Ryzyko opcji wyboru

(1)

Katedra Ekonometrii i Statystyki

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

RYZYKO OPCJI WYBORU

1. Wprowadzenie

W wyniku wzrostu zmienności warunków rynkowych przedsiębiorstwa zmuszone są do poszukiwania nowych metod i instrumentów zarządzania ryzykiem. Rynek finansowy oferuje wiele instrumentów pochodnych, których umiejętne zastosowanie może wpłynąć na poprawę wyników finansowych, a tym samym przyczynić się do wzrostu konkurencyjności przedsiębiorstwa. W grupie instrumentów pochodnych szczególne miejsce zajmują kontrakty opcyjne. Na wyjątkowość tych instrumentów wpływa niesymetryczność praw i obowiązków nałożonych na strony transakcji. Nabywca opcji kupna / sprzedaży otrzymuje prawo, ale nie obowiązek realizacji umowy, tj. zakupu / sprzedaży

określonego instrumentu bazowego po określonej cenie1_{w określonym czasie}2_.

Z kolei wystawca opcji jest zobowiązany do wykonania umowy, o ile opcja będzie realizowana [Hull 2002, s. 193; Jajuga 2007, s. 73; Tarczyński 2003, s. 149].

Opcja wyboru należy do klasy opcji elastycznych. Nabywca tej opcji może w przyszłości zdecydować, czy posiadana przez niego opcja jest opcją kupna, czy opcją sprzedaży.

W celu profesjonalnego zastosowania opcji w zarządzaniu ryzykiem konieczna jest analiza wartości miar wrażliwości ceny opcji. Miary te określają wpływ czynnika ryzyka na cenę opcji. Do miar wrażliwości należą współczynniki delta, gamma, vega, theta i rho [Hull 2002, s. 366; Dziawgo 2003, s. 103].

W artykule przedstawiono własności opcji wyboru: konstrukcję instrumentu, funkcję wypłaty, model wyceny, wpływ wybranych czynników na kształtowanie się ceny opcji oraz wartości współczynników delta, gamma, vega, theta i rho.

1_{Jest to cena wykonania opcji.} 2_{Jest to termin wygaśnięcia opcji.}

(2)

wego, terminu wyboru oraz zmienności ceny instrumentu bazowego na kształto-wanie się ryzyka opcji wyboru. Przykład przedstawiony w artykule jest oparty na symulacji wyceny walutowych opcji wyboru wystawionych na EUR / PLN.

2. Opcja wyboru – konstrukcja i funkcjonowanie instrumentu

W przypadku opcji wyboru w dniu zawarcia umowy wyznaczana jest cena wykonania i czas wygaśnięcia opcji oraz termin (tzw. czas wyboru), w którym nabywca opcji zdecyduje, czy posiadana opcja będzie opcją kupna, czy opcją sprzedaży z określoną wcześniej ceną wykonania i czasem wygaśnięcia [Ong 1996, s. 27].

W dniu wygaśnięcia wartość funkcji wypłaty opcji wyboru jest postaci [Weron i Weron 1998, s. 241; Dziawgo 2004, s. 363]: [ ; ], [ ; ] ≥ , max max S K c p K S c p f 0 0 gdy gdy – – < T t t T t t = l l l l * (1) gdzie:

f – funkcja wypłaty opcji wyboru,

ST – cena instrumentu bazowego w dniu wygaśnięcia opcji,

K – cena wykonania opcji, t – czas wyboru, t_d60;T@,

T_{– czas wygaśnięcia opcji,}

c_t_l – wartość opcji kupna w chwili t,

ptl – wartość opcji sprzedaży w chwili t.

Cena opcji wyboru dana jest równaniem [Zhang 2001, s. 621]:

,

c_w=S e_ta –q T^ –thN d^ ₁h–e–q t^l–thN^–du₁hk–Ke–r T^ –thaN d^ ₂h–N^–du₂hk (2)

gdzie:

c_w – cena opcji wyboru w chwili t, t_d6₀;t_l@,

r_{– stopa procentowa wolna od ryzyka,}

S_t – cena instrumentu bazowego w chwili t,

σ – zmienność ceny instrumentu bazowego,

N(d) – dystrybuanta rozkładu normalnego zmiennej d,

, , ln d T t K S r q 0 5 T t – – – – t 1 2 σ σ = +^ ^h h , , ln d T t K S r q 0 5 T t – – – t 2 2 σ σ = +^ + ^h h

(3)

