniej sekcji. Warto´sc´ elementu macierzy ck [i, j] = x oznacza, z˙ e je´sli połaczenie ˛ (i, j) jest zestawione przez płaszczyzn˛e k, to blokuje x nowych moz˙ liwych s´ciez˙ ek połaczeniowych. ˛ Elementy ck [i, j] okre´slane sa˛ na podstawie macierzy Bk oraz wzoru: ½ m + 1 ⇔ bk [i, j] > 0 ck [i, j] = , (4) m − d ⇔ bk [i, j] = 0 gdzie d =. W2 X. f (bk [i, w]) +. w=W1. +. W4 W6 n X X X. f (bk [v, w]),. (5). 0 ⇔ bk [x, y] = 0 , 1 ⇔ bk [x, y] > 0. (6). s=2 v=W3 w=W5. ½ f (bk [x, y]) =. a m = (n + 1)2n−2 oznacza maksymalna˛ liczb˛e nowych połacze´ ˛ n, które moga˛ by´c blokowane w płaszczy´znie k przez nowe połaczenie, ˛ natomiast W1 ÷ W6 zostały okres´lone jako wzory (3). Element macierzy ck [i, j] = m + 1. PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005. oznacza, z˙ e bk [i, j] > 0 oraz z˙ e rozwaz˙ ane połaczenie ˛ nie moz˙ e by´c zestawione w płaszczy´znie k. Macierz Ck jest uaktualniana po zestawieniu lub rozłaczeniu ˛ połaczenia. ˛ Do uaktualnienia stosowana jest procedura podobna do prezentowanej w pracy [14]. Podobnie jak przypadku procedury ”Uaktualnienie macierzy Bk ” zostały zmienione warto´sci zmiennych. Procedura ta wyglada ˛ nast˛epujaco: ˛ Procedura: Uaktualnienie macierzy Ck Dane wej´sciowe: i, j, k, m, Ak , Bk , Ck . Dane wyj´sciowe: uaktualniona macierz Ck begin v := i − i ⊕ 2n−1 ; w := j − j ⊕ 2n−1 ; for i = v to v + 2n−1 − 1 do for j = w to w + 2n−1 − 1 do if bk [i, j] > 0 then ck [i, j] := m + 1 else begin oblicz d; ck [x, j] := m − d; end; end;. Algorytm sterujacy ˛ jest definiowany podobnie jak w [14] i wyglada ˛ nast˛epujaco: ˛ Algorytm 1: Zestawienie połaczenia: ˛ Dane wej´sciowe: i, j, m A, B, C. Dane wyj´sciowe: P , uaktualnione macierze AP , BP , CP begin P := 1; c := m; for k = 1 to p do if ck [i, j] < c then begin c := ck [i, j]; P := k; end; aP [i, j] := 1; Procedura Uaktualnienie macierzy BP ; Procedura Uaktualnienie macierzy CP ; Algorytm okre´sla płaszczyzn˛e P , w której nowe połacze˛ nie zablokuje minimalna˛ liczb˛e s´ciez˙ ek. Je´sli kilka płaszczyzn ma t˛e sama˛ minimalna˛ warto´sc´ , wówczas nalez˙ y wybra´c spo´sród nich płaszczyzn˛e o minimalnym indeksie. Po kaz˙ dym rozłaczeniu ˛ połaczenia ˛ w płaszczy´znie k, element ak [i, j] przyjmuje warto´sc´ 0 a macierze Bk i Ck musza˛ zosta´c uaktualnione. Przykład działania algorytmu sterujacego ˛ zostanie przedstawiony dla pola log2 (16, 0, p). Niech połaczenie ˛ (0, 4) b˛edzie zestawione w płaszczy´znie 1, połaczenie ˛ (1, 2) w płaszczy´znie 2, połaczenie ˛ (1, 3) w płaszczy´znie 3, połaczenie ˛ (2, 1) w płaszczy´znie 4, połaczenie ˛ (3, 1) w płaszczy´znie 5 a połaczenia ˛ (2, 7) oraz (4, 6) w płaszczy´znie 6. Załóz˙ my, z˙ e nowym połaczeniem ˛ b˛edzie połaczenie ˛ (7, 0). Wszystkie te połaczenia ˛ sa˛ pokazane na rys. 1. Aby zaoszcz˛edzi´c miejsce, wszystkie te połaczenia ˛ przedstawiono w tej samej płaszczy´znie. Połaczenie ˛ (7, 0) zaznaczono linia˛ przerywana.˛ Połaczenie ˛ to moz˙ e by´c zestawio-. 3/7.
