Wyznaczanie sił w pr
ę
tach kratownic płaskich,
statycznie wyznaczalnych
Zadanie 1. Wyznacz siły w pr
ętach kratownicy metodą równoważenia węzłów.
Oznaczamy poszczególne węzły literkami i wrysowujemy zwroty reakcji
Z równań równowagi wyznaczamy wartości reakcji:
∑
M
A=−P
1⋅3−P⋅8H
B⋅4=0 H
B=
3P
18P
4
=
3⋅188⋅12
4
=37,5 kN
∑
R
Y=V
A−P
1=0 V
A=P
1=18kN
∑
3 3 3 4 4 P1 = 18kN P = 12kN S1 S2 S3 S4 D1 D2 D3 G1 G2 K1 K2 K3 K4 3 3 3 4 4 P1 = 18kN P = 12kN S1 S2 S3 S4 D1 D2 D3 G1 G2 K1 K2 K3 K4 A B C D E F G H VA HA HBwęzeł „A”
∑
R
X= H
A K1cos=0 K1=
−H
Acos
=
−25,5
0,6
=−42,5 kN
∑
R
Y=V
AS1K1 sin =0 S1=−K1 sin −V
AS1=−−42,5⋅0,8−18=16kN
węzeł „C”∑
R
X= D1=0kN
∑
R
Y=−S1S2=0 S1=S2=16kN
węzeł „D”∑
R
Y=−S2−K2sin =0 K2=
−S2
sin
=
−16
0,8
=−20kN
∑
R
X=G1K2 cos =0 G1=−K2 cos
G1=−−20⋅0,6=12kN
węzeł „E”∑
R
X=−G1G2=0 G1=G2=12kN
∑
R
Y=S3=0
węzeł „B”∑
R
Y=K4 sin =0 K4=0
∑
R
X=−D3−H
B− K4 cos =0 D3=−H
B−K4 cos
D3=−37,5−0=−37,5 kN
węzeł „G” A V = 18kNA H = 25,5kNA S1 K1 S1=16kN S2 D1C
S2=16kN G1 K2 D S3 G1=12kN E G2 D3 K4 B H =37,5kNB∑
R
Y=S4=0
∑
R
X=−D2 D3=0 D2=D3=−37,5 kN
węzeł „H”
∑
R
X=−K2 cos −K1cos K3 cos D2=0
K3=
K2 cos K1cos −D2
cos
K3=
−20⋅0,6−42,5⋅0,6−−37,5
0,6
=0
Sprawdzenie:
∑
R
y=K2sin −K1sin K3sin −P1=−20⋅0,80−−42,5⋅0,8−18=0
Wpisujemy wartości sił wraz ze znakami do tabeli i nanosimy wartości z prawidłowymi zwrotami na rysunek kratownicy.
Pręt Siła
Zadanie 2. Wyznacz siły w pr
ętach kratownicy metodą równoważenia węzłów.
S4 D2
G
D3 = -37,5kN P1 = 18kN S3 D1 D2=-37,5kN K1= -42,5kN K2=-20kN K3 HP1 = 18kN
P = 12kN
16 16 37,5 37,5 12 12 42,5 20V = 18kN
AH = 25,5kN
AH =37,5kN
B S1 S2 S3 S4 D1 D2 D3 G1 G2 K1 K2 K3 16 0 0 0 -37,5 -37,5 12 12 -42,5 -20 0 K4 0 16N
[kN]
Wrysowujemy zwroty reakcji Wyznaczenie reakcji:
∑
R
x=P− H
G=0 H
G= P=24kN
∑
M
G=−P⋅3V
c⋅8=0 V
C=
3
8
P=
3
8
⋅24=9 kN
∑
R
y=−V
GV
C=0 V
G=V
C=9 kN
Wycinamy poszczególne węzły i z sumy rzutów na dwie prostopadłe osie wyznaczamy siły w prętach.
węzeł „D”
∑
R
x=G
2=0
∑
R
y=S
3=0
węzeł „F” Węzeł „C” B C D E F G D1 D2 G1 G2 S1 K1 S2 K2 S3 P= 24kN4
4
3
VG HG VC B C D E F G D1 D2 G1 G2 S1 K1 S2 K2 S3 P= 24kN4
4
3
D G2 S3 F G1 S1 P= 24kN∑
R
y=S
1=0
∑
R
x=G
1P=0 G
1=−P=−24kN
węzeł „B”
węzeł „G”
Sprawdzenie:
Wpisujemy wartości sił wraz ze znakami do tabeli i nanosimy wartości z prawidłowymi zwrotami na rysunek kratownicy. Pręt Siła C D2 S3 K2 V = 9kNC
∑
R
y=K
2sin V
C=0 K
2=
−V
Csin
=
−9
0,6
=−15kN
∑
R
x=−D
2−K
2cos =0 D
2=−K
2cos =−−15⋅0,8=12kN
B D1 D2 = 12kN S2∑
R
y=S
2=0
∑
R
x=−D
1 D
2=0 D
1=D
2=12kN
G
V = 9kN
GH = 24kN
GD1 = 12kN
S1
K1
∑
R
y=−V
G K
1sin =0 K
1=
V
Gsin
=
9
0,6
=15kN
∑
R
x=D
1−H
G K
1cos =12−2415⋅0,8=−1212=0
12 12 S1 S2 S3 D1 D2 G1 G2 K1 K2 0 0 0 12 12 -24 0 15 -15N
[kN]
P= 24kN4
4
3
V =9kNG H =24kNG V =9kNC 24 15 15Prowadzimy przekrój przez co najwyżej trzy pręty, w tym przez szukany pręt S2.
Aby wyznaczyć siłę w pręcie S2 wykonujemy sumę momentów części kratownicy odciętej przekrojem wzglę -dem punktu przecięcia się dwóch pozostałych prętów (pkt. 1)
∑
M
1 D=−V
A⋅3H
A⋅4−S2⋅3=0
S2=
−V
A⋅3H
A⋅4
3
S2=
−18⋅325,5⋅4
3
=16kN
Wyznaczamy siłę w pręcie K1 – przekrój I
∑
M
2 D= H
A⋅4 K1cos ⋅4=0
K1=
−4H
A4 cos
=
−25,5
0,6
=−42,5 kN
Wyznaczamy siłę w pręcie G2 – przekrój II
3 3 3 4 4 P1 = 18kN P = 12kN S2 D2 G2 K1 K3 A B V = 18kNA H = 25,5kNA H =37,5kNB 3 3 3 4 4 P1 = 18kN P = 12kN S2 D2 G2 K1 K3 A B V = 18kNA H = 25,5kNA H =37,5kNB 1 3 4 4 P1 = 18kN 2 3 3 P = 12kN S2 D2 G2 K1 K3 B V = 18kNA H = 25,5kNA H =37,5kNB 1 I K1cos K1sin
∑
M
1 P=G2⋅4−P⋅4=0
G2=
4P
4
= P=12kN
Wyznaczamy siłę w pręcie D2 – przekrój II
∑
M
3P=−D2⋅4−H
B⋅4=0
D2=
−4H
B4
=−H
B=−37,5 kN
Wyznaczamy siłę w pręcie K3 – przekrój II
Pozostałe dwa pręty są równoległe i nie mają punktu przecięcia. Dlatego wykonujemy sumę rzutów części kratownicy odciętej przekrojem na oś prostopadłą do tych prętów.