, , ln d t t e K S r q 0 5 t t – – – – r T t t 1 2 – σ σ = + -l l l u ^ h ^ h^ h , , ln d T t e K S r q 0 5 T t – – – r T t t 2 2 – – σ σ = + + l u ^ h ^ h^ h

pozostałe oznaczenia są takie same jak we wzorze (1). Przykład 1

Rozważania dotyczą kształtowania się ceny opcji wyboru. Opcje wystawione są na EUR/PLN. Symulacja wyceny przeprowadzona jest dla okresu 17.01.2014– 17.04.2014. Czas wygaśnięcia opcji wynosi 4 miesiące. Cena wykonania opcji równa jest 4,16 PLN. Na rys. 1 przedstawiono kształtowanie się ceny dwóch opcji, które różnią się terminem wyboru. Termin wyboru jednej opcji wynosi 1 miesiąc, a drugiej – 2 miesiące. 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 17 .01 27 .01 _4.02 12 .02 20 .02 28 .02 10 .03 18 .03 26 .03 _3.04 11 .04 Ce na o pc ji ( PL N )

opcja 1 [t = 1 mies.] opcja 2 [t = 2 mies.]

Rys. 1. Kształtowanie się ceny opcji wyboru (opcje różniące się terminem wyboru) Źródło: opracowanie własne.

Rys. 2 przedstawia wpływ ceny instrumentu bazowego oraz zmienności ceny instrumentu bazowego na kształtowanie się ceny opcji wyboru, której termin wygaśnięcia wynosi 4 miesiące, a termin wyboru – 1 miesiąc. Cena wykonania opcji równa jest 4,16 PLN.

(4)

0 0,05 0,1 0,15

4,00 4,04 4,10 4,16 4,22 4,28 4,32

Cena instrumentu bazowego (PLN)

Ce na o pc ji ( PL N ) 8% 12%

Rys. 2. Wpływ zmienności ceny instrumentu bazowego oraz ceny instrumentu bazowego na kształtowanie się ceny opcji wyboru

Źródło: opracowanie własne.

W rozpatrywanym okresie cena instrumentu bazowego zbliżała się do ceny wykonania w dniach 28.01.2014 r., 12.02.2014 r., 19.02.2014 r., 24.02.2014 r. oraz 28.03.2014 r. Wówczas zaznaczyły się istotne spadki ceny opcji. Znaczny wzrost ceny instrumentu bazowego w stosunku do ceny wykonania wystąpił w dniach 27.01.2014 r., 3.02.2014 r., oraz 14.03.2014 r. Natomiast w dniach 17.02.2014 r., 26.02.2014 r. oraz 28.03.2014 r. cena instrumentu bazowego była niższa od ceny wykonania opcji.

Z analizy kształtowania się ceny wynikają następujące własności opcji wyboru: – opcja z dłuższym terminem wyboru jest droższa,

– zbliżanie się ceny instrumentu bazowego do ceny wykonania opcji powoduje spadek ceny opcji,

– znaczny wzrost / spadek ceny instrumentu bazowego w stosunku do ceny wykonania opcji wpływa na znaczny wzrost ceny opcji,

– wzrost zmienności ceny instrumentu bazowego przyczynia się do wzrostu ceny opcji wyboru.

3. Analiza ryzyka opcji wyboru

Analiza empiryczna przedstawiona w niniejszym rozdziale dotyczy kształto-wania się wartości miar ryzyka opcji wyboru, które były rozpatrywane w przy-kładzie 1.

(5)

Współczynnik delta

Współczynnik delta wskazuje, o ile zmieni się cena opcji, gdy cena instru-mentu bazowego zmieni się o jednostkę.

Przykład 2

Na rys. 3 przedstawiono kształtowanie się wartości współczynnika delta opcji, które różnią się terminem wyboru. Rys. 4 prezentuje wpływ ceny instrumentu bazowego oraz zmienności ceny instrumentu bazowego na wartość współczynnika delta opcji wyboru.