(4) www.pwt.et.put.poznan.pl ne w polu, poniewaz˙ nie istnieje element o warto´sci 1 w wierszu 7 i kolumnie 0 w macierzach od A1 do A6 ( to znaczy, nie istnieje połaczenie ˛ z komutatora 7 w pierwszej sekcji do komutatora 0 w sekcji ostatniej). Macierze te zostały przedstawione na rys. 2 natomiast macierze od B1 do B6 zostały przedstawione na rys. 3. Aby zestawi´c nowe połaczenie, ˛ nalez˙ y jednoznacznie wskaza´c płaszczyzn˛e. W tym stanie pola moz˙ na uz˙ y´c kaz˙ dej z płaszczyzn, poniewaz˙ bk [7, 0] = 0, 1 6 k 6 6. Intuicyjnie moz˙ emy wskaza´c, z˙ e najlepszym wyborem b˛edzie płaszczyzna realizujaca ˛ najwi˛eksza˛ liczb˛e połacze´ ˛ n, czyli płaszczyzna najbardziej obcia˛z˙ ona. W rozwaz˙ anym przykładzie, jes´li połaczenie ˛ (7, 0) zostanie zestawione w płaszczy´znie 6, wówczas niemoz˙ liwe b˛edzie zestawienie nowego połaczenia ˛ (0, 0). Połaczenia, ˛ które b˛eda˛ blokowane przez połaczenie ˛ (7, 0) zostały zaznaczone przez zacieniowanie elementów macierzy od B1 to B6 , a samo połaczenie ˛ oznaczone zostało symbolem gwiazdki. Moz˙ na zauwaz˙ y´c, z˙ e jez˙ eli nowe połaczenie ˛ b˛edzie zestawiane w płaszczy´znie 6, wówczas 20 nowych moz˙ liwych połacze´ ˛ n jest blokowanych, jednak pi˛ec´ z nich jest juz˙ blokowanych przez połaczenia ˛ (2, 7) i (4, 6) (pi˛ec´ zacienionych komórek w macierzy B6 ma warto´sc´ 1), stad ˛ c6 [7, 0] = 15. Z drugiej strony, w płaszczy´znie 2 i 3 to połaczenie ˛ równiez˙ blokuje 20 moz˙ liwych połacze´ ˛ n, lecz 4 z nich sa˛ juz˙ zablokowane w płaszczy´znie 2 przez połaczenie ˛ (1, 2) (cztery zacienione komórki macierzy B2 maja˛ warto´sc´ 1), stad ˛ c2 [7, 0] = 16, a w płaszczy´znie o indeksie 4 połaczenie ˛ (1, 2) równiez˙ blokuje 4 połaczenia, ˛ stad ˛ c3 [7, 0] = 16. W płaszczy´znie 1 połaczenie ˛ (7, 0) równiez˙ blokuje 20 innych połacze´ ˛ n, jednak dwa z nich sa˛ juz˙ blokowane przez połaczenie ˛ (0, 4) (dwie zacieniowane komórki macierzy B1 maja˛ warto´sc´ 1), stad ˛ c1 [7, 0] = 18. Natomiast, w kaz˙ dej z płaszczyzn 4 i 5 spo´sród 20 połacze´ ˛ n blokowanych przez połaczenie ˛ (7, 0) osiem z nich jest juz˙ zablokowanych przez realizowane połaczenia. ˛ Dlatego tez˙ c4 [7, 0] = 12 oraz c5 [7, 0] = 12, czyli zestawienie nowego połaczenia ˛ w płaszczy´znie 4 lub 5 spowoduje zablokowanie tylko 12 nowych moz˙ liwych połacze´ ˛ n. Oznacza to, z˙ e uz˙ ycie tych płaszczyzn dla nowego połaczenia ˛ jest najbardziej efektywne. Je´sli połaczenie ˛ (7, 0) zostanie zestawione w płaszczy´znie 4 lub 5, wówczas połaczenie ˛ (0, 0) nadal moz˙ na zestawi´c w płaszczy´znie 6. 4. WARUNKI WSNB Okre´slimy teraz liczb˛e płaszczyzn, która jest wymagana aby pole komutacyjne log2 (N, 0, p) było polem nieblokowalnym w szerokim sensie, przy załoz˙ eniu, z˙ e do zestawiania połaczenia ˛ b˛edzie wykorzystywany algorytm prezentowany w poprzednim rozdziale. Przypadki n parzystego i nieparzystego b˛ed˛e podane w oddzielnych twierdzeniach. Twierdzenie 1: Pole komutacyjne log2 (N, 0, p), w którym nie dopuszcza si˛e do wystapienia ˛ przeników pierwszego rz˛edu, gdy n jest nieparzyste, jest polem WNSB przy stosowaniu Algorytmu 1, wtedy i tylko wtedy gdy p > 2(n+1)/2 . Dowód. Warunek konieczny moz˙ e by´c udowodniony przez wskazanie stanu pola komutacyjnego, w którym ta. PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005. (0,4). (7,0). (1,2) (1,3). (2,1) (3,1). (2,7) (2,1). (1,2). (3,1) (1,3) (4,6). (0,4). (4,6) (7,0). (2,7). Rys. 1. Pole log2 (16, 0, 6) z zaznaczonymi połaczeniami ˛. A1 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 1 2 3 4 5 6 7. A2 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 1 2 3 4 5 6 7. A3 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 1 2 3 4 5 6 7. A4 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 1 3 4 5 6 7. A5 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 1 4 5 6 7. A6 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 1 3 4 1 5 6 7. Rys. 2. Macierze A1÷6 z połaczeniami ˛ przedstawionymi na rys. 1. 4/7.
(5) www.pwt.et.put.poznan.pl. B1 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 5 1 6 1 7 ∗ 1. B2 0 1 2 3 4 5 6 7. 0 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∗ 1. B3 0 1 2 3 4 5 6 7. 0 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∗ 1. B4 0 1 2 3 4 5 6 7. 0 1 1 1 1. B5 0 1 2 3 4 5 6 7. 0 1 1 1 1. B6 0 1 2 3 4 5 6 7. 0 1 2 3 4 5 6 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∗ 1. 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∗ 1. 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∗ 1 7 1 1 1 1 2 2 2 2. Rys. 3. Macierze B1÷6 z połaczeniami ˛ przedstawionymi na rys. 1 liczba płaszczyzn jest wymagana. W tym stanie wej´scia, które nalez˙ a˛ do komutatorów pierwszej sekcji numerowan+1 nych od 0 do 2 2 − 1 sa˛ połaczone ˛ z wyj´sciami przynalez˙ nymi do komutatorów ostatniej sekcji numerowanymi n+1 ˛ sa˛ zestawiane od 0 do 2 2 − 1. Poniewaz˙ te połaczenia ˙ , ka z de z tych połacze´ ˛ n przez komutator 0 w sekcji n+1 2 musi by´c zestawione przez inna˛ płaszczyzn˛e, i stad poła˛ n+1 czenia te zajma˛ 2 2 płaszczyzn. Udowodnimy teraz, z˙ e przy uz˙ yciu Algorytmu 1 zawsze moz˙ liwe jest zestawienie nowego połaczenia. ˛ Załóz˙ my, z˙ e tym połaczeniem ˛ b˛edzie połaczenie ˛ hx, yi. W komutatorze sw = si + sj sekcji n+1 2 , gdzie sj = n−1 n−1 n−1 2 2 2 2 bj/2 c i si = i mod 2 , połaczenie ˛ to jest blokowane przez połaczenia ˛ z wej´sc´ komutatorów numek ´ ´ ³³j n−1 n−3 rowanych od si + 2 2 · i/2 2 + 1 mod 2 ´ ´ ³³j n−3 k n−1 n−3 do si + 2 2 · i/2 2 + 1 mod 2 + 2 2 n−1. do c´ komutatorów numerowanych od³³j sj + 2 2 k· k ´ ´ ³³jwyj´sn−3 n−1 n−3 j/2 2 + 1 mod 2 do sj +2 2 · j/2 2 n−3. +1) mod 2) + 2 2 . Połaczenia ˛ te w sekcjach od 1 do i od n+1 2 + 1 do n nie przechodza˛ przez komutatory, przez które przechodzi połaczenie ˛ (i, j). Poniewaz˙ te połaczenia ˛ sa˛ zestawione przez komutator sw w sekcji n−1 n+1 2 płaszczyzn. W macierzach Bk , 2 , to zajma˛ one 2 n−1 1 6 k 6 2 2 , elementy bk [i, j] sa˛ wi˛eksze od 0, dlatego odpowiednie płaszczyzny b˛eda˛ niedost˛epne dla poła˛ czenia hx, yi. Połaczenie ˛ to moz˙ e by´c równiez˙ blokowane n−1 2. PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005. przez połaczenia ˛ zestawiane z wej´sc´³j komutatorów pierwk ´ n−3 n−1 mod 2 szej sekcji o numerach od si +2 2 · i/2 2 ³j n−3 k ´ n−1 n−3 do si + 2 2 · i/2 2 mod 2 + 2 2 do wyj´sc´ komutatorów ostatniej sekcji od ³j k ´ o numerach n−1 n−3 n−1 sj + 2 2 · j/2 2 mod 2 do sj + 2 2 · ³j k ´ n−3 n−3 j/2 2 mod 2 + 2 2 , wyłaczaj ˛ ac ˛ połaczenie ˛ zestawiane z wej´scia x do wyj´scia y. Je´sli te wej´scia i wyjs´cia sa˛ łaczone ˛ razem, powstałe w ten sposób połaczenia ˛ n−1 zajma˛ kolejne 2 2 − 1 