17 .01 27 .01 _4.02 12 .02 20 .02 28 .02 10 .03 18 .03 26 .03 _3.04 11 .04

opcja 1 [t = 1 mies.] opcja 2 [t = 2 mies.] –0,2 –0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 W sp ół cz yn ni k d elt a

Rys. 3. Kształtowanie się wartości współczynnika delta opcji wyboru (opcje różniące się terminem wyboru)

Wartości współczynnika delta opcji wyboru należą do przedziału [–1; 1]. Jeżeli cena instrumentu bazowego zbliża się do ceny wykonania opcji, to wartość bezwzględna współczynnika delta maleje do zera. Znaczny wzrost / spadek ceny instrumentu bazowego w stosunku do ceny wykonania powoduje istotny wzrost wartości bezwzględnej współczynnika delta. Wówczas cena opcji wyboru odznacza się większą wrażliwością na zmianę ceny instrumentu bazowego. Dodatnia wartość współczynnika delta oznacza, że wzrost / spadek ceny instru-mentu bazowego wpływa na wzrost / spadek ceny opcji. Z kolei jeśli występuje ujemna wartość współczynnika delta, to wzrost / spadek ceny instrumentu bazo-wego przyczynia się do spadku / wzrostu ceny opcji.

(6)

–1 –0,8 –0,6 –0,4 –0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 W sp ół cz yn ni k d elt a 4,00 4,04 4,10 4,16 4,22 4,28 4,32 Cena instrumentu bazowego (PLN) 8% 12%

Rys. 4. Wpływ zmienności ceny instrumentu bazowego oraz ceny instrumentu bazowego na kształtowanie się wartości współczynnika delta opcji wyboru

Wartości bezwzględne współczynnika delta opcji charakteryzującej się dłuż-szym terminem wyboru są mniejsze od wartości bezwzględnych współczynnika delta opcji z krótszym terminem wyboru. W tym przypadku cena opcji z krótszym terminem wyboru jest bardziej wrażliwa na zmianę ceny instrumentu bazowego. W sytuacji wzrostu zmienności ceny instrumentu bazowego maleje wrażliwość ceny opcji wyboru na zmianę ceny instrumentu bazowego.

Współczynnik gamma

Współczynnik gamma określa, jak zmieni się wartość współczynnika delta pod wpływem zmiany ceny instrumentu bazowego. Dodatnia wartość współczyn-nika gamma oznacza, że wzrost / spadek ceny instrumentu bazowego wpływa na wzrost / spadek wartości współczynnika delta.

Przykład 3

Na rys. 5 przedstawiono kształtowanie się wartości współczynnika gamma opcji różniących się terminem wyboru. Rys. 6 prezentuje wpływ ceny instrumentu bazowego oraz zmienności ceny instrumentu bazowego na kształtowanie się wartości współczynnika gamma opcji wyboru.

Opcja charakteryzująca się krótszym terminem wyboru odznacza się większą wrażliwością współczynnika delta na zmianę ceny instrumentu bazowego. Jeśli cena instrumentu bazowego zbliża się do ceny wykonania, to występuje wzrost wartości współczynnika gamma opcji wyboru. Znaczny wzrost / spadek ceny instrumentu bazowego w stosunku do ceny wykonania wpływa na spadek wartości

(7)

współczynnika gamma, a tym samym spadek wrażliwości współczynnika delta na zmianę ceny instrumentu bazowego.

17 .01 27 .01 _4.02 12 .02 20 .02 28 .02 10 .03 18 .03 26 .03 _3.04 11 .04

opcja 1 [t = 1 mies.] opcja 2 [t = 2 mies.] 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 W sp ół cz yn ni k g amm a

Rys. 5. Kształtowanie się wartości współczynnika gamma opcji wyboru (opcje różniące się terminem wyboru)

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 W sp ół cz yn ni k g amm a 4,00 4,04 4,10 4,16 4,22 4,28 4,32 Cena instrumentu bazowego (PLN) 8% 12%

Rys. 6. Wpływ zmienności ceny instrumentu bazowego oraz ceny instrumentu bazowego na kształtowanie się wartości współczynnika gamma opcji wyboru

W przypadku wzrostu zmienności ceny instrumentu bazowego występuje spadek wartości współczynnika gamma. Oznacza to, że jeśli występuje większa

(8)

wyboru jest mniej wrażliwa na zmianę ceny instrumentu bazowego.

Współczynnik vega

Współczynnik vega określa, o ile wzrośnie cena opcji, gdy odchylenie

standar-dowe3_{ceny instrumentu bazowego zmieni się o jednostkę.}

Przykład 4

Rys. 7 prezentuje kształtowanie się wartości współczynnika vega opcji, które różnią się terminem wyboru. Na rys. 8 przedstawiono wpływ ceny instrumentu bazowego oraz zmienności ceny instrumentu bazowego na kształtowanie się wartości współczynnika vega opcji wyboru.