oraz kolejne elementy bk [i, j] w macierzach Bk b˛eda˛ wi˛eksze od 0. Stan ten jest podobny do stanu prezentowanego w dowodzie warunku koniecznego. Załóz˙ my jednak, z˙ e pomi˛edzy tymi wej´sciami i wyjs´ciami nie ma zestawionego połaczenia. ˛ W najbardziej niekorzystnym stanie pola połaczenia ˛ wychodzace ˛ z tych wej´sc´ i połaczenie ˛ kierowane do tych wyj´sc´ krzyz˙ uja˛ si˛e z połaczeniem ˛ hx, yi tylko w jednym komutatorze. Załóz˙ n−1 my równiez˙ , z˙ e te połaczenia ˛ zajma˛ 2 2 − 1 płaszczyzn. n−1 n−1 n+1 Stad 2 2 + 2 2 − 1 = 2 2 − 1 płaszczyzn jest zaj˛etych i niedost˛epnych dla połaczenia ˛ hx, yi. W tym stanie, kaz˙ de połaczenie, ˛ które krzyz˙ uje sie z połaczeniem ˛ hx, yi ˙ , mo z e by´ c zestatylko w komutatorze s, 1 6 s < n+1 2 n+1 wione przez jedna˛ z tych 2 2 − 1 płaszczyzn, o ile nie sa˛ one blokowane przez inne połaczenia, ˛ ale blokuja˛ poła˛ czenia które sa˛ juz˙ zablokowane, oraz których odpowiedn+1 nie elementy macierz Ck , 1 6 k 6 2 2 − 1, b˛eda˛ mniejsze niz˙ elementy macierzy C n+1 . Dlatego płaszczyzna 2 2 pozostaje dost˛epna dla połaczenia ˛ hx, yi. RozwaC n+1 2 2 z˙ ajac ˛ połaczenia ˛ krzyz˙ ujace ˛ si˛e z połaczeniem ˛ hx, yi tylko w jednym komutatorze sekcji s, n+1 < s 6 n, dochodzi2 my do podobnych wniosków jak w przypadku połacze´ ˛ n krzyz˙ ujacych ˛ si˛e z połaczeniem ˛ hx, yi w jednym komutatorze sekcji s, 1 6 s < n+1 2 . Podobnie jak poprzednio, do n+1 zestawienia tych połacze´ ˛ n moz˙ na wykorzysta´c 2 2 − 1 płaszczyzn uz˙ ytych do zestawienia wcze´sniejszych poła˛ cze´n. Ostatecznie mamy stan, w którym połaczenia ˛ krzyz˙ ujace ˛ si˛e z połaczeniem ˛ hx, yi tylko w jednym komuta˛ krzyz˙ ujace ˛ si˛e z torze sekcji s, 1 6 s < n+1 2 i połaczenia połaczeniem ˛ hx, yi tylko³w jednym komutatorze sekcji s, ´ n+1 n+1 n+1 −1 2 2 −1 = 2 − 2 róz˙ 2 < s 6 n, zajma˛ 2 · 2 nych płaszczyzn. W tym stanie do zestawienia połacze´ ˛ n krzyz˙ ujacych ˛ si˛e z połaczeniem ˛ hx, yi tylko w komutatorze sw w sekcji n+1 2 zgodnie z Algorytmem 1 zostana˛ n+1 wybrane płaszczyzny spo´sród tych 2 2 − 2 płaszczyzn. We wszystkich przypadkach pozostanie jedna płaszczyzna dost˛epna dla połaczenia ˛ hx, yi. ¤ Twierdzenie 2: Pole komutacyjne log2 (N, 0, p), w którym nie dopuszcza si˛e do wystapienia ˛ przeników pierwszego rz˛edu, gdy n jest parzyste, jest polem WNSB przy stosowaniu Algorytmu 1, wtedy i tylko wtedy gdy p > 32 · 2n/2 . Najpierw wykaz˙ emy, z˙ e liczba płaszczyzn podana w Twierdzeniu 2 jest wymagana. Zestawmy połaczenia ˛ pomi˛edzy wej´sciami i wyj´sciami o numerach od 0 do n+1 2 2 − 1. Poniewaz˙ połaczenia ˛ te przechodza˛ przez kon mutator 0 i 1 w sekcji n2 , oraz komutatory 0 i 2 2 −1 w. 5/7.