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016 W sp ół cz yn ni k v ega 17 .01 27 .01 _4.02 12 .02 20 .02 28 .02 10 .03 18 .03 26 .03 _3.04 11 .04

opcja 1 [t = 1 mies.] opcja 2 [t = 2 mies.]

Rys. 7. Kształtowanie się wartości współczynnika vega opcji wyboru (opcje różniące się terminem wyboru)

Dodatnia wartość współczynnika vega oznacza, że wzrost / spadek zmien-ności ceny instrumentu bazowego wpływa na wzrost / spadek ceny opcji. Opcja wyboru charakteryzująca się dłuższym terminem wyboru odznacza się większą wrażliwością na wahania zmienności ceny instrumentu bazowego. Największa wartość współczynnika vega występuje w przypadku, kiedy cena instrumentu bazowego jest równa cenie wykonania. Wzrost / spadek ceny instrumentu bazo-wego w stosunku do ceny wykonania powoduje spadek wartości współczynnika vega. Wówczas cena opcji charakteryzuje się mniejszą wrażliwością na wahania zmienności ceny instrumentu bazowego. W przypadku większej zmienności ceny

(9)

instrumentu bazowego występują większe wartości współczynnika vega, a tym samym większa wrażliwość ceny opcji wyboru na wahania odchylenia standardo-wego ceny instrumentu bazostandardo-wego.

Współczynnik theta

Współczynnik theta wskazuje, jak zmieni się wartość opcji, gdy długość okresu do terminu wygaśnięcia opcji spadnie o jednostkę.

Przykład 5

Na rys. 9 przedstawiono kształtowanie się wartości współczynnika theta opcji różniących się terminem wyboru. Na rys. 10 zaprezentowano wpływ ceny instru-mentu bazowego oraz zmienności ceny instruinstru-mentu bazowego na kształtowanie się wartości współczynnika theta opcji wyboru.

W analizowanym okresie wartości współczynnika theta opcji są ujemne, co oznacza, że zbliżanie się terminu wygaśnięcia wpływa na spadek ceny opcji. Wartości współczynnika theta opcji z krótszym terminem wyboru są mniejsze od wartości współczynnika theta z dłuższym terminem wyboru. Oznacza to, że cena opcji charakteryzującej się krótszym terminem wyboru jest bardziej wrażliwa na upływający czas.

Jeśli cena instrumentu bazowego jest równa cenie wykonania, to występuje najniższa wartość współczynnika theta. Wówczas cena opcji wyboru charak-teryzuje się największą wrażliwością na zbliżanie się terminu wygaśnięcia. Wzrost / spadek ceny instrumentu bazowego przyczynia się do wzrostu wartości

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016 W sp ół cz yn ni k v ega 4,00 4,04 4,10 4,16 4,22 4,28 4,32

Cena instrumentu bazowego (PLN)

8% 12%

Rys. 8. Wpływ zmienności ceny instrumentu bazowego oraz ceny instrumentu bazowego na kształtowanie się wartości współczynnika vega opcji wyboru

(10)

współczynnika theta, a tym samym do mniejszej wrażliwości ceny opcji na upły-wający czas. Wzrost zmienności ceny instrumentu bazowego powoduje wzrost wrażliwości ceny opcji na zmniejszanie się okresu do terminu wygaśnięcia.

Współczynnik rho

Współczynnik rho wskazuje, o ile zmieni się cena opcji, gdy stopa procentowa aktywów wolnych od ryzyka zmieni się o jednostkę.

–0,4 –0,35 –0,3 –0,25 –0,2 –0,15 –0,1 –0,05 0 W sp ół cz yn ni k t he ta 17 27 4.02 12 20 28 10 18 26 3.04 11

opcja 1 [t = 1 mies.] opcja 2 [t = 2 mies.]

Rys. 9. Kształtowanie się wartości współczynnika theta opcji wyboru (opcje różniące się terminem wyboru)

–0,4 –0,35 –0,3 –0,25 –0,2 –0,15 –0,1 –0,05 0 W sp ół cz yn ni k t he ta 4,00 4,04 4,10 4,16 4,22 4,28 4,32 Cena instrumentu bazowego (PLN) 8% 12%

Rys. 10. Wpływ zmienności ceny instrumentu bazowego oraz ceny instrumentu bazowego na kształtowanie się wartości współczynnika theta opcji wyboru

(11)

Przykład 6

Rys. 11 przedstawia kształtowanie się wartości współczynnika rho opcji różnią-cych się terminem wyboru. W rozpatrywanym okresie wartości współczynnika rho analizowanych opcji są dodatnie, co oznacza, że wzrost stopy procentowej wpływa na wzrost ceny opcji. Opcja z krótszym terminem wyboru charakteryzuje się większą wrażliwością na zmianę stopy procentowej. Na rys. 12 przedstawiono wpływ ceny instrumentu bazowego oraz zmienności ceny instrumentu bazowego na kształtowanie się wartości współczynnika rho opcji wyboru.