(6) www.pwt.et.put.poznan.pl n. 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7. I. II. CII. CI. III CIII. CIV. IV. Rys. 4. Stan macierzy A w najbardziej niekorzystnym stanie pola dla przypadku, gdy n jest parzyste. CII. CIII. CI. CI. CIV. CIV. CIII. CII. Rys. 5. Przykład połacze´ ˛ n w najbardziej niekorzystnym stanie pola, gdy n jest parzyste ˛ n sekcji n2 + 1, moz˙ liwe jest zestawienie dwóch połacze´ n w jednej płaszczy´znie. Dlatego połaczenia ˛ te zajma˛ 2 2 n płaszczyzn numerowanych od 1 do 2 2 . Gdy rozłaczymy ˛ połaczenia ˛ wychodzace ˛ z wej´sc´ numerowanych od 0 do n−2 n−2 2 2 − 1 oraz kierowane do wyj´sc´ o numerach od 3 ·2 2 n+2 do 2 2 − 1 to te wej´scia i wyj´scia moz˙ emy wykorzysta´c do zestawienia nowych połacze´ ˛ n. Zestawmy połaczenia ˛ z wej´sc´ o numerach od 0 do n−2 n−2 n+2 2 2 − 1 do wyj´sc´ 3 · 2 2 do 2 2 − 1. Połaczenia ˛ te ˛ krzyz˙ uja˛ si˛e w komutatorach sekcji n2 lub n2 + 1 z połaczeniami zestawionymi juz˙ w płaszczyznach o numerach n od 1 do 2 2 , dlatego do ich zestawienia wymagane sa˛ kon lejne 21 · 2 2 płaszczyzny. Poniewaz˙ połaczenia ˛ zestawiane n−2 n+2 2 do 2 2 − 1 i pomi˛edzy wej´sciami o numerach od 3 · 2 n−2 wyj´sciami o numerach 2 2 − 1 nie krzyz˙ uja˛ si˛e w z˙ adnej sekcji z połaczeniami ˛ zestawionymi w tych dodatkowych płaszczyznach, moga˛ one by´c zestawione przez te płaszczyzny. Sumujac ˛ wymagane płaszczyzny zauwaz˙ amy, z˙ e wymagane jest p płaszczyzn, gdzie p jest okre´slone przez Twierdzenie 2. Najbardziej niekorzystny stan pola log2 (N, 0, p), w przypadku gdy n jest nieparzyste uzyskiwany jest, gdy realizowane sa˛ połaczenie ˛ przestawione wcze´sniej. Wszystkie te połaczenia ˛ znajduja˛ sie w kwadratowym obszarze macierzy A. Ogólnie, ten obszar zawiera elementy n−2 n−2 n n n a[v, w], 2 2 bi/2 2 c 6 v 6 2 2 bi/2 2 c + 2 2 − 1, n−2 n−2 n n n 2 2 bj/2 2 c 6 w 6 2 2 bj/2 2 −1 c+2 2 −1. Bez utraty ogólno´sci rozwaz˙ my zestawione połaczenie ˛ mi˛edzy wejs´ciami komutatorów pierwszej sekcji o numerach od 0 do n 2 2 − 1 i wyj´sciami komutatorów ostatniej sekcji o numen rach od 0 do 2 2 − 1. W tym przypadku obszar ten zawiera elementy macierzy znajdujace ˛ si˛e w wierszach od 0 do. PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005. n. 2 2 − 1 i kolumnach od 0 to 2 2 − 1. Obszar ten uzyskuje si˛e z czterech prostokatów ˛ i moz˙ e si˛e składa´c si˛e z kwadratów I i II, I i III, II i IV, oraz III i IV, tak jak zostało to pokazane na rys. 4. Kaz˙ dy kwadrat odpowiada połacze˛ niom, które spotykaja˛ si˛e w odpowiednich komutatorach sekcji n2 or n2 + 1. Jak pokazano na rys. 4 zbiory tych połacze´ ˛ n CI , CII , CIII , CIV zajmuja˛ odpowiednio kwadraty I, II, III i IV. Przykłady połacze´ ˛ n zajmujacych ˛ te kwadraty przestawione