0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 W sp ół cz yn ni k r ho 17 .01 27 .01 _4.02 12 .02 20 .02 28 .02 10 .03 18 .03 26 .03 _3.04 11 .04

opcja 1 [t = 1 mies.] opcja 2 [t = 2 mies.]

Rys. 11. Kształtowanie się wartości współczynnika rho opcji wyboru (opcje różniące się terminem wyboru)

–0,002 0 0,002 0,004 0,006 0,008 W sp ół cz yn ni k r ho 4,00 4,04 4,10 4,16 4,22 4,28 4,32 Cena instrumentu bazowego (PLN) 8% 12%

Rys. 12. Wpływ zmienności ceny instrumentu bazowego oraz ceny instrumentu bazowego na kształtowanie się wartości współczynnika rho opcji wyboru

(12)

ceny wykonania, to wartość współczynnika rho jest ujemna. W tej sytuacji wzrost stopy procentowej przyczynia się do spadku ceny opcji wyboru.

Wzrost ceny instrumentu bazowego powoduje wzrost wartości współczyn-nika rho. Większa zmienność ceny instrumentu bazowego wpływa na spadek wrażliwości ceny opcji wyboru na wahania stopy procentowej.

4. Podsumowanie

Wartości miar ryzyka opcji wyboru ulegają znacznym wahaniom w czasie. Świadczy to o istotnej wrażliwości ceny opcji wyboru na zmianę ceny instrumentu bazowego, upływający czas, wahania zmienności ceny instrumentu bazowego oraz zmianę stopy procentowej. Znaczne wahania ceny opcji oraz wartości współczyn-ników delta, vega, theta i rho zwiększają atrakcyjność opcji wyboru wśród instru-mentów stosowanych w transakcjach spekulacyjnych. Dodatkowym czynnikiem, który wpływa na cenę opcji oraz na jej wrażliwość, jest termin wyboru. Dłuższy termin wyboru przyczynia się do wzrostu ceny opcji oraz większej wrażliwości na wahania zmienności ceny instrumentu bazowego. Z kolei cena opcji z krót-szym terminem wyboru jest bardziej wrażliwa na zmianę ceny instrumentu bazo-wego, wahania stopy procentowej oraz zbliżanie się terminu wygaśnięcia opcji. Dodatkową zaletą opcji wyboru jest elastyczność wbudowana w funkcję wypłaty, dzięki której nabywca opcji może w przyszłości zdecydować o charakterze opcji. Przez wyznaczenie terminu wyboru opcja wyboru umożliwia podjęcie trafniej-szych decyzji inwestycyjnych. Ma to istotne znaczenie w przypadkach, w których występują wątpliwości związane z kształtowaniem się ceny instrumentu bazowego w przyszłości, bądź jeśli oczekiwania związane z ceną instrumentu bazowego nie sprawdzają się. Dla przedsiębiorstw funkcjonujących w niestabilnym otoczeniu opcja wyboru jest więc szczególnie atrakcyjnym instrumentem zarządzania ryzy-kiem. Opcja wyboru z uwagi na swoje własności jest instrumentem finansowym, który może być zastosowany również w produktach strukturyzowanych.

Literatura

Dziawgo E. [2003], Modele kontraktów opcyjnych, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Mikołaja Kopernika, Toruń.

Dziawgo E. [2004], Własności prostych opcji wyboru [w:] Rynek kapitałowy. Skuteczne

inwestowanie, red. W. Tarczyński, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu

Szczeciń-skiego, Szczecin.

(13)

Jajuga K. [2007], Zarządzanie ryzykiem, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa. Ong M. [1996], Exotic Options: The Market and Their Taxonomy [w:] The Handbook of

Exotic Options, red. I. Nelken, IRWIN Professional Publishing, Chicago.

Tarczyński W. [2003], Instrumenty pochodne na rynku kapitałowym, PWE, Warszawa. Weron A., Weron R. [1998], Inżynieria finansowa, WNT, Warszawa.

Zhang P.G. [2001], Exotic Options. A Guide to Second Generation Options, Word Scien-tific, Singapore.