zostały na rys. 5. W kaz˙ dym prostokacie ˛ n moz˙ e by´c umieszczonych 2 2 połacze´ ˛ n (tj. elementów man cierzy równych 1) oraz nie wi˛ecej niz˙ 2 · 2 2 połacze´ ˛ n moz˙ e by´c zestawionych w kwadracie złoz˙ onym z kwadratów I, II, III i IV. Zgodnie z warunkami (1) i (2) w kaz˙ dym n−2 małym kwadracie moz˙ e znajdowa´c si˛e do 2 2 połacze´ ˛ n. Połaczenia ˛ w małych kwadratach blokuja˛ si˛e wzajemnie jak równiez˙ blokuja˛ połaczenia ˛ w przyległych kwadratach (np. połaczenia ˛ w kwadracie I blokuje połaczenia ˛ w kwadracie II i III). Połaczenia ˛ w przeciwległych kwadratach (sa˛ dwie pary takich kwadratów, I i IV oraz II i III) moga˛ by´c realizowane w tej samej płaszczy´znie. Oznacza to, z˙ e połaczenia ˛ z kwadratu I nie blokuja˛ połacze´ ˛ n w kwadracie IV. Poniewaz˙ połaczenia ˛ w kwadratach I i IV blokuja˛ połaczenia ˛ w kwadratach II i III, płaszczyzna w której zestawione jest połaczenie ˛ z kwadratu I moz˙ e by´c uz˙ yta do zestawienia nowego połaczenia ˛ z kwadratu IV (i odwrotnie) poniewaz˙ blokuje to mniejsza˛ liczb˛e nowych, moz˙ liwych do zestawienie połacze´ ˛ n. Jak zostało to przedstawione na rysunku 5 połaczenia ˛ ze zbioru CI nie krzyz˙ uja˛ si˛e w z˙ adnej sekcji z połaczeniami ˛ ze zbioru CIV , dlatego połaczenia ˛ z obu tych zbiorów moga˛ by´c zestawione w tej samej płaszczy´znie. Całkowita liczba połacze´ ˛ n, które moga˛ by´c zestawione w tych kwadratach równa jest n+2 ˛ 2 2 , jednak liczba płaszczyzn zaj˛etych przez te połaczenia jest mniejsza od liczby połacze´ ˛ n. Załóz˙ my, ze w obu n−2 ˛ n. Kaz˙ zbiorach CII i CIII zestawionych jest 2 2 połacze´ de z tych połacze´ ˛ n musi by´c zrealizowane w oddzielnych n ˛ ze płaszczyznach numerowanych od 1 do 2 2 . Połaczenia n−2 2 dodatkowych płaszczyzn, jedzbioru CIV wymagaja˛ 2 nak kaz˙ de z połacze´ ˛ n ze zbioru CIV moz˙ e by´c zestawione w płaszczy´znie zaj˛etej przez połaczenia ˛ ze zbioru CI . Całkowita liczba płaszczyzn uz˙ ytych do zestawienia tych n połacze´ ˛ n równa jest 32 · 2 2 . Podsumowujac, ˛ moz˙ emy powiedzie´c, z˙ e te połacze˛ nie nie sa˛ w konflikcie z innymi połaczeniami, ˛ które uz˙ ywaja˛ podobnych kwadratów w innych wierszach i kolumnach macierzy. Połaczenia ˛ te moga˛ by´c zestawiane w tych n 3 2 płaszczyznach. · 2 2 2 5. PORÓWNANIE WYMAGANEJ LICZBY PŁASZCZYZN Liczba płaszczyzn pól SNB i WSNB została zebrana w Tabeli 1. Liczba płaszczyzn pola WSNB log2 (N, 0, p) bez przeników pierwszego rz˛edu (c = 0) porównana została z liczba˛ płaszczyzn pól komutacyjnych SNB i WSNB okre´slona˛ w innych artykułach oraz liczba˛ płaszczyzn w przypadku, gdy przeniki sa˛ dozwolone (c = n). Dla warunków WSNB przy zerowych przenikach okres´lonych przez Vaez’a i Lea w [10], liczba płaszczyzn jest. 6/7.
(7) www.pwt.et.put.poznan.pl Tabela. 1. Liczba płaszczyzn pól komutacyjnych log2 (N, 0, p) WSNB i SNB N. n. 4 8 16 32 64 128 256 512. 2 3 4 5 6 7 8 9. c=n SNB WSNB [10] [8] 2 2 3 3 5 4 7 6 11 8 15 12 23 16 31 24. SNB [10] 3 5 7 11 15 23 31 47. c=0 WSNB [10] 3 5 7 11 15 23 31 47. WSNB 3 4 6 8 12 16 24 32. taka sama jak dla pól SNB. Przy wykorzystaniu algorytmu proponowanego w tym artykule warunki WSNB spełnione sa˛ przy mniejszej liczbie płaszczyzn dla n > 2, a przy takiej samej dla n = 2 (porównanie dwóch ostatnich kolumn w Tabeli 1). Jak łatwo zauwaz˙ y´c, liczba płaszczyzn pól WNSB przy c = 0 jest wi˛eksza niz˙ w przypadku, gdy c = n. Na przykład, gdy n = 5 pole WSNB przy c = 0 wymaga 11 płaszczyzn zgodnie z [10], natomiast zgonie z Twierdzeniem 1, jest wymaganych tylko osiem płaszczyzn. Gdy c = log2 N , wymagana liczba płaszczyzn równa jest 6, zgodnie z warunkami w [8]. Interesujace ˛ jest, ze róz˙ nice mi˛edzy liczbami płaszczyzn dla róz˙ nych pól komutacyjnych sa˛ stałe dla n parzystego p[WSNB, c = 0] − p[WSNB, c = n, [8]] = µ ¶ n n n 3 3 n − 1 = 2 2 −1 = = · 22 − 22 = 22 · 2 2 n −1 c b , (7) =2 2. la komutacyjnego bez przeników pierwszego rz˛edu. W algorytmie tym wybór płaszczyzny zalez˙ y od liczby przyszłych połacze´ ˛ n, które moga˛ by´c zablokowane przez zestawiane w danej płaszczy´znie połaczenie. ˛ Udowodnione zostało, z˙ e gdy liczba płaszczyzn jest wi˛eksza lub równa 2(n+1)/2 dla nieparzystego n oraz wi˛eksza lub równa 3/2 · 2n/2 dla parzystego n, Algorytm 1 zawsze znajdzie płaszczyzn˛e, przez która˛ moz˙ na zestawi´c połaczenie. ˛ Oznacza to, ze przy spełnieniu tych warunków okre´slaja˛ cych liczb˛e płaszczyzn oraz przy zastosowaniu Algorytmu 1 pole to jest polem WSNB z zerowymi przenikami. Wymagana liczba płaszczyzn w tym polu jest mniejsza niz˙ liczba płaszczyzn wymagana przy stosowaniu algorytmów prezentowanych w [9], [10], [11]. W przyszłych badaniach obejmujacych ˛ warunki nieblokowalno´sci w szerokim sensie rozwaz˙ ane b˛eda˛ przypadki, gdy 0 < c < log2 N , jak równiez˙ rozwaz˙ ane b˛eda˛ pola z dodatkowymi sekcjami (m > 0). SPIS LITERATURY [1] [2] [3] [4] [5] [6]. n nieparzystego p[WSNB, c = 0] − p[WSNB, c = n, [8]] = µ ¶ n−1 n+1 n−3 3 n−1 3 2 2 2 − ·2 =2 · 2− =2 =2 2 = 2 2 n −1 b c 2 =2 , (8). [7] [8] [9]. i n parzystego p[WSNB, c = 0, [10]] − p[WSNB, c = 0] = n 3 n 1 n = 2 · 22 − 1 − · 22 = · 22 − 1 = 2 2 n n −1 −1 e d 2 2 =2 − 1, −1=2. [10] [11]. (9). [12]. n nieparzystego p[WSNB, c = 0, [10]] − p[WSNB, c = 0] = n+1 3 n+1 1 n+1 = ·2 2 −1−2 2 = ·2 2 −1= 2 2 n−1 n = 2 2 − 1 = 2d 2 e−1 − 1. (10). [13] [14] [15]. 6. WNIOSKI W artykule algorytm prezentowany w [14] został zmodyfikowany tak, aby sterowa´c praca˛ optycznego po-. PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005. [16] [17]. V. E. Beneš, Mathematical Theory of Connecting Networks and Telephone Traffic. Academic Press, 1965. F. K. Hwang, The Mathematical Theory of Nonblocking Switching Networks. Singapur: World Scientific, 1998. C. M. Melas, A. Milewski, “The effect of call routing rules in nonblocking three-stage switching networks,” IEEE Trans. Commun., vol. COM-27, s. 150–152, Stycze´n 1979. Y. Yang, J. Wang, “Wide-sense nonblocking Clos networks under packing strategy,” IEEE Trans. Comp., vol. 48, s. 265–284, Marzec 1999. C.-T. Lea, “Multi-log2 N networks and their applications in highspeed electronic and photonic switching systems,” IEEE Trans. Commun., vol. 38, s. 1749–1740, Pa´zdziernik 1990. C.-T. Lea, D.-J. Shyy, “Tradeoff of horizontal decompostion versus vertical stacking in rearrangeable nonblocking networks,” IEEE Trans. Commun., vol. 39, s. 899–904, Czerwiec 1991. W. Kabaci´nski, G. Danilewicz , “Wide-sense and strict-sense nonblocking operation of multicast multi-log2 N switching networks,” IEEE Trans. Commun., vol. 50, s. 1025–1036, Czerwiec 2002. W. Kabaci´nski, M. Michalski, Lower Bounds for WSNB MultiLog2 N Switching Networks. Conference on Telecommunications A-ICT 2005, Lisbona, Portugalia, Lipiec 2005. M. Vaez, C.-T. Lea, “Strictly Nonblocking Directional-CouplerBased Switching Networks Under Crosstalk Constraint,” IEEE Trans. Commun., vol. 48, s. 316–323, Luty 2000. M. Vaez, C.-T. Lea, “Strictly and Wide-Sense Nonblocking Photonic Switching Systems Under Crosstalk Constraint,” IEEE INFOCOM, (San Francisco, CA, USA), s. 118–125, Marzec 1998. M. Vaez, C.-T. Lea, “Wide-Sense Nonblocking Banyan-Type Switching Systems Based on Directional Couplers,” IEEE JSAC, vol. 16, s. 1327–1332, Wrzesie´n 1998. G. Maier, A. Pattavina, “Photonic Rearrangeable Networks with Zero Switching-Element Crosstalk,” IEEE INFOCOM, (New York, NY, USA), s. 337–344, Marzec 1999. G. Maier, A. Pattavina, “Design of Photonic Rearrangeable Networks with Zero First-Order Switching-Element-Crosstalk,” IEEE Trans. Commun., vol. 49, s. 1268–1279, Lipiec 2001. W. Kabaci´nski, M. Michalski, “Wide-Sense Nonblocking Log2 (N, 0, p) Switching Networks wiht Even Number of Stages,” IEEE ICC 2005, (Seulu, Korea Południowa), Maj 2005. F. K Hwang, The Mathematical Theory of Nonblocikgn Switching Networks, 2nd Editon. World Scietific Publishing Co., Singapur, 2004. A. Pattavina, Switching Theory - Architectures and Performance in Broadband ATM Networks. John Wiley & Sons, Anglia, 1998. W. Kabaci´nski. Nonblocking Electronic and Photonic Switching Fabrics. Springer, 2005.. 7/7.
(8)
Powiązane dokumenty
W eżektorowy systemie zasilania w ścierniwo wykorzystywany jest efekt Venturiego, w którym struga powietrza samoczynnie zasysa cząstki materiału ściernego z
Ocenę adekwatności modeli wyjściowych oparto zatem na porównaniu postaci deformacji oraz przebiegu reprezentatywnych ścieżek równowagi poddanych badaniom struktur
Na powierzchni widoczne są liczne wżery korozyjne (rys.4a) i przebarwienia będące początkowym stadium rozwoju korozji (rys.4b). W obrębie otworów odnaleźć
Z przeprowadzonej analizy maksymalnych stanów obciążeń węzłów łożyskowych zespołu napędowego wynika, że podczas wykonywania manewru skok w górę i skok w dół
lotniczych czy motoryzacyjnych, tradycyjne materiały inżynierskie (metale) są zastępowane nowoczesnymi materiałami kompozytowymi. Materiały te cechuje przede wszystkim wysoka
Mimo tych trudności dotychczasowe doświadczenia autorów wskazują na możliwość skutecznego wykorzystania oficjalnych danych o liczności pojazdów, zawartych w bazach
Dla frezów o strukturze drobnoziarnistej największy udział wykruszenia miejscowego miał miejsce w początkowych minutach pracy narzędzi. Po czasie skrawania t = 15
Streszczenie: W niniejszym artykule zaprezentowano wyniki badań dynamiki zużycia pięciu różnych płytek skrawających (do obróbki materiałów trudnoobrabialnych, do
!["Polacy w Piotrogrodzie 1914-1917", Irena Spustek, Warszawa 1966 : [recenzja]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)